混凝土构件的抗剪性能研究一直以来是混凝土结构研究的热点与难点。一般认为, 钢筋混凝土构件的抗剪承载力可以归功于混凝土与箍筋两部分的贡献, 其中混凝土部分的贡献对应于无腹筋梁的抗剪承载力。试验研究表明, 无腹筋梁的抗剪承载力主要与混凝土抗压强度、剪跨比、截面尺寸、纵筋配筋率、截面形式、荷载形式、粘结滑移、骨料粒径、加载方式有关^[1]。影响无腹筋梁抗剪承载力的参数有多种, 然而当前的抗剪承载力计算公式往往只反映了单一参数变化对承载力的影响规律, 没有反映多参数耦合对承载力的影响规律。

　　 2003年, Reineck等^[2]总结了ACI无腹筋梁剪切试验数据库, 发现无量纲剪应力 (V_u/bdf_c′) 随混凝土抗压强度增加而降低, 其中V_u为极限剪力, b为梁截面宽度, d为梁截面有效高度, f_c′为混凝土圆柱体抗压强度。2008年, 吕艳梅^[3]完成一批无腹筋梁试验, 发现无腹筋梁抗剪承载力V_u受混凝土立方体抗压强度f_cu和剪跨比λ两者耦合影响。剪跨比越小, 无腹筋梁抗剪承载力随混凝土抗压强度增加而增加的趋势越明显。当剪跨比为1.5时, 抗剪承载力随混凝土抗压强度接近线性增长;当剪跨比为3时, 该变化趋势接近于水平线。此次试验结果如图1所示。然而当前各种抗剪承载力计算公式中, 混凝土强度项几乎都沿用ACI提倡的$\sqrt{f{}_{{\text{c}}^{\prime }}}$来表达, 与剪跨比无关, 不能反映上述抗压强度与剪跨比的耦合影响规律。

　　 抗压强度和剪跨比两者耦合, 共同影响抗剪强度的现象, 可用无腹筋梁剪切破坏模式来解释。无腹筋简支梁受剪破坏主要有三种破坏模式——斜拉破坏、剪压破坏、斜压破坏^[1,4]。当剪跨比大于3时, 主要发生斜拉破坏, 斜拉破坏会形成一条临界斜裂缝并迅速扩展, 最后裂缝两侧混凝土错动拉断而破坏;当剪跨比在1～3之间时, 主要发生剪压破坏, 剪压破坏也形成临界斜裂缝, 但裂缝不贯穿整个截面, 残留在裂缝上端的剪压区混凝土在正应力与剪应力共同作用下达到其双轴抗压强度而压坏;当剪跨比小于1时, 主要发生斜压破坏, 斜压破坏在加载点到支座之间形成斜向传力路径, 平行于路径方向产生多条斜压裂缝, 最终混凝土斜压柱体的压应力超过抗压强度而被压坏。三种破坏模式如图2所示。

　　 由破坏模式可以看出, 随着剪跨比的增大, 无腹筋梁的剪切破坏实质上是由压坏转变成拉坏。混凝土抗拉强度在数值上介于0.5f_c′^1/2～0.7f_c′^2/3之间^[5], 远小于对应的抗压强度。因此无腹筋梁抗剪强度随着剪跨比的增大而减小。结合吕艳梅^[3]试验结果的规律, 笔者提出无腹筋梁抗剪承载力与剪跨比之间存在一种指数关系:当剪跨比小于1时, 抗剪承载力与混凝土抗压强度几乎成线性关系, 其表达式中f_c′项的指数接近于1;当剪跨比达到3左右时, 抗剪承载力与混凝土抗拉强度相关, 其表达式中f_c′项的指数递减到1/2左右。指数越小, 相同剪跨比的无腹筋梁抗剪强度随混凝土抗压强度增加的趋势越小, 这在一定程度上能解释前述试验现象。

　　 本文收集了大量的无腹筋梁试验数据进行统计分析, 考虑了多个主要的抗剪承载力影响参数, 提出并确定了无腹筋梁抗剪承载力计算时混凝土抗压强度和剪跨比的耦合关系, 并统计归纳了相应的抗剪承载力计算公式。

　　 本文收集了Collins等^[6]2008年总结的ACI无腹筋梁数据库和一些国内的试验数据^[3,7,8,9,10], 研究对象仅限于无腹筋矩形截面简支梁, 因为这种梁形式简单且试件数量众多, 适合进行统计分析。剔除了满足下列五个条件的数据:1) 发生弯曲破坏;2) 除简支以外的支承形式;3) 纵筋有截断;4) 均布荷载;5) 非矩形截面。理由如下:发生弯曲破坏, 极限荷载对应的是构件抗弯能力, 此时抗剪能力要强于抗弯能力;支承形式、荷载形式、截面形式必须相同才能在统一标准下比较;受拉纵筋截断会削弱销栓作用从而降低抗剪承载力。因此按上述规则剔除相应数据。

