基于能量平衡的建筑结构抗震设计是理论上非常完备的设计方法。日本东京大学秋山宏教授 (Hiroshi Akiyama) ^[1]对基于能量平衡的抗震设计进行深入系统研究, 建立了完整的计算理论和设计方法, 在国际上具有重要影响。日本已将基于能量平衡的抗震设计方法作为与基于承载力和基于延性抗震设计方法并用的方法, 并写入日本建筑基准法《建筑物构造关系技术基准解说书》 (2015年版) ^[2] (简称基准法) 中。

　　 能量法可以通过预测地震响应, 大致确定隔震结构的地震反应。该方法可以确定地面运动水平、隔震建筑周期和阻尼器的减小响应程度三者之间的关系。通过能量法, 可以通过设置隔震层隔震器材的相关参数控制隔震层的最大剪力和最大位移, 并且在此基础上, 用时程分析方法进行详细计算。

　　 日本建筑学会《免震构造指针》 (2013年版) ^[3]指出, 能量谱与反应谱 (加速度谱、速度谱、位移谱) 一样都表示荷载作用到建筑上的反应。能量谱描述的是, 一个单自由度体系的结构, 总吸收的能量与结构周期T与阻尼比h的关系。

　　 能量谱中, 建筑总的吸收能量可以用等效速度V_E来表示:

　　 式中:E为总输入能量;M为结构总质量。

　　 在一次地震动下, 对于给定质量的结构, 结构的总输入能量是一个恒定的值, 只与结构的第一自然周期有关, 与结构的强度和刚度分配没有关系。简言之, 给定结构的地震动荷载反应可以从输入能量判断。如果设计能量谱确定了, 就可以预估结构的反应。

　　 根据秋山宏教授提出的理论, 能量谱与速度反应谱以及加速度反应谱的关系如下:

　　 式中:V_D (T) 为速度反应谱;V_E (T) 为能量谱;A (T) 为加速度反应谱;h为结构阻尼比。

　　 设计能量谱需要考虑水平地震动的两个方向的分量, 如下式所示:

　　 式中:E_NS (T) 为水平地震总能量在南北方向的分量;E_EW (T) 为水平地震总能量在东西方向的分量。

　　 设计能量谱用双线性模型表示, 如图1所示。当周期处于较小的范围内时, 等效速度V_E与周期T成线性关系;当周期大于某个值时, 等效速度变成恒量V_Em, V_Em与场地类别、断层的距离、假定的震中位置有关。同时, V_Em对于高层建筑以及隔震建筑还需考虑长周期地震动的影响, 以及地震动持续时间的影响。

　　 在基准法中, 描述了高层建筑物以及隔震建筑在地震作用下最大速度反应谱与能量谱的关系。

　　 首先, 在基准法中, 地震作用以层剪力系数C_i的形式给出:

　　 式中:Z为地震地域系数 (日本国土范围内取值为0.7~1.0) ;R_t为振动特性系数, 与结构自振周期与场地类别有关, 取值为0.25~1.0;A_i为沿高度方向的第i层剪力分布系数, 取值≥1;C₀为标准设计剪力系数, 取值为0.2 (中震, 结构对应弹性状态) , 1.0 (大震, 结构对应塑性状态) 。

　　 当Z取1, 取C₀=1.0, 用于计算大震时的保有水平耐力, 第一层的剪力分布系数A₁等于1.0, 根据式 (4) , 第一层的剪力系数C₁=R_t。结合式 (2) , 基准法中提出水平地震动等级由能量谱V_{E, BCJ}给出:

　　 基于损伤的能量谱换算值与速度反应谱相关。图2为基准法中以设计速度谱表示的能量谱。

　　 隔震能量法适用于在隔震层采用橡胶支座、液体阻尼器以及滞回型阻尼器的隔震结构。

　　 能量法的基本假定:隔震层的隔震器材吸收所有地震的能量, 上部结构不吸收能量。能量法的公式可以表示如下:

　　 式中:_fW_e为隔震垫的弹性应变能;_hW_d为液体阻尼器吸收的能量;_sW_d为滞回型阻尼器吸收的能量;E为建筑吸收地震动的总能量。

　　 对于隔震建筑, 已经提出了设计能量谱, 在一定的自振周期范围内等效速度V_E有恒定的值, 这个值由不同的场地土类别定义。

　　 日本Higashino以及Kitamura提出隔震器材的恢复力特性, 如图3所示。对于特殊类型的阻尼器, 例如, 高阻尼橡胶支座、铅芯橡胶支座, 可以根据图3近似地分解为一个弹性隔震垫、一个滞回型阻尼器和一个液体阻尼器。隔震器材各项参数说明如表1所示。

　　 隔震层的最大剪力为Q_iso, 最大变形为δ_m。隔震层的最大剪力系数α₁以及隔震垫的剪力系数α_f、液体阻尼器剪力系数α_h、滞回型阻尼器剪力系数α_s计算公式如下:

　　 隔震层没有设置阻尼器时, 定义隔震层的最大剪力系数为α₀以及最大位移为δ₀, 已知隔震层的自然周期T_f以及能量谱中的V_E计算公式:

