随着社会发展,砖混结构一般用于多层或低层住宅建筑 ^[1],其混凝土楼盖支承在砌体墙上,在竖向荷载作用下墙体约束楼盖转动,产生约束弯矩,约束弯矩的大小影响墙体荷载偏心距,对墙体承载力影响很大。忽略这种约束作用,对混凝土楼盖是保守的,但对无筋砌体墙是偏于不安全的。国外试验研究表明 ^[2,3,4],板-墙约束随墙体上部荷载增加而增加,但增加有逐渐减慢的趋势,当墙上的压应力大于0.3N/mm² 时,墙板节点可视为刚性节点;板-墙刚度比越大,约束弯矩越小。我国规范中砌体墙的计算简图通常采用简支柱,墙底弯矩为0,墙顶承受轴向力及弯矩作用,该弯矩即为约束弯矩,其大小为N_l(0.5h-0.4a₀) ^[5]。在梁的跨度较大时,该计算简图被证明是不安全的 ^[6,7]。通过进一步研究,对梁跨度大于9m时的约束弯矩提出了修正系数 ^[8,9,10]。国内这些研究都是以梁-墙约束为试验研究对象,对于板-墙约束,由于板-墙刚度比梁-墙刚度大大减小,加上上部荷载传递机理不同,在墙体平面内没有内拱作用,将带来较大误差 ^[11]。

　　 为了研究板-墙约束,本文采用有限元方法,分析了不同上部荷载、不同板-墙刚度比和不同支承长度的砌体结构模型,得到了基于框架结构计算简图的弯矩修正系数,并和我国现行《砌体结构设计规范》(GB 50003—2011) ^[5](简称GB 50003规范)、欧盟规范Eurocode 6 ^[11](简称EC6规范)计算的承载力进行对比分析,提出板-墙约束时砌体墙的受压承载力设计计算方法,为我国规范修订提供参考。

　　 采用图1所示模型模拟混合结构房屋结构外墙。对刚性方案房屋,楼层水平位移为0,屋盖处设置水平铰支座。墙体顶部承受上部传来的均匀竖向压应力σ₀,楼面承受均布荷载p。

　　 墙体和楼板组成的结构可以看成是平面应变问题。采用ANSYS Plane42单元进行有限元分析,分析时假设:1)砌体和混凝土为弹性材料;2)砌体墙在楼板板顶和板底两个界面发生开裂或破坏。界面的开裂或破坏以砌体和楼板界面单元竖向应力作为判据,其准则如下。

　　 受拉开裂:

　　 $\sigma {}_{\text{y}}\le f{}_{\text{t}\text{m}}(1)$

　　 受压破坏:

　　 $\sigma {}_{\text{y}}>-f{}_{\text{m}}´(2)$

　　 式中:σ_y为截面竖向应力(拉为正,压为负);f_tm为砌体抗拉强度平均值;f_m′为偏心受压时砌体名义抗压强度平均值。

　　 在承载力极限状态时,由于开裂的原因,截面受压区域往往较小,砌体处于局部受压状态,另外,由于偏心受压构件破坏时最大压应变远大于峰值压应变,按弹性分析结果判断受压破坏时,边缘最大竖向压应力的名义抗压强度f_m′将大大提高,本文取1.5f_m,其中f_m为砌体抗压强度平均值。

　　 有限元分析时,先施加墙顶竖向压应力σ₀,再在楼板上从小到大施加均布荷载p,当界面竖向拉应力超过砌体抗拉强度时,该单元被认为开裂,其单元被“杀死”,在本级竖向均布荷载p下重新分析结构,直到没有新的单元开裂为止,这时相应的楼板上荷载为开裂荷载p_cr;增大楼板上均布荷载p,对开裂后结构进行分析,直到受压区最大压应力达到名义抗压强度f_m′,这时,结构达到破坏,相应的楼板上荷载为破坏荷载p_u。

　　 W.Jager ^[4]进行了两层全尺寸的板-墙约束试验(图1),墙体宽1m,高2m,厚115mm,砌体抗压强度为16.2MPa,抗拉强度为0.276MPa,弹性模量为5 329MPa,泊松比为0.15;钢筋混凝土楼板宽1m,跨度为5m,厚160mm。试验采取与有限元方法相同的加载方式,墙顶竖向压应力分别为0.043,0.86MPa,楼板上均布荷载从0开始,分级施加,直到楼板附近砌体压坏。

　　 采用本文有限元分析方法选取试验中的第8荷载步(墙体未开裂)、第11荷载步(板顶墙体内侧水平开裂)和第20荷载步(板底墙体外侧水平开裂)进行了分析,有限元分析计算值与试验值对比如表1所示。

　　 从表1可以看出,楼板跨中挠度和板端旋转角的有限元分析计算值与试验值大体上吻合。另外,在第20荷载步的情况下,墙底发生开裂,裂缝长度为85mm,与本文有限元分析计算值82.5mm相当接近。对比验证结果表明,有限元分析方法可用于板-墙约束分析。

