对于结构和构件的稳定性验算和分析, 各规范根据不同材料、截面形式、结构形式等, 或基于理论, 或基于经验, 给出了不同的计算公式。另一方面, 真实结构和构件由于具有几何缺陷和物理缺陷, 其失稳形式表现为极值点失稳。因此在结构设计时, 要考虑初始缺陷及双非线性 (几何非线性和材料非线性) , 得到结构整体稳定的临界荷载。不同的建筑, 虽然材料和结构形式不同, 但基本的设计思想理应是同根同源。从这一角度而言, 对不同种类建筑的稳定性分析是否也应当统一, 值得探讨。

　　 对此, 本文将中国、美国、欧洲、中国香港地区现有的各规范中对于稳定性设计的二阶分析方法进行归纳综述, 同时, 对各规范中明确规定的或暗含的屈曲因子η_cr (整体结构最低阶弹性临界荷载与荷载设计值的比值, 其值也等于二阶效应系数θ的倒数, 即η_cr=1/θ) 的最低限值进行比较, 进而明确各规范对于稳定性设计的基本要求, 为下一步讨论稳定性设计方法在理念上的统一进行探索。

　　 本文研究对象包括:《钢结构设计规范》 (GB50017—2003) ^[1] (简称中国钢规) , 《高层建筑混凝土结构技术规程》 (JGJ 3—2010) ^[2] (简称中国高混规) , 《高层民用建筑钢结构技术规程》 (JGJ 99—2015) ^[3] (简称中国高钢规) , 《空间网格结构技术规程》 (JGJ 7—2010) ^[4] (简称中国空规) , 《拱形钢结构技术规程》 (JGJ/T 249—2011) ^[5] (简称中国拱规) , 《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) ^[6] (2015年版) (简称中国混规) , 美国建筑混凝土结构设计规范ACI 318-14^[7] (简称美国混规) , 美国建筑钢结构设计规范ANSI/AISC 360-16^[8] (简称美国钢规) , 美国结构设计荷载规范ASCE/SEI 07-10^[9] (简称美国荷载规范) , 欧洲钢结构设计规范Eurocode-3 (2005版) ^[10] (简称欧洲钢规) , 欧洲结构抗震设计规范Eurocode-8 (2004版) ^[11] (简称欧洲抗规) , 香港钢结构作业守则HKSC 2011^[12] (简称中国香港钢规) , 《钢结构设计标准》 (GB 50017—2017) ^[13] (简称中国钢标) 。

　　 本节内容为中国钢规对于稳定性设计所采用的计算长度法的相关规定。为保证对此设计方法阐述的完整性, 本节也会引入中国钢标对于该设计方法的补充规定。而在本文第1.13节中国钢标的阐述中, 则侧重于对二阶分析方法的介绍。

　　 中国钢规对于两个主平面内受弯的H型钢截面或工字形截面构件, 给出了如式 (1) 所示的整体稳定性计算方法, 详见中国钢规第4.2.3条。

　　 式中:M_x, M_y分别为同一截面处绕X轴和Y轴的弯矩 (对工字形截面:X轴为强轴, Y轴为弱轴) ;W_x, W_y分别为按受压纤维确定的对X轴和对Y轴的毛截面模量;φ_b为绕强轴弯曲所确定的梁整体稳定系数;γ_y为截面塑性发展系数;f为钢材的抗弯强度设计值。

　　 中国钢规指出, 式 (1) 是经验公式。该公式左侧第一项中的梁整体稳定系数φ_b考虑了梁绕强轴弯曲时可能在弹塑性工作阶段发生整体失稳的情况;而第二项分母中引入的截面塑性发展系数γ_y并不意味着梁绕弱轴弯曲出现塑性, 而是为了适当降低第二项的影响, 并使该公式从形式上与绕双轴受弯的实腹构件抗弯强度计算公式 (式 (2) ) 以及绕强轴受弯构件的整体稳定性计算公式 (式 (3) ) 一致。

　　 式中:W_nx, W_ny分别为对X轴和对Y轴的净截面模量;γ_x, γ_y分别为绕X轴、Y轴的截面塑性发展系数。

　　 对于轴心受压构件的稳定计算, 中国钢规给出了如式 (4) 所示的计算方法, 详见中国钢规第5.1.2条。

　　 式中:N为所计算构件段范围内的轴心压力;φ为轴心受压构件的稳定系数 (取截面两主轴稳定系数中的较小者) , 根据构件长细比、钢材屈服强度和截面分类进行取值;A为毛截面面积。

　　 根据其失稳的三种形式 (弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳) , 中国钢规及中国钢标给出了各自对应的长细比计算公式。当计算弯曲屈曲时, 长细比λ_z按中国钢规式 (5.1.2-2) 进行计算。当计算扭转屈曲时, 长细比λ_z按式 (5) 进行计算, 详见中国钢标式 (7.2.2-3) 。