　　 根据式 (7) , (8) , 可以得出每种隔震器材可以吸收的能量如下:

　　 式中:_hn为液体阻尼器在一次地震中的滞回次数;_sn为滞回型阻尼器在一次地震中的滞回次数。

　　 将式 (9) ~ (11) 代入式 (6) , 解出α_f/α₀:

　　 考虑液体阻尼器与隔震垫的剪力相位差, 隔震层的最大剪力系数α₁可用下式计算:

　　 整合式 (12) 以及式 (13) , 可以得出隔震层最大剪力系数α₁的计算公式 (式 (14) ) :

　　 阻尼比可以用式 (15) 计算:

　　 隔震层的最大剪力系数α₁和最大位移δ_m可以由式 (16) 及式 (17) 求出:

　　 (1) 当仅设置滞回型阻尼器 (α_h=0) 时

　　 即在式 (16) 和式 (17) 中h=0。假定_sn=2, 即假定滞回型阻尼器在一次地震中滞回两周吸收能量。计算可得, 当滞回型阻尼器的隔震系数α_s=1.42V_E/T_fg时, 隔震层的最大剪力系数α₁具有最小值。

　　 (2) 当仅设置液体阻尼器 (α_s=0) 时

　　 即在式 (16) 和式 (17) 中α_s=0。假定_sn=2, 即假定液体阻尼器在一次地震中滞回两周吸收能量。计算可得, 当液体阻尼器的阻尼比h=0.46时, 隔震层的最大剪力系数α₁具有最小值。

　　 (3) 当滞回型阻尼器与液体阻尼器并用时

　　 基于响应预测公式 (式 (14) ) 描述了滞回型和液体阻尼器组合使用的效果。结果表明, 隔震建筑物地震隔震水平α₁/α₀一般为0.4以上, 通过调节阻尼器, 地震隔震水平的剪力响应最大降低约60%。

　　 可以通过上述公式计算, 找出隔震层的最优布置。当滞回型阻尼器的屈服剪力系数为0≤α_s≤0.3α₀时, 隔震层最大剪力系数α₁有最优值。但是, 当0.4α₀≤α_s时, 最大剪切力系数α₁单调增加, 这种情况下, 结合使用液体阻尼器和滞回型阻尼器的效果不好。而当液体阻尼器的剪力系数为0≤α_h≤0.2α₀时, 地震隔离层的最大剪力系数α₁有最优值。

　　 日本明治大学理工学部建筑学科小林正人、洪忠憙^[4]提出了用能量法计算层间隔震结构地震预测的设计方法, 本方法适用于橡胶支座与滞回型阻尼器组合使用的隔震建筑。图4为层间隔震恢复力模型。中间层隔震建筑用2质点体系模拟, 如图5所示。

　　 地震输入的能量由三部分吸收:上部结构以及下部结构弹性振动吸收能量、免震层阻尼器吸收能量、下部结构阻尼吸收能量。用公式可以表达为:

　　 式中:W_e为上部结构以及下部结构弹性振动总能量, W_e=_uW_e+_lW_e;W_a为隔震层滞回型阻尼器吸收的能量;_lW_h为下部结构阻尼吸收的能量;E为水平地震作用的总能量。

　　 假定上部结构与下部结构的质量比μ以及周期比β如下:

　　 (1) 隔震层无阻尼器的情况

　　 当隔震层没有阻尼器的时候, 定义隔震层的最大剪力系数为α₀以及最大位移为δ₀, 下部结构第一层最大剪力系数为_lα₀, 计算公式如下:

　　 式中V_E为水平地震作用的等效速度。

　　 (2) 考虑下部结构阻尼的情况

　　 当考虑下部结构阻尼的时候, 定义隔震层的最大剪力系数为α_e以及最大位移为δ_e, 下部结构第一层最大剪力系数为_lα_e, 则有:

　　 式中:为有阻尼时 (V_D/V_E) ²的平均值, 其中V_D为与E_D (E_D=E-_lW_h) 相对应的速度换算值;C为V_D平均化系数, 取值5;h_l为下部结构的阻尼比;n_l为下部结构等价回转数, 取值2.5。

　　 (3) 同时考虑隔震层阻尼以及下部结构阻尼比的情况, 计算公式见式 (23) ~ (27) 。

　　 其中:

　　 式中:α, δ_m, _lα分别为当考虑隔震层阻尼以及下部结构阻尼时隔震层的最大剪力系数、隔震层的最大位移、下部结构第一层的最大剪力系数;₁α_e为阻尼器效果系数, ₁α_e=8 (α_s/α_e) ;α_f为橡胶支座的最大剪力系数;α_s为阻尼器屈服剪力系数;r_q为最大反应时剪力比;α_n为等价回转数增加率, α_n= (3+2μ) / (2+2μ) 。

　　 中国国内规范中, 目前没有适用于能量法的设计规定。现根据《建筑抗震设计规范》 (GB 50011—2010) ^[5] (简称《抗规》) 中关于建筑结构地震影响系数曲线的规定和反应谱转换的理论, 提出适用于国内的能量平衡设计法, 并用时程分析进行验证。

