楼梯是建筑中重要的垂直交通构件,而螺旋楼梯因其优美的曲线和有序的变化,且有良好的艺术表现,在公共建筑中颇为建筑师喜爱。钢结构具有轻质高强、施工速度快、环境影响小等特点,复杂楼梯设计中常被采用。由于建筑方案的多样性,导致无法参照设计图集,需要进行有针对性的计算分析。而相关文献资料和设计案例不多,往往给设计工作带来很多困难。本文通过工程实例,介绍某大学图书馆螺旋楼梯的设计过程。

　　 河南省交通高级技工学校图书馆主楼首层高7.5m,首层中庭对称设置两部钢结构螺旋楼梯,楼梯建筑平面位置如图1所示,螺旋楼梯三维效果如图2所示。楼梯自首层地面旋转向上,由三个270°梯段和三个90°旋转平台,绕经1 080°到达二层楼面,总高度为7 500mm,踏步高度约147mm,梯段宽度1 550mm,内曲梁中心线直径1 850mm;外环中心线半径4 950mm。根据建筑空间通透完整、楼梯轻盈美观,同时便于后期改造的要求,首层顶板对应位置仅开设圆形洞口,且楼梯不设柱支撑。

　　 由于楼梯需要旋转三周到达目标楼层,在无柱支撑的条件下,使楼梯具有足够刚度是面临的主要问题。设计初期考虑采用曲板式楼梯,即采用与梯段等宽的箱形截面,但楼梯各层间距2.5m迫使截面高度受限,方案难以实施;利用楼梯栏板设置曲梁,影响空间的通透。最终采用曲梁式楼梯,并在外侧设置四个吊杆,利用内外曲梁的相互作用,解决构件强度和刚度不足的问题。曲梁截面□150×300×12×12,踏步采用8mm厚的钢板,钢材均为Q235B。

　　 设计采用有限元软件MIDAS Gen对楼梯进行受力分析。为提升三维建模效率,本工程使用Rhinoceros进行辅助(图3):1)对建筑模型简化,得到构件的定位;2)进一步简化得到构件中心线;3)将三维曲线转换为三维多段线;4)导出DXF图形,在AutoCAD内检查曲线连接关系无误后,炸开并导入到MIDAS Gen中进行后续建模。

　　 楼梯采用钢结构,钢材牌号为Q235B,材料密度为78kN/m³,弹性模量为2.1×10⁵MPa,泊松比为0.3。主要构件尺寸见表1。

　　 曲梁采用梁单元模拟;平台加劲肋采用梁单元模拟;踏步板均采用变截面梁单元模拟,两端刚接,考虑弯矩作用;休息平台采用板单元模拟;吊杆采用仅受拉的桁架单元模拟。

　　 首层顶板梁内预埋型钢,将型钢外伸与封边梁、平台肋板形成悬挑平台,计算考虑为固接连接。曲梁落地点设置预埋件与钢梁焊接。

　　 结构自重由程序自动计算,楼梯面层厚度30mm,恒荷载按踏步实际宽度取0.2～0.4kN/m²。栏杆扶手考虑水平推力1.5kN/m、竖向荷载1.2kN/m分别作用 ^[1]。活荷载取3.5kN/m²,踏步按实际宽度进行折算,控制每步荷载总值不小于2.5kN。

　　 由于钢结构楼梯自重相对较轻,根据荷载规范 ^[1]最不利荷载控制组合为活载组合(1.2恒+1.4活)。螺旋楼梯在竖向荷载作用下,容易发生扭转变形。因此只能尽可能减轻结构自重,改善支撑条件,以减轻扭转的影响。由于空间传力不清晰,因此设定3种不同的活荷载布置情况,分析楼梯刚度是否满足设计要求:1)工况1,活荷载满布;2)工况2,活荷载一侧构件满布;3)工况3,活荷载单个梯段满布。加载情况如图4所示(图中加粗部位为活荷载加载位置)。

　　 在活荷载满布作用下,结构内力如图5所示。通过内力分析结果可以看出:1)吊杆的设置,明显改变了外曲梁的内力分布,扭矩大幅减小,吊点附近出现负弯矩,受力状态接近于多跨连续梁。2)内曲梁应力状态较为复杂,虽然受到一定的悬挑作用,但是由于作用效果有限,靠近支座的部位有较大的弯矩、扭矩,符合空间螺旋构件的受力特征。 3)踏步和平台加劲肋成为协调内外曲梁的重要构件,调整了内曲梁的受力状态。从图5中可以看出,平台加劲肋刚度较弱,与之相邻的踏步受力较大。因此增加了肋板的截面尺寸,并加强肋板与平台板的连接,使踏步板的受力得到改善。4)钢拉杆仅受轴拉力作用,不承担弯矩和剪力,能充分利用材料性能,拉杆作为重要受力构件,需要有足够的安全储备。其他工况最大内力统计见表2。

