随着我国城市化进程的加快, 城市给水管网系统的规模越来越大, 伴随着产生一些问题:管网布局和规划有欠科学, 管网的调度管理及漏失控制等问题较为严峻^[1,2]。这些问题给管网管理运行带来了诸多不便, 同时造成了巨大的经济损失。为了实现管网的科学管理, 国内外研究学者提出了分区管理的概念, 分区管理模式主要有管理分区、压力分区 (Pressure Management Areas, PMAs) 和独立计量分区 (District Metered Areas, DMAs) 等。其中PMA通过对部分或全部管网的压力控制, 降低管网平均水压以降低漏失;而DMA管理模式通过主动检漏和漏损计量来控制管网漏失, 并先后在一些地区进行尝试和应用^[3,4,5]。

　　 DMA分区通过关闭管道上的阀门, 将管网划分为若干个相对独立的区域, 并在每个区域的进、出水管上安装流量计, 从而实现对各个区域进出流量的监测。对各个子区域进行水量监测, 可以更及时地发现管网漏失问题, 提高管网漏失监测的效率^[6], 同时提高管网维护管理工作效率和服务水平。在进行分区时, 应保证DMA的独立性和封闭性, 尽可能减少需要关闭的管段数目, 同时使关闭管段对管网运行的影响降到最小, 尽量避免形成死水区, 保障水质。

　　 合理的DMA分区是给水管网有效管理的基础。DMA发展至今, 部分学者对DMA分区方法进行了研究, 但尚不成熟^[7,8], 主要有经验法和计算法2种。经验法, 即结合DMA分区的原则, 考虑管网层次、行政边界、自然边界、用户数量等因素进行划分^[9,10,11]。该方法根据人的主观经验确定DMA边界, 对于小型分级明确的管网有较好的应用效果, 但对于大型复杂的环状管网, 经验法存在较大的局限性。首先, 合理的DMA规模难以确定, DMA规模过大时, 管网漏损的监测和控制效果较差;DMA规模过小时, DMA分区的安装及管理成本会大大增加。经验法在国外主要依据用户数量 (一般为500~5 000户) 确定DMA规模, 但鉴于国内外管网的形状及复杂程度的差异性较大, 该方法在国内的适用性尚待考证。其次, 经验法人为划定DMA边界, 确定分区间连接管道的开闭状态, 用水力模型进行校验, 这种方法对于拓扑结构简单的小型管网是适用的, 但随着管网规模的增大, 该方法的时间复杂度大大增加。最后, DMA模式意味着要适当关闭若干阀门, 破坏部分环状供水。对于大型复杂管网, 管网用水模式较为复杂, 经验法不能完全考虑到管网的水力运行条件, 难以合理地确定关闭阀门的位置及关闭阀门后管网运行性能, 对管网运行是不利的。

　　 鉴于经验法存在上述不足, 一些研究人员进行了计算分区方法的研究。计算分区方法基于图论原理构建管网的拓扑模型, 在模型中将管线交点、流量出入点等抽象为图的节点, 管段、水泵、阀门等组件抽象为图的边, 结合管网水力运行条件, 按照一定原则对管网拓扑图进行划分得到DMA分区方案。Sempewo^[12]以节点流量作为节点权重, 管段长度作为边的权重建立管网加权拓扑图, 利用METIS图划分软件将管网粗略地划分为等大小的分区, 同时最小化分区间连接管的数量, 以降低阀门安装费用。该方法对于节点流量分布不均的管网有一定的局限性。Herrera等^[13]利用节点聚类的原理, 以管径和标高差作为边的权值, 建立相似度矩阵, 利用谱聚类算法将相似度高的节点划分到同一分区, 完成DMA分区。该方法能快速地完成分区, 其权值设置反映了节点位置势能的波动, 有利于平衡分区内部的压力, 但难以反映分区后的供水可靠性。Diao等^[8]根据给水管网的特点 (如结构复杂、网络演化、动力学复杂性等) 和水力模型构建原则将给水管网抽象为复杂网络系统。利用复杂网络系统社区结构发现方法研究给水管网的社区结构 (即DMA) , 使社区内部联系紧密 (DMA内部管段数量的冗余度较高) 、区间联系稀疏。该方法对已知规划的案例进行了测试, 并取得了较好的效果。仅依靠管段数量冗余度衡量DMA的紧密程度, 虽有利于保障管网拓扑结构冗余度, 但并不能在水力性能上反映管网的可靠性。