　　 式中:λ_z为扭转屈曲换算长细比;I₀为构件毛截面对剪心的极惯性矩;I_t为构件毛截面对剪心的自由扭转;I_w为构件毛截面对剪心的扇性惯性矩, 对十字形截面可近似取I_w=0;l_w为扭转屈曲的计算长度, 两端铰支且端截面可自由翘曲者, 取几何长度l, 两端嵌固且端部截面的翘曲完全受到约束者, 取0.5l。

　　 计算弯扭屈曲时 (单轴对称截面) , 对于绕非对称轴的弯曲屈曲, 长细比λ_yz按照中国钢规式 (5.1.2-2) 确定。根据中国钢标, 对于绕对称主轴的弯扭屈曲, 长细比按式 (6) 计算确定, 详见中国钢标式 (7.2.2-4) 。

　　 式中:y_s为截面形心至剪心的距离;i₀为截面对剪心的极回转半径, 单轴对称截面i₀²=y_s²+i_x²+i_y²;λ_y为杆件绕Y轴的长细比;i_x, i_y分别为构件截面对X轴、Y轴的回转半径。

　　 弯矩作用在对称轴平面内 (绕X轴) 的实腹式压弯构件, 其稳定性按中国钢规式 (5.2.2-1) 计算。该式来自于经验公式 (式 (7) ) :

　　 式中:N_p为无弯矩作用时, 全截面屈服的承载力极限值;M_p为全塑性弯矩;N_E为欧拉临界力;e₀为杆件原始缺陷的参数, 包括初弯曲、初偏心以及残余应力的不利作用。

　　 式 (7) 是杆件在承受轴力N与弯矩M_x共同作用并同时考虑杆件初始缺陷e₀条件下的两端铰支压弯杆件的平面内稳定计算关系式。进一步地, 考虑杆件两端承受不同弯矩以及承受横向荷载等情况下的压弯杆件内弯矩变化对平面内稳定性的影响, 引入等效弯矩系数β_mx并进行合理修正之后即得到中国钢规式 (5.2.2-1) 。由此可见, 中国钢规中的压弯构件稳定性计算式是基于考虑材料弹塑性的最大强度理论, 并同时考虑了杆件初始缺陷及几何非线性的整体稳定性计算公式。

　　 另一方面, 对于弯矩作用平面外的稳定性, 按中国钢规式 (5.2.2-3) 进行计算。该式基于弹性范围内弯扭屈曲的临界荷载公式 (式 (8) ) :

　　 式中:N_y为欧拉临界力;N_φ为扭转屈曲临界力;M_cr为纯弯曲梁的临界弯矩;M为所计算构件段内的最大弯矩。

　　 对于热轧工形、H形构件和焊接工形构件, 欧拉临界力N_y小于N_φ。分析后可得知, 在弹性阶段和弹塑性阶段, 采用直线关系式 (9) 均偏于安全^[14]。

　　 式中M₀为梁的非弹性临界弯矩。

　　 进一步, 考虑弯矩变化的影响, 引入等效弯矩系数β_tx, 再考虑抗力分项系数, 即得到中国钢规式 (5.2.2-3) 。

　　 综合上述设计规定可以看出, 中国钢规对于钢结构的整体稳定是以杆件的整体稳定作保证, 即以结构的第一失稳点 (第一个失稳杆件) 作为结构的稳定承载力。

　　 中国高混规第5.4.4节对于高层建筑结构的整体稳定性验算给出了如下规定:

　　 (1) 对于剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构应符合式 (10) 的要求。

　　 式中:G_i为第i楼层重力荷载设计值, 取1.2倍的永久荷载标准值与1.4倍的楼面可变荷载标准值的组合值;H为房屋高度;EJ_d为结构一个主轴方向的弹性等效侧向刚度, 可按倒三角形分布荷载作用下结构顶点位移相等的原则, 将结构的侧向刚度折算为竖向悬臂受弯构件的等效侧向刚度。

　　 (2) 框架结构应符合式 (11) 的要求。

　　 式中:G_j为第j楼层重力荷载设计值, 取1.2倍的永久荷载标准值与1.4倍的楼面可变荷载标准值的组合值;D_i为第i楼层的抗侧刚度, 可取该层剪力与层间位移的比值;h_i为第i楼层的层高。

　　 中国高混规指出:对于高层建筑而言, 结构侧移和重力荷载引起的P-Δ效应较为明显, 分析结果表明, 当结构的刚重比满足式 (10) 与式 (11) 的要求时, 考虑混凝土开裂刚度折减50%, 重力P-Δ效应可以控制在20%以内;若刚重比进一步减小, 则重力P-Δ效应会呈非线性关系急剧增长。然而, 以框架结构为例, 根据式 (12) ^[15]推导而得的二阶效应计算式 (式 (13) ) , 若考虑混凝土开裂刚度折减50%, 即刚重比折减为5, 重力P-Δ效应实为25%, 超过规范期望的20%。

