消能减震结构附加有效阻尼比计算一般采用基于能量的应变能法^[1,2,3]。由于能量是对时间的累积过程, 采用应变能法计算附加有效阻尼比具有均化倾向, 计算结果往往较为保守^[4,5,6]。相比能量, 功率反映能量的耗散效率, 具有瞬时特性, 对于速度相关型消能器, 风振设计时经常要求计算功率^[7,8], 使用功率计算附加有效阻尼比将更加合理直接。

　　 本文推导了基于功率的附加有效阻尼比计算方法, 比较功率计算方法与应变能法的差异性, 通过一个多层与一个超高层工程实例对功率计算方法与应变能法的计算效果进行研究。

　　 设单自由度体系在水平地震作用下位移为u, 速度为$\dot{u}$;$u{}_{\max },\dot{u}{}_{\max }$分别为$u,\dot{u}$的最大值, 则体系弹性应变力在一个周期内耗散功率可以表示为:

　　 ${\rm P}{}_{\text{s}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\dot{u}{}_{\max }}{\int }}k}u\text{d}\dot{u}=\frac{1}{2}ku{}_{\max }^2\omega {}_{\text{n}}(1)$

　　 式中:P_s为体系在一个周期内功率;ω_n为体系的自振圆频率;k为体系的刚度。

　　 对于速度线性相关型消能器, 在水平地震作用下往复循环一周耗散功率可表示为:

　　 ${\rm P}{}_{\text{c}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\dot{u}{}_{\max }}{\int }}C}\dot{u}\text{d}\dot{u}=\frac{1}{2}Cu{}_{\max }^2\omega {}_{\text{n}}^2(2)$

　　 式中:P_c为速度线性相关型消能器往复循环一周功率;C为速度线性相关型消能器阻尼系数。

　　 又由C=2ξmω_n, ω²_n=k/m可进一步得到:

　　 ${\rm P}{}_{\text{c}}=\frac{1}{2}\left(2\xi m\omega {}_{\text{n}}\right)u{}_{\max }^2\frac{k}{m}=\xi ku{}_{\max }^2\omega {}_{\text{n}}(3)$

　　 式中ξ为速度线性相关型消能器阻尼比。

　　 联立式 (1) 、式 (3) 可得到单自由度体系附加有效阻尼比计算公式:

　　 $\xi ={\rm P}{}_{\text{c}}/(2{\rm P}{}_{\text{s}})(4)$

　　 式 (3) 中的P_c是基于速度线性相关型消能器计算得到, 故按式 (1) , (3) , (4) 计算附加有效阻尼比理论也只能用于速度线性相关型消能器。

　　 对于速度非线性相关型消能器, 在水平地震作用下往复循环一周耗散功率可表示为:

　　 ${\rm P}{}_{\text{c}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{\dot{u}{}_{\max }}{\int }}C}\dot{u}{}^{\alpha }\text{d}\dot{u}=\frac{1}{\alpha +1}C{}_{\text{α}}\dot{u}{}_{\max }^{\alpha +1}(5)$

　　 式中:C_α为速度非线性相关型消能器的阻尼系数;α为速度非线性相关型消能器的速度指数。

　　 应变能法对速度非线性相关型消能器采用的方法是等效线性化, 即通过让速度非线性相关型消能器往复循环一周耗散能量与速度线性相关型消能器往复循环一周耗散能量相等来推导速度非线性相关型消能器计算公式。

　　 同样, 使用式 (4) 来计算速度非线性相关型消能器需要对速度非线性相关型消能器等效线性化, 即使得速度非线性相关型消能器往复循环一周功率与速度线性相关型消能器往复循环一周功率相等, 写成表达式如式 (6) 所示:

　　 $\frac{1}{\alpha +1}C{}_{\text{α}}\dot{u}{}_{\max }^{\alpha +1}=\frac{1}{2}C{}_{\text{e}\text{q}}\dot{u}{}_{\max }^2(6)$

　　 式中C_eq为速度非线性相关型消能器的线性等效阻尼系数。

　　 由式 (6) 可进一步推导得:

　　 $C{}_{\text{e}\text{q}}=\frac{2}{\alpha +1}C{}_{\text{α}}\dot{u}{}_{\max }^{\alpha -1}(7)$

　　 将式 (7) 中C_eq代入式 (2) , 可得到速度非线性相关型消能器往复循环一周功率计算公式, 此式与式 (5) 是一致的。同时, 式 (5) 也适用于速度线性相关型消能器, 即将α=1代入可得式 (2) 。

