框架-剪力墙结构中结构构件布置比较灵活,可实现较大空间,且剪力墙具有较大的抗侧刚度,很大程度上弥补了结构高度较高时纯框架结构太柔的缺点,因而在我国建筑工程中应用非常广泛。在现行全国《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ 3—2010)^[1]以及现行广东省地方标准《高层建筑混凝土结构技术规程》(DBJ 15-92—2013)^[2]中,关于框架-剪力墙结构的设计关键点之一便是区分结构在地震作用下的抗侧力体系属于何种类型,不同的结构抗侧力体系直接影响结构的抗震设计,其判断依据是规定水平地震力下框架倾覆力矩占比。而关于框架倾覆力矩的计算方法一直存在争议,且近二十年来均未有统一答案。在框架倾覆力矩计算方法未统一之前,据此判定的结构抗侧力体系可能存在误判、错判或漏判,而在此基础上对框架-剪力墙结构展开的研究成果存在出现偏差的可能性^[3,4],因此提出框架倾覆力矩计算的理论方法或者说更为合理的方法便显得尤为迫切。

　　 笔者从目前已有的一些计算方法出发,对其进行对比分析和研究,提出一种新的框架倾覆力矩计算方法。

　　 《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)^[5]6.1.3条的条文说明中给出了建筑结构框架倾覆力矩的计算公式(称之为抗规法),如式(1)所示:

　　 ${\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\displaystyle \sum _{j=1}^{m}V}}{}_{ij}h{}_i(1)$

　　 式中:M_c为框架抗震墙结构在规定的侧向力作用下框架部分分配的地震倾覆力矩;n为结构层数;m为框架第i层的柱根数;V_ij为第i层第j根框架柱的计算地震剪力;h_i为第i层层高。

　　 文献[6,7]在研究框架倾覆力矩计算方法时认为抗规法成立的前提是:框架与剪力墙之间的相互作用只有水平轴力,或者说框架体系与剪力墙体系之间的水平连系构件(简称框剪梁)两端均为铰接,其计算简图如图1所示。基于该框剪梁两端铰接时框架倾覆力矩的推导如式(2)所示,与抗规法按式(1)所定义的计算结果一致。

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[(F{}_i+{\rm N}{}_i){\displaystyle \sum _{j=1}^{i}h}{}_j\right]}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[h{}_i{\displaystyle \sum _{j=1}^i(}F{}_j+{\rm N}{}_j)\right]}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}h{}_i\right)}={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h}{}_{i}V{}_i^{\text{C}}(2)\end{array}$

　　 式中:F_i和F_j分别为第i层和第j层规定水平力;N_i和N_j分别为第i层和第j层框剪梁轴力;h_i为第i层层高;h_j为第j层层高;m_i为结构中第i层框架柱的总根数;V^C_i为结构第i层框架柱的总剪力,即${\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}$。

　　 一般来说,力学上力矩的定义是有作用点的,或者说需指定取矩点,而式(2)对框架倾覆力矩的求解过程中没有指定取矩点,其可以直接“打入结构内部”逐层求矩,这看似有点违背常识。分析框剪梁两端铰接时所示的框架隔离体的受力状态(图1(b)),不难发现此时该结构体系中任意水平面以上所有外力只有规定水平力F和框剪梁轴力N,且均平行于该平面。因此此时框架倾覆力矩求解不是没有取矩点,只是在水平面上任意取矩点取矩结果都相同。

　　 在我国工程实践中,框架-剪力墙结构中的框剪梁不可能两端全为铰接,特别是当框剪梁为钢筋混凝土材料且在剪力墙面内与剪力墙相交时,其两端往往都是刚接的。因此,对于框架-剪力墙结构较为普遍的结构表达应该为图2,图中将框架部分完全“拆出来”,待求的框架倾覆力矩值就可描述为“拆出来”的这部分框架结构的抗倾覆贡献。

　　 但对比框剪梁两端铰接时的计算简图及式(2),会发现此时已不能按抗规法去求解了,因为框剪梁端部有了剪力和弯矩之后,就不能再任意选取矩点。力学法对框架部分首层的倾覆力矩可描述为式(3):

　　 ${\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{j=1}^m{\rm M}}{}_{\text{c}j}+{\displaystyle \sum _{j=1}^m{\rm N}}{}_{\text{c}j}x{}_j(3)$