　　 式中:δ_i^*为第i楼层考虑重力二阶效应后的侧移;δ_i为第i楼层由水平荷载产生的一阶侧移。

　　 由框架结构临界荷载公式P_{i, cr}=D_ih_i可知, 考虑混凝土刚度折减50%的情况下, 刚重比为5, 此时暗含的极限承载力与荷载设计值的比值为5, 即屈曲因子为5。

　　 另一方面, 由式 (10) 与式 (11) 可以看出, 中国高混规对于剪力墙结构、筒体结构等弯剪型结构, 结构的整体稳定性是以结构整体的刚重比作保证;而对于框架结构这样的剪切型结构, 结构的整体稳定性是以结构的某层柱的失稳作为结构的稳定承载力。

　　 与中国高混规相似, 中国高钢规对于高层弯剪型结构和剪切型结构的整体稳定性验算给出了如下规定。

　　 (1) 对于剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构应符合式 (14) 的要求。

　　 (2) 框架结构应符合式 (15) 的要求。

　　 中国高钢规的条文说明指出, 当民用高层钢结构在水平力作用下, 为控制重力P-Δ效应不超过20%, 刚重比需满足式 (14) 和式 (15) 的要求。而这一点与中国高混规相同, 由式 (13) 可知, 重力P-Δ效应实为25%, 超过规范期望的20%。

　　 另一方面, 与中国高混规类似, 对于弯剪型结构, 结构的整体稳定性是以结构整体的刚重比作保证;而对于剪切型结构, 结构的整体稳定性是以结构的某层柱的失稳作为结构的稳定承载力。

　　 由于中国高钢规的稳定性公式相当于将中国高混规的刚重比最小限值折减50%。因此, 中国高钢规中暗含的屈曲因子最小限值也是5。

　　 中国高混规采用50%的刚度折减可能过多地考虑了混凝土的开裂, 而中国高钢规未考虑钢材可能的实际屈服, 因此, 相比直接参考中国高混规的公式, 中国高钢规的公式就显得偏于不安全。

　　 中国空规规定, 对于空间网格结构, 可采用有限元法进行整体稳定性和极限承载力的分析计算。

　　 对于球面网壳可按满跨均布荷载, 对于圆柱面网壳和椭圆抛物面网壳应考虑满跨均布和半跨活荷载分布。这是因为大量算例分析表明:半跨分布的活载对球面网壳的稳定性承载力无不利影响, 但对圆柱面网壳和椭圆抛物面网壳影响较大。

　　 另外, 中国空规考虑到杆件的初始几何缺陷对网壳的稳定性承载力的影响, 规定进行网壳全过程分析时应考虑初始几何缺陷, 可采用结构的最低阶屈曲模态, 并将缺陷最大值取网壳跨度的1/300。这是因为当初始几何缺陷按最低阶屈曲模态分布时, 求得的稳定性承载力是可能的最不利值;而当缺陷达到跨度的1/300左右时才会对稳定性承载力有充分影响。

　　 在此基础上, 通过有限元软件采用弧长法求解网壳稳定性承载力, 并将其除以安全系数K求得网壳稳定的容许承载力。其中, 当按弹性全过程分析、且为单层球面网壳、柱面网壳和椭圆抛物面网壳时, 安全系数K可取为4.2;当按弹塑性全过程分析时, 安全系数K可取为2.0。安全系数K的取值是考虑了荷载等外部作用和结构抗力的不确定性可能带来的不利影响以及复杂结构稳定性分析中可能的不精确性和结构工作条件中的其他不利因素。

　　 中国空规通过考虑结构的整体初始缺陷, 采用单非线性或双非线性进行结构的有限元极限承载力分析。在这一方面, 它比中国高钢规和中国高混规在结构稳定性分析的理论上更进了一步。另外, 中国空规将单非线性分析下的安全系数K规定为4.2, 但K为临界荷载与荷载标准值的比值, 考虑到荷载设计值为“1.2×恒荷载+1.4×活荷载”, 约相当于“1.25×等效静荷载”, 加入荷载设计值的扩大系数1.25, 可知中国空规暗含单非线性分析下的屈曲因子为4.2/1.25=3.36, 但其包括了初始缺陷1/300的影响。

　　 由于对截面与轴线变化复杂的拱形钢结构, 目前尚无可供设计使用的简化设计方法, 故中国拱规对于变截面、轴线形状复杂以及重要的拱形钢结构, 推荐按照有限元分析方法进行计算。

　　 其中, 对于平面内整体稳定承载力的有限元分析计算, 初始几何缺陷的分布形式取拱平面内最低阶整体屈曲模态, 缺陷幅值参考了德国DIN 18800-Ⅱ提供的数值, 其综合考虑了几何初始缺陷和残余应力的影响。采用弹塑性全过程有限元分析方法计算拱形钢结构的极限承载力时, 与中国空规类似, 中国拱规对安全系数K的取值也是2.0。

