对于无粘结预应力混凝土 (unbonded prestressed concrete, UPC) 结构, 由于预应力筋与混凝土间存在相对滑移, 平截面假定不再适用, 无粘结筋中的应变与结构总体变形相关。因此, 如何计算UPC结构中无粘结筋的应变、应力是至关重要的课题。一旦掌握了各阶段无粘结筋应力增量的计算方法, 便能对UPC结构在正常使用阶段和极限承载力阶段的性能进行全过程分析。至今, 国内外的学者针对这一课题进行了大量的试验研究及理论分析, 得到了一些计算模型或公式。其中, 部分研究成果被写入了各国设计规范^[1,2,3,4,5]。

　　 可是, 当前对极限应力增量的研究还存在着一些不足。一方面, 由于试验样本的有限, 现有的一些计算公式适用性不够广泛, 某些情况下误差较大;另一方面, 我国规范^[1,2]的建议公式主要是基于简支梁试验所得到的, 应用于连续梁是不合适的。另外, 当前设计中极限应力增量的计算偏于保守, 这可能带来安全隐患。以框架为例, 保守设计使得框架梁承载力过高, 出现“强梁弱柱”的不利情况。因此, 准确得到各阶段无粘结筋极限应力增量的计算方法是必要的, 这对UPC结构至关重要, 具有重大的社会效益和工程应用价值。

　　 当前常用的无粘结筋极限应力增量的计算方法有四种:1) Naaman^[6,7,8]提出的粘结折减系数法;2) Pannell^[9]提出的等效塑性区长度的方法, Harajli^[10,11]基于该方法, 通过试验和数值模拟对其进行了修正;3) 基于大量试验的线性回归方法^[12,13];4) 刘西拉^[14]、吕志涛^[15]提出的基于变形的计算方法。上述四种方法的特点如下:

　　 (1) 粘结折减系数法:通过引入折减系数, 将无粘结问题转化为有粘结问题。有粘结预应力混凝土结构的计算理论是相当成熟且准确的, 故这样的转化能大大简化计算, 但关键问题是如何确定折减系数的取值。不同的学者根据自身的试验结果, 得到了一些关于折减系数的半经验半理论的计算方法或对其取固定值。从这一点看, 此方法亦存在局限性, 适用范围受到限制。

　　 (2) 基于等效塑性区长度的方法:该方法将无粘结筋位置处混凝土的变形集中到等效塑性区内, 先假设受压区纤维极限应变一定, 再根据平截面假定得到无粘结筋位置处混凝土的应变, 最后累积得到总应变。此方法计算精度相对较高, 且理论性较强, 但计算难度大、复杂, 不利于设计人员使用。

　　 (3) 线性回归方法:该方法选取了某些无粘结筋极限应力增量的主要影响参数, 在大量试验样本基础上, 通过数值回归的方法得到相应的计算公式。其中, 大多数公式均以截面综合配筋指标为关键参数, 同时考虑跨高比、荷载形式等因素的修正。这类方法计算简单, 方便设计, 但由于计算公式由回归得到, 存在一定局限性, 且某些情况下计算精度较差。我国《混凝土结构设计规范》 (GB50010—2010) ^[1] (简称混规) 及《无粘结预应力混凝土结构技术规程》 (JGJ 92—2004) ^[2]便采用了此类方法。

　　 (4) 基于变形的计算方法:此法将无粘结应力增量与结构的整体变形联系起来, 是较为合理的。目前的做法是先假设结构的变形形状, 再通过几何关系得到整体变形与无粘结筋位置处混凝土应变的关系, 从而得到无粘结筋的应力增量。该方法理论性较强, 计算时仅需计算结构变形形状及控制截面的挠度便可得到应力增量, 相对简单。但是, 计算中不同的变形形状假定将带来较大的差距, 且已有的研究主要针对简支梁, 对连续梁考虑较少。文献[14-15]则是基于挠度与无粘结预应力筋极限应力增量成线性关系的假设, 分别利用折线和圆弧线近似代替简支梁的变形, 再利用有限惯性矩法计算结构极限状态的挠度, 从而提出了无粘结预应力筋的极限应力增量计算公式。实际上, 在不同荷载形式和约束分布的情况下, 结构整体变形也不尽相似。直接将简支梁在跨中集中荷载作用下得到的关于的变形结论应用到其他不同的荷载分布或者连续梁中有较大的近似性, 也不符合有效惯性矩的假设。且文献[15]仍然运用了折减系数的经验方法, 对理论推导的公式进行了修正, 说明现阶段的研究成果存在较大的近似性。

　　 本文综合考虑结构整体变形的影响因素, 采用有效惯性矩的方法计算极限挠度, 并假设结构极限状态下变形形状与弹性变形一致, 更加精确地推导了无粘结简支梁的极限应力公式, 给出了简支梁和连续梁在不同荷载条件和约束分布下的极限应力增量计算方法。

