统计数据表明我国每年水泵的电能消耗占全国总电耗的21%以上。由于水厂通常是按照最大取水量及最大取水压力来设计水泵的流量及扬程进而选定水泵的，而实际取水时往往达不到设计条件，使得水泵实际运行工况偏离设计需要。大部分时间里，水泵没有在高效区运行，导致实际取水能耗偏高^[1,2]。此外，定期维护与保养不及时等原因也会导致水泵偏离正常情况工作或者零部件老化浪费大量电能^[3]，影响水厂电耗，不利于生产成本控制。

本文重点研究水厂取水泵组优化调度问题，通过对取水泵组建立优化调度数学模型并求解，获得更科学节能的调度方案，既保证满足用户的用水需求，又使能耗降低。

水泵的扬程本义是指泵的输出压力，即单位重量流体经泵所获得的能量。具体扬程并不能简单等于扬水高度。只有理解了这一点才能在水泵选型过程中做出正确选择。一般来说水泵扬程在所输送水的高度的1.15～1.20倍为宜。在选择水泵时，尽量让所需扬程与水泵铭牌上的扬程一致是比较合理的，偏差越小越好。扬程是决定水泵性能重要参数之一，水泵实际扬程特性曲线至关重要。

水泵扬程特性曲线方程采用不同的拟合方式获得的结果也不一样。常用二次函数进行拟合，表达式简洁、精度较高。但是经过试验验证，用指数函数来拟合泵的扬程特性曲线要比用二次函数拟合精度更高、更准确。

(1）二次函数拟合。额定转速n₀下泵的扬程特性为式（1）。

式中H———泵的扬程，m;

Q———泵的流量，m³/h;

H_x———流量Q等于零时H的值，定义为虚总扬程，m;

S_x———泵体内的虚阻系数。H_x,S_x对于特定的泵为常数。

当其转速下调时，H-Q曲线平行下移。若转速下调到n₁时，则H-Q特性曲线变为式（2）。

式中k———调速比，k=(n₁/n₀)²。

(2）指数函数拟合。在指数函数拟合的情况下，额定转速n₀下泵的扬程特性为式（3）。

式中a———公式系数，对于特定的泵a为常数。

对于泵的特性曲线来说，指数曲线形式拟合精度更高是因为泵内流场十分复杂，而二次抛物线仅相当于指数曲线省去了高次项的一种近似，难以描述泵内的流动损失。按照理论分析用二次函数拟合比指数函数拟合的精度要低，下面就通过实际计算结果来验证。以某型离心泵在高效区工作为例，下面是利用最小二乘法原理用二次函数和指数函数分别进行拟合的情况，两种拟合结果对比如表1所示。

由表1中数据明显可知，指数函数拟合精度比二次函数拟合精度高，更符合实际。在本文后续用于数学模型的公式如无特殊说明均用指数形式，因为其精度更高^[4]。

根据水泵的相似定律如式（4）～式（6）所示。

式中Q_N,H_N———某一额定转速下泵基本性能曲线上某点的流量和扬程。

由上面可得，在不同转速下水泵的流量—扬程性能曲线指数拟和形式表达式为式（7）。

额定转速n₀下泵的功率特性为式（8）。

当其转速下调到n₁时，N如式（9）所示。

相关技术人员通过对水泵特性曲线进行理论分析和实际工作情况的测定，在转速一定的情况下，每台泵都有特有的扬程特性曲线，通过这些曲线能够反映出这个水泵特有的工作能力^[5]。

管阻曲线：由水力学相关知识可知，当水流过用于输送水的管道时，必然会有管道水头的损失。其值用式（10）计算。

式中∑h_f———管道中摩阻损失之和；

∑h_l———管道中局部损失之和。

当管道网络整体已经完成固定后，管道长度，管道的直径D，比阻A，局部阻力系数ξ，它们都是己知数^[6]。

采用水利坡降（i）公式时，对于钢管计算如式（11）所示。

当钢管壁厚不是10mm时，要引入系数才能体现管阻的特性，这个修正参数就是k₁。对于铸铁管：∑h_f=∑iL。采用比阻（A）公式时，对于钢管：∑h_f=∑Ak₁k₃L Q_i²。其中k₃由管中平均流速小于1.2m/s引入的修正系数。k₁由钢管壁厚不等于10 mm引入的修正系数。对于铸铁管：∑h_f=∑Ak₃L Q_i²因此，采用比阻公式表示时可写为式（12）。

式中k为修正系数^[7]，出于表示的简洁，S用来表示：∑h=SQ²，用二次函数拟合的表达式为：H=H_ST+SQ²；同样由试验发现，对于泵管路阻力特性曲线来说，用指数曲线拟合的精度比用二次函数拟合的精度更高，表达式形式为式（13）。

式中H_ST为主汽调节阀前的主汽扬程，当机组是在扬程恒定的情况下工作时，H_ST为定值，当机组滑压运行时，H_ST随流量变化而改变；Se^cQ为介质从主管路进口到主汽调节阀前的阻力损失。