　　 选择最不利工况1(活荷载满布)进行应力分析。统计结果见表3,结构应力分布见图6。从图6可以看出:1)吊杆的最大拉应力出现在最顶端,为102.6MPa,吊杆自上而下应力逐渐减小;2)内外曲梁的边界条件差异较大,虽然受力状态有所不同,但是构件的应力相差不大;3)受内外曲梁变形不一致的影响,踏步及平台加劲肋两端受力较大,且支座及转角部位有应力集中的情况,由于踏步截面较小,此类构件应力普遍较大。由于考虑踏步和平台加劲肋的刚度,需进行构件和连接设计,经计算其最大应力164.7MPa出现在靠近休息平台的踏步内侧,构件和连接强度满足设计要求。

　　 螺旋楼梯在不同荷载工况下的竖向位移和水平位移见图7,统计结果见表4。

　　 三种不利组合工况下各向挠度均未超过设计容许值 ^[2]。对三种活荷载不利布置的分析可知:

　　 (1)最不利变形出现在工况1。此时结构最大竖向位移17.603mm,最大水平位移11.433mm。从图7中可以看出,吊杆的竖向约束作用,使外曲梁没有发生太大的竖向变形,内曲梁在梯段范围挠度偏小,休息平台处挠度增大,说明跨度较大时,楼梯踏步和休息平台能通过悬挑作用,协调内外曲梁的受力状态。然而休息平台虽然设置了竖向加劲肋,刚度仍然小于踏步板,因此导致内曲梁挠度的周期性变化。水平位移方面,楼梯上端采用刚接节点,约束了构件的扭转变形,使刚度提高;下端采用铰接,不能约束构件转动,因此变形出现在靠近下端支座位置。虽然楼梯设置了吊杆,但是垂直布置的吊杆只能承担竖向荷载,水平分力可以忽略不计,没有抗侧刚度贡献。

　　 (2)从工况2、工况3的结果中可以看出,在不平衡荷载作用下,虽然有扭转和偏转的趋势,但是由于吊杆的竖向约束作用,整体结构不至于出现局部过大的竖向位移和扭转。各项位移指标均未超过活荷载满布的情况。进一步补充分析活荷载1/4跨布置、活荷载上下单梯段布置、活荷载休息平台布置得到的分析结论相同,证明此结构在不均匀荷载作用下,不会发生失局部稳或大幅度扭转。

　　 由于螺旋楼梯刚度不均匀、受力复杂,为避免行走过程中出现明显振动,因此有必要进行舒适度验算。

　　 吊杆的设置对竖向振动起到了很好的控制作用。模态分析结果显示,1,2阶振型为水平振动,竖向振动出现在3阶及以上振型,以内曲梁竖向振动为主,频率为5.92Hz,满足相关规范中不小于3Hz的要求,相关信息见表5。

　　 舒适度的核心要点是控制结构在动荷载作用下的加速度。我国《城市人行天桥与人行地道技术规范》(CJJ 69—95) ^[3]等规范规定结构竖向自振频率不应小于3Hz,是为了避开人行走的频率(1.5～2.0Hz),避免共振导致竖向加速度过大。《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ 3—2010) ^[4](简称高规)更是明确了竖向振动加速度峰值。然而规范虽然提出了自振频率和加速度的要求,但理论研究尚不完善,缺少计算方法和工程算例,设计中仍以控制自振频率为主。试验证明,人上下楼梯造成的人行激励与人平地行走的激励存在差别 ^[5],因此国外一些资料 ^[6,7]专门提出了人行激励荷载的时程函数。本工程结合高规和ATC ^[6]提出的竖向加速度限制标准,对螺旋楼梯进行舒适度评价。采用IABSE行走模型计算行人的行走激励F。

　　 $F={\rm P}\left[1+0.5{\displaystyle \sum _{i=1}^n\alpha }{}_i\sin (2\text{π}if{}_{i}t+\phi {}_i)\right](1)$

　　 式中:P为单人体重;t为时间;f_i为第i阶步频;α_i为力的第i阶动载因子;φ_i为力的第i阶谐波相位角。

　　 通过测算,在准永久组合作用下,楼梯上人员已经较为密集,此时人行走较慢,激励影响较小。为避免计算失真,取25%的活荷载用于计算,以便接近实际使用情况。同时考虑使用者的年龄段,单人体重取60kg;阻尼比 ^[4]取0.01。

