螺旋楼梯因其优美的造型而被广泛应用于住宅、办公、酒店等建筑中。作为空间结构构件,通常受弯矩、剪力、扭矩和轴力共同作用,受力复杂。同时,由于钢螺旋楼梯轻柔、阻尼低的特点,其自振频率很容易落入行人步行频率范围内,共振效应可能引起较大的加速度响应,从而引发振动舒适度问题。因此除了满足强度及变形要求外,对于钢螺旋楼梯的设计还应分析行人荷载下的振动舒适度问题。

　　 步行荷载是最常见的可引起楼梯结构振动舒适度问题的人致激励,包括竖向、侧向和纵向三个方向的分量 ^[1]。然而,螺旋楼梯设计分析中,目前一般只考虑竖向分量而不考虑其他分量的影响。由于楼梯质量较轻,在不设中柱时侧向刚度较小,是否会出现侧向与竖向荷载的耦合效应有必要通过细致的分析进行研究。

　　 针对上述问题,本文采用数值模拟方法,建立实际钢螺旋楼梯结构的有限元模型,分析其动力特性,并施加单向(即竖向)和三向行人步行荷载,计算不同工况下的加速度响应,讨论行进方向、行人步行频率、加载点等因素的影响,研究单向与三向行人步行荷载下的楼梯振动响应。

　　 对于步行荷载模型以及参数的确定,已经有学者进行了大量研究。Bishop ^[1]等设计了上下楼梯的步行荷载试验,统计分析得到了荷载模型参数用于设计。Kerr等 ^[2,3]通过一系列楼梯行人步行荷载试验指出了平面上与楼梯上行人步行荷载的区别。美国AISC ^[4]、英国SCI P354 ^[5]等也分别提出了相应的楼梯上行人步行荷载模型。但以上研究仅考虑了步行荷载的竖向分量,缺乏关于三向荷载的试验数据;且相应试验数据的选取基于与中国人有较大差异的西方人的体态特征。

　　 陈隽等 ^[6,7]利用步态分析技术的三向荷载,提出了单步步行的竖向、水平分量的动载因子和相位角的取值。杜永峰等 ^[8]通过试验分析了楼梯上行人连续荷载的动载因子及相位角变化的规律。本文将利用杜永峰等 ^[8]提出的荷载模型参数,研究三向步行荷载对钢螺旋楼梯的影响。

　　 步行荷载具有侧向(u)、纵向(v)、竖向(w)三个分量(图1),由于步行具有周期性,因此可以采用傅里叶级数建立步行荷载模型,即:

　　 $\begin{array}{l}F{}_{\text{u}}(t)=G{\displaystyle \sum _{i=1}^{n{}_{\text{u}}}\alpha }{}_{\text{u}i}\sin (2i\text{π}f{}_{\text{p}}t-\text{ϕ}{}_{\text{u}i})(1)\\ F{}_{\text{v}}(t)=G{\displaystyle \sum _{i=1}^{n{}_{\text{v}}}\alpha }{}_{\text{v}i}\sin (2i\text{π}f{}_{\text{p}}t-\text{ϕ}{}_{\text{v}i})(2)\\ F{}_{\text{w}}(t)=G+G{\displaystyle \sum _{i=1}^{n{}_{\text{w}}}\alpha }{}_{\text{w}i}\sin (2i\text{π}f{}_{\text{p}}t-\text{ϕ}{}_{\text{w}i})(3)\end{array}$

　　 式中:F_u(t),F_v(t),F_w(t)为相对行人行走路径的步行荷载侧向、纵向、竖向分量;G为行人重量;α_ui,α_vi,α_wi分别为u,v,w向第i阶傅里叶系数,又称动载因子(Dynamic Load Factors, DLFs);f_p为人的步行频率;ϕ_ui,ϕ_vi,ϕ_wi为u,v,w向第i阶谐波相位角;n_u,n_v,n_w为u,v,w向所考虑的谐波阶数。

　　 与平地和直线型楼梯不同,螺旋楼梯的步行路径为空间曲线。因此计算得到的各个节点水平(纵向与侧向)荷载函数的方向都是不同的;而有限元分析软件普遍使用整体坐标系进行数据的输入与输出,应采用式(4)～(6)进行局部与整体坐标系下荷载的转换。