　　 为了研究墙体上部荷载、板-墙刚度比和板的支承长度对板-墙约束的影响,共分析了17种不同的模型。所有模型墙厚为240mm,其他参数见表2。

　　 根据有限元分析结果得到墙体不同破坏阶段板顶和板底墙截面上各节点应力,由此计算出截面弯矩M_r。按理想框架结构计算得到相应截面上的弯矩为M,定义墙体弯矩修正系数k 为:

　　 $k=\frac{{\rm M}{}_{\text{r}}}{{\rm M}}(3)$

　　 墙体弯矩修正系数k≤1,其值越大,板-墙约束越大。

　　 有限元分析结果表明,当楼板上均布荷载较小时,墙体处于弹性阶段,墙与板之间有很好的约束,弯矩修正系数k接近1;随着楼板上均布荷载增加,板顶墙体内侧首先出现水平裂缝①;随着楼板上均布荷载继续增加,板底墙体外侧也出现水平裂缝裂缝②,板顶裂缝①不断加长(图2);当板底墙体内侧的受压区最大压应力达到砌体名义抗压强度时,墙体发生破坏。破坏时,水平裂缝①和②的长度分别为l_cr1和l_cr2。板顶和板底砌体墙在不同楼板上均布荷载作用下,典型的应力分布规律(其中板端支承长度120mm、板厚100mm、墙顶竖向压应力为0.2MPa)如图3所示,板顶墙体外侧及板底墙体内侧压应力最大。

　　 墙体开裂荷载随墙顶竖向压应力和楼板厚度的增加而增加(图4);墙体裂缝开展速度随墙顶竖向压应力的减小而加快,裂缝长度l_cr与楼板上均布荷载p的关系如图5所示。开裂后墙体弯矩修正系数k不断减小,板-墙约束不断削弱。

　　 其他条件相同,随着墙顶均匀竖向压应力的增大,板-墙约束不断增大。在墙顶竖向压应力小于或等于0.2MPa时,开裂后的板顶、板底墙体弯矩修正系数k₁,k₂随楼板上均布荷载增加而快速减小,见图6。

　　 板底墙体内侧砌体受压破坏时,结构达到极限承载力,极限承载力大小随墙顶竖向压应力σ₀的增加而增加,板-墙约束能力不断增加,板顶、板底墙体弯矩修正系数k₁,k₂不断增加。当墙顶竖向压应力大于0.2MPa时,这种增加速度逐渐放慢,见图7。

　　 板-墙相对线刚度α为楼板的线刚度与墙体的线刚度之比。

　                              $\alpha =\frac{E{}_{\text{c}}d{}^3{\rm H}}{E{}_{\text{m}}h{}^{3}L}(4)$

　　 式中:E_c,d和L分别为混凝土楼板弹性模量、厚度和跨度;E_m,h和H分别为砌体墙弹性模量、厚度和层高。

　　 根据结构力学,墙体截面弯矩随板-墙相对线刚度增大而减小,墙体的开裂荷载p_cr随板-墙相对线刚度和墙顶竖向压应力的增加而增大,有限元分析也有相同的规律,见图8(a)。

　　 墙体开裂后,刚度减小,不考虑混凝土板开裂,板-墙相对线刚度增大,墙体截面弯矩占节点约束弯矩的比例减小。当墙顶竖向压应力相同时,极限荷载p_u随板-墙相对线刚度的增加而增大,见图8(b)。

　　 板-墙相对线刚度对框架弯矩修正系数的影响较大。开裂前,框架弯矩修正系数接近1,开裂后,在相同的墙顶竖向压应力作用下,则随着板-墙相对线刚度的增加而减小。极限荷载时,板顶、板底墙体弯矩修正系数k₁,k₂随板-墙相对线刚度增加而减小,见图9。

　　 对梁-墙结构,由于梁下很大的集中应力导致梁下局部砌体变形过大而导致的上部荷载产生“内拱”作用,这种“内拱”作用主要与梁下砌体局部受压面积有关,所以梁的支承长度对结构的受力分布起很大作用。然而,对板-墙结构,由于板是沿墙均匀布置,不存在这种“内拱”作用,板顶和板底砌体的开裂和破坏只与截面弯矩有关,因此板的支承长度对结构的破坏过程和受力分布影响不大。模型8,模型16和模型17的有限元分析结果表明,极限荷载时,板的支承长度a对板顶、板底墙体弯矩修正系数k₁,k₂影响不大,见图10。

　　 极限荷载相同时,假设板顶和板底“塑性铰”传递的最大弯矩分别为破坏弯矩M_1p和M_2p,其转动刚度分别为K_1p和K_2p,如图11所示。

　　 分析结果表明,“塑性铰”的形成和破坏过程与墙顶竖向压应力σ₀有关。其转动刚度可以看成是初始刚度(弹性)乘以墙体弯矩修正系数,该墙体弯矩修正系数随墙顶竖向压应力σ₀增加而增加,即:

