鉴于冲切问题的重要性和复杂性, 国际上许多学者对影响板柱节点抗冲切承载力的因素进行了大量研究, 确定的主要影响因素有混凝土强度、抗弯纵筋配筋率、尺寸效应等。由于板柱节点在冲切破坏过程中的应力状态和各变量间的相互作用较为复杂, 尽管相关学者提出了不同的理论计算模型和分析方法, 如极限平衡法^[1]、刚塑性理论^[2,3,4]、桁架比拟法^[5]等, 但理论解往往过于繁杂不便于工程应用。此外, 各种规范中用于预测板柱节点抗冲切承载力的计算公式多是建立在试验基础之上的半经验半理论方法, 缺乏必要的理论依据。因此, 有必要对板柱节点抗冲切承载力的计算方法进行深入研究。本文在国内外既有方形板柱节点试验研究的基础上, 对影响冲切承载力的主要因素进行回归分析, 以期得到无腹筋板抗冲切承载力的简化计算公式。

　　 1913年, Talbot^[6]参照梁的弹性经验公式, 首次提出临界截面的概念, 利用临界截面上混凝土的名义剪应力来计算抗冲切承载力。此后, 学者们对其提出许多修改, 将公式的应用范围进一步拓展, 得到更加简易的表达式, 从而被国际上许多设计规范所采用。对美国规范ACI 318M-11^[7], 加拿大规范CAN/CSA A23.3-04^[8], 英国规范BS 8110-1∶1997^[9], 欧洲规范Eurocode 2-2003^[10]与我国现行《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) ^[11] (简称GB 50010—2010) 无腹筋板的冲切承载力计算方法进行整理, 如表1所示。

　　 由表1各规范抗冲切承载力V_p计算公式对比可知, 美国规范ACI 318-11与加拿大规范CAN/CSA A23.3-04的表达式较为相似, 临界截面位置的取法也相同。进一步分析可知, 由于美国规范ACI 318-11、加拿大规范CAN/CSA A23.3-04与欧洲规范Eurocode 2-2003分别认为混凝土的轴心抗拉强度f_t与混凝土轴心抗压强度f_c的1/2或1/3次方成正比, 因此, 尽管各规范对抗冲切承载力的计算表达式不尽相同, 但美国规范ACI 318M-11、加拿大规范CAN/CSA A23.3-04、欧洲规范Eurocode 2-2003以及中国规范GB 50010—2010均认为钢筋混凝土板的抗冲切承载力与混凝土的轴心抗拉强度f_t成正比^[12]。然而, 与英国规范BS 8110-1∶1997和欧洲规范Eurocode 2-2003不同的是, 美国规范ACI 318M-11、加拿大规范CAN/CSA A23.3-04和中国规范GB 50010—2010并未考虑纵筋配筋率的影响。

　　 尽管对各影响因素的考虑有所不同, 但总的来说, 各规范计算板抗冲切承载力考虑的主要因素包括混凝土强度f_c、纵筋配筋率ρ、临界截面周长u_m以及板的有效高度h₀等。为考量这些因素对板受冲切承载力的影响, 本文收集国内外方形中柱节点以及作者的试验数据^[13]共231个作为评估样本, 将表1中各规范计算公式的预测值与试验值进行比较, 以期得到其在计算过程中的相互差异, 主要参数取值范围如图1所示, 对比结果如图2所示。评估样本满足以下要求:1) 加载柱头为方形柱头;2) 未配置抗冲切钢筋;3) 不考虑尺寸效应, 但板厚不超过250mm;4) 纵筋配筋率不超过3%。

　　 由图2 (a) , (b) 可以看出, 当抗弯纵筋配筋率 ρ≤1%时, 美国规范ACI 318M-11和中国规范GB 50010—2010过高估计了板的抗冲切承载力, 偏不安全;而当抗弯纵筋配筋率ρ>1%时, 规范预测值较试验结果偏小, 规范公式偏于保守;由图2 (c) 可知, 欧洲规范Eurocode 2-2003虽然考虑了抗弯纵筋配筋率的有利影响, 但仍高估了部分配筋率ρ≤1%板的抗冲切承载力, 且试验值与规范预测值之比的平均值较前两者明显偏大, 离散性较大。

　　 综上所述, 本节选取主要影响因素f_c, ρ, u_m等变量对未配置抗冲切钢筋的板的冲切承载力进行分析, 并假定抗冲切承载力可用以下方程式表达:

　　 $\begin{array}{l}V{}_{\text{p}}=k\left(f{}_{\text{c}}\right){}^{c{}_1}\left(\rho \right){}^{c{}_2}u{}_{\text{m}}h{}_0(1)\\ f{}_{\text{c}}=0.76\alpha {}_{\text{c}2}f{}_{\text{c}\text{u}}(2)\\ f{}_{\text{t}}=0.395\alpha {}_{\text{c}2}f{}_{\text{c}\text{u}}^{0.55}(3)\end{array}$

　　 式中:k为待定系数;f_c和f_cu分别为混凝土轴心抗压强度和立方体抗压强度, 并按照中国规范GB 50010—2010中的公式 (即式 (1) 和 (2) ) 进行计算;为便于比较, f_c均按照式 (2) 进行计算;α_c2为混凝土脆性折减系数, 当混凝土强度等级不大于C40时, 混凝土脆性折减系数α_c2=1, 当混凝土强度等级为C80时, 取0.87, 中间强度等级按线性插值;ρ为抗弯纵筋的配筋率, ρ= (ρ_xρ_y) ^0.5;c₁和c₂分别为混凝土和抗弯纵筋的待定影响系数, 通过对试验数据的回归统计分析进行确定;对于临界截面位置, 参照作者的试验结果^[14,15]取冲切破坏角为25°, 距柱外侧2h₀处为临界截面, 即u_m=4 (b_c+4h₀) , 其中, b_c为方形加载柱的边长, h₀为板的截面有效高度;ρ_x, ρ_y分别为板内X, Y向纵筋配筋率。