最小二乘法利用求解误差平方和的最小值得到实验数据的最匹配的拟合函数，被广泛运用到各个方面，用于优化处理数据。

回归模型如式（14）所示。

可得到式（15）。

求解平方损失函数的最小值就可以确定这条直线。具体方法如下：首先求解Q对2个自变量的偏导数。函数的极值就是偏导数等于0的点。

上面就是最小二乘法的求解步骤。

最小二乘法拟合：假如{（X_i,y_i）}（i=0,1,2，…，m）为一系列的观测数据，在函数类Φ中去求解p(X）∈Φ，让E²=∑[p(X_i)-y_i]²值最小。上面的原理几何意义上看，也即求解和数据点{（X_i,y_i）}（i=0,1,2，…，m）之间的距离的平方和为最小的曲线y=p(x）。函数p(x）就是要求解的拟合函数，上述过程被称做曲线拟合的最小二乘法。

最小二乘法用矩阵形式表示为：A^TAx=A^Tb，系数表示的意义如下：其中A是n*k,x是列向量，有k*1维度，b也是列向量，但维度是n*1，假设n>k的话，上面的式子就是矛盾方程组（Over Determined System），假设n<k的话，上面就是Under Determined System。

从某种角度看，上面的式子是解不出来的，但可以通过求min Ax-b，从而可以得到。但是也可以解A^TAx=A^Tb，可是解起来比较复杂。还有一种求解的方法是通过对矩阵A做QR分解（A=QR),Q表示n*k维度的正交矩阵（Orthonormal Matrix),R表示k*k维度上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）由此可得式（19）。

为了节约电能，应该从各个方面去进行改进，其中最可行的方法之一就是让多个泵并联，并联运行后，理论上水泵的扬程不变，流量是几台并联泵流量的总和。通过对并联泵组的合理设计和优化调度能够实现很好的节能效果，并且容易进行控制。

建模思想：此模型以满足扬程指标H_ST时的实际取水量Q与实际需求流量Q_e之差的绝对值作为目标函数，实际含义是管阻特性与各水泵扬程特性曲线的交点流量的相加得到流量总和。通过流量总和与实际需求流量Q_e相减，求绝对值得到目标函数，让其进行比较，若差值不大则说明达到了取水目标。

在进行模型建立之前先做几点说明：(1)假设有m台变速泵，n台定速泵；(2)目标函数用F表示；(3)ω_i，ω_j表示第i,j台泵的工作状态；(4)用二次函数拟合的表达式才能将公式表达式推导出来，如果用指数形式的表达式将无法求解出具体的表达式^[8]。

根据管阻特性公式和变速泵的扬程特性公式可以求出m台变速泵的流量总和如式（20）所示。

同理可以求出定速泵的流量和如式（21）所示。

由此可得目标函数表达式也即数学模型如式（22）所示。

约束条件为：S.T．α_i≤λ_i≤β_i

此模型存在不足是其目标函数与并联水泵的实际工况并不相符。它是将各水泵H-Q特性曲线与管阻特性交点的流量Q_i直接相加，并作为并联工作点的流量∑Q_i，但各交点的扬程并不相等。因此模型求解的结果精度并不高^[9,10]。

建模思想：(1)将取水指标（H_ST,Q_e）带入管阻特性，得到最佳工作点（H_e,Q_e);(2)将各水泵在H_e下的流量相加即可得到流量总和；(3)目标函数：

管阻特性为：H=H_ST+Se^cQ。

由此可得对于变速泵如式（23）所示。

对于定速泵如式（24）所示。

解上述的2个方程可以求出变速泵和定速泵的流量分别为式（25）、式（26）。

由上述公式可以求得数学模型如式（27）所示。

约束条件为：S.T．α_i≤λ_i≤β_i

此模型建立符合实际工况而且所用扬程特性精度更高。

以上建立的数学模型中既有离散变量，又有连续变量，比较复杂，可使用MATLAB软件计算求解。假设并联泵组由3台变速泵和3台定速泵组成，分别用二次函数及指数函数拟合，得到的拟合数据如表2、表3所示。

管阻特性表达式也可以用2种方法拟合：

(1）通过二次函数形式来进行拟合，可得到如式（28）所示。

(2）用指数函数拟合如式（29）所示。

假设取水指标为：（1 827,800）。

首先对改进数学模型进行同样的计算，改进数学模型所用的泵的数据和优化数学模型的数据只是拟合的方式不同，原始数据都是一样的，因此通过计算结果对比，可以发现指数函数拟合效果更好。

从2种模型建立思想来看，优化数学模型用的扬程特性公式精度更高，考虑了实际工况。通过求管阻特性和泵组特性曲线的交点，比较交点处流量值和取水指标的值的差值，若差值不大，说明调度结果很好。对改进数学模型和优化数学模型分别使用MATLAB计算，得到仿真图如图1、图2所示。

由图1放大可得到改进数学模型交点值为577，与800相差较大；由图2可知优化数学模型交点值为387+339=726，由此可知改进数学模型扬程特性公式虽然相对简洁，但不如优化数学模型计算结果精度高。

本文首先对水厂取水泵房泵组的节能进行了需求分析，在并联水泵运行优化调度问题的常用数学模型基础上，提出一种优化数学模型。该优化数学模型从并联水泵实际运行工况出发，以满足扬程指标时的实际流量与所需流量之差的绝对值作为目标函数，以水泵的高效区作为约束条件，不仅考虑了取水指标、水泵的效率、模型求解等实际工况问题，而且有较高的精度。