　　 由此表明, 式 (5) 可用于计算速度型消能器往复循环一周功率, 并结合式 (1) 与式 (4) 得到附加有效阻尼比。

　　 上述公式均基于单自由度体系推导, 将其推广到多自由体系可得:

　　 ${\rm P}{}_{\text{s}i}=\frac{1}{2}F{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}\dot{u}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}(8)$

　　 式中:P_si为体系第i质点在一个周期内功率;F_imax为体系第i质点最大水平地震作用;$\dot{u}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}$为体系第i质点水平地震作用下的最大速度。

　　 ${\rm P}{}_{\text{c}j}=\frac{1}{\alpha {}_j+1}C{}_j(\text{Δ}\dot{u}{}_{j\text{m}\text{a}\text{x}}){}^{\alpha {}_j+1}(9)$

　　 式中:P_cj为第j个速度相关型消能器在水平地震作用下往复循环一周耗散功率;C_j为第j个速度相关型消能器阻尼系数;α_j为第j个速度相关型消能器的速度指数;$\text{Δ}\dot{u}{}_{j\text{m}\text{a}\text{x}}$为第j个速度相关型消能器在水平地震作用下最大速度。

　　 基于功率的消能减震结构附加有效阻尼比可按下式计算:

　　 $\xi {}_{\text{d}}={\rm P}{}_{\text{c}}/(2{\rm P}{}_{\text{s}})(10)$

　　 式中:ξ_d为附加有效阻尼比;P_s为消能减震结构总功率;P_c为所有速度相关型消能器往复循环一周所的总功率。

　　 当计算得到的附加有效阻尼比ξ_d超过25%时, 宜按25%计算。

　　 不考虑扭转影响时, 消能减震结构在水平地震作用下的总功率, 可按下式计算:

　　 ${\rm P}{}_{\text{s}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i}F}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}\dot{u}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}(11)$

　　 式中:F_imax为结构第i层楼层剪力最大值;$\dot{u}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}$为结构第i层层间速度最大值, 可通过u_imaxω_n近似计算, ω_n为结构自振圆频率;u_imax为结构第i层层间位移最大值。

　　 速度相关型消能器在水平地震作用下往复一周所消耗的能量, 可按下式计算:

　　 ${\rm P}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _j\frac{1}{\alpha {}_j+1}}C{}_j(\text{Δ}\dot{u}{}_{j\text{m}\text{a}\text{x}}){}^{\alpha {}_j+1}(12)$

　　 式中:C_j为第j个速度相关型消能器阻尼系数;α_j为第j个速度相关型消能器的速度指数;$\text{Δ}\dot{u}{}_{j\text{m}\text{a}\text{x}}$为第j个消能器两端的相对速度的最大值, 可通过Δu_jmaxω_n近似计算;Δu_jmax为第j个消能器两端的相对位移的最大值。

　　 使用功率计算方法计算时, 结构的层间速度与消能器两端的相对速度可直接从有限元软件中提取实际速度, 亦可使用谱速度近似计算。文献[5]对不同自振周期的结构在36条地震波作用下进行了分析, 并拟合得到了谱速度与实际速度的关系:

　　 $V=\{\begin{array}{cc}S{}_{\text{v}}\left(\frac{{\rm T}}{{\rm T}{}_l}\right){}^{\alpha {}_l}\left(\frac{{\rm T}}{{\rm T}{}_{\text{m}}}\right){}^{\alpha {}_{\text{m}}}\hfill & (0<{\rm T}<{\rm T}{}_l)\hfill \\ S{}_{\text{v}}\left(\frac{{\rm T}}{{\rm T}{}_{\text{m}}}\right){}^{\alpha {}_{\text{m}}}\hfill & ({\rm T}{}_l\le {\rm T}\le {\rm T}{}_{\text{u}})\hfill \\ S{}_{\text{v}}\left(\frac{{\rm T}}{{\rm T}{}_{\text{m}}}\right){}^{\alpha {}_{\text{m}}}\left(\frac{{\rm T}}{{\rm T}{}_{\text{u}}}\right){}^{\alpha {}_{\text{u}}}\hfill & ({\rm T}>{\rm T}{}_{\text{u}})\hfill \end{array}(13)$

