对于线性设计来说，施工模拟算法经历了一系列演化过程，主要原因在于结构整体刚度的三角分解对于早期有限元软件来说是一项成本高昂的工作，软件不得不对实际的施工过程进行简化处理，这一时期典型代表就是PKPM软件所采用的施工模拟1算法^[4]，该算法仅生成一次结构整体刚度矩阵，采用分次加载的过程不断累计构件内力，该算法对于早期施工模拟的实现发挥了重要作用。另外，为了缩小墙柱之间的轴向变形差异，更合理的传递基础荷载，PKPM软件在施工模拟1的基础上开发了施工模拟2算法，该算法在集成整体刚度矩阵之前对竖向构件的刚度放大10倍处理，以削弱竖向荷载按刚度分配的规律，除此之外，施工模拟2与施工模拟1算法相同，显然上述两种算法均为近似算法。近年来随着计算机软硬件的不断发展，接近于真实的施工模拟成为可能，PKPM软件也随之推出了施工模拟3算法，该算法对每一施工步均形成一次整体刚度矩阵，与实际施工过程更相符，获得的恒载内力也更可靠，目前该算法已成为施工模拟的首选算法。

　　 对于非线性问题，《高层建筑混凝土结构技术规程》 (JGJ 3—2010) ^[5]第3.11.4条第2款明确规定:弹塑性分析时，复杂结构应进行施工模拟分析，并以施工全过程完成后的内力作为初始状态。对于超高层建筑，一次性加载与考虑施工模拟在竖向荷载下构件内力差别较大^[6,7]。而非线性分析的结果对加载路径具有依赖性^[8]，因此竖向加载的结果对后续水平加载的全部结果都有显著影响，其重要性不言而喻。

　　 非线性施工模拟从算法思路上与线性问题是类似的，由于非线性分析计算量巨大，为了提高效率，目前国内软件一般采用弹性刚度计算，即在整个竖向加载过程中认为结构始终处于弹性。而计算单元一般有两种取法:一种是采用线性设计时所使用的一般梁、柱、支撑以及剪力墙，竖向荷载完毕后再把构件内力传递给非线性单元;另一种方式是直接采用非线性单元，并把材料本构设为弹性，待非线性加载时再切换为弹塑性本构。但对于混凝土结构，在重力荷载作用下有些部位就已经进入受拉塑性状态，若采用弹性计算施工模拟，弹塑性计算时程分析，地震波作用初始时刻，结构内外力会产生不平衡，从而引起不稳定的情况。随着有限元技术的不断发展，尤其并行计算技术的不断普及，目前采用完全的非线性施工模拟已成为可能，在竖向加载时即激活构件的弹塑性本构，跟踪并记录各单元在竖向荷载下的损伤及其演化，可使后续的弹塑性水平加载获得更加可靠的数值解。

　　 另外，结构进入弹塑性状态后，由于位移较大，几何非线性的影响也是不容忽视的一个重要因素，目前软件对几何非线性的影响一般采用UL格式进行计算，即不断更新结构的位形，从而实现二阶效应的影响。而容易忽视的是几何非线性问题的另一个重要因素，即非线性应变对结构的影响，该影响与竖向荷载下结构的内力分布具有直接的关系，应在施工模拟过程中即加以考虑，本文在第3节给出了相应推导并进行了分析对比。

　　 综上所述，随着计算机软硬件的不断发展，在建筑结构大震弹塑性分析之前进行完全的非线性施工模拟已经成为可能，并应逐渐成为首选算法。以下将从几个方面探讨非线性施工模拟的重要性和可行性，并辅以算例验证 (均由Paco^[9]软件进行计算，该软件可在施工模拟阶段考虑材料非线性和几何非线性) 。

　　 众所周知，混凝土结构是带裂缝工作的，竖向荷载下结构的受拉部位通常已经开裂，其主要原因是混凝土材料的抗拉强度偏低，竖向荷载下结构很难处于完全弹性，甚至局部部位在地震作用之前就已经出现较大的受拉损伤，而这些非线性损伤在地震作用过程中持续发展，会对后续所有计算结果造成影响，以下算例对此情况进行了分析。

