结构设计中剪力墙开洞后形成由连梁和墙肢组成的联肢剪力墙^[1]。Aktan和Bertero^[2]对1∶3双肢剪力墙进行试验, 发现连梁的刚度直接影响墙肢的内力分布、强度、刚度和变形性能。吕西林等^[3]和杜修力等^[4]分别通过开洞钢筋混凝土核心筒的反复加载试验, 研究了连梁刚度不同的核心筒抗震性能。非线性有限元分析^[5,6,7,8]也表明, 连梁刚度对结构抗震性能及设计结果具有明显影响。

　　 连梁刚度相对于墙肢刚度较小, 地震作用下连梁变形和内力很大^[9], 应允许其较早地进入非线性, 采取合理措施可将连梁设计为延性较好的耗能构件, 可提高结构的整体抗震性能^[10]。《建筑抗震设计规范》 (GB 50011—2010) ^[11]第6.2.13条和《高层建筑混凝土结构技术规程》 (JGJ 3—2010) ^[12]第5.2.1条分别规定剪力墙地震内力计算和高层建筑结构地震效应计算时, 连梁刚度可进行折减, 折减系数不宜小于0.5。上述研究主要集中在连梁刚度对结构抗震性能影响, 而对如何确定考虑连梁刚度折减的设计模型 (简称连梁刚度折减模型) 的研究相对较少, 在工程实践中连梁常采用统一折减系数。袁媛^[8]分别采用塑性铰模型和纤维单元模拟梁柱和剪力墙, 对结构进行Pushover分析, 研究了不同地震水准作用下结构的连梁刚度统一折减系数。范重等^[13]采用塑性铰模型模拟连梁, 对结构进行非线性动力时程分析得到了连梁的刚度退化系数和结构非线性附加等效阻尼比。

　　 本文认为连梁刚度折减模型应反映连梁刚度退化和非线性耗能。可采用基于混凝土塑性损伤模型的非线性显式分层壳单元模拟剪力墙墙肢和连梁, 在混凝土材料损伤结果的基础上得到构件刚度折减系数。根据能量等效原则, 通过材料非线性耗能与振型阻尼耗能的比值得到连梁刚度折减模型的等效阻尼比。将连梁刚度折减模型的确定方法在非线性显式动力分析软件SAUSAGE中完成开发现实, 采用SAUSAGE完成了某超高层剪力墙结构在小震、中震、大震作用下的非线性动力时程分析, 得到相应的连梁刚度折减模型。利用结构设计软件SATWE对连梁刚度折减模型进行相应的等效线性时程分析, 并与SAUSAGE非线性时程分析结果对比, 验证了连梁刚度折减模型的合理性。

　　 平面应力条件下混凝土弹塑性损伤模型^[14,15] (简称塑性损伤模型) 在有效应力空间中屈服函数F和塑性势函数Φ见式 (1) ～ (3) :

　　 $\begin{array}{l}F=\frac{1}{1-\alpha }(\stackrel{—}{{\displaystyle q}}-3\alpha \stackrel{—}{{\displaystyle p}}+\beta \left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{\pm }\right)〈\widehat{\sigma }{}_{\max }〉)-\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\text{c}}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}\right)(1)\\ \Phi =\sqrt{(\eta \stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\text{t}}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}\right)\tan \phi ){}^2+\stackrel{—}{{\displaystyle q}}{}^2}-\stackrel{—}{{\displaystyle p}}\tan \phi (2)\\ \beta \left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{\pm }\right)=\left(1-\alpha \right)\frac{\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\text{c}}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}\right)}{\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\text{t}}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}\right)}-1-\alpha (3)\end{array}$

　　 式中:$\stackrel{—}{{\displaystyle p}}$和$\stackrel{—}{{\displaystyle q}}$分别为静水压力和等效剪切应力;$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}$和$\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}$分别为等效拉伸塑性应变和等效压缩塑性应变;$\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_t\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}\right)$和$\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_c\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}\right)$分别为拉伸和压缩等效屈服应力;α, η, φ为模型参数。