　　 另一方面, 对于拱形钢结构平面外稳定承载力的有限元分析计算, 初始几何缺陷的分布形式可同时取拱平面内与平面外的最低阶整体屈曲模态, 面内缺陷幅值与平面内整体稳定承载力计算时的取值相同, 面外缺陷按面外屈曲波长的1/750取值。综合考虑安全系数K取2.0。

　　 中国拱规对于仅考虑几何非线性的稳定性分析未做规定。

　　 中国混规以矩形截面偏心受压构件为例, 正截面受压承载力应符合中国混规第6.2.17条的要求。

　　 中国混规第5.3.4条规定当结构的二阶效应可能使作用效应显著增大时, 在结构分析中应考虑二阶效应的不利影响。

　　 对混凝土结构的P-Δ效应, 推荐采用有限元分析方法计算;也可采用规范附录B的弯矩扩大法来考虑P-Δ效应。

　　 而对于P-δ效应, 中国混规要求先通过第6.2.3条判断是否考虑P-δ效应。即对于弯矩作用平面内截面对称的偏心受压构件, 当同一主轴方向的杆端弯矩比M₁/M₂不大于0.9且轴压比不大于0.9时, 若构件的长细比满足规范式 (6.2.3) 的要求, 则可不考虑P-δ效应;否则应根据条文第6.2.4条考虑P-δ效应。应当指出的是, 条文第6.2.3条中的l_c虽名为构件的计算长度, 但可近似取为构件的几何长度, 是因为该条文仅考虑P-δ效应而不考虑P-Δ效应。

　　 另外, 中国混规指出, 本节给出的在偏压构件中考虑P-δ效应的C_m-η_ns法, 基本思路与美国混规所用方法相同。这一点在第1.7节中将有所体现。

　　 由此, 对于排架结构柱之外的普通结构而言, 偏心受压构件应通过上述方法考虑P-Δ效应与P-δ效应。

　　 对于排架结构柱, 附录B.0.4给出了考虑二阶效应的弯矩设计值计算方法。这一计算方法, 实际上同时考虑了P-δ效应与P-Δ效应:从公式的形式上看, 其从曲率的角度, 考虑了P-δ效应;而对于排架柱计算长度l₀的取值, 则包含了对于P-Δ效应的考虑。与之相对的普通结构柱公式中的l_c, 则近似取为构件几何长度, 未考虑P-Δ效应。

　　 对比排架结构柱与普通结构柱的二阶弯矩设计值计算公式可以看出, 两者形式虽几乎相同, 但考虑的范围是不同的。然而, 同样是压弯构件, 设计原理应存在共通性, 理应统一排架结构柱与普通结构柱对于二阶弯矩的计算方法。

　　 对钢筋混凝土轴心受压构件, 中国混规规定当配置的箍筋符合第9.3节的规定时, 其正截面受压承载力应符合第6.2.15条的规定。可见钢筋混凝土轴心受压构件是通过稳定系数来考虑整体稳定的, 而稳定系数取决于中国混规第6.2.20条规定的有效长度。相比之下, 压弯构件则是在考虑P-Δ效应的条件下直接采用构件几何长度作为计算长度。对于轴心受压构件, 尽管中国混规在02年版混规公式的基础上, 通过在公式右端乘以系数0.9, 以保持与偏心受压构件正截面承载力计算有相近的可靠度。但毕竟两类构件计算方式有所不同, 仍然存在公式不闭合的情况。

　　 综合本节内容可知, 中国混规对普通结构柱与排架结构柱的压弯采取不同的公式, 是今后应改进之处;中国混规对于轴心受压构件和压弯构件的承载力计算方法有所不同, 这将引起两类公式不闭合, 也是下一步值得探讨和改进的地方。

　　 由于中国混规在稳定性设计方面大量参考了美国混规, 在此有必要对美国混规进行介绍。

　　 美国混规在结构的稳定性设计上包含以下几个方面:1) 一阶分析 (考虑开裂和徐变) ;2) 二阶弹性分析 (考虑开裂和徐变) ;3) 二阶弹塑性分析;4) 有限元分析。

　　 美国混规指出, 对于柱的柔性效应, 首先通过美国混规第6.2.5条 (式 (16) , (17) ) 判断是否可以忽视柔性效应。

　　 对于有侧移柱:

　　 对于无侧移柱:

　　 式中:r为回转半径;kl_u为柱的有效长度;M₁, M₂均为柱端弯矩, M₁<M₂, 同曲率取负, 反曲率取正。

　　 可见, 式 (16) , (17) 与中国混规第6.2.3条是等价的。

　　 对于可忽视柔性效应的柱, 只需进行一阶分析;而对于不可忽视柔性效应的柱, 要根据该柱是否为无侧移柱进行分别讨论。判断柱是否为无侧移柱的标准在美国混规第6.2.5条及第6.6.4.3条。第6.2.5条指出, 若抵抗层间侧向位移的支撑构件的整体刚度达到柱所考虑方向上整体刚度的12倍, 即可看做柱在该层无侧向位移;另外, 第6.6.4.3条指出, 若可以满足下列情况1) 或2) , 柱和楼层可按照无侧移框架进行分析:1) 柱端由二阶效应产生的弯矩增长不超过一阶杆端弯矩的5%;2) 楼层稳定指标Q不超过0.05, 即式 (18) 中Q满足不超过0.05。

　　 式中:∑P_u为总轴向压力设计值;V_us为水平层间剪力;Δ_o为由V_us产生的层顶和层底之间一阶相对侧向偏移角;l_c为受压构件上下连接点中心之间的距离。

　　 根据上述条件判断该柱是否作为无侧移柱分析, 若为无侧移柱, 则只需根据美国混规第6.6.4.1条由第6.6.4.5条的弯矩放大法来考虑P-δ二阶弯矩。

　　 若为有侧移柱, 则先根据美国混规第6.6.4.6条考虑柱端柔性效应P-Δ, 或者依照第6.7节进行二阶弹性分析和第6.8节进行二阶弹塑性分析。

　　 对于柱端柔性效应P-Δ的分析, 美国混规同时提出了可采用二阶弹性分析或二阶弹塑性分析的分析方法。

　　 若以结构原始不变形位置满足来平衡方程, P-Δ效应采用放大柱端侧移弯矩方法来考虑一阶弹性分析;二阶弹性分析是以结构变形后的位置满足平衡方程来考虑P-Δ效应, 同时, 二阶弹性分析假定结构为弹性, 开裂和徐变效应采用折减刚度EI加以考虑。而结构的二阶弹塑性分析则是考虑了材料非线性和几何非线性的二阶分析。

　　 考虑P-Δ效应之后, 要考虑P-δ效应, 同样是采用美国混规第6.6.4.5条进行弯矩放大。进一步, 在考虑P-δ效应之后, 要验算二阶弯矩较一阶弯矩的扩大倍数是否超过1.4, 若超过1.4则需重新设计结构。过大的二阶效应容易导致结构失稳, 故美国混规对其进行了限制。若二阶弯矩不超过一阶弯矩的1.4倍, 则采用二阶弯矩对柱进行设计。

　　 对比中国混规与美国混规, 可以看出两规范对P-Δ和P-δ的考虑方式的不同:中国混规侧重于对P-Δ效应的考虑, 认为在某些情况下可以不考虑P-δ效应;而美国混规在考虑柔性效应时, 可以不考虑P-Δ效应, 但一定要考虑P-δ效应。

　　 另一方面, 美国混规规定二阶弯矩不得超过一阶弯矩的1.4倍, 即根据弯矩扩大倍数与二阶效应系数θ之间的关系可写成:

　　 即得1/θ=3.5, 即屈曲因子为3.5。

　　 美国钢规对于稳定性设计要求应充分考虑以下因素对结构和构件稳定性产生的影响:1) 构件的弯曲、剪切及轴向变形, 以及其他所有对结构侧移有影响的构件及节点连接;2) 二阶效应 (包括P-Δ和P-δ效应) ;3) 几何缺陷;4) 由弹塑性导致的构件刚度降低, 包括可能由于残余应力而加重的截面局部屈服;5) 结构体系、构件及连接的强度和刚度中的不确定性。

　　 美国钢规允许使用任何考虑上述影响的合理的稳定性设计方法, 包括作为二阶分析法的直接分析法, 以及在某些特定条件下采用有效长度系数法和一阶分析方法作为直接分析法的替代方法。其中, 直接分析法对于满足以下条件的情况下允许忽略P-δ效应对结构的影响:1) 结构主要通过名义上铅直的柱、墙或框架来承受重力荷载;2) 所有楼层中的最大二阶侧移与最大一阶侧移之比不大于1.7;3) 不超过1/3的结构总重力荷载由属于所考虑侧移方向上的抗弯框架中的柱来支撑。在忽略P-δ效应对结构的影响时, 对单独的受压和受弯构件进行的评估仍然要考虑P-δ效应, 此时可采用弯矩放大法通过乘以系数B₁加以考虑。受压构件在每个受弯方向上的系数B₁可按以下计算:

　　 式中:α为系数, 当按荷载及抗力分项系数法设计时, α=1.0, 当按容许应力法设计时, α=1.6;C_m为考虑不均匀弯矩作用的系数;P_r为二阶轴向承载力;P_e1为根据构件端部无侧移假定计算得到的构件在其弯曲平面内的弹性临界屈曲承载力。

