0 引言

　　 随着国内经济的飞速发展，各种建筑造型层出不穷 ^[1]。这些建筑多采用弧形梁结构来塑造建筑曲线或曲面造型。不同于直梁，弧形梁在竖向荷载作用下会同时产生弯矩、剪力和扭矩，受力较为复杂 ^[2],使得结构设计计算难度较大。目前常规的设计软件如YJK(盈建科)、PKPM等一般较难准确模拟弧形梁的受力行为，因此需要借助有限元分析软件对其进行精确分析 ^[3,4,5,6]。本文结合某弧形梁结构的实际工程，采用多种有限元软件对其进行受力分析。

1 工程实例

　　 该项目位于湖南省长沙市，此地区抗震设防烈度为6度(0.05g),设计地震分组为第一组，场地类别为Ⅱ类。该项目主要使用功能为酒店式公寓、写字楼、商业等。弧形梁结构所在塔楼总高度为99.20m, 地上28层，地下2层；结构采用框架-剪力墙，嵌固端为地下室顶板；建筑效果图见图1。

2 弧形梁结构设计

2.1 设计条件

　　 采用YJK对该项目右侧塔楼进行整体建模，整体计算模型见图2。本文研究对象为右侧塔楼19层南侧跨度约为11m并一端带有直线梁段的悬挑弧形梁结构，弧形梁结构具体位置及布置见图3。弧形梁结构竖向荷载信息见表1。

2.2 设计结果

　　 利用YJK对位于右塔的弧形梁结构进行建模分析，由于本文主要研究弧形梁结构受力性能，因此仅给出重力荷载代表值工况下的内力结果。当荷载工况为1.0恒载+0.5活载时，YJK计算的弧形梁弯矩、扭矩分布见图4。

　　 图1 建筑效果图  

　　  

　　 图2 整体计算模型三维图

　　  

　　 图3 弧形梁结构所在位置及布置  

　　  

　　 弧形梁结构竖向荷载 表1

构件编号	KL1～KL4	KL5	JZ1	板
恒载	11kN/m	7kN/m	8kN/m	1.5kN/m2
活载	—	—	—	2.0kN/m2

 

　　  

　　 图4 YJK计算的弧形梁弯矩和扭矩分布/(kN·m) 

　　  

　　 弧形梁结构梁、板、柱的设计截面尺寸见表2,设计配筋图见图5。需说明的是：为保证弧形梁结构安全可靠，设计时采用了一些加强措施，如两端按悬挑梁锚固，并将KL1梁宽度增加到400mm等。

　　 构件截面尺寸 表2

构件	构件编号	截面尺寸/mm
梁	KL1,KL4	400×700
	KL2,KL3,KL5	300×700
柱	KZ1,KZ2	800×900
板	—	120

 

　　  

　　 图5 弧形梁结构构件设计配筋图 

　　  

3 弧形梁结构内力分布

3.1 SAP2000程序建模

　　 为校对YJK程序的内力计算结果，本节利用SAP2000有限元软件对弧形梁结构受力进行有限元分析，建立的模型见图6,模型中楼板的厚度为120mm。其中梁与柱均采用杆单元；楼板采用膜单元(仅考虑面内弯曲刚度，不考虑面外弯曲刚度，主要用来研究无楼板时弧形梁的受力情况)或非线性壳单元(考虑面内、外弯曲刚度，用来研究有楼板时弧形梁的受力情况),且为符合实际情况，楼板顶面均与梁顶平齐。模型荷载取与2.2节一致的设计工况，即1.0恒载+0.5活载，荷载信息见表1。考虑几何非线性效应，对结构进行非线性静力分析。

　　 图6 SAP2000模型  

　　  

　　 图7 SAP2000计算的弧形梁弯矩和扭矩分布/(kN·m) 

　　  

