常规隔震分析,通常采用isolator非线性单元模拟隔震支座,并按照《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010) ^[1]规定的“两阶段”设计方法采用有限元软件进行分析与设计。《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010) ^[1]第12.2.9条对隔震层以下的构件和基础作了强制性条文规定,要求“隔震层支墩、支柱及相连构件,应采用隔震结构在罕遇地震作用下隔震支座底部的竖向力、水平力和力矩进行承载力验算”,但是对隔震层支墩、支柱及相连构件的变形却没有规定。

　　 “两阶段”设计方法中,在第一阶段求解减震系数时,在有限元模型上支墩底部建立isolator非线性单元并连接于大地,不建立下支墩,因此该模型不能考虑下支墩、地基基础的转动;在第二阶段进行上部结构(隔震层以上结构)隔震后的设计时,通常在计算模型的上支墩底部设铰并与大地连接,模拟隔震层隔震支座处的反弯点,该模型同样不考虑下支墩及地基基础的转动 ^[2]。图1和图2为常规设计中有限元软件对隔震支座的处理。

　　 按照以上方法模拟隔震支座、进行隔震结构的分析与设计时,当下支墩的抗侧刚度足够大或地基基础抗转动刚度足够大时,工程精度能得到保证。但是,当下支墩的抗侧刚度过小 ^[3](如下支墩过长)或地基基础转动变形不能忽略(如软土地基上的独立基础)时,仍采用上述方法处理隔震支座则会产生不可忽略的误差。因此常规设计中应控制下支墩的刚度及地基基础的抗转动刚度以保证隔震支座下部固结于大地,否则应考虑下支墩转动对隔震结构的影响。

　　 通常在隔震分析中,与隔震支座相连构件的转动约束是忽略的,只保留其竖向刚度和水平刚度。由于上支墩直接建入分析模型中,因此不对上支墩刚度进行分析。仅考虑下支墩转动和考虑下支墩及基础转动两种情况来分析下支墩的转动刚度。

　　 当基础转动足够小时,可假定下支墩与大地刚接,隔震支座水平等效刚度与下支墩抗侧刚度串联后 ^[4,5]的刚度为k,见式(1),其计算简图见图3(图中ζ_eq为隔震层等效黏滞阻尼比;m_n(n=1,2,3,…)为上部各层质量)。下支墩抗侧刚度k_d由下支墩的抗弯刚度与剪切刚度串联,见式(2)。

　　 $\begin{array}{l}1/k=1/k{}_{\text{h}}+1/k{}_{\text{d}}(1)\\ 1/k{}_{\text{d}}=1/k{}_{\text{b}}+1/k{}_{\text{s}}(2)\end{array}$

　　 式中:k_h为隔震支座水平等效刚度;k_d为下支墩抗侧刚度;k_b为下支墩的抗弯刚度,k_b=3EI/l³,其中E为下支墩材料的弹性模量,I为下支墩的截面惯性矩,l为下支墩的高度;k_s为下支墩的剪切刚度,k_s=GA/1.2l,其中G为下支墩材料的剪切模量,A为下支墩截面面积。

　　 一般情况下,结构分析软件中采用杆元模拟下支墩,此时可忽略剪切变形,只考虑弯曲变形 ^[6],下支墩的抗侧刚度由弯曲刚度决定,可忽略剪切刚度的贡献。由式(1)可得:

　　 $k=k{}_{\text{h}}/(1+k{}_{\text{h}}/k{}_{\text{d}})(3)$

　　 式(3)中,一般情况下,下支墩抗侧刚度远大于隔震支座水平等效刚度,因此串联后的刚度k大小主要取决于隔震支座水平等效刚度。但当下支墩高度较高时,则不能忽略其影响。

　　 在隔震分析中,通常不考虑基础的转动而认为下支墩底为刚性约束。但实际情况下支墩底的转动约束通常介于铰接与刚接之间,也就是弹性转动约束;弹性转动约束包含基础弯曲变形和地基土的转动变形。一般情况下,下支墩底转动约束刚度的大小主要取决于地基抗弯刚度 ^[7],简化计算模型如图4所示(图中k_f为基础弹性转动约束刚度)。

　　 下支墩与弹性转动约束部分的计算简图如图5所示。在下支墩顶施加单位水平力P=1kN,此处发生的位移Δ即为该处柔度系数δ=Δ。该处发生的位移Δ由两部分组成,一是基础弹性转动约束变形引起下支墩顶点侧移(刚体转动),二是下支墩的侧向变形(忽略剪切变形只考虑弯曲变形)。

　　 $\Delta =\Delta {}_1+\Delta {}_2(4)$

　　 式中:Δ₁为弹性转动约束变形引起下支墩顶点侧移,Δ₁≈θ×l,其中θ为基础弹性转动角度,θ=l/k_f;Δ₂为下支墩的侧向变形,Δ₂=1/k_d=l³/3EI。

　　 由式(4)可得下支墩与基础弹性转动约束串联的刚度k_c满足:

　　 $\frac{1}{k{}_{\text{c}}}=\delta =\Delta =\Delta {}_1+\Delta {}_2=l{}^2/k{}_{\text{f}}+1/k{}_{\text{d}}(5)$

　　 k_c与隔震支座水平等效刚度k_h二次串联得到的总串联刚度k′满足:

　　 $1/k^{\prime }=1/k{}_{\text{h}}+l{}^2/k{}_{\text{f}}+1/k{}_{\text{d}}(6)$

　　 将式(6)整理得:

　　 $k^{\prime }=k{}_{\text{h}}/(1+k{}_{\text{h}}l{}^2/k{}_{\text{f}}+k{}_{\text{h}}/k{}_{\text{d}})(7)$

