近年来，在土木、机械和航空等众多工程技术领域中，利用实测模态参数进行结构损伤评估已成为一个较为热门的研究方向。许多学者在基于模态参数的灵敏度方法方面进行了大量的研究工作^[1,2],MESSINA A等^[3]利用结构振动的部分低阶频率信息提出一种称为损伤定位因子的识别方法（MD-LAC);SHI Z Y等^[4]在MESSINA A研究的基础上，利用振型灵敏度提出一种损伤定位方法；童昕^[5]提出非比例阻尼结构特征向量灵敏度计算的高精度级数展开方法；宋海平等^[6]将Neumann级数展开法引入到了特征向量灵敏度计算中。后又有学者将多种模态参数共同考虑进行灵敏度研究。WONG C N等^[7]将频率和振型灵敏度结合起来，提出一种广义阶摄动方法。邵晓蓉等^[8]将频率、振型和柔度3种灵敏度结合起来，提出一种新的联合灵敏度方法。

由于测试条件限制，对实际结构测量其高阶模态参数难度较大，即在实际工程中往往只能较准确地测得结构的低阶模态参数。而现有基于振型灵敏度的损伤评估方法大多需要高阶模态参数，为克服这一困难，本文提出了一种振型灵敏度的近似计算方法，并基于振型近似灵敏度进行结构损伤评估计算。通过一个屋架结构模型，基于本文所提出的振型近似灵敏度方法对其进行损伤评估计算，结果验证了所提方法的可行性和准确性。

从结构自由振动的特征方程出发，推导结构振型的近似灵敏度计算公式。首先利用有限元软件建立结构的有限元模型，获得结构的刚度矩阵和质量矩阵，则结构自由振动的特征值和特征向量可以通过求解以下的广义特征值问题获得：

式中，K为结构的刚度矩阵，M为结构的质量矩阵，λ_j为结构的第j阶特征值，φ_j为结构的第j阶特征值所对应的特征向量。特征值即为结构振动固有频率的平方，而特征向量即为相应的振型。式（1）两边同时乘以KM^-1，并化简可得：

一般而言，结构损伤仅导致结构刚度矩阵发生改变，而质量矩阵保持不变。不失一般性，假设结构第i个单元发生损伤，设其损伤参数为α_i，则由方程（3）对α_i求偏导可得到：

式中，n为结构有限元模型的自由度总数，K_i为第i个单元的单元刚度矩阵。由方程（4）中可以发现分母为λ_j²-λ_r²，显然，随着特征值或频率的增大，其倒数越来越小，这说明高阶模态对于振型灵敏度的计算精度影响越来越小，因此，为简化计算，可只取前几个低价模态参数来计算振型灵敏度，所得结果称为振型近似灵敏度，其计算公式为：

式中，q是计算中所取的低价模态的总数目，式（5）即为振型近似灵敏度计算公式。

由于结构物理参数（质量、弹性模量等）与结构的模态参数（频率、振型等）之间存在相应的函数关系，当结构发生损伤时，即结构的物理参数发生了变化，这必然导致结构模态参数的变化，因此根据模态参数的改变可反过来计算出结构的损伤参数值^[9,10,11,12]，基于这个原理可将上述所提的振型近似灵敏度用于结构的损伤评估计算中。

假设结构损伤后第j个振型为φ_dj，则损伤前后的振型变化量△φ可以由下式计算得到：

另一方面，利用泰勒级数展开和线性叠加原理，结构损伤前后的振型变化量又可以近似表示成：

式中，N为结构有限元模型中单元的总数目。如果实际中对结构测量了其自由振动的前m阶模态，并且每阶振型只测量了其中的r个自由度，则将这些测量的部分振型的灵敏度方程联立可得：

式中，△φ=[△φ₁¹…△φ₁^r|△φ₂¹…△φ₂^r|…|△φ_m¹…△φ_m^r]^T，α=（α₁，α₂，…，α_N)^T,S为相应的振型近似灵敏度矩阵。将式（8）利用广义逆运算可以计算出所有的损伤参数值，即：

式中，S⁺为振型近似灵敏度矩阵的广义逆矩阵。根据式（9）计算所得的损伤参数值即可进行结构损伤位置和损伤程度的判断。

考虑一个如图1所示的屋架结构模型，共29个杆单元，29个自由度。假设其弹性模量为E=206GPa，材料密度ρ=7.83×10³kg/m³，结构具体几何尺寸如图2所示，杆件的(1)～(14)号单元的横截面面积为A=1.228 6×10^-3m²，杆件的(15)～(29)号单元的横截面面积为A=8.584×10^-4m²。利用本文所提的近似振型灵敏度方法，考察在不同噪声水平、所用模态阶数下的结构损伤识别结果，其中计算近似振型灵敏度所用的方程（5）中的q值取为10。

不失一般性，假设单元17刚度损伤30%，振型误差取3%，频率误差取0.3%。假设只测量了结构的前1、2阶模态，利用方程（8）计算所得的损伤参数值如图3,4所示。由图3和图4可见，有噪声干扰时的计算结果比无误差干扰的计算结果误差更大些。无论有无噪声影响，取前2阶模态时的计算结果都较好，可以很明显地判断出单元17发生损伤，且损伤程度计算值与假设值0.30很接近。

不失一般性，假设结构的第7号单元和第15号单元刚度同时损伤30%，振型误差取3%，频率误差取0.3%。利用结构的前1、2阶模态计算所得结果如图5,6所示。由图5和图6可见，只利用前2阶模态数据，无论是否存在噪声干扰均可较为准确地判断出损伤的位置，7号单元的损伤程度计算值与假设值0.3很接近，15号杆件的损伤程度计算值比假设值大一些，但总体而言，损伤识别仍是比较成功的。

基于本文所提方法能够比较成功地进行损伤识别，当只有单个单元损伤时，在取结构前1阶模态时存在较多误差但大致可以判断出损伤位置，在取结构前2阶模态参数进行计算时可较准确地判断出损伤位置和程度；当多个单元损伤时，在取结构前2阶模态参数进行计算时也可较准确地判断损伤位置和程度。

实际工程中往往只能较准确地测得结构振动的低阶模态，对于高阶模态参数的测量不仅难度大而且误差较大，现有基于振型灵敏度的损伤识别方法往往需要采用结构的高阶甚至所有的模态参数，这对于实际工程而言困难较大。因此，本文提出了一种计算振型灵敏度的近似方法，并以此为基础来进行结构损伤参数反演计算，根据计算结果来进行损伤识别。屋架结构的数值算例模拟结果表明，本文所提方法合理可行。