　　 $\begin{array}{l}{\rm K}{}_{1\text{p}}=(\xi {}_1+\xi {}_2\frac{\sigma {}_0}{f{}_{\text{m}}})\frac{E{}_{\text{m}}{\rm I}{}_{\text{m}}}{{\rm H}}(5\text{a})\\ {\rm K}{}_{2\text{p}}=(\xi {}_3+\xi {}_4\frac{\sigma {}_0}{f{}_{\text{m}}})\frac{E{}_{\text{m}}{\rm I}{}_{\text{m}}}{{\rm H}}(5\text{b})\end{array}$

　　 式中ξ₁～ξ₄为系数。

　　 由结构力学可知,板顶和板底墙体截面弯矩修正系数分别为:

　　 $\begin{array}{l}k{}_1=\frac{(\eta {}_1+\eta {}_2\frac{\sigma {}_0}{f{}_{\text{m}}})(7+2\alpha )}{\eta {}_3+\eta {}_4\frac{\sigma {}_0}{f{}_{\text{m}}}+2\alpha }(6\text{a})\\ k{}_2=\frac{(\eta {}_5+\eta {}_6\frac{\sigma {}_0}{f{}_{\text{m}}})(7+2\alpha )}{\eta {}_7+\eta {}_8\frac{\sigma {}_0}{f{}_{\text{m}}}+2\alpha }(6\text{b})\end{array}$

　　 式中η₁～η₈为统计参数。

　　 根据本文17个模型得到的极限状态下的分析数据,采用1stopt对数据进行了多元非线性拟合,采用麦夸特法+通用全局优化法的优化算法,得到各统计参数为:η₁=0.017;η₂=4.517;η₃=0.441;η₄=30.592;η₅=0.170;η₆=8.936;η₇=1.924;η₈=60.991。

　　 公式(6a)和(6b)的计算值与有限元分析计算值的比值的平均值分别为0.996和1.006,变异系数分别为4.53%和7.11%,计算值与有限元分析计算值非常地接近。

　　 楼板荷载对邻近的构件产生的弯矩较大,对远离楼板的构件产生的弯矩很小。设计砌体墙时,只取与节点相连的楼板和墙体所形成的子结构,这些构件的远端为固定支座(若已知远端不传递弯矩,可视为铰接,如屋盖与墙的连接)。采用结构力学方法可分别算出节点下部墙顶截面Ⅰ-Ⅰ和节点上部墙底截面Ⅲ-Ⅲ的弯矩M,分别乘以公式(6a),(6b)的弯矩修正系数,便得到截面的约束弯矩M_r,求得各墙体截面荷载偏心距e(e=M_r/N),代入GB 50003规范中无筋砌体受压构件承载力计算公式,便可得到砌体墙极限承载力。

　　 工程实践中,钢筋混凝土楼板在墙上支承,按铰支座计算跨中弯矩,支座负钢筋按构造配置,并未考虑墙体的约束作用,经长期工程实践证明是安全的。

　　 某三层砌体结构学生公寓,开间尺寸为3.6m,房屋进深为4.2m,层高为3m。墙体采用MU10烧结普通砖和M5混合砂浆砌筑,墙厚为240mm;楼板采用钢筋混凝土板,板厚100mm,采用横墙承重,楼板支承长度为240mm,施工质量等级为B级。

　　 分别利用本文方法、EC6规范和GB 50003规范,对外横墙进行承载力对比分析。所要注意的是,按EC6规范计算时,设计荷载和砌体强度指标都换算成与GB 50003规范相同的条件。选取每层墙的墙顶截面Ⅰ-Ⅰ、中间高度截面Ⅱ-Ⅱ和墙底截面Ⅲ-Ⅲ分别进行计算,得到各层墙计算截面的约束弯矩(表3)、荷载偏心距(表4)和满足承载力要求所需砌体抗压强度设计值(表5)。

　　 从计算结果可以看出:

　　 (1)由于房屋顶部两层墙体受到的墙顶荷载较小,墙体荷载偏心距较大,GB 50003规范偏心距计算值比EC6规范小5倍以上,满足承载力要求所需砌体抗压强度设计值小10倍以上。

　　 (2)第二层墙墙顶截面按EC6规范计算所需要满足承载力要求的砌体抗压强度值比按GB 50003规范高46.6%,墙底截面高36.6%。

　　 (3)底层墙墙顶截面按EC6规范计算所需要满足承载力要求的砌体抗压强度值比GB 50003规范高23.4%,比墙底截面高6.5%。

　　 (4)本文计算方法在顶层的计算结果介于GB 50003规范和EC6规范之间,在底层相差不大。

　　 (1)影响板-墙结构相互约束的主要因素有墙顶荷载和板-墙刚度比,板的支承长度影响很小。

　　 (2)墙体弯矩修正系数随墙顶竖向压应力增加而增加,当墙顶竖向压应力大于0.2MPa时,板-墙节点接近刚性节点;墙体弯矩修正系数随板-墙相对线刚度增加而降低。

　　 (3)采用框架分析板-墙结构砌体墙内力，弯矩修正系数可按公式(6a),(6b)计算。