　　 图1 (a) 所示为单片双肢剪力墙结构，层高4m，墙厚度200mm，墙柱宽度2.5m，连梁高0.8m，跨度4m，共10层。剪力墙混凝土强度等级为C30，阻尼比为0.05。梁上均布恒载为50kN/m，均布活载为20kN/m。线性施工模拟和非线性施工模拟采用相同的配筋计算，具体配筋信息如表1所示。

　　 采用两个算例进行分析。算例1采用线性施工模拟后进行非线性时程分析;算例2采用非线性施工模拟后进行非线性时程分析。输入地震动为El Centro地震波，波形如图1 (c) 所示，持时12s，输入步长为0.02s，峰值加速度 (PGA) 调整为200cm/s²。动力时程分析采用中心差分法计算。墙板网格尺寸为0.5m。两个算例结果如表2和图2所示。

　　 通过对比算例结果可发现，采用非线性施工模拟可以考虑施工模拟时混凝土的损伤情况，与线性施工模拟的结果相比，进行时程分析后的层间位移角会增大5%左右，说明竖向荷载下结构的损伤分析对于准确模拟结构的非线性时程行为是非常重要的。

　　 非线性应变会产生几何非线性的一项附加刚度以及节点力，由于结构在大震作用下层间位移较大，该项刚度的影响有时是不宜忽略的，并应在施工模拟过程中以及活荷载作用下即记录并追踪该项的作用，只有这样才可以和后续的水平地震作用做到无缝对接，下面首先给出该项刚度的表达式，随后给出具体的算例分析 (文中名词和符号意义，可参考文献[10]) 。

　　 在大变形条件下，常采用Green应变 (其相对于变形前坐标) 作为度量单元的变形情况。以三维问题为例，Green应变可表示为:

　　 显然其非线性部分为:

　　 当前应力σ_ij在上述非线性应变η_ij的变分上所作虚功为:

　　 其中:

　　 定义如下单元几何矩阵B^:

　　 其中a^e为单元节点位移向量，得到:

　　 则非线性应变对应的非线性刚度为:

　　 式 (9) 为三维状态下的单元通式，根据该思路很容易得到梁、柱、支撑以及剪力墙的相应公式。另外，如采用显式算法进行弹塑性分析，同样可根据该思路获得单元非线性节点力。下面通过算例验证非线性应变对结构弹塑性分析的影响。

　　 图3 (a) 所示为三榀钢框架支撑结构，层高3m，梁跨3m，共30层。梁柱截面为工字形，尺寸为400×300×50×50，支撑截面也是工字形，尺寸为400×200×20×20。材料采用Q235钢材，弹性模量为206GPa，泊松比为0.3，钢材本构采用随动强化模型 (图3 (b) ) ，屈服强度取标准值235MPa，屈服后刚度比为0.01，阻尼比取0.02。梁上均布恒载为50kN/m，均布活载为20kN/m。

　　 采用两个算例进行分析。算例1采用线性应变进行分析，算例2采用非线性应变进行分析。计算时首先采用非线性施工模拟进行竖向荷载分析，后进行非线性时程分析。输入地震动为Kobe＿Japan No 1120地震波，波形如图3 (c) 所示，持时20s，输入步长为0.01s，峰值加速度 (PGA) 调整为200cm/s²。动力时程分析分别采用Newmark-β法 (隐式) 和中心差分法 (显式) 计算。杆件单元采用线性插值两结点Timoshenko梁单元计算，可以考虑杆件的剪切变形行为^[11]，网格尺寸为1m。两个算例结果如表3和图4所示。

　　 通过对比两种情况计算结果发现，高层结构在非线性时程分析时，若仅考虑线性应变，可能导致分析得到的最大位移和最大层间位移角偏小，对结构设计不利。此外，采用Newmark-β法和中心差分法结果差距很小，验证了算例计算的准确性。