　　 对于资料中少部分混凝土最大骨料粒径没有记录的情况, 假定最大骨料粒径为3/4inch (19mm) 。混凝土立方体抗压强度f_cu与圆柱体抗压强度f_c′之间的换算关系为f_c′=0.8f_cu。经筛除共获得1 218组试验数据, 数据情况如图3所示。

　　 混凝土圆柱体抗压强度f_c′主要分布于20～40MPa之间, 与实际工程接近, f_c′>60MPa的高强混凝土试件也占有一定比例;剪跨比λ绝大部分小于4.5, 其中λ在3附近最为集中, 因为此值为斜拉破坏和剪压破坏的分界点;纵筋配筋率ρ主要在1%～3%之间, 实际工程中ρ一般小于1.5%, 试验中为了保证发生剪切破坏ρ往往偏大;截面有效高度d绝大部分小于500mm, 主要集中于300mm以下, 尺寸偏小是为了节约试验成本。总体来说, 本文数据库与实际情况有所差别, 但这种差别是容易理解和接受的, 各主要参数覆盖范围较广, 数据容量充足, 适合用于统计分析。

　　 无腹筋梁的抗剪机制包括未开裂混凝土的抗剪作用、纵筋的销栓作用、裂缝面的骨料咬合作用三部分。

　　 未开裂混凝土的抗剪能力主要由混凝土本身的材料性能决定。虽然剪压区混凝土处于压剪复合受力状态, 但混凝土的双轴强度与单轴抗压强度具有函数关系。随着剪跨比的增大, 混凝土的破坏模式由受压破坏转变为受拉破坏, 而在《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) (简称混规) 中, 混凝土抗拉强度采用抗压强度的幂函数表示。剪跨比λ通常写成M/Vd (M, V分别为计算截面的弯矩、剪力) , 反映了构件内部正应力与剪应力的相对比值。总之, 混凝土抗剪性能可以归结到抗压强度、剪跨比两个参数上, 本文公式考虑混凝土圆柱体抗压强度f_c′和剪跨比λ两个参数。依照上文提出的指数形式, 公式中这两个参数的表达形式写成f_c′^{f (λ)} , 其中指数f (λ) 是关于λ的函数。

　　 纵筋的销栓作用占整个无腹筋梁抗剪能力的20%左右。销栓作用与纵筋布置、弯曲裂缝间距、保护层厚度有关。此外纵筋还能增大截面受压区高度、增加骨料咬合作用, 从而间接提高抗剪承载力。因此, 纵筋配筋率也是影响抗剪承载力的重要因素, 本文公式考虑纵筋配筋率影响因数f (ρ) 。

　　 无腹筋梁抗剪性能尺寸效应是指抗剪强度随有效高度 (或梁高) 的增加而减小的现象, 这是试验中普遍观察到的结果。相应地, 本文公式考虑尺寸效应影响因数f (d) 。

　　 综上, 本文提出的无腹筋梁抗剪承载力V_u计算公式为:

　　 $V{}_{\text{u}}=Cf{}_{{\text{c}}^{\prime }}{}^{f(\lambda )}f(d)f(\rho )bd(1)$

　　 式中:C为常数;f_c′为混凝土圆柱体抗压强度, MPa;指数f (λ) 为关于剪跨比λ的函数, 用来描述混凝土强度指标随λ的递减规律;d为截面有效高度, mm;f (d) 为尺寸效应的影响因数;ρ为受拉纵筋配筋率;f (ρ) 为纵筋配筋率的影响因数;b为截面宽度, mm。

　　 为了从试验数据中确定f_c′^{f (λ)} 的指数形式, 本文选取对应的试验数据, 先定量给出f (d) 和f (ρ) 的表达式, 再定量f_c′^{f (λ)} 部分表达式, 逐步得到无腹筋梁抗剪承载力计算公式。

　　 Leonhardt等^[11]、Kani^[12]、Bazant和Kazemi^[13]在各自的研究中均发现无腹筋梁抗剪具有明显的尺寸效应。Lubell等^[14]认为骨料粒径对尺寸效应起决定作用, 并给出了骨料粒径、裂缝宽度和尺寸效应的关系。本节通过统计分析确定尺寸效应影响因数f (d) 。