　　 为了减少因DMA模式导致管网冗余度降低对管网供水可靠性的不利影响, 本文提出了节点间能量冗余差的概念, 并从机理上分析了其所反映的管网节点间的抗故障能力的差异性。从平衡管网节点能量冗余差的角度出发, 综合节点聚类和复杂网络社区结构的原理, 以节点间的能量冗余差作为相似度, 衡量节点间的紧密程度。利用谱聚类算法将相似度高的节点聚类到同一分区, 有利于提高管网的抗故障能力。

　　 给水管网DMA分区模型由2部分组成, DMA分区边界的划分和各分区进水管的选择。在进行DMA分区边界划分时, 将管网节点间的能量冗余差作为节点间的相似度, 根据相似度的大小对管网各节点进行聚类, 形成DMA分区边界。完成DMA分区边界划分后, 对各分区间的割边进行选择确定进水管。

　　 给水管网可靠性是指在规定的运行条件下、规定时间内保证用户所需水量水压要求^[14]。对于给水管网, 运行可靠性是很重要的, 而对给水管网进行DMA分区会降低管网的冗余度, 在一定程度上会降低供水可靠性, 为了保证分区后的供水安全, 在进行DMA分区时需要考虑管网的供水可靠性影响因素。供水可靠性影响因素包括机械因素和水力因素^[15], 在进行可靠性度量时很难将相关因素考虑周全, 但总的来说其度量途径有2个:保障用户所需和用户节点的实际可用水量水压 (或存在一定的富余能量) 。本文从保障用户所需水量水压 (或富余能量) 的角度出发进行DMA分区。

　　 对于一个确定的给水管网, 总能量一般由水源或泵站提供, 由3部分组成:有效能量, 保证最小服务水头所需能量, 包括节点位置水头所需势能和压力水头所需能量;克服水头损失所消耗的能量;未利用能量, 因用水点有水压剩余而保存的能量 (富余能量) ^[16]。如果在管网正常运行时预留一定的富余能量, 管网在发生一般故障时, 仍能利用现有的富余能量保障用户故障时的用水需求^[17]。但富余能量的分布不均会造成管网存在高压区和低压区, 影响供水可靠性。因此进行DMA分区时要保证各分区内部节点存在一定的富余能量, 同时分区内部的富余能量分布均匀。根据管网的拓扑关系可知, 管网各节点的能量通过管段传输, 下面对管段的输水能量进行分析。

　　 根据管段的能量方程可知:

　　 式中z_i、z_j———分别为管段两端节点i, j的标高, m;

　　 H_i、H_j———分别为管段两端节点i, j的压力水头, m;

　　 α_i、α_j———分别为节点i, i处的动能修正系数;

　　 v_i、v_j———分别为节点i, j处的流速, m/s;

　　 g———重力加速度, m/s²;

　　 h_ij———管段ij的水头损失, m。

　　 由式 (1) 可知, 对于一根管段, 其两端流速v_i、v_j相等, 因此式 (1) 可等价于:

　　 则任意两节点i, j间的富余能量的差值为:

　　 式中γ———水的重度, N/m³;

　　 q_ij———节点i, j间的管段流量, m³/s;

　　 H_{min, i}, H_{min, j}———分别为节点i, j的最小服务水压, m, 值为常数。

　　 由于局部水头损失和沿程水头损失相比, 其值较小, 故局部水头损失忽略不计。根据海曾-威廉 (H-W) 公式可知管段沿程水头损失与管段流量之间的关系:

　　 式中r_ij———管段的阻力系数;

　　 L_ij———管段ij的管长, m;

　　 C_ij———管段ij的海曾-威廉系数, m^0.38/s;

　　 D_ij———管段管径, m。

　　 由于H_min为常数, 且一般情况下, 认为各节点的最小服务水压相等, 故i, j两节点间的富余能量的差值由节点间的标高差及管段的水头损失决定, 定义ΔE_{surplus, ij}为两节点间的能量冗余差。将式 (4) 中的h_ij代入式 (3) 得:

　　 根据式 (5) 可知, 任意两节点间的能量冗余差ΔE_{surplus, ij}由两部分组成, 即两节点间的位置势能差ΔE_{gp, ij}和水头损失导致的阻力能耗E_{head loss, ij}。其中ΔE_{gp, ij}反映了节点间存储位置势能的差异性, E_{head loss, ij}反映了节点间能量传输的难易程度。对管网系统而言, 在不同节点间的存储能量能力差异较大的前提下, 当存储能力较大的节点发生故障时, 存储能力较小的节点难以补给故障节点, 此时系统的抗故障能力较差, 而当各节点的存储能量能力分布较均衡时, 系统的抗故障能力更强。同时, 当节点间的能量更容易传输时, 管网系统的抗故障能力更强, 因此任意两节点间的能量冗余差ΔE_{surplus, ij}反映两节点抗故障能力的差异性。

　　 在聚类研究中, 研究人员提出相似度的概念用于对节点进行聚类。基于1.1节部分的理论, 本文将节点间的能量冗余差作为节点间的相似度, 其值越小则节点间的相似度越大, 此时两节点抗故障能力越强。水源节点作为能量供给源头, 设某节点与水源节点直接相连时, 节点间的抗故障能力最强, 忽略两节点抗故障能力的差异性, 此时ΔE_{surplus, ij}为0, 节点当与水源节点直接相连时相似度值最大, 得到相似度为:

　　 式中w_ij———节点i和j间的相似度;

　　 maxΔE_surplus———所有管段ΔE_surplus的最大值;

　　 N———需水节点集合, N={N₁, N₂, …, N_N};

　　 N_N———需水节点数量;

　　 S———水源节点集合, S={S₁, S₂, …, S_S},

　　 S_S———水源节点数量。

　　 根据管网的拓扑结构, 得到其节点间的相似度矩阵A为:

　　 式中E———管网拓扑图中边的集合。

　　 基于节点能量冗余差的DMA边界模型求解完成后, 需要对分区间的割边进行选择确定进水管。结合PMA的思想, 其原则是在管网各节点压力满足压力要求时, 降低管网平均压力, 保证管网分区内压力分布的均衡性。故本文以分区内的节点压力标准差为目标函数, 建立DMA分区进水管选择模型。

　　 当各分区内部节点压力分布均匀时, 不存在局部高压或局部低压区域, 有利于提高管网的供水稳定性。分区内节点压力标准差PD可表示为:

　　 式中———分区内节点的平均水压, m。

　　 给水管网DMA分区进水管选择必须满足管网水力平衡约束条件。

　　 (1) 节点连续性方程:

　　 (2) 能量方程:

　　 (3) 压降方程:

　　 (4) 节点压力约束条件:

　　 式中B———关联矩阵;

　　 q———管段流量列向量;

　　 Q———节点流量列向量;

　　 L———回路矩阵;

　　 h———管段压降列向量;

　　 r———阻力系数;

　　 H_min———节点最小服务水压, m;

　　 H_max———节点最高允许水压, m。

　　 谱聚类算法建立在图论中的谱图划分理论基础上, 是一种基于两点间相似关系的聚类算法, 其本质是将聚类问题转化为图的最优划分问题^[18]。将单个样本数据等效为图中的顶点V, 依据样本间相似度将顶点间的边E赋权重w, 从而得到一个基于相似度的无向加权图G= (V, E) 。则在图G中, 即可将聚类问题转化为在图G上的图划分问题。图的最优划分准则是使得到的子图内部相似度最大, 子图间相似度最小。常见的图划分准则有最小割集准则、规范割集准则、比例割集准则等。而求解图划分准则的最优解是一个NP难问题 (non-deterministic polynomial hard, NP-hard) ^[19], 求解方法是考虑问题的连续放松形式, 将原问题转换成求解相似矩阵或Laplacian矩阵的谱分解。谱聚类算法的实现主要有以下步骤:

　　 (1) 构建能表示数据样本集关系属性的矩阵A, 并基于A和图划分准则建立图的Laplacian矩阵LA;

　　 (2) 求解LA的特征值和对应的特征向量, 选择前k个最小非零特征值对应的特征向量构建新的数据特征空间;

　　 (3) 利用K均值算法 (K-means) 对特征向量空间中的数据点进行聚类, 聚类结果映射到原数据空间。

　　 在完成DMA边界划分后, 设得到分区数目为k, 割边集合为C, 则C可表示为:

　　 式中i, j———分区索引;

　　 P_P———管段索引。

　　 由于割边的数量较少, 因此可采用遍历法进行求解。具体步骤如下:

