在给水系统中, 管网的建造成本占总投资的50%~80%^[1], 其设计与建设的科学性和合理性直接影响城市供水服务质量。因此, 给水管网的优化设计方法一直是该领域的研究热点。从数学建模的角度看, 给水管网的优化设计是一个典型的具有NP—特性 (Non-Deterministic Polynomial) 的组合优化问题 (Combinatorial Optimization) 。决策变量通常是离散的管径尺寸, 且优化模型中包含大量基于水力平衡方程的约束条件。因此, 管网优化设计问题的解空间具有非线性、非连续的、多模态 (Multi-modal) 等复杂特性^[2]。

　　 在计算机运算速度相对较慢和优化算法相对简单的时代, 为了降低模型的复杂度, 通常建立以总成本最小化为唯一目标的单目标优化模型。但是, Walski指出^[3], 单一追求成本的最小化往往以降低管网服务性能为代价, 这种优化结果在管网的实际运行中会带来一定的风险。因此, 给水管网系统的多目标优化设计逐步成为主要研究方向。现在, 很多研究工作都选择经济指标、管网可靠性指标或供水服务性能指标作为优化目标, 建立给水管网的多目标优化模型。Creaco等^[4]建立以管网建造成本和“弹性力指数”作为可靠性指标的双目标的优化模型。Kanta等^[5]根据管网满足消防工况和水质安全的设计需要, 建立了最小化火灾破坏值、水质恶化指数和灾后重建成本的3个目标优化模型。Kurek等^[6]建立了优化水泵运行费用、水池建造费用和水质指标3个目标的优化模型, 分析了管网中水泵和水池的设计和运行对水质的影响。柳晓明^[7]建立了优化管网的年费用折算值、节点富余水头和管网弹性力指数3个目标的优化模型。乔俊飞等^[8]采用了最小化管网中各管段的造价和管网节点富余水头方差的双目标的优化模型。另一方面, 进化算法 (Evolutionary Algorithms) 的快速发展提高了求解多目标优化模型的稳定性和精确度。其中, 多目标遗传算法 (Multi-objective Genetic Algorithm) 、强度帕累托进化算法 (Strength Pareto Evolutionary Algorithm) 、非支配排序遗传算法 (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) 在求解给水管网多目标优化问题上具有良好的性能^[9]。

　　 随着社会对基础设施建设要求的提高和计算机技术的发展, 给水管网设计中所考虑的优化目标个数也随之增加。通常将优化目标个数多于3个的模型称为“高维多目标优化模型”^[10]。高维多目标优化模型减少了对模型的简化程度, 能够更全面地反应工程设计的需求, 从而为获得综合效益最优的设计方案提供了决策依据。因此, 本文提出一种基于高维多目标优化的给水管网设计方法, 相比传统的多目标设计方法, 能够为决策阶段提供更多综合效益占优的备选方案, 从而提高决策阶段的效率和设计方案的质量。

　　 在给水管网的优化设计模型中, 供水的经济性和可靠性是常用的优化目标。同时, 在管网运行时, 如何减少管网的漏损水量、调控管网压力以保证安全供水和降低供水能耗也是管理者所关注的重点问题。在复杂的决策问题中, 只有在决策阶段提供多个目标之间的复杂权衡关系 (trade off) , 决策者才能充分理解优化模型中不同目标之间的相互影响, 从而做出更合理的决策方案。因此, 本文首先建立优化目标为最小化管网建造成本、管网漏损水量、管段最大平均压力和最大化管网弹性力的高维多目标优化模型。同时, 为了与传统的优化设计模型形成对比, 建立优化目标为最小化管网建造成本和最大化管网弹性力的多目标优化模型 (以下分别简称为“高维模型”和“低维模型”) 。然后, 采用EPANET动态链接库和Borg算法分别负责水力学计算和优化模型的求解, 从而得到上述2个模型相应的Pareto最优解。最后, 使用双基点法 (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution, TOPSIS) 比较2个模型所获得的Pareto解对应的优化方案的相对优劣性。本文的技术路线如图1所示。