　　 SAP2000计算的弧形梁弯矩、扭矩分布见图7。对于弯矩分布，SAP2000计算结果(图7(a))与YJK计算结果(图4(a))相比，除弧形梁曲线段起始端弯矩数值相差较大外，其余部分的弯矩数值较为吻合；而SAP2000计算的扭矩(图7(b))与YJK计算的扭矩(图4(b))相比，两者仅大致趋势较为吻合，具体数值相差较大。原因可能是在对弧形梁曲线段采用“以直代曲”思路建模时，YJK模型采用了3段直线，而SAP2000模型利用17段直线且每段直线梁之间为固结以满足协同受力，这使得YJK模型对弧形梁的计算分析不够精确。因此后文分析主要以SAP2000内力计算结果为准。

3.2 不同楼板约束下弧形梁内力分析

　　 为研究楼板约束条件对弧形梁结构内力分布的影响。在有限元分析模型中，除考虑设计厚度120mm楼板之外，还考虑了无楼板、100mm厚楼板、150mm厚楼板等情形，以及楼板按SAP2000程序中的膜单元和壳单元考虑共五种情况。五种情况下的弧形梁弯矩和扭矩分析结果见表3。

　　 弧形梁弯矩和扭矩 表3 

楼板厚度 /mm	受力模型	弯矩/(kN·m)		扭矩/(kN·m)
		最大	最小	最大	最小
0	膜单元	173.69	-148.06	33.76	-12.67
100	膜单元	186.78	-158.52	36.26	-13.62
	壳单元	144.82	-155.32	27.51	-17.89
120	壳单元	140.40	-152.70	28.30	-16.31
150	壳单元	136.27	-150.31	28.52	-14.21

 

　　  

　　 由表3可知，对于采用膜单元楼板的两个弧形梁结构计算模型，当楼板厚度为0即无楼板时，由于弧形梁仅仅承受梁的线荷载和楼面的恒载、活载，没有考虑楼板自重作用，所以其最大、最小弯矩的绝对值较小；当膜单元楼板厚度为100mm时，由于楼板自重的作用，弧形梁的最大、最小弯矩和扭矩的绝对值均略有增加。

　　 对比膜单元楼板厚度100mm与壳单元楼板厚度100mm两个计算模型的结果可知，当弧形梁存在壳单元楼板的平面外约束时，其最大弯矩和最大扭矩的绝对值减小较多。可见，楼板采用壳单元计算时能约束弧形梁的扭转变形，使弧形梁的正、负扭矩较为均衡。

　　 对于楼板采用壳单元的3个计算模型，当楼板厚度由100mm增加到150mm时，弧形梁的最大、最小弯矩和最大、最小扭矩的绝对值变化幅度都不大。主要原因如下：一方面，楼板厚度增加，楼板自重增大，弧形梁所承担的竖向荷载增加；另一方面，楼板厚度增加，楼板自身的平面内、外抗弯刚度均增加，荷载传递的空间受力机制增强，因此弧形梁所承担的竖向荷载在部分区段上可能会出现增大或减少的变化。总体而言，当楼板厚度在100～150mm范围内变化时，其对弧形梁弯矩、扭矩影响较小。

4 弧形梁结构承载能力

4.1 弧形梁结构有限元模型

　　 采用有限元分析软件ABAQUS建立弧形梁结构实体模型 ^[7,8],混凝土采用C3D8R减缩积分单元，钢筋采用T3D2单元(两节点线性三维桁架单元);弧形梁结构柱混凝土强度等级为C40;梁和楼板混凝土强度等级均为C30,纵向受力钢筋均为HRB400;KL5箍筋采用HPB300,其余部位箍筋采用HRB400,且为符合实际情况，楼板顶面均与梁顶平齐。

　　 对于钢筋本构模型，采用《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)(2015年版) ^[9]中有屈服点钢筋的本构模型 ^[10],其应力-应变关系见式(1),应力-应变关系曲线见图8,钢筋本构参数见表4。

　　 σs=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Esεsfy,rfy,r+k(εs−εuy)0(εs≤εy)(εy<εs≤εuy)(εuy<εs≤εu)(εs>εu)         (1)σs={Esεs(εs≤εy)fy,r(εy<εs≤εuy)fy,r+k(εs-εuy)(εuy<εs≤εu)0(εs>εu)         (1)