　　 $\begin{array}{l}F{}_{\text{x}}(i,t)=F{}_{\text{u}}(i,t)\frac{y{}_j-y{}_i}{\sqrt{(x{}_j-x{}_i){}^2+(y{}_j-y{}_i){}^2}}+\\ F{}_{\text{v}}(i,t)\frac{x{}_j-x{}_i}{\sqrt{(x{}_j-x{}_i){}^2+(y{}_j-y{}_i){}^2}}(4)\\ F{}_{\text{y}}(i,t)=F{}_{\text{u}}(i,t)\frac{x{}_j-x{}_i}{\sqrt{(x{}_j-x{}_i){}^2+(y{}_j-y{}_i){}^2}}+\\ F{}_{\text{v}}(i,t)\frac{y{}_j-y{}_i}{\sqrt{(x{}_j-x{}_i){}^2+(y{}_j-y{}_i){}^2}}(5)\\ F{}_{\text{z}}(i,t)=F{}_{\text{w}}(i,t)(6)\end{array}$

　　 式中:F_x(i,t),F_y(i,t),F_z(i,t)为整体坐标系中第i号节点的x,y,z向步行荷载分量;x_i,x_j,y_i,y_j分别为节点i、节点j在整体坐标系中的位置(图2)。

　　 行人上下楼梯过程是空间连续的荷载时程,因此在使用有限元软件模拟时,需要离散为对应节点的节点力时程。行人在每个楼梯踏步的落脚点均可视作步行荷载的施加节点,可以在节点上建立相应的荷载函数,其中第i号节点的荷载函数可以采用Dirac函数表达:

　　 $F{}_k(i,t)=F{}_k(t)\delta (t)(k=u,v,w)(7)$

　　 其中δ(t)函数为:

　　 $\delta (t)=\{\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\begin{array}{c}(t\in [(i-1){\rm T},i{\rm T}])\\ (t\notin [(i-1){\rm T},i{\rm T}])\end{array}(8)$

　　 显然,建立荷载函数的关键在于确定每个节点荷载的持续时间T,T即每一步中从着地到离地的间隔时间。注意,由于连续步行中存在左右脚同时着地的情况(双支撑状态),T不等于步行频率f_p的倒数。

　　 图3中阴影部分的双支撑段长度为Δt。为简化流程,本文将所有工况中的双支撑段长度均假定为0.05s,且存在关系:

　　 ${\rm T}-\frac{1}{f{}_{\text{p}}}=\text{Δ}t(9)$

　　 因此每个节点力持续时间可用行人步行频率倒数与支撑段长度之和表示。例如在步频2.0Hz的工况下,设计节点力的持续时间为0.55s。

　　 影响钢螺旋楼梯三向加载效应的因素主要有行进方向(上/下)、步行频率、加载位置、支座形式、荷载模型等,此外楼梯本身的外形与材料特征也会影响动载因子与相位角。根据重要性程度,本文依次将步行频率、步行行进方向、加载位置等作为可变因素,并分析和讨论相应三向加载方式的影响。下面列出部分典型的约束条件及其确定方法。

　　 支座连接方式是影响楼梯固有频率的重要因素。为考虑不同连接方式的影响,将分别建立铰接与刚接的有限元模型,并进行模态和时程分析。

　　 对于一级踏步上不同位置的节点,各阶振型下的振幅也会有所不同。因此荷载施加位置会对响应结果产生影响,故应对跨中与1/4跨节点分别计算。

　　 即上行/下行工况。已有研究表明,行人下楼过程中产生的加速度响应远高于上楼;且在采用的荷载模型中,不同的行进方向对应不同的DLFs取值,因此应区分行进方向。

　　 通过列举不同频率下响应指标的增幅,可以分析加速度响应的变化规律。

　　 有单向和三向加载两种,通过计算两种加载方式下加速度响应的增幅讨论三向加载的影响。

　　 某室内钢螺旋楼梯(图4),外圈螺旋曲梁直径3.2m,内圈螺旋曲梁直径0.8m,层高5.4m。由两段旋转梯段和中间休息平台组成,不设中柱。螺旋曲梁采用箱形截面(外圈尺寸500×200×10×6,内圈尺寸500×200×6×6),踏步板采用截面为280×12的钢板,上部水平向钢梁采用截面为HM600×300×12×17的工字钢,平台梁采用截面为200×120×8×6的工字钢;钢柱采用方钢管,截面为300×300×12。钢材统一采用Q235B,弹性模量为2.06×10⁵MPa,泊松比取0.3。钢螺旋楼梯的阻尼采用Rayleigh阻尼,根据文献[9]的建议,阻尼比取0.004。

