现浇楼板具有整体性好、抗震性能强、防渗漏性能好、不受规格限制以及造价低等特点,在工程中应用非常广泛。目前,现浇板开裂较为普遍, 研究表明混凝土的收缩、温度应力、养护等材料、环境和施工因素是促使裂缝产生的主要原因。根据调查,工程实践中结构物裂缝的原因由于变形引起的为大多数,占80%～85%,由于荷载引起的占15%～20% ^[1]。对于办公建筑、商品房的现浇钢筋混凝土楼板中出现的沿45^o角斜裂缝, 往往被认为是商品混凝土自身收缩所引起的非荷载性裂缝 ^[2],现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010) ^[3](简称混凝土规范)采用构造措施对板角裂缝进行控制。

　　 随着建筑工程的日益大型化、复杂化,设计的重点一般是对梁、柱、墙所组成的空间体系进行内力分析,楼板作为建筑结构中一个最基本构件,除少数情况下 ^[4,5] 进行有限元分析外,其受力的复杂性在工程设计过程中往往被忽略。

　　 混凝土楼板的弹性设计方法是基于弹性薄板的小挠度理论,求出跨中弯矩和固支边支座弯矩布置受力钢筋,简支边支座按照混凝土规范规定设置构造钢筋。长期以来包括《实用建筑结构静力计算手册》 ^[6](简称静力计算手册)在内的各种工具书和专用结构设计软件均忽略了板内扭矩对配筋的影响。由于相邻板带的相互约束,板带之间存在竖向剪力,这种竖向剪力构成扭矩将使板的竖向位移和弯矩减小。国外规范(ACI 318R-08) ^[7]、国外文献 ^[8]也仅在两简支边板角、一边简支一边固支板角布置构造钢筋。在四边简支矩形板分析研究的基础上 ^[9],本文对实际工程中应用更为广泛的两相邻边简支两相邻边固支的矩形角板进行分析,揭示了目前混凝土矩形角板设计存在的不足,并对其合理设计提出建议。

　　 在图1所示矩形角板上作用均布荷载q。其中,a,b为矩形角板的边长。

　　 弹性薄板小挠度弯曲微分方程为 ^[10]:

　　 $\frac{\partial {}^{4}w}{\partial x{}^4}+2\frac{\partial {}^{4}w}{\partial x{}^2\partial y{}^2}+\frac{\partial {}^{4}w}{\partial y{}^4}=\frac{q}{D}(1)$

　　 式中:w为板的挠度;D为板的抗弯刚度,$D=\frac{Eh{}^3}{12(1-\mu {}^2)}$,其中E为混凝土弹性模量,h为板的厚度,μ为泊松比。

　　 图1所示矩形角板的边界条件为:

　　 $\begin{array}{l}x=0:w=0,\frac{\partial w}{\partial x}=0(2\text{a})\\ x=a:w=0,\frac{\partial {}^{2}w}{\partial x{}^2}=0(2\text{b})\\ y=0:w=0,\frac{\partial w}{\partial y}=0(2\text{c})\\ y=b:w=0,\frac{\partial {}^{2}w}{\partial y{}^2}=0(2\text{d})\end{array}$

　　 求得两相邻边简支两相邻边固支角板在均布荷载作用下的挠度解析式为:

　　 $\begin{array}{l}w=\frac{4}{abD\text{π}{}^4}\times {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(\frac{m{}^2}{a{}^2}+\frac{n{}^2}{b{}^2}\right){}^2}}}[\frac{abq}{mn\text{π}{}^2}\times \\ (\text{c}\text{o}\text{s}m\text{π}-1)\times (\text{c}\text{o}\text{s}n\text{π}-1)+\frac{an\text{π}}{2b}E{}_m+\\ \frac{bm\text{π}}{2a}F{}_n]\sin \frac{m\text{π}x}{a}\sin \frac{n\text{π}y}{b}(3)\end{array}$

　　 式中:E_m,F_n的前10项分别为:-0.067 3k,0.011 6k,0.000 9k, 0.003 1k, 0.000 8k,0.001 1k,0.000 4k,0.000 5k,0.000 2k,0.000 3k,k=qa²。

　　 则可进一步求得板内的弯矩、扭矩分别为:

　　 当μ=0时,

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{x}}=\frac{4}{ab\text{π}{}^2}\times \frac{m{}^2}{a{}^2}{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(\frac{m{}^2}{a{}^2}+\frac{n{}^2}{b{}^2}\right){}^2}}}[\frac{abq}{mn\text{π}{}^2}\times \\ (\text{c}\text{o}\text{s}m\text{π}-1)\times (\text{c}\text{o}\text{s}n\text{π}-1)+\frac{an\text{π}}{2b}E{}_m+\\ \frac{bm\text{π}}{2a}F{}_n]\sin \frac{m\text{π}x}{a}\sin \frac{n\text{π}y}{b}(4\text{a})\end{array}$

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{y}}=\frac{4}{ab\text{π}{}^2}\times \frac{n{}^2}{b{}^2}{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(\frac{m{}^2}{a{}^2}+\frac{n{}^2}{b{}^2}\right){}^2}}}[\frac{abq}{mn\text{π}{}^2}\times \\ (\text{c}\text{o}\text{s}m\text{π}-1)\times (\text{c}\text{o}\text{s}n\text{π}-1)+\frac{an\text{π}}{2b}E{}_m+\\ \frac{bm\text{π}}{2a}F{}_n]\sin \frac{m\text{π}x}{a}\sin \frac{n\text{π}y}{b}(4\text{b})\end{array}$

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{x}\text{y}}=-\frac{4}{ab\text{π}{}^2}\times \frac{mn}{ab}{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(\frac{m{}^2}{a{}^2}+\frac{n{}^2}{b{}^2}\right){}^2}}}[\frac{abq}{mn\text{π}{}^2}\times \\ (\text{c}\text{o}\text{s}m\text{π}-1)\times (\text{c}\text{o}\text{s}n\text{π}-1)+\frac{an\text{π}}{2b}E{}_m+\\ \frac{bm\text{π}}{2a}F{}_n]\cos \frac{m\text{π}x}{a}\cos \frac{n\text{π}y}{b}(4\text{c})\end{array}$

　　 当a=b=l时,固支边弯矩最大值为:

　　 ${\rm M}{}_{\text{x}\text{m}\text{a}\text{x}}={\rm M}{}_{\text{y}\text{m}\text{a}\text{x}}=-0.0694q{}_{0}l{}^2$

　　 跨中弯矩最大值:

　　 ${\rm M}{}_{\text{x}\text{m}\text{a}\text{x}}={\rm M}{}_{\text{y}\text{m}\text{a}\text{x}}=0.0233q{}_{0}l{}^2$

　　 角点部位弯矩为0,扭矩出现最大值:

　　 ${\rm M}{}_{\text{x}\text{y}\text{m}\text{a}\text{x}}=0.0335q{}_{0}l{}^2$

　　 对角线上主弯矩M_n,M_t分别为:

　　 ${\rm M}{}_{\text{n}}=\frac{{\rm M}{}_{\text{x}}+{\rm M}{}_{\text{y}}}{2}+\sqrt{(\frac{{\rm M}{}_{\text{x}}-{\rm M}{}_{\text{y}}}{2}){}^2+{\rm M}{}_{\text{x}\text{y}}^2}$(5a)

　　 ${\rm M}{}_{\text{t}}=\frac{{\rm M}{}_{\text{x}}+{\rm M}{}_{\text{y}}}{2}-\sqrt{(\frac{{\rm M}{}_{\text{x}}-{\rm M}{}_{\text{y}}}{2}){}^2+{\rm M}{}_{\text{x}\text{y}}^2}$(5b)

　　 基于上述计算,通过比较可知,角点部位扭矩为跨中弯矩最大值的1.437 8倍,这说明混凝土矩形角板板内存在不可忽略的扭矩分布。依据混凝土规范,混凝土板μ=0.2,两相邻边简支两相邻边固支矩形角板弯矩、扭矩计算结果详见图2,3。图2表明支座弯矩最大值出现在固支边中部位置;图3表明两相邻边简支两相邻边固支板也具有复杂的扭矩分布。按照混凝土规范仅在简支板支座位置配置构造钢筋是不够的,板角会产生受拉裂缝。