　　 Fantozzi等^[11]统计了来自于10个国家的112个管网系统进行压力调控前后的爆管数据, 得出管网中最大压力值的降低与爆管频率的下降呈正相关的关系。因此本文通过优化管段最大平均压力以降低管网中爆管的潜在风险。在计算方法上, 管网建造成本 (Cost) 、管段最大平均压力这2个目标可以根据管网的设计布局和EPANET模拟直接计算获得, 但是可靠性和漏损水量的计算方法还没有统一的标准。对于可靠性, 本文使用Prasad等^[12]提出的“管网弹性力” (I_n) 作为替代指标, 它能表征管网在发生故障时恢复到正常供水的能力。在计算过程中, 不仅考虑节点冗余能量占管网中可利用的最大冗余能量的比值, 同时, 增加表征环状管网管径布局的均匀度 (U_j) 作为权重, 因此, 可以更全面地反映管网的可靠性。管网漏损水量包括物理漏失、计量损失和其他损失 (未注册用水和管理性因素导致的水量损失) ^[13]。本文沿用文献[14]中计算管网物理漏失水量的公式以间接评估管网的漏损水量。

　　 本文建立的高维模型如式 (1) 所示。使用管网的水力平衡条件、节点压力和管段流速作为约束条件, 其中水力平衡条件在EPANET水力模拟中自动满足。决策变量是管网中各管道实际可选择的离散管径尺寸。低维多目标优化模型的目标函数仅包含式 (1) 中的Cost与I_n2个目标, 约束条件和决策变量与高维模型一致。nn, np, nr, npu, np_j分别表示管网中节点、管段、蓄水池、水泵、连接到节点j管段的数量。

　　 式中Cost———管网的建造成本, 成本计算的货币单位;

　　 I_n———管网弹性力;

　　 W———管网物理漏失水量, m³;

　　 ———运行时最大的管段平场压力, m;

　　 D_i———管段i的管径, mm;

　　 L_i———管段i的管长, m;

　　 C_i———管段i的单位长度成本, 和管径和管材有关, 成本计算的货币单位;

　　 U_j———连接到节点j的管径布局均匀度, U_j=1表示连接到节点j的管径都相等, U_j<1表示不相等;

　　 Q_j, Q_k———分别表示节点j和蓄水池k的需水量, m³/s;

　　 H_j, H_k———分别表示节点j和蓄水池k的自由水头, m;

　　 P_i———水泵i的输出功率, kW;

　　 γ———水的容重, kN/m³;

　　 Q_{L, i}———第i段管道的单位时间内物理漏失水量, m³/s;

　　 C_{L, i}———单位管长的漏损系数, 其值与管网压力、管道材料、管龄等因素有关;

　　 n_leak———漏损压力指数;

　　 Δt———模拟的时间步长, s;

　　 ———管段i的平均压力, m;

　　 P_{i, 1}, P_{i, 2}———分别表示管段i两端节点的压力, m。

　　 虽然, 多目标进化算法已广泛应用于求解给水管网的多目标优化设计问题, 但随着优化目标个数的增加, 非支配解的个数将呈指数规模增加, 导致普通的多目标进化算法出现过早收敛和搜索能力大大降低等问题^[15]。因此, 本文选用先进的Borg算法^[16]来求解所建立的高维和低维模型。

　　 Borg算法是由宾夕法尼亚大学于2013年提出的适用于求解高维多目标优化问题的高级算法。与普通的多目标进化算法相比, 具有以下特性:

　　 (1) 基于ε—支配的排序方法。ε—支配是Borg算法中对解集进行排序和比较的准则。ε是解集的最小分辨率, 即对某一个优化目标而言, 排序过程会忽略小于一个ε的数值差异, 从而有效控制了Pareto解集的规模。每个目标可以设置独立的ε精度, 它的数值会影响求解精度, 从而影响进化速度, 通常需要通过试算确定具体的数值。

　　 (2) 2种重启动机制。在ε—支配的基础上, 建立了衡量搜索进程的指标ε—progress, 即程序在搜索过程中, 如果一个解的进化距离小于ε, 则原搜索就会停止, Borg算法将重新初始化并开始新的搜索。此外, Borg算法还实时监测种群大小与外部解集Archive的比例, 如果该比例的差异大于25%, 则触发重启动。