　　 一般情况下,当下支墩较矮、地基土较硬时,下支墩抗侧刚度k_d远大于隔震支座水平等效刚度k_h,基础弹性转动约束刚度k_f远大于隔震支座水平等效刚度k_h,三者串联后的总刚度k′大小主要取决于隔震支座水平等效刚度k_h。

　　 当考虑下支墩转动时,应取隔震支座水平等效刚度与下支墩抗侧刚度、地基基础转动约束刚度三者串联的刚度k′;不考虑基础转动时,取隔震支座与下支墩抗侧刚度的串联刚度k。设计中,应对模型中的隔震支座水平等效刚度进行折减,折减系数记为β。

　　 由式(7)得:

　　 $\beta =k^{\prime }/k{}_{\text{h}}=1/(1+k{}_{\text{h}}l{}^2/k{}_{\text{f}}+k{}_{\text{h}}/k{}_{\text{d}})(8)$

　　 由式(8)可知:折减系数β由两部分组成,一部分是与基础转动约束刚度和下支墩高度相关的系数,记为基础转动影响系数η₁=k_hl²/k_f;一部分是与下支墩抗侧刚度相关的系数,记为下支墩转动影响系数η₂=k_h/k_d,整理得:

　　 $\beta =1/(1+\eta {}_1+\eta {}_2)(9)$

　　 为减少变量个数,取工程中隔震结构常见构件的类型、材料和截面,分析η₁,η₂,β的数值范围及变化趋势。当柱下为扩展基础时,一般情况下可近似取k_f=0.95×C_z×I进行估计,其中C_z为地基抗压刚度系数,I为基础底面对其形心轴的惯性矩,其数值约为k_f=1.5×10⁵kN·m/rad ^[7]。工程中常用的混凝土强度等级为C25～C40,取C30弹性模量E=3.0×10⁴N/mm²;多层建筑中常用的铅芯橡胶隔震支座直径为400～800mm,参考某隔震厂家产品说明书,隔震支座水平等效刚度k_h见表1;常规设计中下支墩一般为方形截面,边长为隔震垫直径+200mm,常用的铅芯橡胶隔震支座下支墩截面参数见表1;常规设计中下支墩高度l取值约为1～3m。

　　 根据以上数据,求出基础转动影响系数η₁、下支墩转动影响系数η₂、折减系数β的数值范围,见图6～8。

　　 分析图6～8可知:1)基础转动影响系数η₁随着隔震支座水平等效刚度k_h的增大而增大,随着下支墩高度l的增大而增大,一般工程中η₁约为0.006 9～0.123;2)下支墩转动影响系数η₂随着隔震支座水平等效刚度k_h的增大而减小,原因是随着隔震支座直径的增大,水平等效刚度k_h和下支墩的截面惯性矩I增大,但惯性矩I呈几何级数增加;下支墩转动影响系数η₂随着下支墩高度l的增大而增大,一般工程中η₂约为0.000 3～0.028 9;3)折减系数β随着隔震支座水平等效刚度k_h的增大而减小,随着下支墩高度l的增大而减小,一般工程中β约为0.884 7～0.992 1。

　　 以某工程为例,分析下支墩转动对隔震结构的影响。该工程抗震设防烈度8度(0.20g),第三组,Ⅲ类场地,场地特征周期0.65s。采用钢筋混凝土框架结构,结构阻尼比0.05,基础形式为独立基础。楼层数为4层,结构高度15.45m,宽25.60m,高宽比0.6。框架柱尺寸为(500～850)×(500～1 000),框架梁尺寸为(250～500)×(650～1 300),混凝土强度等级C30～C40,钢筋级别HRB400。本工程属于重点设防类建筑,结构布置三维图如图9所示。共使用了35个橡胶支座,其中铅芯橡胶支座共32个,直径为400,500,600mm,无铅芯橡胶支座共3个,直径为400mm,隔震支座平面布置如图10所示。

　　 利用ETABS软件的节点连接单元模拟隔震支座,采用图1的方式建模,并将隔震支座水平等效刚度k_h乘以不同的折减系数β,计算设防地震作用下结构的动力特性变化,计算数据如表2所示。

　　 分析表2可知:1)随着折减系数β的增大(隔震支座处水平刚度减小),结构的整体刚度减小,结构的振型周期延长,结构底部剪力减小,变化率约为2%～17%;结构的顶点位移几乎不变,原因为隔震支座以上的结构刚度没有变化且上部结构接近平动;2)结构动力特性的变化与隔震支座水平等效刚度的变化呈非线性关系,隔震支座水平等效刚度的折减系数β会二次折减后对上部结构的动力特性进行影响。

　　 假定隔震支座下部与大地刚接,隔震支座上部结构刚度为k_u,隔震支座水平等效刚度k_h与上部结构刚度k_u串联后的刚度为k=k_h/(1+k_h/k_u)。二次折减系数即为1/(1+k_h/k_u),当上部结构层数不多,可认为上部结构近似为刚体,折减系数β不进行二次折减。

　　 (1)折减系数β随着隔震支座水平等效刚度k_h、下支墩高度l的增大而减小。基础转动约束刚度的影响程度大于下支墩转动。

　　 (2)随着折减系数β的增大,结构的整体刚度减小,振型周期延长,底部剪力减小;但其变化与隔震支座水平等效刚度的变化呈非线性关系,折减系数β会二次折减后对上部结构的动力特性进行影响。

　　 当工程为一般地基土条件、基础形式为独立基础,折减系数β小于0.95(隔震支座直径大于600mm、下支墩高度大于2m,或隔震支座直径大于400mm、下支墩高度大于2.5m)时,应考虑下支墩的转动按实际情况建模或采用本文给出的计算方法对隔震支座水平刚度进行折减。