　　 屈服函数和塑性势函数在二维有效主应力空间的示意图如图 1所示, 模型可较好地反映混凝土残余变形、拉压异性、静水压力效应等力学特性。

　　 如式 (4) ～ (7) , 根据损伤力学^[16]的基本假定, 塑性损伤模型采用双标量损伤因子, 引入应力状态函数得到材料刚度退化系数, 从而反映了混凝土在有效应力空间中强度软化、刚度退化、裂面效应等力学特性。

　　 $\begin{array}{l}\sigma =\left(1-d\right)\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}(4)\\ d=s{}^{+}d{}^{+}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}\right)+d{}^{-}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}\right)-s{}^{+}d{}^{+}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}\right)d{}^{-}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}\right)(5)\\ s{}^{+}=1-{\rm H}\left(\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\max }\right)(6)\\ {\rm H}\left(\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\max }\right)=\{\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\left(\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\max }>0\right)\\ \left(\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\max }\le 0\right)\end{array}(7)\end{array}$

　　 式中:${\rm H}(\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}{}_{\max })$为海维赛德函数;σ和$\stackrel{—}{{\displaystyle \sigma }}$分别为真实应力和有效应力; s⁺为应力状态函数;$d{}^{+}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{+}\right)$和$d{}^{-}\left(\stackrel{\sim }{{\displaystyle \epsilon }}{}_{\text{p}l}^{-}\right)$分别为拉伸损伤因子和压缩损伤因子;d为材料刚度退化系数。

　　 C20～C80混凝土的模型参数按《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) ^[17] (简称《混规》) 附录C.2的标准值取值, 塑性应变和损伤取值参考任晓丹和李杰^[18]的做法。受拉和受压损伤演化如图 2所示。由图2可知, 在应变与峰值应变比值相同时, 混凝土强度等级越高, 则受压损伤越小, 而受拉损伤的差异相对较小。

　　 如图 3所示, 本文采用基于塑性损伤本构模型且单点积分的非线性分层壳元^[19,20,21]模拟剪力墙墙肢和连梁, 壳元分为6层。非线性计算完成后即可得到墙肢和连梁壳元积分点处材料刚度退化系数d。取构件各单元材料点刚度退化系数的单元面积加权计算墙肢和连梁的刚度折减系数:

　　 $d{}_{\text{C}\text{B}}=1-{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}A}{}_{i}d{}_i/{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}A}{}_i(8)$

　　 式中:d_CB为刚度折减系数;i为构件中第i个单元;A_i和d_i分别为第i个单元的面积和材料点刚度退化系数。

　　 本文动力方程求解格式采用王进廷和杜修力^[22]给出的一种显式差分格式, 此格式适用于一般阻尼体系且具有两阶精度, 见式 (9) ～ (11) :

　　 $\begin{array}{l}\mathit{u}{}_{n+1}=2\mathit{u}{}_n-\mathit{u}{}_{n-1}+\text{Δ}t{}^2\mathit{m}{}^{-1}\left(\mathit{f}{}_{\text{e}\text{x}\text{t},n}-\mathit{f}{}_{\mathrm{int},n}-\mathit{f}{}_{\text{D},n}\right)(9)\\ \dot{\mathit{u}}{}_{n+1}=\frac{3\mathit{u}{}_{n+1}-4\mathit{u}{}_n+\mathit{u}{}_{n-1}}{2\text{Δ}t}(10)\\ \stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{u}}}{}_{n+1}=\frac{\mathit{u}{}_{n+1}-2\mathit{u}{}_n+\mathit{u}{}_{n-1}}{\text{Δ}t{}^2}(11)\end{array}$

　　 式中:u_n+1, u_n, u_n-1分别为t_n+1, t_n, t_n-1时刻的节点位移向量;$\dot{\mathit{u}}{}_{n+1},\dot{\mathit{u}}{}_n$分别为t_n+1, t_n时刻的节点速度向量;$\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{u}}}{}_{n+1}$为t_n+1时刻的节点加速度向量;f_{ext, n}, f_{int, n}, f_{D, n}分别为t_n时刻的节点的外力向量、内力向量、阻尼力向量;Δt为动力分析时间步长。