　　 (1) 关闭集合C中所有管段。

　　 (2) 分别打开集合C中各个子集C_ij中的一根管段, 对管网进行水力计算得到管网各节点压力。若各节点压力均满足约束条件, 计算并存储各分区内的节点压力标准差PD;若节点压力不满足约束条件, 打开C_ij中的2根管段使节点压力满足要求, 关闭打开的管段。

　　 (3) 重复步骤2, 直至集合C中所有管段均被遍历为止。

　　 (4) 比较每次计算结果, 得到进水管选择的最优结果。

　　 本文采用文献[20]中的算例管网, 所有数据和单位均沿用原文。该管网有22个需水节点, 3个水源节点, 37根管段, 管段总长44.26km。管网各节点的最小服务水头为25m。管网中没有敷设阀门和加压泵站。为模拟实际管网中1天用水强度的变化, 原文引入低、中、高3种用水负荷条件, 分别作为3个水力步长下的用水强度, 以24h为计算周期, 水力步长为8h, 其他参数详见文献。

　　 DMA大小是规划的首要因素, 传统方法是根据用户数和管线长度确定, 该方法确定的分区个数往往具有较强的主观性, 在分区时需要不断调整大小使DMA满足水力运行条件。在实际的管网中, 由于管网的复杂性, 该方法操作起来较为困难, 耗时耗力。本文从经济和管网水力可靠性出发, 根据分区后的割边数量以及分区紧密系数以优化分区个数。分区紧密系数κ定义为:

　　 式中———分区内部各边能量冗余差的平均值;

　　 ———割边能量冗余差的平均值。

　　 割边数量在一定程度上决定了阀门和水表的安装费用, 因此应尽量减小割边的数量。根据分区紧密系数的定义可知, κ越小, 分区内部各节点间的能量冗余差越小, 分区的抗故障能量越强。

　　 分别选择不同的分区数目, 对不同分区数目下的割边数量和分区紧密系数κ (见图1) 分析可以发现, 当该管网分成2个DMA时, 割边数量和分区紧密系数同时达到最小, 故将该管网分为2个DMA。

　　 根据2.2节对确定边界后的管网进行进水管的选择, 得到较优的DMA分区方案为, 在11号管段安装水表, 5、10、12、18号管段安装阀门, 详见图2。对分区前后的管网进行水力计算, 得到管网需水节点的压力分布情况, 见表1。

　　 比较管网分区前后的压力标准差可知, 在各工况下, DMA分区后的管网压力标准差较分区前均明显减小, 可见, DMA分区后, 管网各节点的压力分布更均衡。

　　 为了验证该算法在较大管网中的应用, 本文选择Balerma Irrigation Network^[21]进行DMA分区, 该管网有447个节点, 其中443个需水节点, 4个水源节点, 共有454根管段, 该管网为单工况运行, 水力运行时间为1h, 其他数据详见文献[21]。对该管网进行DMA分区, 具体如图3所示。

　　 根据图3可知, 将管网分为3个DMA时, 割边数量最小为4, 而DMA个数为4时, 分区紧密系数最小, 割边数量为5, 本文从水力可靠性角度出发, 将该管网分为4个DMA, 其中DMA1中包含3个水源, 并通过2个计量水表与DMA4相连;DMA3种包含1个水源, 该水源通过水表同时向DMA2供水, 分区结果详见图4。

　　 计算管网分区前后的压力标准差, 得到分区前后的值分别为19.6、19.19。由此可知, 该分区结果对原管网的压力分布影响较小, 其原因主要是该管网结构多为枝状网, DMA分区需要割断的管段较少, 因此对原管网的压力影响较小。

　　 比较管网各需水节点在分区前后的压力及其标准差 (见图5) , 绝大部分节点在分区前后的节点压力变化较小, 不会形成死水区, 不会带来分区末端压力不足的问题。因此, 该分区方案是合理的。

　　 对于复杂的城市给水管网系统, 考虑到管网自身特点及水务公司技术、资金和管理水平等诸多因素的影响, 在进行DMA分区时, 很难快速准确地确定DMA边界及阀门和水表的安装位置。本文提出了基于管网节点间能量冗余差的管网分区方法, 结合管网的拓扑结构特点及水力运行信息, 从管网水力性能和DMA建设费用两方面考虑, 自动确定DMA边界。同时考虑PMA中压力控制的思想, 优化各分区内部压力来确定阀门和水表的安装位置, 完成DMA分区, 并利用2个案例管网验证了分区方法的有效性。该方法可以快速地完成DMA分区, 给水务公司的DMA分区决策工作提供辅助参考。