　　 选取数据点中所有研究尺寸效应的数据系列, 共19个。为了反映更细致的曲线信息和排除偶然误差的影响, 所选的每个系列中最少包含4个尺寸等级。严格地说, 每个系列的f_c′应该相同, 这是控制变量的基本要求。但是f_c′往往是实测所得, 不可能全部相同。研究中通常采用正则化剪应力$V{}_{\text{u}}/(bd\sqrt[]{f{}_{{\text{c}}^{\prime }}})$来表示抗剪强度, 但由于f_c′和λ的耦合作用, λ较小 (如小于1) 时, V_u几乎与f_c′成线性关系, 而正则化剪应力中以$\sqrt[]{f{}_{{\text{c}}^{\prime }}}$来表达会产生度量误差。例如两个f_c′不同的试件, f_c′较大值为较小值的1.2倍, 两者的V_u比值也应接近于1.2, 但两者的正则化剪应力比值却为$\sqrt[]{1.2}$, 这种度量误差随着同系列中f_c′值的差距增加而增加。因此本文剔除同系列中f_c′过大或过小的数据点, 控制每个系列的f_c′最大值与最小值相差不超过20%。则理论上度量误差不超过10%, 这相对于抗剪试验结果的离散程度是可以接受的。

　　 以截面有效高度d为横坐标, 正则化剪应力为纵坐标绘制散点图和各系列的拟合曲线。拟合方程采用y=Ax^-B, 其中A, B为待定系数。数据拟合结果如图4、表1所示。参数B反应了尺寸效应强弱, 尺寸效应越强, B值越大。

　　 图4 研究尺寸效应影响的各系列拟合结果

　 研究尺寸效应影响的各系列相关信息 表1

　　 注:f_c′, ρ, agg, λ均为系列平均值。

　　 为了观察尺寸效应强弱与各参数的关系, 分别以混凝土圆柱体抗压强度f_c′、纵筋配筋率ρ、最大骨料粒径agg (高强混凝土的agg按文献[14]的方式换算) 、剪跨比λ为横坐标, 参数B为纵坐标作出散点图, 并进行线性拟合, 结果如图5所示。可以发现, 参数B与λ具有最大的相关性, 其次才是Lubell等^[14]提到的agg, f_c′和ρ与尺寸效应强弱关系不大。

　　 图5 参数B与各参数关系拟合结果

　　 由于λ决定了无腹筋梁剪切破坏的模式, 可以认为破坏模式对尺寸效应强弱影响很大, 斜压破坏模式下无腹筋梁表现出更强的尺寸效应。但是, 由于本文数据中λ处于1～2.5之间 (典型剪压破坏区) 的点很少, 不足以据此引入尺寸效应与λ的函数关系, 二者的函数关系有待试验验证。  

　　 本文最终采用一个偏大的B值, 以保证考虑尺寸效应对于大尺寸梁承载力推算的保守性。注意到Yang等^[15]提到自己的试验中一些试件有发生粘结滑移破坏的趋势, 粘结滑移会显著降低无腹筋梁的抗剪承载力^[1], 这可能是其试验系列所得B值偏大的原因。排除Yang等的试验结果 (表1中最后4个系列) , 采用其他系列B值的最大值0.45作为本文公式的尺寸效应因数, 即f (d) =d^-0.45。

　　 研究尺寸效应的目的是为了避免高估大尺寸梁的抗剪强度, 而这种幂函数的数学形式在小尺寸时会使计算的抗剪强度显著增大, 这与试验结果不符。因此有必要给截面有效高度d设置一个下限。注意到本文的尺寸效应系列中只有很少一部分试件的d<150mm, 因此d下限取150mm, 对于d<150mm的情况取d=150mm计算。

　　 与尺寸效应的数据系列要求一致, 每个纵筋配筋率数据系列最少包含4个纵筋配筋率等级, 且f_c′值差距不超过20%。经过筛选, 得到符合要求的纵筋配筋率数据系列共8个。以纵筋配筋率ρ为横坐标、正则化剪应力为纵坐标绘制各系列的折线图 (相同纵筋配筋率等级的多个点取平均值) , 如图6所示。可以看到, 正则化剪应力随纵筋配筋率增加而增加, 但增加的幅度逐渐降低。在Chang′s 18 series和Mathey′s Ⅰ～Ⅵ series中, 其三折线的三段斜率分别为21.5, 12, 4.3和22.4, 17.1, 5.0, 当ρ>2%时, 两曲线斜率明显减小。其他系列在ρ>2%时, 正则化剪应力增幅也很小。