　　 (3) 多种搜索算子联合优化。Borg算法在优化过程中使用6种不同搜索性能的算子。在求解时根据每个算子产生的子代质量建立反馈机制, 自动调整每个算子的应用比例, 从而保证搜索性能突出的算子有更大的概率产生子代个体, 有效提高了Pareto解集的质量。

　　 Borg算法的上述特性可同时保证解集的收敛性和多样性, 有效避免提前收敛而陷入局部最优解。相关的对比试验^[16,17]已经证明Borg算法与其他常用的多目标进化算法 (ε—MOEA、NSGA-Ⅱ等) 相比, 在不同规模和复杂度的高维多目标优化问题上具有显著优势。

　　 TOPSIS是一种在多属性情况下对多方案进行综合评估比较的方法。它的基本原理是通过计算评价对象与理论上的理想解、负理想解的距离来进行排序, 若评价对象最靠近理想解的同时又最远离负理想解, 则为最好;否则为最差^[18]。本文中一个优化目标代表一个属性。

　　 第1步:根据Pareto最优解集, 构造决策矩阵X。若有m个Pareto最优解, 本文中一共有4个属性, 则:

　　 f_ij (1≤i≤m, 1≤j≤4) 表示第i个Pareto最优解对应的第j个属性值, 将优化目标分为成本型属性和效益型属性, 成本型属性值越小越好, 效益型属性相反。将上述决策矩阵进行归一化和同趋势化处理, 得到标准化矩阵Y= (y_ij) _m×k:

　　 效益型:

　　 成本型:

　　 经过归一化和同趋势化处理之后, 每一属性的最佳值为1, 最差值为0。

　　 第2步:构造加权的标准化决策矩阵Z。设w_j为相应于属性y_j的权系数, w_j>0。

　　 第3步:确定理想方案z^*和负理想方案z⁰。理想方案是每个属性的最佳值构成的向量, 负理想方案则相反。

　　 理想方案:z^*= (z₁^*, z₂^*, z₃^*, z₄^*) , 负理想方案:z⁰= (z₁⁰, z₂⁰, z₃⁰, z₄⁰) 。

　　 第4步:计算决策矩阵中各方案到理想方案和负理想方案的欧式距离d_i^*, d_i⁰:

　　 第5步:计算各方案对理想方案的相对接近程度:

　　 将各个方案按C_i^*的大小降序排序, C_i^*越大的方案综合效益更优。

　　 根据上述方法, 使用Fossolo管网^[19]建模并进行结果分析。该管网位于意大利北部Fossolo小镇, 管网布局如图2所示。管网内包含36个节点和58条管道, 在管网的东部建有一个高位水池, 采用重力方式供水, 日供水量约2.93×10³ m³, 每个节点正常供水所需的最低压力是40 m;同时, 每个节点还有最高压力的限制, 最高压力的范围是53.1~59.76m。管网中所有管段都需要进行优化设计, 每条管段有22种可选管径, 因此, 该优化问题的搜索空间大小为22⁵⁸≈7.25×10⁷⁷。

　　 由于Borg算法在其参数取值范围内均具有较强的搜索性能, 因此, 采用Borg算法的默认参数配置, 并将初始种群大小设置为100。为避免随机初始解对优化计算和TOPSIS分析产生影响, 进行10次独立的优化计算, 再对合并后的10次优化计算结果进行非支配排序得到高维和低维多目标模型的Pareto最优解集。Pareto最优解集在高维多目标空间的分布情况为分析不同目标之间的权衡关系 (trade-off) 提供了参考。

　　 上述的试验方案得到, 高维模型和低维模型的Pareto最优解分别是4 251个和114个。高维模型Pareto最优解中包含4个优化目标, 即有4个属性值。低维模型最优解只包含Cost与I_n的属性值, 剩余2个属性值根据已获得的Pareto最优解对应的决策变量, 使用EPANET模拟和式 (1) 中W、P^-_max的公式计算获得。将2个模型方案的属性值矩阵合并, 构成4 365×4的决策矩阵。

　　 使用TOPSIS计算综合排序指数C_i^*, 以此指数降序排列, 从而得到各方案综合性能从优到劣的排序。将排序位置平均分成4段, 分析2个模型获得的方案在这4段位置区间中分布数量占其对应优化模型方案总数的百分比, 结果如图3所示。