　　 式中：σ_s为钢筋应力；ε_s为钢筋应变；E_s为钢筋的弹性模量； f_{y, r}为钢筋屈服应力代表值；ε_y为与f_{y, r}相应的钢筋屈服应变；ε_uy为钢筋硬化起点应变；ε_u为钢筋峰值应变；k为钢筋硬化段斜率。

　　 钢筋本构参数 表4

本构参数	Es/MPa	fy, r/ MPa	εy	εuy	εu	k
HPB300	2.1×105	300	0.001 429	0.01	0.1	4 000/3
HRB400	2.1×105	400	0.002	0.01	0.1	14 000/9

 

　　  

　　 图8 钢筋应力-应变关系曲线 

　　  

　　 对于混凝土本构模型，则采用余志武等 ^[11]推荐的塑性损伤模型，混凝土单轴加载的应力-应变骨架曲线可表达为带损伤变量函数g[D(ε)](简写为g)的形式：

　　 σ=g[D(ε)]Ecε=gEcε         (2)σ=g[D(ε)]Ecε=gEcε         (2)

　　 式中：σ为混凝土应力；ε为混凝土应变；E_c为混凝土的弹性模量。

　　 混凝土单轴受压时的应变函数为g_c:

　　 gc=⎧⎩⎨⎪⎪A1−ε/εcA1[1+(A1−2)ε/εc]A1−ε/εcA1[a1(ε/εc−1)2+ε/εc](ε≤εc)(ε>εc)         (3)gc={A1-ε/εcA1[1+(A1-2)ε/εc](ε≤εc)A1-ε/εcA1[a1(ε/εc-1)2+ε/εc](ε>εc)         (3)

　　 混凝土单轴受拉时的应变函数为g_t:

　　 gt=⎧⎩⎨⎪⎪A2−ε/εtA2[1+(A2−2)ε/εt]A1−ε/εcA2[a2(ε/εt−1)1.7+ε/εt](ε≤εt)(ε>εt)         (4)gt={A2-ε/εtA2[1+(A2-2)ε/εt](ε≤εt)A1-ε/εcA2[a2(ε/εt-1)1.7+ε/εt](ε>εt)         (4)

　　 式中：ε_c为单轴受压时混凝土应变；ε_t为单轴受拉时混凝土应变；A₁,A₂分别为单轴受压时混凝土应变、单轴受拉时混凝土应变，A₁=9.1 f_cu^-4/9,A₂=1.306,其中f_cu为混凝土标准立方体抗压强度；a₁,a₂分别为应变函数和损伤变量，a₁=2.5×10^-5f_cu³,a₂=1+3.4×10^-4f_cu²。

　　 混凝土的本构模型参数见表5。

　　 混凝土本构模型参数 表5

强度等级	εc/(×10-6)	εt/(×10-6)	fcu/ MPa
C30	1 255	102	30
C40	1 430	122	40

 

　　  

　　 为模拟弧形梁结构中钢筋和混凝土的相互作用，采用ABAQUS中的嵌入单元方法，并假定钢筋和混凝土之间没有滑移，采用150mm网格划分单元，见图9。边界条件为两个柱底进行全约束。

　　 图9 弧形梁结构有限元网格模型  

　　  

4.2 楼板厚度120mm时弧形梁结构承载性能

　　 为研究楼板厚度为120mm设计值工况下弧形梁结构的竖向承载性能，考虑曲梁上竖向荷载值增大的情形。

　　 分析结果表明，当曲梁上的线荷载按照设计荷载标准值11kN/m的5倍来施加时，即施加荷载为55kN/m, 梁中钢筋开始有屈服。此时，有限元模拟得到的钢筋应力见图10。可见，纵向钢筋最大应力为244.2MPa, 位于弧形梁左侧的下部钢筋(KL1梁与KZ1柱锚固区),且最大应力点周边区域及弧形梁曲线段KL2与直线段KL3相连接处的抗扭钢筋应力均较小，弧形梁大部分抗扭钢筋应力都小于183.3MPa, 纵向钢筋离屈服还有较大富余；箍筋最大应力为400.0MPa, 位于弧形梁与左侧支承柱相交处(KL1梁与KZ1柱锚固区),最大应力恰达到屈服强度标准值(此处箍筋为HRB400钢筋),其余部分的箍筋应力均未屈服。