　　 Clough和Penzien^[23]将振型坐标系中任意指定振型阻尼比转换为空间直角坐标系中阻尼矩阵:

　　 $\begin{array}{l}c{}_{\text{F},\text{s}}=\mathit{m}\left(\frac{2\omega {}_s\xi {}_s}{{\rm M}{}_s}\phi {}_s\phi {}_s{}^{\text{Τ}}\right)\mathit{m}(12)\\ \mathit{c}{}_{\text{F}}={\displaystyle \sum _{s=1}^w\mathit{c}}{}_{\text{F},s}(13)\end{array}$

　　 式中:c_F为振型阻尼矩阵;m为质量矩阵;w为振型的阶数;φ_s, M_s, ξ_s和c_{F, s}分别为第s振型的振型向量、振型质量、弹性条件下振型阻尼比和对振型阻尼矩阵的贡献。

　　 由 (12) 得到t_n时刻第s振型的阻尼力、阻尼耗能增量和阻尼耗能:

　　 $\begin{array}{l}\mathit{f}{}_{\text{D},s,n}=\mathit{c}{}_{\text{F},s}\dot{\mathit{u}}{}_n(14)\\ \text{Δ}E{}_{\text{D},s,n}=\mathit{f}{}_{\text{D},s,n}\text{Δ}\mathit{u}{}_n(15)\\ E{}_{\text{D},s,n}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\text{Δ}}E{}_{\text{D},s,i}(16)\end{array}$

　　 将各阶振型对t_n时刻阻尼力f_{D, n}和阻尼耗能增量ΔE_{D, n}的贡献累加:

　　 $\begin{array}{l}\mathit{f}{}_{\text{D},n}={\displaystyle \sum _{j=1}^w\mathit{f}}{}_{\text{D},s,n}(17)\\ \text{Δ}E{}_{\text{D},n}={\displaystyle \sum _{s=1}^w\text{Δ}}E{}_{\text{D},s,n}(18)\end{array}$

　　 将t₀到t_n时刻阻尼耗能增量ΔE_{D, n}累加得到t_n时刻阻尼耗能:

　　 $E{}_{\text{D},n}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\text{Δ}}E{}_{\text{D},i}(19)$

　　 t_n时刻材料非线性耗能增量ΔE_{P, n}与变形相关, 所以假定第s振型变形模式对ΔE_{P, n}的贡献为:

　　 $\text{Δ}E{}_{\text{Ρ},s,n}=\Delta \text{E}{}_{{\rm P},n}\frac{\left|\mathit{\phi }{}_{\text{s}}{}^{\text{Τ}}\text{Δ}\mathit{u}{}_n\right|}{{\displaystyle \sum _{i=1}^w\left|\mathit{\phi }{}_i{}^{\text{Τ}}\text{Δ}\mathit{u}{}_n\right|}}(20)$

　　 式中Δu_n为t_n时刻位移增量。

　　 t_n时刻第s振型变形模式对非线性耗能E_{P, n}的贡献为:

　　 $E{}_{\text{Ρ},s,n}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\text{Δ}}E{}_{\text{Ρ},s,i}(21)$

　　 由式 (12) ～ (16) 可知, 振型阻尼比和能量增量为线性关系, 本文根据能量等效原则, 得到t_n时刻第s振型的非线性等效附加阻尼比为:

　　 $\xi {}_{\text{p},s,n}=\frac{\text{Δ}E{}_{\text{Ρ},s,n}}{\text{Δ}E{}_{\text{D},s,n}}\xi {}_{\text{s}}(22)$

　　 从t₁时刻到t_n时刻第s振型的非线性等效附加阻尼比为:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle \xi }}{}_{\text{p},s,n}=\frac{E{}_{\text{Ρ},s,n}}{E{}_{\text{D},s,n}}\xi {}_{\text{s}}(23)$