　　 曲梁和踏步均采用梁单元模拟。每个踏步划分为4个单元,相邻踏步间的梯梁段为1个单元。竖向钢柱与地面刚接;楼梯梁端部支座,分别采用刚接与铰接两个计算模型。

　　 考虑螺旋楼梯的自重,其中钢材的容重为7.698×10⁴ N/m³;栏杆荷载模拟为梁单元线荷载,取500N/m;楼梯活荷载取2.5kN/m^{2 [10]};荷载基本组合采用1.2恒载+1.4活载。考虑到模态分析与响应计算,在分析软件中将荷载转化为质量,荷载组合采用1.0恒载+0.5活载。

　　 分析结构前8阶模态的特征值参数,通过输出振型与频率等,可以判断楼梯的振动形式并选取适当的时程分析工况。表1给出了铰接与刚接模型的部分模态特征值分析结果。

　　 对于工况荷载频率,当行人步行荷载的频率与结构1阶或多阶固有频率成倍数关系时容易引发较大的振动,因此考虑取倍数关系(0.5,1.0,2.0)频率值进行测试,同时选择部分非倍数关系(非2的整数次幂)频率值作为对比。经过计算,最终选择1.84,2.00,2.11,2.15,2.31,2.35,2.56Hz作为工况荷载频率(1.84,2.31,2.55Hz为倍频)。

　　 根据模态分析结果,每个模型中计算了1.84,2.00,2.11,2.15,2.31,2.35,2.56Hz共7个荷载频率工况,每个工况再考虑单向/三向、上行/下行等。单人重量取为700N ^[11],采用振型叠加法计算,时长30s,步长0.005s。输出结果表示为30s内的振动响应时程图,选取最大值进行统计分析。

　　 以铰接模型、上行、2.31Hz工况为例,荷载施加于跨中,观测节点为第78号节点。图5对比了该工况下分别施加单向行人步行荷载与三向行人步行荷载时x,y,z向的加速度响应。结果显示,单向加载下,x,y,z向的峰值加速度分别为0.285 9,0.711 9,4.733 0m/s²;对应三向加载的峰值加速度为0.285 5,0.701 1,4.764 0m/s²。对应的峰值加速度的变化幅度分别为-0.14%,-1.52%,0.65%。

　　 根据列举的加速度响应时程结果(图5),可以初步判别三向加载对钢螺旋楼梯结构振动的影响程度。将各荷载工况下的加速度时程结果分类汇总于表2,3,从表中可以较为直观地看出三向加载结果及其增幅的影响规律。

　　 步行频率:选取的7个步行频率中的1.84,2.31,2.55Hz是结构某一阶的整数倍频,表2,3显示上述共振频率下的峰值加速度均较高,其他非共振频率对应的峰值加速度则较低,可见步行频率的共振效应明显。

　　 行进方向:下行时的峰值加速度整体高于上行,即下行引起的楼梯振动比上行更强,如表2,3中单向加载的步行频率为2.00Hz时,上行峰值加速度分别为0.206 0, 0.163 4, 2.621 0m/s²,下行峰值加速度分别为0.262 0, 0.200 4, 3.100m/s²。此外,在共振频率下,行进方向差异对加速度响应的影响更为显著。如单向加载、步行频率为共振频率2.31Hz时,下行相对上行的x,y,z向峰值加速度增幅约为34%,32%,35%;而步行频率为非共振频率2.35Hz时,下行相对上行的x,y,z向峰值加速度增幅约为2%,5%,16%。

　　 根据表2,3中结果,各个工况频率下的单向与三向的峰值加速度增幅有正有负,即侧向和纵向分量的耦合效应既可能增强也可能减弱竖向加速度响应。

　　 考虑三向分量耦合作用的峰值加速度增幅为10.3%,总体幅值在±5%区间内波动。同时,非共振频率下的峰值加速度增幅通常高于共振频率下的峰值加速度增幅。

　　 综上,就本文的钢螺旋楼梯而言,步行荷载三向分量耦合效应与仅有竖向分量的峰值加速度响应差异不大。为简化设计流程,实际工程中结构可仅施加竖向荷载,通过将峰值加速度响应放大1.1倍的方式来考虑三向分量的耦合作用。

　　 Davis等 ^[12]曾提出了一种针对细长直线型楼梯的峰值加速度响应预测简化方法(公式(10)),试验验证表明,可以较好地计算1阶频率为5Hz以上直线型楼梯的峰值加速度响应。利用本文有限元计算结果,可以检验此简化公式是否也同样适用于螺旋楼梯加速度响应计算。