　　 楼板厚度120mm时弧形梁结构混凝土竖向位移云图见图11。可见，有限元模拟得到的弧形梁结构最大竖向位移为-51.29mm(负号表示位移向下，余同),位于弧形梁曲线段KL2与直线段KL3交接区域。

4.3 无楼板时弧形梁结构承载性能

　　 为对比有无楼板对弧形梁结构承载性能的影响，对无楼板约束下的弧形梁进行分析，荷载条件同4.2节，此时有限元模拟得到的位移云图见图12。可见弧形梁最大竖向位移为-105.9mm, 出现位置与有楼板时相同，位于弧形梁曲线段KL2与直线段KL3交接区域。

　　 图10 楼板厚度120mm时弧形梁结构 钢筋应力云图/MPa  

　　  

　　 图11 楼板厚度120mm时弧形梁结构 竖向位移云图/mm 

　　  

　　 图12 无楼板时弧形梁结构竖向 位移云图/mm

　　  

　　 图13 无楼板时弧形梁结构钢筋 应力云图/MPa 

　　  

　　 钢筋应力计算结果见图13。纵向钢筋最大应力为421.2MPa, 出现在支承弧形梁右侧直线段处(KL4梁与KZ2柱锚固区),且最大应力点周围的多数纵向钢筋应力也超过HRB400钢筋的屈服强度标准值400MPa; 箍筋最大应力为416.8MPa, 位于弧形梁与左侧支承柱相交区域(KL1梁与KZ1柱锚固区),且最大应力点周围的多数箍筋应力也超过HRB400钢筋的屈服强度标准值400MPa。可见，在无楼板约束的情况下，弧形梁结构最危险截面的多数纵向钢筋和箍筋应力已超过其屈服强度标准值。

4.4 结构承载性能对比分析

　　 由4.3节分析结果可知，无论是有楼板还是无楼板约束时弧形梁的钢筋最大应力均出现在梁柱锚固区域，因此梁柱锚固区的受力对该结构承载性能影响较大，结构设计时采用两端按悬挑梁锚固，并将KL1梁宽度增加到400mm的加强锚固措施较为合理。

　　 有无楼板情形下弧形梁结构的主要承载性能指标对比见表6。可知，在弧形梁竖向线荷载达到设计荷载标准值5.0倍即55kN/m作用下，有楼板约束时弧形梁结构的纵向钢筋离屈服有较大富余；箍筋应力仅在最大应力点处恰恰达到其屈服强度。无楼板约束时弧形梁结构最危险截面的多数纵向钢筋、抗扭钢筋和箍筋均已屈服。这表明：由于楼板协同受力，有楼板约束时弧形梁结构的承载性能较无楼板约束时提升较多；该结构设计采用的锚固加强措施较为合理，结构整体安全余量较大。

　　 弧形梁结构承载性能指标 表6

承载性能指标	无楼板	楼板厚度120mm
纵筋最大应力/MPa	421.2	244.2
箍筋最大应力/MPa	416.8	400.0
最大竖向位移/mm	-105.9	-51.29

 

　　  

5 结论

　　 (1)由于楼板协同受力，有楼板约束时弧形梁结构的承载性能较无楼板约束时提升较多；该结构设计采用的锚固加强措施较为合理，结构整体安全余量较大。

　　 (2)竖向荷载作用下，弧形梁结构的梁柱锚固区受力较大，在结构设计时应采用合理的锚固加强措施确保此部位的承载安全。

　　 (3)有无楼板约束对弧形梁扭矩分布影响较大，有楼板时其扭转变形会受到楼板的约束，使得该弧形梁正、负扭矩较为均衡。