　　 对于直线布筋的无粘结预应力筋混凝土结构, 在跨中集中荷载作用下的计算模型如图1所示。

　　 考虑弹性阶段情况下, 结构在荷载作用下挠曲线为抛物线, 本文则假设结构破坏时的挠曲线与弹性阶段的挠曲线一致。因此预应力筋的伸长量为中性轴ACB和抛物线段A'C'B'的长度差, 即预应力筋伸长量Δl为:

　　 式中:e_m为预应力筋重心至截面中性轴的距离;θ_A为A支座处截面转角;θ_B为B支座处截面转角。

　　 对于跨中集中荷载F作用下的简支梁, 根据力学知识可知:

　　 式中:Δ为跨中挠度;L为单跨跨度。

　　 因此, 预应力筋应变增量δε可表示为:

　　 将应变增量与跨中挠度的计算公式推广至连续梁以及任意荷载分布情况, 如图2所示。

　　 令:

　　 式中ξ为应力增量系数, 此系数的取值与结构、荷载形式有关, 通过静力学计算或查表可得, 如简支梁在跨中集中荷载作用下为6.00, 在跨中对称三等分点荷载作用下为6.26, 在均布荷载作用下为6.40;两跨连续梁在跨中集中荷载作用下为6.86。

　　 联立公式 (1) , (3) , (4) 有:

　　 对于结构挠度的计算, 国内外学者最常采用的是等效惯性矩法^[16]。经国内外不同学者的试验验证, 该方法的计算结果和实测结果符合较好;除此之外, 等效惯性矩法还统一了普通混凝土梁和预应力混凝土梁的挠度计算。通过结构力学方法可求得梁的跨中挠度Δ为:

　　 式中:I_e为截面等效惯性矩;k为荷载及约束分布系数, 此系数的取值与与荷载形式、约束分布有关, 可通过结构力学方法计算得出;M为控制截面的弯矩。

　　 但是由于考虑的初始应力为有效预应力, 因此跨中挠度应该包括反拱, 计算公式为:

　　 式中:Δ_p为预应力作用产生的跨中反拱;Δ₁为外荷载作用产生的跨中挠度。

　　 因此公式 (6) 可变形为:

　　 式中:k_p为预应力等效荷载作用下的荷载及约束分布系数;N_p为预应力筋中的预拉力;k₁为普通荷载作用下的荷载及约束分布系数;I_g为梁开裂前的截面惯性矩。

　　 极限应力增量考虑的是无粘结预应力筋的极限应力和有效预应力的差值, 计算公式为:

　　 式中:Δf为无粘结预应力筋的极限应力增量;f_ps为无粘结预应力筋的极限应力;f_pe为无粘结预应力筋的有效预应力。

　　 对于本文讨论的极限状态下的无粘结部分预应力梁挠度的计算, 由材料力学知识可知:

　　 因此极限状态下的跨中挠度计算公式可改写为:

　　 式中:Ф为极限状态下梁破坏截面的曲率;M_u为极限状态下梁破坏截面的弯矩;ε_cu为极限状态下梁破坏截面混凝土的压应变;x_n为极限状态下梁破坏截面受压区高度, 可以根据极限状态下跨中截面的平衡方程求得:

　　 式中:f_c为混凝土圆柱体抗压强度;b为梁宽;Δf_ps为无粘结筋极限应力增量;A_p为无粘结筋面积;f_y为受拉钢筋屈服强度;A_s为受拉钢筋面积;f_y'为受压钢筋屈服强度;A_s'为受压钢筋面积。

　　 考虑到一般跨中截面受压钢筋面积较小, 因此可略去, 一般情况下, 为了避免迭代计算, 略去Δf_psA_p项也能满足工程要求, 式 (12) 简化后可得:

　　 联立式 (5) 和式 (11) 可得极限应力增量的计算公式:

　　 由试验验证结果发现, 反拱对极限应力增量的影响不超过5%, 为简便计算, 忽略反拱的影响, 将式 (14) 简化为:

　　 表1给出了常见荷载形式和约束分布情况下的极限应力增量系数ξ和普通荷载作用下的荷载及约束分布系数k₁。

　　 本课题组选取已有无粘结梁 (包括120根简支梁、22根两跨连续梁) ^{[11,13,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27]}极限应力增量的试验结果与已有计算方法^{[1,3,4,5,9,10,14,15]}和本文计算方法所得的极限应力增量的计算结果进行了分析比较。各计算方法的极限应力增量的平均误差对比见表2, 各计算方法的极限应力增量的计算值与试验值之比的均值和方差如表3所示。