　　 纵筋配筋率增大, 纵筋对抗剪强度的贡献会降低。因此很多规范中抗剪承载力计算对纵筋配筋率规定了上限值, 即ρ超过此上限值时采用上限值来计算。《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》 (JTG D62—2004) (简称桥涵规范) 中此上限值为2.5%, EN 1992-1-1^[16]中此上限值为2%。参考本文中的数据趋势, 笔者采用2%作为ρ的上限值。由于Chang′s 18 series, Mathey′s Ⅰ～Ⅵ series, Rajagopalan′s S series, Küng′s C～F series, Jiang Ning′s L1～4 series对ρ<2%的范围覆盖较广, 选取其ρ<2%的数据点进行线性拟合, 拟合方程为y=A₁ (1+B₁x) , 拟合结果如图7、表2所示。参数B₁反映了ρ对抗剪强度的影响。

　　 图7 研究纵筋配筋率影响的各系列拟合结果

　　  

　　 桥涵规范的编制说明中提到无腹筋梁抗剪承载力与2+0.6P有关^[17], P=100ρ, 换算可得桥涵规范中B₁值为30。B₁=30应该是个偏保守的数值, 本文试验数据所反映的B₁值应比30略大。表2中显示的B₁值除Küng′s C～F series之外均稍大于30, 本文取其他4组的平均值46为最终的B₁值, 即本文公式的f (ρ) =1+46ρ, 且ρ≤2%。

　　 由破坏模式与抗剪强度的关系可知, 当λ≥3时, f (λ) 的值应在1/2左右。因此, 式 (1) 中常数C可由所有λ≥3的点确定。令这些数据点的f (λ) =1/2, 把数据点的各参数代入式 (1) 中求出C的平均值为1.552, 以此值作为式 (1) 中C的最终值。对于全部数据点, 将C=1.552及相关参数代入式 (1) , 求得f (λ) 值。以λ为横坐标, f (λ) 为纵坐标作散点图, 结果如图8所示。f (λ) 显示出明显的双线性。当λ<3时, f (λ) 随λ增大而减小;当λ≥3时, f (λ) 呈水平线。当λ<3时, f (λ) 取线性拟合结果, 当λ≥3时, f (λ) 取λ=3时的拟合值, 以此确定f (λ) 的函数表达式, 结果见图8。注意到λ≥3的所有数据点的f (λ) 的平均值为0.497, 与拟合值0.48很接近, 说明了本文数学模型的准确性。

　　 至此, 式 (1) 中所有参数均已定量给出。考虑数字的简洁性, 本文计算公式最终确定为:

　　 $V{}_{\text{u}}=1.55f{}_{{\text{c}}^{\prime }}{}^{1.2-0.24\lambda }d{}^{-0.45}(1+46\rho )bd(2)$

　　 式中:当λ>3时取λ=3;当d<150mm时取d=150mm;当ρ>2%时取ρ=2%。

　　 采用参数ξ (ξ=V_p/V_t, V_p为根据计算模型求得的抗剪承载力, V_t为试验测得的极限剪力) 的均值和标准差来评价本文提出的式 (2) 对抗剪承载力预测的好坏。本文用作对比的计算模型包含ACI 318-11^[18]公式、混规公式、Zsutty^[19]公式、Rebeiz^[20]公式、EN 1992-1-1^[16]公式, 对比结果如图9所示。

　　 可以发现:本文提出的式 (2) 在几种对比模型中均值最接近于1且标准差较小, 具有最好的统计指标, 表明本文公式预测精度良好。Zsutty^[19]公式的预测精度略逊于本文公式。ACI 318-11^[18]公式、混规公式、EN 1992-1-1^[16]公式三种规范公式的预测值偏于保守, 当λ<3时, 保守性非常明显, 且剪跨比越小, 预测值越保守。Rebeiz^[20]公式的预测值总体上略微偏大。

　　 (1) 提出了无腹筋梁抗剪承载力计算时混凝土抗压强度和剪跨比的耦合关系, 解释了相应的试验现象。考虑尺寸效应和纵筋配筋率的影响, 并基于这种耦合关系, 确定了本文抗剪承载力计算公式, 该公式克服了常见公式只反映单一参数影响规律的局限性, 并且预测结果比较准确。

　　 (2) 无腹筋梁抗剪尺寸效应有随剪跨比减小而增强的趋势, 斜压破坏模式、高强混凝土、小骨料粒径三种因素叠加会造成尺寸效应显著增大。

　　 (3) 无腹筋梁抗剪强度在低纵筋配筋率时随纵筋配筋率增加明显, 在纵筋配筋率超过2%时增加幅度明显降低。