　　 $a{}_{\text{p}}=R\frac{\alpha Q\cos {}^2\theta }{2\beta {\rm M}}\text{ϕ}{}_{\text{r}}\text{ϕ}{}_{\text{e}}(1-\text{e}{}^{-100\beta })(10)$

　　 式中:R为经验校正因子;α为平均动载因子;Q为人体重量;θ为楼梯在支撑点附近的倾角;β为阻尼比;M为基本模态质量;ϕ_r,ϕ_e分别为观察点位置与行人步行荷载施加位置的归一化振型值。

　　 该公式适用于频率在5Hz以上的直线型细长楼梯。5Hz频率限值可以避免与较大的荷载频率发生共振,同时Davis等 ^[12]假定2阶及以上模态的振动响应较小,即振动受1阶模态控制。由于该公式在推导过程中将振型视为正弦波形且不包含钢平台,因此本文取模型中的楼梯部分对该公式进行验证,最终计算模型如图6所示。

　　 该楼梯部分计算模型不包含二层直线钢梁与钢柱,且上下支座节点约束均为刚接。模态分析结果显示,固有频率为5.14Hz,符合公式(10)适用范围。

　　 简化公式(10)中,人体重量Q、倾角θ、阻尼比β、模态质量M、平均动载因子α均为已知量;经验校正因子R与归一化振型值则需要根据楼梯形式的差异进一步讨论。对于本例的取值分别为:人体重量取700N,振型阻尼比取0.004;1阶模态质量M值为1 816.6kg;螺旋楼梯在上下支座间的空间曲线投影长度L=2π×(0.8+3.2)/2=12.57m,楼梯高度H=5.4m,倾角θ=arctan(H/L)=23.25°;考虑下行楼梯方向,平均动载因子α取0.20;经验校正因子R用于校正实际步行中的周期误差,由于数值模拟中周期都为同一精确值,不存在误差,因此取R=1.0;对于直线型楼梯,公式(10)中归一化1阶振型值ϕ_r与ϕ_e一般用正弦函数计算:

　　 $\begin{array}{l}\text{ϕ}{}_{\text{r}}=\sin \frac{\text{π}x{}_{\text{r}}}{L}(11)\\ \text{ϕ}{}_{\text{e}}=\sin \frac{\text{π}x{}_{\text{e}}}{L}(12)\end{array}$

　　 式中x_r,x_e分别为观察点与行人到梯梁端部的水平距离。

　　 对于螺旋楼梯,可通过模态分析确定计算点处的1阶振型值。缺少计算值时可采用双正弦函数形式:

　　 $\text{ϕ}{}_{\text{r}}=\sin \frac{\text{π}x{}_{\text{r}}}{L{}_{\text{x}}}\cdot \sin \frac{\text{π}x{}_{\text{r}}}{L{}_{\text{y}}}(13)$

　　 式中x_r,y_r分别为x轴和y轴上观察点到螺旋楼梯外沿的最远水平距离。

　　 在测试工况中,取第78号节点作为观察点,计算可得ϕ_r=0.551。而对于归一化振型值ϕ_e,由于需要取步行过程中各个荷载施加位置的最大响应值,故取为1.0。

　　 将以上取值带入公式(10),计算得到峰值加速度为1.477m/s²。同时,利用有限元软件计算得到结构的1阶模态峰值加速度为1.402m/s²。两者相比,公式(10)预测值的误差约为5%。结果表明,可采用简化公式(10)预测螺旋楼梯的单阶峰值加速度响应幅值。结构最终响应可由各阶峰值加速度响应的组合,如采用平方和平方根(SRSS)组合方式来获得。其中,公式(13)的合理性以及需要组合的振型数,需要根据不同的工程对象做适当的调整。

　　 本文采用数值模拟方法,结合具体工程实例,对钢螺旋楼梯上步行荷载三向加载与单向加载的动力响应进行了对比,并对支座约束条件、上/下行方向、步行频率以及荷载位置等影响要素进行了分析。结果表明,考虑荷载的三向耦合效应可能增大结构峰值加速度响应,但增幅不显著,本文的螺旋楼梯峰值加速度增幅在10%左右。从方便设计的角度,可采用单向加载再乘以放大系数的方式,考虑步行荷载三向分量的共同影响。此后,通过有限元模型与理论公式(10)计算结果的对比,说明用于直线型楼梯的峰值加速度响应简化预测公式(10)可应用于螺旋楼梯单阶模态峰值加速度响应的预测。