　　 由表2可见:1) 文献[9]计算方法对无粘结简支梁及连续梁的无粘结预应力筋极限应力增量的计算均存在着较大的偏差, 尤其是计算简支梁的极限应力增量时, 极限应力增量平均误差达到了45%左右;2) 文献[10,14]计算方法应用于简支梁时, 极限应力增量平均误差尚可接受, 大约在30%;而应用于连续梁时, 极限应力增量平均误差则约达到了50%;3) 文献[15]计算方法对简支梁和连续梁满跨加载的无粘结预应力筋极限应力增量均有不错的结果, 平均误差约17%~29%, 但在连续梁单跨加载的情况下限应力增量平均误差约为45%;4) 所选国家规范中, 英规^[3]计算方法的结果最为理想, 其他国规范^[1,4,5]计算方法的结果则显得过于保守。

　　 总的来说, 已有基于变形的计算方法^[15]对简支梁有不错的计算效果, 而对连续梁则不理想;等效塑性区长度的方法及其改进的方法^[9,10]随着试验样本的扩大, 其计算结果存在不小的误差;除英规^[3]计算方法外, 中国混规、美规^[4]、德规^[5]计算方法无论是针对简支梁或是连续梁均十分保守。

　　 本质上来说, 文献[9,10]以及英规^[3]计算方法均是基于等效塑性区理论的, 相对来说理论性较强, 但计算相对复杂, 且关于等效塑性区长度的确定仍存在争议, 但总体来说, 文献[9,10]以及英规^[3]计算方法精度较好。文献[14,15]计算方法则是基于结构整体变形理论的, 但折线和圆弧的变形假设与实际变形相差较大, 也不能考虑不同荷载形式下的结构变形, 因此在荷载形式变化较大时, 本文计算方法的精度要优于文献[14,15]计算方法的。此外, 文献[15]计算方法对理论推导得到的极限应力增量系数进行了折减, 从而得出体内无粘结预应力筋的应力增量系数, 说明文献[15]计算方法的理论推导具有一定程度的近似性;而折减后的极限应力增量系数为6.4, 与本文理论推导所得的简支梁在均布荷载下的应力增量系数一致, 这也间接说明了本文计算方法理论推导的合理性。为了能较为明显地对比本文计算方法与文献[15]计算方法, 单独对简支梁在跨中集中荷载的结果进行分析。由表1可知极限应力增量系数ξ为6.0, 而文献[15]中应力增量系数为6.4。对比表2发现, 本文计算方法的极限应力增量平均误差为0.18, 文献[15]计算方法的极限应力增量平均误差为0.22, 这表明本文计算方法的计算结果更趋于试验值, 本文所提出的应力增量系数的计算方法是合理的。将公式 (15) 应用于连续梁在不利荷载布置情况下极限应力增量的计算时, 应力增量系数会出现更明显的差别, 进而导致极限应力增量的计算结果出现更大的误差, 例如:对于单跨跨中集中荷载作用下的两跨连续梁, 由表1可知, 其应力增量系数为2.08, 而文献[15]中应力增量系数仍为6.4。对比表2可知, 本文计算方法的极限应力增量平均误差为0.15, 文献[15]计算方法的极限应力增量平均误差为0.45。可见本文所提出的计算公式对不同荷载条件下不同形式梁的无粘结预应力筋极限应力增量的计算也具有良好的适用性。美规^[4]和德规^[5]计算方法最为简单, 但前者是基于折减系数法、后者是采用一个常数近似计算的方法来计算极限应力增量的, 因此计算值与试验值之间误差较大。中国混规计算方法则是采用基于试验的线性回归公式, 并在实际回归的结果上对计算值进行了折减, 因此, 其计算值比试验值小很多。对比表3中极限应力增量计算值与试验值比值的均值, 可以看出计算方法是否偏于保守, 方差则能体现出计算方法的稳定性和适用性。由表3可以看出, 除英规^[3]计算方法以外, 美规^[4]、德规^[5]和中国混规计算方法都偏向于对极限应力增量取较小值, 相对来说, 有一定的安全冗余。但是, 对于极限应力增量过于保守的估计, 低估了梁的承载能力, 有可能对结构的破坏形式产生影响。结构在破坏时, 设计的强柱弱梁有可能并不生效, 甚至可能形成“强梁弱柱”, 进而发生柱先于梁的破坏情形。因此, 对于极限应力增量的保守估计并不一定能够提高结构的安全性, 有必要对极限应力增量进行更精确的计算。

　　 本文提出的计算公式综合考虑了无粘结预应力筋配筋指标、普通钢筋配筋指标、混凝土强度等级、预应力筋线型、荷载条件和约束分布等参数, 此些参数已被多个试验证明了与无粘结预应力筋极限应力增量相关。并认为通过合理地假设变形形状能够较为精确地计算结构整体的变形, 进而对无粘结预应力筋的伸长量进行了合理的近似计算, 统一了简支梁、连续梁等不同形式在不同荷载分布下预应力筋极限应力增量的计算。通过与已有计算方法的对比分析, 可以认为本文计算方法是合理的, 且有较高的精度。