　　 式中:V为实际速度;S_v为谱速度;T为结构基本自振周期;T_l为周期下限控制, 取0.042ξ+0.113;T_m为周期中间控制, 取0.064ξ+0.756;T_u为周期上限控制, 取3.149ξ+3.112;α_l为指数下限控制, 取0.450ξ+0.729;α_m为指数中间控制, 取0.455ξ+0.132;α_u为指数上限控制, 取0.607ξ+0.489。

　　 当使用谱速度近似计算时, 为获得较高的计算精度, 宜按式 (13) 进行修正。

　　 对于应变能法, 将结构应变能与各消能器耗散能量带入附加有效阻尼比计算公式^[3]可得:

　　 $\xi {}_{\text{d}}=\frac{{\displaystyle \sum _{j}W}{}_{\text{c}j}}{4\text{π}W{}_{\text{s}}}=\frac{\lambda {}_1}{4\text{π}}\frac{{\displaystyle \sum _{j}F}{}_{\text{d}j\text{m}\text{a}\text{x}}\text{Δ}u{}_{j\text{m}\text{a}\text{x}}}{\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i}F}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}u{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}}(14)$

　　 式中:W_cj为第j个速度相关型消能器在水平地震作用下往复循环一周耗散的能量;W_s为消能减震结构在水平地震作用下的总应变能;λ₁为阻尼指数的函数, 可按《建筑消能减震技术规程》 (JGJ 297—2013) ^[3]表6.3.2取值;α_j为第j个速度相关型消能器的速度指数;F_djmax为第j个速度相关型消能器在水平地震作用下的最大阻尼力。

　　 对于功率计算方法, 将结构功率与各消能器功率带入附加有效阻尼比计算公式可得:

　　 $\xi {}_{\text{d}}=\frac{{\displaystyle \sum _j{\rm P}}{}_{\text{c}j}}{2{\rm P}{}_{\text{s}}}\approx \frac{1}{2(\alpha +1)}\frac{{\displaystyle \sum _{j}F}{}_{\text{d}j\text{m}\text{a}\text{x}}\text{Δ}u{}_{j\text{m}\text{a}\text{x}}\omega {}_{\text{n}}}{\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i}F}{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}u{}_{i\text{m}\text{a}\text{x}}\omega {}_{\text{n}}}(15)$

　　 对比式 (14) 与式 (15) 可以发现, 式中后半部分, 应变能法与功率计算方法得到的结果近似相等, 两种方法计算结果的区别仅在于前半部分的系数:

　　 (1) 应变能法系数为:

　　 $\phi {}_{\text{E}}=\lambda {}_1/(4\text{π})(16)$

　　 (2) 功率计算方法系数为:

　　 $\phi {}_{\text{Ρ}}=\frac{1}{2(\alpha +1)}(17)$

　　 分别计算应变能法与功率计算方法在不同速度指数α时对应的系数值φ, 计算结果见图1。

　　 由图1可知, 功率计算方法系数整体大于应变能法系数, 且速度指数α越小, 功率计算方法系数与应变能法系数差距越大, 速度指数α为1时 (速度线性相关) , 两种计算方法系数均为0.25。可见, 对于速度非线性相关型消能器, 使用功率计算方法的计算结果大于使用应变能法的计算结果, 且速度指数α越小, 两种计算方法计算结果的差距越明显;而对于速度线性相关型消能器, 两种计算方法的计算结果理论上是一致的。实际情况下, 速度非线性相关型消能器速度指数α通常为0.25～0.6, 此时功率计算方法计算结果大致是应变能法计算结果的1.15～1.35倍。

　　 导致功率计算方法与应变能法计算结果差异的原因在于:对于速度非线性型消能器, 应变能法使用的是耗散能量相等的原则进行等效, 而功率计算方法则使用耗散功率相等的原则进行等效。

　　 事实上, 速度非线性相关型消能器的附加阻尼比计算公式以能量等效原则为基础进行推导是因为传统抗震设计方法的缺陷及能量法自身具有概念清晰、求解简便的优点^[4]。由于能量是对时间的累积过程, 计算附加有效阻尼比时使用应变能法具有均化倾向^[4], 计算结果往往过于保守。相比能量的累积特性, 功率反映了消能器能量的耗散效率, 具有瞬时特性, 可更为客观合理地评估速度非线性相关型消能器的耗能特性, 以得到更加准确的计算结果^[9]。此外, 由于速度相关型消能器具有速度相关性, 而功率可用力与瞬时速度的乘积表示, 使用功率等效进行计算更加直接合理。