　　 单人行走激励与人群行走激励产生的结构响应不同 ^[8]。采用三种工况计算:1)工况A:单排行走,加载位置为踏步中点,每人间距2步,共6人,步频2.0Hz;2)工况B:并排行走,加载位置为三等分点,每组间距5步,共4组,步频1.5Hz;3)工况C:快速通行,加载位置为踏步中点,步频3.0Hz且激励间距两级踏步。每个工况分析25s,分步长0.2s,各工况下加速度-时间曲线见图8。

　　 通过分析可知,中段平台及梯跑为最不利点,峰值加速度为32mm/s²,稳定态加速度平均值约为20mm/s²,即0.002g,根据稳定状态的加速度判别,满足规范要求。工况A未设置吊杆时,加速度平均值约为0.025g。

　　 采用荷载满布工况,拆除受力最大的吊杆,模拟吊杆失效后结构的受力状态。参考高规相关规定:

　　 $\begin{array}{l}R{}_{\text{d}}\ge \beta S{}_{\text{d}}(2)\\ S{}_{\text{d}}=\eta {}_{\text{d}}(S{}_{\text{G}\text{k}}+{\displaystyle \sum \psi }{}_{\text{q}i}S{}_{\text{Q}i,\text{k}})+\Psi {}_{\text{w}}S{}_{\text{w}\text{k}}(3)\end{array}$

　　 式中:R_d为剩余结构构件承载力设计值,正截面承载力验算时取1.25倍的标准值,受剪承载力验算取标准值;β为效应折减系数;S_d为剩余结构构件效应设计值;η_d为竖向荷载动力放大系数,取2.0;其余参数含义见高规。

　　 通过分析,当某一吊杆退出工作后,剩余吊杆顶部应力增加。相邻吊杆应力增量较大,对向吊杆应力增量小,结构有轻微偏转;外曲梁变为悬臂状态,承担失效部分的荷载;连接曲梁的踏步板应力增加;内曲梁受外曲梁影响减少,下支座反力增大。各构件应力均满足设计要求,见表6。进一步分析可知,动力荷载作用下结构最大竖向位移为41.9mm;拆除吊杆后荷载的标准组合下,结构各构件均在弹性范围,结构未发生过大变形,位移见图9。

　　 通过分析可知当某一吊杆退出工作后,其余构件受力状态和应力会发生较大变化。因此设计时构件应有足够的安全储备,从概念分析内力重分布的情况,必要时验算动力荷载作用时节点内力,防止节点被各个击破。

　　 考虑到楼梯的尺寸无法整体安装,因此对施工顺序进行模拟。恒荷载按实际考虑,施工荷载取0.5kN/m²。

　　 采用自下而上安装,完成后一次拆除临时支撑的施工方案。经计算,正常使用状态下,拉杆受力减小,下部拉杆甚至出现零应力的情况,底部曲梁内力激增。分析原因发现,这种安装方式依靠卸载后结构的竖向变形使拉杆发挥作用,底部支座约束竖向变形,使下端竖向位移过小,拉杆无法参与工作。

　　 因此改为安装完成卸载后,再固定底部支座的改进方案。经模拟分析,最大应力出现在连接中间梯段的拉杆上端,为40.7MPa,与实际受力状态较为接近,见图10。由于加工、运输、安装等不确定因素,实际施工无法达到计算的理想状态。因此拉杆需要能够进行调节,以便安装完毕后进行结构调平。

　　 通常楼梯上端预留混凝土梁与钢楼梯连接,本工程由于建筑需求,仅在顶部预留板洞,如何将方钢与混凝土基层刚接是需要考虑的问题。最终采用将方钢埋一定距离转为H型钢的方案。支座处节点详图见图11。在受力性能、施工难度、施工质量和防火性能方面,优于预埋件连接的方案。

　　 三维螺旋楼梯踏步是重要的传力构件,当采用具有一定抗弯、抗剪刚度的截面时,计算应考虑其影响。

　　 一般来说休息平台刚度小于楼梯踏步刚度,因此平台与梯段交界处往往存在刚度突变,导致踏步与曲梁应力集中,设计时应注意增加平台刚度使之与踏步匹配。

　　 螺旋楼梯中段刚度薄弱,计算时应重点关注其挠度与振动特性;而靠近支座处受力复杂,计算时应重点验算强度。

　　 复杂结构的舒适度,不能仅靠自振频率来控制。宜考虑实际使用情况,采用时程分析,结合其稳定状态下的加速度综合评价。

　　 吊挂结构可以解决复杂楼梯受力与舒适度的问题。但吊挂结构对变形较敏感,拉杆需要进行安装后调节。设计需进行抗连续倒塌的概念设计,考虑足够的安全储备,对重要构件和节点进行核算。