　　 为减少计算, 量假定各阶振型阻尼耗能和非线性耗能比例相同, 当各阶振型阻尼比相等时, $\stackrel{—}{{\displaystyle \xi }}{}_{\text{p},s,n}$可得:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle \xi }}{}_{\text{p},s,n}=\frac{E{}_{\text{Ρ},n}}{E{}_{\text{D},n}}\xi {}_{\text{s}}(24)$

　　 等效阻尼比为弹性条件下阻尼比与非线性附加阻尼比之和:

　　 $\stackrel{—}{{\displaystyle \xi }}{}_{\text{s}}=\stackrel{—}{{\displaystyle \xi }}{}_{\text{p},s,n}+\xi {}_s(25)$

　　 从动力响应过程中非线性耗能和阻尼耗能等效的角度出发, 本文提出的非线性耗能等效阻尼比可较合理地反映结构非线性发展程度。

　　 某剪力墙结构, 如图 4所示, 共48层, 总高177m;抗震设防烈度为7度 (0.15g) , 场地类别为Ⅲ类, 场地分组为第二组。在设计软件SATWE中取结构振型阻尼前17阶, 阻尼比为5%, 进行设计配筋。配筋前、后模型总重分别为1.07×10⁵t和1.13×10⁵t。将SATWE计算模型转化为SAUSAGE计算模型, 其中梁单元数52 236、壳元数90 404、自由度数525 024。

　　 楼板和连梁刚度在连接处耦合, 直接影响连梁的非线性动力响应。采用楼板面内无限刚等简化做法均会影响对连梁动力损坏的准确反应。为相对较真实地反映楼板与连梁相互作用, SAUSAGE模型中采用细分的非线性分层壳单元模拟楼板。

　　 SATWE计算模型中未考虑配筋等因素, 其计算得到的结构特征周期大于SAUSAGE计算结果, 前5阶特征周期最大误差约为6%, 如表 1所示, 验证了两个软件计算模型的一致性。

　　 利用SAUSAGE完成此结构在小震、中震、大震作用下的非线性动力时程分析, 将采用本文方法得到连梁构件的刚度退化系数和非线性附加阻尼比返回给SATWE模型。利用SATWE对连梁刚度折减模型进行振型叠加法时程分析, 将计算结果与SAUSAGE非线性计算结果进行对比, 验证连梁刚度折减模型合理性。SAUSAGE非线性时程分析和SATWE等效线性时程分析采用人工合成地震动, 加速度时程持时50s, 如图 5所示, x向为主震方向, y向为次震方向, 幅值如表 2所示。

　　 SAUSAGE计算得到剪力墙混凝土材料刚度退化系数和构件刚度折减系数, 分别如图 6和图 7所示。

　　 构件刚度折减系数小于0.6的比例统计结果如表 3所示。在小震作用下, 部分连梁已经出现损伤, 连梁刚度折减系数小于0.6的比例为1%。随地震强度的提高, 发生损伤连梁的数量和程度均随之增大。中震和大震作用下连梁刚度折减系数小于0.6的比例分别为14.76%, 41.68%。

　　 试验表明:连梁跨高比较大时, 连梁易出现弯曲型损坏;而跨高比较小时, 易出现剪切性损坏。在整体结构非线性动力响应中连梁的损坏程度还与连梁的配筋、所在楼层高度和位置、墙肢刚度、地震动特性等多种因素相关。此结构中连梁跨高比1.2的连梁数量较多, 跨高比为1.2, 2.0, 3.5时损坏较为严重;损伤与跨高比未出现明显规律。在小震和中震作用下, 墙肢基本未发生损伤, 刚度折减系数均大于0.6;大震作用下部分墙肢出现损伤, 刚度折减系数小于0.6的比例为1.16%。上述结果表明, 结构在非线性动力响应中不同位置连梁刚度折减差异较大;采用统一折减系数, 明显不符合实际情况。