　　 结构总层数6层, 首层层高4.3m, 标准层层高3.3m, 平面尺寸为39.6m×17.4m。结构标准层平面示意图见图2。本工程抗震设防烈度为8度 (0.20g) , 地震分组为第一组, 场地类别为Ⅲ类, 场地特征周期为0.45s。

　　 图2 结构标准层平面图

　　 使用ETABS 2016软件对结构进行多遇地震弹性时程分析, 结构三维模型图见图3。

　　 图3 结构三维模型图

　　 仅考虑Y向地震作用, 在结构Y向1～6层的每层均匀布置2个黏滞消能器。速度指数均为0.3, 阻尼系数均为60kN/ (mm/s) ^0.3, 布置形式均采用人字形钢支撑式。

　　 选取符合规范要求的一条人工波 (AW波) 与两条天然波 (TH1波、TH2波) , 归一化的地震波时程图见图4。

　　 图4 归一化的地震波时程图

　　 使用应变能法与功率计算方法计算附加有效阻尼比, 计算结果见表1, 2。由表1, 2可以看出, 功率计算方法在各地震波作用下的附加有效阻尼比均比应变能法大1%, 是应变能法计算结果的1.2～1.3倍。

　　 为验证应变能法与功率计算方法计算结果的准确性, 分别将两种计算方法得到的附加有效阻尼比叠加到非消能减震结构, 作为两种计算方法的线性等效结构, 并与消能减震结构响应对比。

　　 设消能结构响应为R, 等效结构响应为R_e, 定义响应偏差D为:

　　 $D{}_i=\frac{\left|R{}_i-R{}_{\text{e}i}\right|}{R{}_i}(18)$

　　 式中:D_i为消能减震结构与等效结构第i层结构响应偏差;R_i为消能减震结构第i层结构响应;R_ei为等效结构第i层结构响应。

　　 等效结构与消能减震结构楼层剪力对比与层间位移角对比见图5, 6。等效结构与消能减震结构楼层剪力偏差均值与层间位移角偏差均值见表3, 4。

　　 由图5, 6及表3, 4可以看出, 两种等效结构响应与消能减震结构响应随楼层变化规律并不完全一致。但相比而言, 功率计算方法等效结构响应偏差均值更接近于0, 吻合程度比应变能法高4%～6%, 计算结果与实际更为吻合, 计算精度更高。

　　 结构总高299.45m, 平面尺寸42m×42m, 地上65层, 结构标准层平面示意图见图7。本工程抗震设防烈度为8度 (0.20g) , 地震分组为第一组, 场地类别为Ⅱ类, 场地特征周期为0.4s。

　　 图7 结构标准层平面示意图

　　 使用ETABS 2016软件对结构进行多遇地震弹性时程分析, 结构三维模型图见图8。

　　 图8 结构三维模型图

　　 仅考虑X向地震作用, 在结构X向加强层 (16, 32, 48层) 伸臂桁架位置每层均匀布置12个黏滞消能器。速度指数均为0.3, 阻尼系数均为700kN/ (mm/s) ^0.3, 布置形式均采用单斜撑式。

　　 选取符合规范要求的一条人工波 (AW波) 与两条天然波 (TH1波、TH2波) , 归一化的地震波时程图见图9。

　　 图9 归一化的地震波时程图

　　 使用应变能法与功率计算方法计算附加有效阻尼比, 计算结果见表5, 6。由表5, 6可以看出, 功率计算方法在各地震波作用下的附加有效阻尼比均比应变能法大0.5%, 是应变能法计算结果的1.3～1.4倍。

　　 等效结构与消能减震结构楼层剪力对比与层间位移角对比见图10, 11。等效结构与消能减震结构楼层剪力偏差均值与层间位移角偏差均值见表7, 8。

　　 由图10, 11及表7, 8可以看出, 除布置黏滞消能器的三个楼层, 等效结构响应与消能减震结构响应随楼层变化规律大致一致。功率计算方法等效结构响应与应变能法等效结构响应均小于消能减震结构响应。但相比而言, 功率计算方法等效结构响应偏差均值更接近于0, 吻合程度比应变能法高3%～4%, 计算结果与实际更为吻合, 计算精度更高。

　　 综上可知, 计算附加速度相关型消能器结构附加有效阻尼比, 无论多层结构或超高层结构, 功率计算方法计算结果更加符合实际, 有较高的计算精度, 而应变能法计算结果较为保守, 计算精度较低。建议优选功率计算方法计算速度相关型消能器附加有效阻尼比。