　　 为了进一步验证非线性应变对于结构大震时程响应的影响，采用以下工程实例进行算例验证。

　　 某21层高层建筑如图5 (a) 所示，采用混合框架-支撑结构体系，高91.5m，梁采用工字形截面，主要截面自下而上为H650×300×12×25～H650×200×10×12。柱采用矩形钢管混凝土截面，截面尺寸自下而上为600×600～400×400，钢管壁厚自下而上为36～12mm，混凝土强度等级自下而上为C50～C40。支撑采用箱形截面，尺寸均为□150×150×6×6。所有构件钢材强度等级均为Q345。其平面布置如图5 (b) 所示。设防烈度为8度 (0.2g) ，地震分组为第二组，场地类别为Ⅲ类，特征周期为0.45s。

　　 采用两个算例进行分析。算例1采用线性应变进行分析，算例2采用非线性应变进行分析。计算方式与2.2节相同。输入地震动为Oroville-04No 111地震波，波形如图5 (c) 所示，持时9s，输入步长为0.005s，峰值加速度 (PGA) 调整为400cm/s²。动力时程分析采用Newmark-β法计算，分别计算X向和Y向的结构非线性时程响应。杆件单元采用线性插值两结点Timoshenko梁单元计算，网格尺寸为1m。工程实例分析结果如表4和图6所示。

　　 对比两个算例计算结果发现，对于该高层结构，无论是X向还是Y向，采用非线性应变后最大层间位移角均会增大约5%。这进一步证明了对于高层结构进行大震非线性时程分析时，应该考虑非线性应变的影响。

　　 在竖向荷载作用下，虽然结构可能带有损伤，但仍处于稳定状态，观察如下牛顿法迭代方程:

　　 式中:K_e ⁽_p^k) 为第k次迭代弹塑性切线刚度;Q_l为某施工步荷载;Q_i ^(k) 为第k次迭代当前内力;Δa ^(k) 为第k次迭代位移增量，按照一般的牛顿法思路;K_e ⁽_p^k) 对于每次迭代均需更新，这会造成计算量显著增加，考虑到竖向荷载下结构仍处于稳定状态，可在每一施工步采用该施工步起始切线刚度并在该施工步保持不变，即:

　　 式中K_ep为施工步起始切线刚度。

　　 注意式 (11) 切线刚度虽然不更新，但计算仍是准确的，因为每一施工步均迭代到平衡为止。实践证明，由于结构稳定，上述算法不仅可行，而且每一施工步一般仅2～5个迭代即收敛，而其中单元级的弹塑性本构积分具备极佳的并行条件，完全可以利用多核CPU进行加速处理，采用主流4核CPU即可提速大约3倍，采用这些措施以及低阶剪力墙分层壳元^[12]，非线性施工模拟的计算时间较线性问题提升并不显著。

　　 本文对非线性施工模拟方法进行了研究，包括竖向荷载下结构损伤对于时程分析结果的影响，是否考虑非线性应变对结果的影响，以及非线性施工模拟的加速方法等，得到了以下结论:

　　 (1) 竖向荷载下混凝土结构的损伤对于非线性时程分析结果有一定的影响。算例结果表明，若采用非线性施工模拟进行竖向荷载加载，其后续时程分析的最大层间位移角相比采用弹性施工模拟时可能增大，因此在进行混凝土结构非线性时程分析之前，应当考虑其竖向荷载加载所产生的结构损伤影响。

　　 (2) 在结构进行大震时程分析时，若考虑非线性应变，对于结构响应有较为明显的影响。算例和工程实例结果都表明，结构在大震时程分析时，若不考虑非线性应变，可能使结构地震响应结果偏小，对结构设计不利。因此在进行结构大震非线性时程分析时，应考虑非线性应变的影响。

　　 (3) 采用施工步初始切线刚度进行施工模拟迭代分析，可显著提升计算效率，配合缩减积分剪力墙分层壳单元，可有效减少非线性施工模拟的计算时间。

　　 目前，本文所述方法均已在Paco软件中完整实现，验证结果令人满意。