　　 图3所示M_xy分布图表明矩形板角部在扭矩作用下呈翘曲趋势,其中,在角点C扭矩系数为-0.026 9,附近区域扭矩较大,角点B,D在简支边一侧附近(0.2l位置)最大扭矩系数均为0.018 5,这说明两相邻边简支角部扭矩大于一边简支一边固支角部扭矩。同时,固支角点A附近区域同样存在扭矩分布。这都表明按照混凝土规范仅在简支边支座位置配置构造钢筋是不够的,板角会产生受拉裂缝。

　　 上述分析表明普通正方形两相邻边简支两相邻边固支矩形角板,角点C(两边简支)主弯矩为跨中最大弯矩的0.269/0.311=86%,即使在x=7l/8,y=7l/8位置处,该点沿对角线主拉弯矩仍占跨中最大弯矩值的45.25%,按照混凝土规范配置的简支边构造配筋可能远小于实际受力需要。

　　 图4,5为板带弯矩和扭矩图,由图4,5对比分析可知,对于弯矩最大的跨中板带5,扭矩值很小;板带3弯矩较小,扭矩却较大;而对于弯矩很小的板带9(曲线同板带1),却存在很大的扭矩。纯粹以弯矩作为配筋依据是不合理的。

　　 图6,7为两相邻边简支两相邻边固支矩形角板对角线上各点主弯矩、扭矩、弯矩图,通过分析可知:由于扭矩存在较大分布,沿角板AC对角线在0.8l≤x≤1.0l范围内主弯矩较大;在0.1l≤x≤0.3l范围内,使得主弯矩M_t大于主弯矩M_n,而主弯矩M_n沿整个对角线都与跨中弯矩接近;沿角板BD对角线,主弯矩M_n沿对角线呈抛物线分布,结合图8可知,并非沿次对角线(BD对角线)主弯矩很小,而是主拉弯矩往简支角点偏移所致。

　　 矩形角板主弯矩M_n,M_t详见图8,9。由图8可知,垂直于对角线方向,板底分布有很大的主拉弯矩,沿次对角线方向,从中心位置到角点主拉弯矩衰减不大;沿主对角线方向,从中心位置到简支角点主拉弯矩衰减不大,到固支角点则逐步减小到0。从理论上说,固支角点A附近板底区域配筋可以比跨中减少。所以,在极限均布荷载作用下板底裂缝沿对角线展开,其中次对角线方向板底裂缝往简支点方向偏移。

　　 《全国民用建筑工程设计技术措施-结构》 ^[11]分册中论述:按弹性理论计算的双向板,当板的跨度大于3m时,可将板在两个方向分为三个板带,边板带宽为短跨的1/4,中间板带宽为短跨的1/2。中间板带按计算配筋,边板带按相应中间板带的一半配置。显然这是根据双向板弯矩分布确定的,对比图8板底主弯矩分布,从中心位置到板角主拉弯矩减小幅度很小,边板带如按照中间板带的一半配筋,显然无法满足受力需要。图9表明除固支边外,板角点A以及板角点B,D在简支边距角点l/4位置存在负弯矩分布,故在角部简支边区域应配置斜向负支座钢筋。

　　 图10,11分别为四边固支板、四边简支板扭矩分布图。对于四边固支板,工程中通常沿支座均布配置比跨中更大的钢筋,实际上,板支座中间部位负弯矩最大,支座角部衰减很快,角部弯矩接近于0;同时,由边界条件$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial y}=0$可知,支座扭矩为0,图10表明角部位置固支板扭矩很小。在角部部位,简支板沿X,Y方向弯矩小于固支板;然而,图11表明其扭矩远大于固支板。因此在角部位置,沿对角线方向简支时,主弯矩也将大于固支时的主弯矩。混凝土角部楼板两内支座邻边固支、边支座邻边简支,具有固支板和简支板的边界特性,同时还存在一边简支一边固支的角部,其内力分布及配筋比四边固支板和四边简支板更为复杂。

　　 为满足工程需要,将板跨中弯矩系数和角点扭矩系数列于表1。由表1可知,随着长宽比的增加,简支板角点扭矩与跨中弯矩比值λ逐渐减小。对于双向板,当长宽比为1～3时,两边简支角点(C点)扭矩与跨中弯矩的比值λ_C为0.498 8～0.864 9;一边简支一边固支角点(B,D点)扭矩与跨中弯矩的比值λ_B为0.389 8～0.575 5。以长宽比等于3作为区分单向板和双向板的界限 ^[12],对于单向板,角点扭矩与跨中弯矩比值的变化不大,当长宽比为3～6时,其值为0.388 0～0.498 8。因此,双向板两边简支角部(C点)支座钢筋应为跨中钢筋的1/2～1;一边简支一边固支(B,D点) 支座钢筋应为跨中钢筋的0.4～0.6;单向板角部支座钢筋均为跨中钢筋的1/2即可。