　　 地震作用下结构能量时程如图 8所示, 随着动力响应衰减, 动能和弹性应变能逐渐释放, 应变能在最后时刻基本只包含非线性应变能。采用本文方法得到非线性耗能附加阻尼比, 如表 4所示。地震输入总能量和非线性耗能等效阻尼比均随着地震强度增大而增大, 反映了结构非线性发展程度。

　　 将3.1节计算得到的连梁刚度折减系数和等效阻尼比返回给SATWE, 得到连梁刚度折减模型;利用SATWE振型叠加法对连梁刚度折减模型进行等效线性动力时程分析, 动力荷载与SAUSAGE非线性计算工况一致。

　　 在小震、中震和大震的作用下, SAUSAGE的非线性时程计算结果和SATWE连梁刚度折减模型的等效线性的计算结果对比, 如图 9～14所示。小震作用下只有部分连梁进入非线性, 结构非线性发展较弱, SAUSAGE非线性和SATWE等效线性的计算结果基本一致, 最大层间位移角和最大基底剪力误差最大值为9.25%。中震作用下非线性程度加强, 但墙肢基本为弹性, SAUSAGE非线性和SATWE等效线性的计算结果误差最大值为7.19%。大震作用下大部分连梁进入非线性, 部分墙肢发生损伤, SAUSAGE非线性和SATWE等效线性的计算结果误差最大值为16.53%。

　　 整体而言, SAUSAGE非线性和SATWE等效线性计算结果的差异随着结构非线性的增强而增大。这主要是因为四个原因:1) SAUSAGE和SATWE的计算模型存在一定差异;2) SATWE连梁刚度折减模型未考虑墙肢的刚度折减;3) 连梁刚度折减系数为非线性最终时刻值;4) 等效附加阻尼比为整个时程的等效值。上述因素会导致两个模型计算结果差异, 但小震和中震工况误差相对较小。由于在小震作用下连梁损伤数量较少, 不能充分体现连梁刚度折减的意义;而在罕遇地震作用下, 连梁刚度折减系数小、附加阻尼比大可能导致结构整体低估地震作用而无法保证关键构件和竖向构件的抗震性能。为体现连梁刚度折减意义, 同时又保证连梁基本的强度、延性^[24]及其他关键构件的抗震性能, 本文建议在设防烈度地震作用下采用本文方法得到相对合理的结构连梁刚度折减设计模型, 再与现行相关规范结合用于结构设计。

　　 由于本文方法基于动力时程分析, 为考察本文方法对不同地震动的敏感性, 增加6组分析工况, 其中5组采用实际地震动、1组采用人工合成地震动, 加速度峰值强度按设防烈度 (表2的中震工况) 取值。6组工况的最大层间位移角和最大层间剪力及对比误差如表6。结合表5和表6, 本文中震分析结果共7组, 绝对误差的统计结果如表7, 最大误差为12.89%, 变异系数最大值为1.00, 证明了本文确定刚度折减模型方法对不同地震动的低敏感性。

　　 (1) 采用基于混凝土塑性损伤模型的非线性显式分层壳单元模拟剪力墙墙肢和连梁, 根据连梁中壳单元积分点混凝土刚度退化系数的壳元面积加权得到了连梁的刚度折减系数。

　　 (2) 基于可以指定阻尼比的振型阻尼, 根据能量等效的原则, 利用结构动力非线性耗能与振型阻尼耗能的比值得到连梁刚度折减模型的等效阻尼比。

　　 (3) 本文方法基于精细有限元模型的非线性动力时程分析, 可较合理地反映结构连梁的刚度折减和非线性耗能。通过某剪力墙结构的SAUSAGE非线性计算结果和SATWE等效线性计算结果对比表明, 将本文提出的连梁刚度折减模型确定方法应用于小震和中震工况时对比误差较小, 验证了此方法的合理性;通过7组中震工况的统计分析, 证明了本文方法对不同地震动的低敏感性。建议采用本文方法, 利用设防烈度地震作用得到刚度折减设计模型用于结构设计, 保证连梁设计达到性能化设计的要求。