　　 在检验单变量对抗冲切承载力的影响时, 为了消除其他因素的影响, 采用下列分析过程^[16]:

　　 (1) 在分析单一变量 (混凝土轴心抗压强度或抗弯钢筋配筋率) 对抗冲切承载力的影响时, 首先分别定义中间项$Y=\left(f{}_{\text{c}}\right){}^{c{}_1}$或$Y=\left(\rho \right){}^{c{}_2}$;其次, 以中间项Y所包含变量以外的其他变量相似度为标准, 将样本进行分组 (偏差在5%之内) 。例如:当取$Y=\left(f{}_{\text{c}}\right){}^{c{}_1}$时, 将其他变量相似但f_c不同的样本分为一组。由此, 可将试验数据分为m组, 且每组至少包含两个样本。

　　 (2) 设定待定系数 (c₁或c₂) 的初始值, 并计算每个样本抗冲切承载力V_ij与中间项Y_ij的比值, 其中, 下标i为各组编号 (i=1, 2, …, m) ;下标j则表示各组中的样本编号 (j=1, 2, …, n) 。首先, 可得到各组的平均值X_i:

　　 $\overline{X}{}_i=\frac{{\displaystyle \sum _{j=1}^n\frac{V{}_{ij}}{Y{}_{ij}}}}{n}(4)$

　　 (3) 其次, 得到各组单个样本的相对偏差e_ij:

　　 $e{}_{ij}=\frac{\left|\frac{V{}_{ij}}{Y{}_{ij}}-\overline{X{}_i}\right|}{\overline{X{}_i}}(5)$

　　 (4) 再次, 得到整个样本的平均偏差:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle e}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}e}}{}_{ij}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n}}(6)$

　　 (5) 最后, 调整待定系数 (c₁或c₂) 的取值, 并重复步骤 (2) ～ (4) , 当平均偏差达到最小值时, 分析中止。

　　 通过上述分析过程, 可以得到单一变量影响系数 (c₁或c₂) 变化过程中样本平均偏差$\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$的变化规律, 如图3所示。可知c₁或c₂与$\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$的关系曲线呈明显的非线性。其中, $\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$随c₁的增大而不断增大;$\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$首先随c₂的增长而降低, 待c₂变化至某一极值点时, $\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$达到最小值, 之后$\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$随c₂增大而快速增长。

　　 由表2和表3的分析结果可以看出, 当c₂=0.5时, 平均偏差$\stackrel{—}{{\displaystyle e}}$达到最小值。此时, 其能够较好地反映单一变量抗弯纵筋配筋率对样本抗冲切承载力V_p的影响程度;而对于混凝土轴心抗压强度f_c, 当c₁=0.33时, 式 (1) 与样本的平均偏差较小。如继续减小c₁, 平均偏差基本保持不变, 为了便于公式的应用, 取c₁=0.33。最后, 通过式 (1) 则可求出待定系数k的平均值为3.6。对k适当进行折减, 则可得到无腹筋板的抗冲切承载力简化计算公式为:

　　 $V{}_{\text{p}}=3f{}_{\text{c}}^{1/3}\rho {}^{1/2}u{}_{\text{m}}h{}_0(7)$

　　 值得注意的是, 式 (7) 是建立在既有独立板柱节点的试验研究基础之上, 而对于实际工程中的中柱节点, 其抗冲切承载力往往由于周边结构的约束作用而有所提高, Alexander等^[17]曾指出如在板柱节点边界施加旋转约束后, 其抗冲切承载力至少能够提高10%。由式 (7) 得出的抗冲切承载力计算值与样本的对比结果如图4所示, 可见试验结果与预测值之比的平均值为1.22, 变异系数为0.15, 吻合较好, 且具有一定的安全储备。

　　 采用国内外既有方形中柱节点试验数据作为评估样本, 对国内外设计规范中无腹筋板柱节点抗冲切承载力计算公式进行了介绍和评述, 得到以下结论:

　　 (1) 各规范中无腹筋板抗冲切承载力计算公式对不同影响因素的考虑方式不尽相同, 但各规范均认为无腹筋板柱节点的抗冲切承载力与混凝土的轴心抗拉强度成正比。此外, 与英国规范BS 8110-1∶1997和欧洲规范Eurocode 2-2003不同的是, 美国规范ACI 318M-11、加拿大规范CAN/CSA A23.3-04和中国规范GB 50010—2010公式均未考虑纵筋销栓作用的有利影响, 规范预测值相比试验值偏差较大。

　　 (2) 当纵筋配筋率较低 (ρ≤1%) 时, 中国规范GB 50010—2010公式过高估计了无腹筋板的抗冲切承载力, 偏不安全;而当配筋率较高 (ρ>1%) 时, 规范公式又偏于保守。

　　 (3) 尽管欧洲规范Eurocode 2-2003考虑了抗弯纵筋配筋率的有利影响, 但仍高估了部分配筋率ρ≤1%板柱节点的抗冲切承载力, 离散性较大;且试验实测值与规范预测值之比的平均值明显增大, 规范公式偏于保守。

　　 (4) 基于对样本的回归分析, 本文提出了形式简单的无腹筋板抗冲切承载力建议计算公式。该公式的预测值与试验结果符合程度良好、离散性小, 并具有一定的安全储备, 可为进一步完善我国规范无腹筋板抗冲切承载力计算提供参考。