　　 在TOPSIS排序位置中, 从第1位到第208位均是高维模型获得的方案, 在低维模型中, 排序最高的方案位列第209位。从图3可以看出, 低维模型获得的方案大部分集中在75%~100%排序区间, 仅有不到15%的方案处于其次有少部分处于0~25%的排序区间。高维模型在这4个排序区间的分布数量非常均匀, 特别是0~25%区间内, 排序靠前的方案在数量和占比方面都优于低维模型。基于TOPSIS分析的结果表明:在综合排序性能最好的区间段 (0~25%) , 高维模型获得了比低维模型更多且更好的方案。

　　 以TOPSIS排序的序号给各方案命名, 取出高维模型和低维模型排序最高的结果, 分别是方案R1和R209, 其4个属性的数值如表1所示。同时, 为了比较2个方案各属性值的相对差距, 取TOPSIS归一化标准值进行对比, 如图4所示。

　　 在这4个属性中, R1的“管网漏损水量”和“管段最大平均压力”性能均优于R209, R209的“管网弹性力”略优于R1, “管网建造成本”显著低于R1。在漏损控制方面, R1比R209减少漏损量约6m³/d。从图5所示的管网运行压力的等值线图, 可以看出R1整体压力分布小于R209, 超过54m的区域明显减少。在R209中, 需水量高的地方 (节点19、节点11、节点18、节点26、节点27, 见图2) 均靠近或者处于高压区 (黑色区域) , 而R1通过降低整体运行压力使管网的漏损量降低, 同时, 也降低了管网中潜在的爆管风险。

　　 在表1中, R1和R209在“管网弹性力”指标方面差异非常小, 说明2个方案对应的管网系统从事故状态恢复到正常供水的能力接近。为了比较2种方案在事故状态下的运行情况, 对R1和R209进行爆管事故模拟。遍历Fossolo管网中的每条管段 (除去连接水源点的主干管) , 并假设每次事故仅有一条管段被破坏导致停止供水。若该事故导致任意一个需水节点的压力低于40m, 则定义管网系统处于“失效状态”。

　　 经过模拟, R1与R209均有2次处于失效状态, 将其中最严重的失效状态 (即压力失效节点数量最多的情况) 进行比较。

　　 图6表示在最严重的失效事状态下, R1有2个失效节点;其中, 最大压力降幅 (1.38 m) 发生在管网末梢的节点7。R209几乎所有的节点都处于失效状态, 并且节点压力大幅下降, 甚至出现负压的状况 (节点7) ;节点压力主要集中在0~10m的区间。所以, 虽然方案R209的I_n比R1略高, 但爆管事故对R209的影响程度远远大于R1。

　　 从决策变量的角度分析, 上述2个方案的管径布局中, R1与R209的主干管分别是368.2mm和229.2mm。图7表示除连接水池的主干管之外, 供水管段的管径分布百分比。从图7可以看出, R1整体比R209使用了较大的管径设计方案, 所以前者的建造成本比后者增加约50%。R1在60~150mm管径区间段的使用数量均大于R209, R209接近60%使用了小于60mm的管径。在事故状态下, 爆管导致其周边管段的输水流量增大。根据海曾-威廉公式, 管径较大的管道意味着较小的沿程水头损失, 所以R1的节点压力降幅很小并且没有出现大幅失效的情况。

　　 (1) 针对给水管网的优化设计问题, 本文提出了基于高维多目标优化的新方法。通过在案例管网上进行模拟试验, 证明了该方法获得的设计方案比传统的基于低维多目标优化的设计方案具有更好的综合效益, 在保障管网系统的供水可靠性的同时, 有效改善了管网的压力分布, 从而降低了漏损水量和爆管概率。

　　 (2) 采用基于高维多目标优化的管网设计方法, 能够在建模时更全面地反映工程设计的实际需求, 为决策阶段提供更多的备选方案。通过TOPSIS分析, 可以有效评估各个备选方案的综合效益优劣, 从而降低了盲目控制初期的建设成本而导致建成后需要投入高额的维护成本的决策风险, 提高管网设计方案的科学性和合理性。