　　 同时, 美国钢规规定:用结构分析方法来确定构件的承载力时, 应对构件进行刚度折减。刚度折减是为了考虑因非弹性产生的刚度折减对结构反应的影响, 也是为了考虑构件缺陷对结构反应的影响, 同时也考虑了刚度、承载力的不确定性对结构反应的影响。对于其他非钢材的构件 (部件) 材料, 根据其他规范, 对刚度折减的程度可能大于钢材, 在分析时, 对这些部件要进行更大程度的刚度折减。

　　 在有效承载力计算方面, 美国钢规规定:当设计采用直接分析法时, 按照其他章节的有关规定对构件及连接的有效承载力进行计算, 而不用进一步考虑整体结构的稳定性。

　　 美国荷载规范在第12章的建筑结构抗震设计要求中, 对结构是否考虑P-Δ效应有所规定:对于按照式 (22) 计算得到的稳定系数θ, 若满足θ≤0.10, 则无需考虑P-Δ效应。

　　 式中:P_x为x层及其以上的总体竖向设计荷载;Δ为设计层间位移;V_x为作用在x层与x-1层之间的地震剪力;h_sx为x层以下的层高;I_e为重要性系数;C_d为侧移放大系数。

　　 同时, 美国荷载规范对稳定系数最大值θ_max也有所规定, 见式 (23) :

　　 其中, 抗剪需求与抗剪承载力之比β可偏安全地取1.0。美国荷载规范规定:当稳定系数θ在0.1~θ_max之间时, 要通过合理的计算考虑P-Δ效应。可采用系数1.0/ (1-θ) 放大位移和杆件内力;当θ大于θ_max时, 意味着结构隐含不稳定, 应重新设计。而当程序进行结构计算已包括P-Δ效应时, 可先将式 (22) 的结果除以 (1+θ) , 再由式 (23) 进行验证。

　　 美国荷载规范对于稳定系数 (即二阶效应系数) 最大值限值规定为0.25, 暗指其对于屈曲因子η_cr的要求为η_cr≥4。

　　 欧洲钢规将内力和弯矩的计算分为一阶分析法和二阶分析法, 采用何种方法进行分析的判别标准是式 (24) , (25) 。若满足式 (24) , (25) 的条件, 则可以采用一阶分析;若不满足, 则必须采用考虑结构变形影响的二阶分析。

　　 对于弹性分析:

　　 对于塑性分析:

　　 式中:α_cr为设计荷载增大系数 (即屈曲因子η_cr) ;F_Ed为结构设计荷载;F_cr为基于初始弹性刚度的整体失稳模态的弹性临界屈曲荷载。

　　 欧洲钢规规定, 当必须考虑结构变形影响时, 框架或构件稳定的验算应当考虑初始缺陷和二阶效应。初始缺陷和二阶效应可采用以下三种方法进行考虑:1) 两者完全由整体分析确定;2) 部分在整体分析中考虑, 部分在构件稳定性计算中考虑;3) 按欧洲钢规第6.3节, 采用计算长度法计算。

　　 二阶效应可采用适合结构的分析进行计算 (包括step-by-step或其他迭代程序) 。对于第一侧移屈曲模态占主导的框架, 一阶弹性分析应采用内力 (比如弯矩) 乘以放大系数来进行。

　　 对以弹性整体分析为基础进行设计的单层框架, 由竖向荷载导致的二阶侧移效应可通过采用式 (26) 的放大系数乘以水平荷载 (如风荷载) 和由初始缺陷引起的等效荷载以及其他可能的基于一阶理论的侧移效应来计算得到。

　　 同时, 欧洲钢规规定, 采用由式 (26) 得到的放大系数的前提是假设屈曲因子α_cr≥3.0;对于屈曲因子α_cr<3.0的情况, 应进行更加准确的二阶分析。

　　 欧洲钢规规定, 可采用式 (27) 进行截面承载力的计算。

　　 式中:N_Rd, M_{y, Rd}和M_{z, Rd}均为抗力设计值;N_Ed, M_{y, Ed}和M_{z, Ed}均为内力设计值。

　　 对于二阶分析而言, M_{y, Ed}和M_{z, Ed}均考虑了结构二阶效应和初始缺陷计算得到的内力设计值。

　　 系数θ判定是否在结构设计中考虑P-Δ效应。其中, 当满足式 (28) 的要求时, 可不考虑P-Δ效应。

　　 式中:P_tot为地震设计中考虑的楼层及其以上楼层的总重力荷载;V_tot为总地震层剪力;d_r为设计层间位移;h为层间高度。

　　 当二阶效应系数θ为0.1~0.2时, 可通过相应的地震作用效应乘以参数1/ (1-θ) 来近似考虑二阶效应。

　　 另外, 欧洲抗规规定, 二阶效应系数θ不应超过0.3。此时对应屈曲因子最小限值为3.3。

　　 中国香港钢规规定:除非能够证明二阶效应无明显影响, 否则结构分析应包括二阶效应;根据采用的分析方法, 在分析或设计阶段对P-Δ和P-δ效应做充分考虑。结构的内力和弯矩采用以下方法之一计算:1) 简化设计, 侧向力由相连的刚性结构支撑, 并假定梁间支于柱上;2) 一阶线弹性分析, 采用结构初始和未变形的几何条件;3) 仅考虑P-Δ效应的二阶弹性分析, 以考虑结构变形的效应;4) 考虑P-Δ-δ效应的二阶弹性分析, 以考虑结构变形以及构件弯曲变形的效应;5) 高等分析, 以考虑结构和构件的变形以及材料屈服的效应。