　　 《抗规》指出, 中国规范所采用的设计反应谱以地震影响系数曲线 (阻尼比5%) 的形式给出。《抗规》规定的设计反应谱如图6所示。

　　 根据文献[6], 当阻尼比较小时, 加速度反应谱、速度反应谱以及位移反应谱的关系如下:

　　 式中:S_A为加速度反应谱;S_v为速度反应谱;S_D为位移反应谱;ω为结构的圆频率;T为结构的基本周期。

　　 对于隔震建筑, 隔震层阻尼比往往非常高, 有可能达到30%以上, 式 (28) 的转换关系可能不成立。日本东京大学秋山宏 (Hiroshi Akiyama) 教授指出, 高阻尼只会导致波谱变平, 而波峰值不变, 而设计反应谱不用建筑周期所对应的反应峰值, 因此, 加速度、速度以及位移反应谱仍可以按照式 (28) 转换, 同时需要考虑阻尼增加带来的反应谱折减。

　　 日本东京工业大学竹内徹 (Takeuchi Toru) 教授根据已有能量谱研究成果, 建议用于能量法的速度反应取阻尼比为2%下的速度反应。

　　 某上海工程为12层钢筋混凝土框剪结构。无地下室。地上第三层设置隔震层, 隔震层上部结构平面布置图见图7。《抗规》设计流程图如图8所示。按照能量法对隔震层进行初步布置。

　　 上海的设计加速度反应谱见图9。按照《抗规》对阻尼进行调整, 并把加速度反应谱转化为速度反应谱 (图10) 。

　　 (1) 建筑基本参数 (非隔震模型) 详见表2。下部结构刚度根据下部结构两层的串联刚度求出:

　　 式中k_l1, k_l2分别为下部结构第一层和第二层层剪力与层位移比值。

　　 隔震设计参数如表3所示。

　　 (2) 根据重力荷载代表值选择橡胶支座。表4为隔震支座重力荷载代表值下的面压。由表4可知, 支座布置长期压应力满足设计要求。

　　 (1) 按基础隔震设计

　　 采用直径为800mm的天然橡胶隔震垫+直径为1 000mm天然橡胶隔震垫+铅阻尼器。橡胶隔震支座的参数详见表5。

　　 根据图9以及T_f=3.35, V_E=0.926m/s。可得:α_s=1.42V_E/T_fg=1.42×0.926/ (3.35×9.8) =0.040, n=_sQ_m/220=α_s×Mg/220=0.040×78 870/220=14.3。

　　 根据上文计算结果, 当α_s取0.04, α₁可以取最小值, 需要铅阻尼器 (屈服力220k N) 15个。

　　 根据式 (14) 以及α_h=0, _sn=2可得:

　　 根据式 (7) , 可以得出:

　　 式中:k_f为橡胶支座的刚度, k_f=27 760k N/m。

　　 由上文可知, 隔震层的剪力为6 783k N, 隔震层的位移为0.125m。

　　 (2) 层间隔震设计

　　 隔震层没有阻尼器时:

　　 考虑下部结构阻尼时:

　　 同时考虑隔震层阻尼以及下部结构阻尼比的情况:

　　 隔震层的层间剪力Q计算如下:

　　 (1) 地震波

　　 根据《抗规》, 地震参数按照7度 (0.1g) 取值, 罕遇地震基本地震参数如表6所示。

　　 从地震动三要素 (峰值、持时、频谱) 出发, 按《抗规》规定选用适用于IV类场地的5组实际强震记录 (Chi-Chi, Taiwan-03_NO_2467-SW;Chi-Chi, Taiwan-03_NO_2499-SW;Imperial Valley-06_NO_185-PW;Loma Prieta_NO_760-PW;Superstition Hills-02_NO_728-SW。分别简写为2467, 2499, 185, 760, Super) 和2组人工波 (简称为RG2, RG3) , 进行结构地震反应分析。7条地震波的平均反应谱与规范反应谱曲线在统计意义上相符。基底剪力对比结果如表7所示。

　　 由表7可知, 所选7条波满足《抗规》第5.1.2条, 每条时程曲线计算所得结构底部剪力不小于振型分解反应谱计算结果的65%, 多条时程曲线计算所得结构底部剪力的平均值不小于振型分解反应谱法计算结果的80%。

　　 (2) 隔震层位移 (数据来源于支座的位移值)

　　 表8为时程分析得到的隔震层最大位移值。根据时程分析结果, 隔震层的最大水平位移平均值与能量法的计算结果可以取得比较好的一致。

　　 (1) 介绍了日本能量法在基础隔震设计中的应用:当隔震层由隔震垫、液体阻尼器以及滞回型阻尼器组成时, 可以通过能量法求出隔震层的最优布置。

　　 (2) 介绍了日本能量法在层间隔震设计中的应用:当隔震层由隔震垫以及滞回型阻尼器组成时, 可以通过能量法进行层间隔震层最优布置。

　　 (3) 将《抗规》设计加速度反应谱转化为适用于能量法的速度反应谱, 并用能量法对上海一个实际工程进行隔震布置, 并用时程分析方法进行验证。时程分析的结果与能量法的结果吻合较好。