　　 一般住宅房间较小,开间宽度3.0～4.2m,进深4.0～6.0m,楼板配筋以构造为主;而商业及办公用房常采用8.0m×8.0m柱网,楼面布置单向次梁或者十字交叉次梁,其楼板尺寸多为4.0m×4.0m或者4.0m×8.0m。本文选取工程中具有代表性的楼板类型,采用PKPM软件进行计算分析。

　　 某4.0m×4.0m的C30混凝土简支板,泊松比μ=0.2,板厚h为120mm,承受均布荷载,其设计值q为8.5kN/m²(恒载q_gk=3.0kN/m² (包括自重),活载q_pk=3.5kN/m²)。

　　 依据静力计算手册,跨中弯矩设计值最大值为4.0kN/m²,简支支座弯矩为0,固支支座弯矩为9.2kN/m²,固支支座需要配纵向钢筋,截面面积为454mm²,跨中配纵向钢筋,截面面积为368mm²,为满足构造要求,简支支座需配置不少于跨中纵向钢筋截面截面面积的1/3即可, 也即6@250钢筋即可。实际上,板内角点C点扭矩为-3.5 kN/m²,需要配纵向钢筋,截面面积为172 mm²;板内角点B,D点扭矩为2.3 kN/m²,B,D角部简支边支座座需要配纵向钢筋,截面面积为113 mm²,简支支座构造钢筋不满足受力需要,配筋比较详见表2。

　　 某8.0m×4.0m的C30混凝土简支板,泊松比μ=0.2,板厚h为120mm,承受均布荷载,其设计值q为8.5kN/m²(恒载q_gk=3.0kN/m² (包括自重),活载q_pk=3.5kN/m²)。

　　 依据静力计算手册,跨中弯矩设计值最大值M_x=8.0kN/m²,M_y=3.4kN/m²,简支支座弯矩为0, 固支支座弯矩M${}_{\text{x}}^0$=16.0kN/m²,M${}_{\text{y}}^0$=10.7kN/m²,固支支座AD边需要配纵向钢筋,截面面积为812mm²,固支支座AB边需要配纵向钢筋,截面面积为530mm²,x向跨中配纵向钢筋,截面面积为393mm²,y向跨中配纵向钢筋,截面面积为368mm²,为满足构造要求,简支支座需配置不少于跨中纵向钢筋截面面积的1/3即可,也即6@250钢筋即可。实际上,板内角点C点扭矩为-4.5kN/m²,需要配纵向钢筋,截面面积为221mm²;板内角点B,D点扭矩为3.38 kN/m²,简支支座需要配纵向钢筋,截面面积为165mm²,简支支座构造钢筋不满足受力需要,配筋比较详见表3。

　　 上述算例表明,仅按照规范规定支座配置跨中纵向钢筋截面面积1/3的钢筋,无法满足受力要求,必须按计算进行配筋。

　　 (1)两相邻边简支两相邻边固支矩形角板板内存在很大的扭矩分布,尤其在两简支边角部。建议支座角部1/4区域内,双向板的两边简支角部(C点)配置不小于跨中钢筋的支座负筋;一边简支一边固支(B,D点) 简支边支座配置不小于跨中钢筋的1/2支座负筋;单向板角部简支边支座钢筋均为跨中钢筋的1/2即可。部分地方出台的地方规定要求边跨板支座配置一定间距、直径的钢筋,本文算例表明这不仅仅是构造加强的需要,也是实际受力的需要。

　　 (2)两相邻边简支两相邻边固支矩形角板依据弯矩分布划分板带是不合理的,边板带板底按照中间板带的一半配筋同样无法满足受力需要。考虑板内扭矩分布的影响以及固支边界的约束,与简支板相比,次对角线方向板底主弯矩沿对角线方向略有偏移,但衰减较小,板底配筋应均匀布置。

　　 (3)对于三边固支一边简支的混凝土边板,板角顶部钢筋可参照角板相应部位配置。