　　 其中1) ~4) 是以第一塑性铰或第一屈服点的出现作为结构承载能力极限;5) 则是对应于弹塑性倒塌荷载。

　　 同时规范要求:在整体分析或者在根据中国香港钢规第8.9.2条构件的压弯抗力进行的设计阶段中, 应考虑有初始缺陷的P-Δ和P-δ效应。另外, 受压构件都应考虑P-δ效应, 对于仅考虑P-Δ效应的二阶弹性分析的情况, P-δ效应在构件抗力的计算中考虑。

　　 中国香港钢规采用弹性临界荷载系数λ_cr (即屈曲因子η_cr) 对是否认为框架有侧移进行判定, 继而在此基础上讨论采用何种分析方法。弹性临界荷载系数λ_cr采用式 (29) 计算:

　　 式中:F_V为所考虑楼面上的竖向荷载设计值;F_N为建筑物框架的设定横向力, 一般取为0.5%F_V;h为楼层高度;δ_N为由设定横向力F_N引起的层间水平位移。

　　 对于弹性分析:

　　 对于高等分析:

　　 若λ_cr满足式 (30) , (31) 的要求, 则框架视为无侧移框架。

　　 对于弹性分析:

　　 对于高等分析:

　　 若λ_cr满足式 (32) , (33) 的要求, 则框架视为有侧移框架。

　　 若屈曲因子λ_cr<5, 则框架视为对侧移特别敏感的框架, 必须采用P-Δ-δ二阶分析或高等分析。

　　 对于一阶线弹性分析, 中国香港钢规规定:在采用弯矩放大法和计算长度法进行构件设计时, 应验算P-Δ和P-δ效应。在有侧移框架的一阶弹性分析中, 计算长度法采用柱末端刚度分配系数确定;弯矩放大法是对由水平荷载产生的弯矩, 采用式 (34) 得到的系数进行放大。

　　 这一放大形式与欧洲钢规基本相同。

　　 对于仅考虑P-Δ效应的二阶弹性分析 (二阶非直接分析) , 在分析时考虑了节点坐标的改变与侧移, 从而考虑了P-Δ效应的影响, 可代替利用式 (34) 进行的弯矩放大法。构件的计算长度取1, 构件端部和沿构件分布的弯矩根据中国香港钢规第8.9.2条构件的压弯抗力的规定进行放大。

　　 对于考虑P-Δ-δ效应的二阶弹性分析 (二阶直接分析) , 直接分析法通过直接在结构分析中考虑几何缺陷的效应和刚度的变化, 精确地确定荷载作用下的结构响应。并采用式 (35) 进行截面承载力验算, 无需根据中国香港钢规第8.9.2条构件的压弯抗力的规定进行构件验算。

　　 式中:A_g为总截面面积;p_y为钢材强度设计值;F_c为纵向压力;M_x, M_y分别为绕X, Y轴的考虑P-Δ-δ效应下的最大放大设计弯矩;M_cx, M_cy分别为绕X, Y轴的弹性弯矩承载力。

　　 对于考虑结构塑性反应的高等分析, 中国香港钢规要求应考虑不稳定性、P-Δ和P-δ效应、框架和构件的初始缺陷, 是直接用于确定结构的最大临界荷载的分析方法。

　　 对比中国香港钢规与欧洲钢规, 可以看出中国香港钢规在各方面参考了欧洲钢规的规定。

　　 中国钢标将钢结构构件整体稳定的计算分为一阶分析、二阶分析和直接分析。先计算最大二阶效应系数θ_i^II, _max以进行分析方法的判别, 再采用各分析方法对结构构件的整体稳定进行分析。

　　 对于规则框架结构, 二阶效应系数按式 (36) 计算, 详见中国钢标第5.1.6条。

　　 式中:∑N_{k i}为所计算第i楼层各柱轴心压力标准值之和;∑H_{k i}为产生层间侧移Δu的计算第i楼层及以上各层的水平力标准值之和;h_i为所计算第i楼层的层高;Δu_i为∑H_{k i}作用下按一阶弹性分析求得的第i楼层的层间侧移。

　　 对于一般结构, 二阶效应系数按式 (37) 计算:

　　 式中屈曲因子η_cr为整体结构最低阶弹性临界荷载与荷载设计值的比值。

　　 中国钢标规定, 当θ_i^II, _max≤0.1时, 可采用一阶弹性分析;当0.1<θ_i^II, _max≤0.25时, 宜采用二阶弹性分析或采用直接分析;当θ_i^II, _max>0.25时, 应增大结构的侧移刚度。由此可见, 钢标中暗含的屈曲因子限值取4。

　　 当结构满足θ_i^II, _max≤0.1时, 可采用一阶弹性分析, 而一阶弹性分析主要是基于结构弹性稳定理论的计算长度系数法。对轴心压杆的弯曲失稳, 稳定计算公式与本文第1.1.2节相同, 采用式 (4) 进行计算。

　　 当结构满足0.1<θ_i^II, _max≤0.25时, 宜采用二阶弹性分析或采用直接分析。

　　 将整体几何初始缺陷和构件初始缺陷建入计算模型进行内力和位移的计算, 并将所得内力代入式 (38) 或式 (39) 中进行稳定性验算, 而不需要按照计算长度法进行构件受压稳定承载力验算。

　　 当构件有足够侧向支撑以防止侧向失稳时, 稳定性验算公式为:

　　 当构件可能产生侧向失稳时, 稳定性验算公式为:

　　 式中:M_x^Ⅱ, M_y^Ⅱ分别为绕X轴、Y轴的二阶弯矩设计值, 可由结构分析直接得到;W_x, W_y分别为构件绕X轴、Y轴的毛截面模量 (S1, S2, S3, S4级) 或有效截面模量 (S5级) ;W_cx, W_cy分别为构件绕X轴、Y轴的塑性毛截面模量。

　　 中国钢标指出:直接分析法全面考虑了结构和构件两方面的初始缺陷, 并考虑了几何非线性、材料非线性等对结构和构件内力的影响, 是一种全过程二阶弹塑性分析设计方法。用直接分析设计法求得的构件内力可直接作为校核构件的依据。

　　 通过对比各规范中的二阶分析方法, 可以得出以下结论:

　　 (1) 中国钢规对于钢结构的整体稳定是以杆件的整体稳定作保证, 即以结构的第一失稳点 (第一个失稳杆件) 作为结构的稳定承载力。

　　 (2) 中国高混规对于剪力墙结构、筒体结构等弯剪型结构, 结构的整体稳定性是以结构整体的刚重比作保证;而对于框架结构这样的剪切型结构, 结构的整体稳定性是以结构的某层柱的失稳作为结构的稳定承载力。同样, 中国高钢规沿用了同样的方法验算结构的稳定承载力。

　　 (3) 中国空规和中国拱规是通过有限元分析求解结构在考虑初始缺陷条件下的极限承载力, 通过安全系数评价结构的整体稳定性。

　　 (4) 中国混规在考虑P-Δ效应时, 弯矩放大法的理论依据与中国高混规相同;在考虑P-δ效应时, 弯矩放大法借鉴了美国混规的相关条文。

　　 (5) 各钢结构规范、标准均导入直接分析法进行结构的二阶分析, 充分考虑了结构初始缺陷和构件初始缺陷, 及材料非线性和几何非线性的影响, 可以更加直接地反映出结构的内力状态, 并以其作为校核构件的依据进行构件稳定性的验算。

　　 (6) 比较了各规范对于结构屈曲因子限值的规定:中国高混规与中国高钢规暗含屈曲因子限值为5;中国空规在材料弹性条件下规定为3.36, 但其包括了初始缺陷1/300的影响;中国钢标暗含屈曲因子限值为4;美国混规暗含屈曲因子限值为3.5;美国荷载规范暗含屈曲因子限值为4;欧洲钢规规定屈曲因子小于3时应进行更加准确的二阶分析;欧洲抗规暗含屈曲因子限值为3.3;中国香港钢规规定屈曲因子小于5时应采用P-Δ-δ二阶分析或高等分析。

　　 综合全文可以看出, 对于稳定性设计方法, 各同类规范之间确有共通之处, 而不同种类的结构规范之间差异较大。现在, 直接分析法作为同时考虑了P-Δ-δ效应以及结构初始缺陷的二阶分析方法, 已被各钢结构规范引入其中, 也包括中国钢标。这一方法相对传统的稳定性设计方法能够更为直观准确地反映结构的稳定性能, 在其他类型的结构设计中应用的可能性值得再进一步进行研究。

　　 此外, 中国高混规及中国高钢规期望将二阶效应控制在20% (实际为25%) ;中国高钢规未考虑钢材屈服所产生的刚度折减, 相对中国高混规来说偏不安全;中国混规对于轴心受压构件和压弯构件的考虑方法不同, 将引起两类公式不闭合;中国混规对于排架结构柱与普通框架柱的计算公式是否可以考虑统一起来, 也都有待进一步讨论。