　　 式中:M_cj,N_cj和x_j分别为图2(b)所示结构底层第j根框架柱柱底弯矩反力、轴反力以及该柱相对于取矩点G₀的位置变量;m为结构底层框架柱的总根数。

　　 严格地说,力学法是正确的,因为它是完全基于力学概念来计算的,但力学法求解的关键问题在取矩点G₀的位置。业内一直似乎都没有找到合理的取矩点定义。式(4)～(6)是目前能查到的关于取矩点G₀的三种定义^[6,7],这三种定义似乎都有其合理性,其中部分已在结构设计软件中有相应计算,式(5)是将取矩点定义在底部剪力墙构件的轴力合力作用点。实际执行时,还可能根据底层剪力墙中受压墙总轴压合力与受拉墙总受拉合力相比较,只对较大轴力的部分按式(5)计算取矩点位置。但无论是式(4)～(6)下的力学法还是抗规法,结果差异都很大^[7],给工程应用带来一定的困扰。

　　 $\begin{array}{l}x{}_{\text{G}{}_0}=\frac{{\displaystyle \sum \left|{\rm N}{}_{\text{c}i}\right|}x{}_{\text{c}i}+{\displaystyle \sum \left|{\rm N}{}_{\text{w}i}\right|}x{}_{\text{w}i}}{{\displaystyle \sum \left|{\rm N}{}_{\text{c}i}\right|}+{\displaystyle \sum \left|{\rm N}{}_{\text{w}i}\right|}}(4)\\ x{}_{\text{G}{}_0}=\frac{{\displaystyle \sum {\rm N}}{}_{\text{w}i}x{}_{\text{w}i}}{{\displaystyle \sum {\rm N}}{}_{\text{w}i}}(5)\\ x{}_{\text{G}{}_0}=\frac{{\displaystyle \sum (}EA{}_{\text{c}i}x{}_{\text{c}\text{a}i}+EA{}_{\text{w}i}x{}_{\text{w}\text{a}i})}{{\displaystyle \sum (}EA{}_{\text{c}i}+EA{}_{\text{w}i})}(6)\end{array}$

　　 式中:x_G0为结构底层框架倾覆力矩求解取矩点的坐标; N_ci和x_ci分别为结构底层第i根框架柱柱底轴力及坐标;N_wi和x_wi分别为结构底层第i片剪力墙的轴力及其截面形心坐标;EA_ci和EA_wi分别为结构底层第i根框架柱、第i片剪力墙的轴向刚度;x_cai和x_wai分别为结构底层第i根框架柱、第i片剪力墙轴向刚心位置。

　　 第1节已将抗规法和力学法求解框架倾覆力矩的过程与特点进行了阐述,出现这两大类计算方法的聚焦点在于抗规法没有考虑框剪梁剪力弯矩带来的框架柱轴力增加导致的“附加抗倾覆贡献”,而力学法在探寻一个合理的取矩点,使得这个“附加抗倾覆贡献”能得到完整的考虑,但至今也没能找到这个合理的取矩点。

　　 实际工程应用时,也确实在很多案例中发现按抗规法计算的结果偏小,似乎漏掉了一部分,而按力学法计算的结果往往是偏大的,极少数情况下会比抗规法小(如竖向构件平面分布上,剪力墙分布在周边而框架柱主要分布在内部时,会比抗规法小)。

　　 首先,可以试着提出这个疑问,框剪梁两端铰接的框架-剪力墙结构是否就是抗规法的结构表达呢?这个在可获取的文献中却没有得到确切的回答。

　　 对图2(a)所示的框剪梁两端刚接的框架-剪力墙整体结构予以分析,仿式(2)进行推导,得到的结构总倾覆力矩可以按式(7)表达:

　　 ${\rm M}{}_{\text{Τ}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h}{}_{i}V{}_i^{\text{C}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h}{}_{i}V{}_i^{\text{W}}(7)$

　　 式中:M_T为结构总倾覆力矩;V^W_i为结构中第i层剪力墙的总剪力。

　　 对结构基底反力从力学法的角度来分析,又可将式(7)进一步描述为式(8),这在理论上是可行的。

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{Τ}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h}{}_{i}V{}_i^{\text{C}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h}{}_{i}V{}_i^{\text{W}}\\ ={\rm M}{}^{\text{C}}+{\rm M}{}^{\text{W}}+{\rm N}{}^{\text{C}}x{}^{\text{C}\text{W}}\\ ={\rm M}{}^{\text{C}}+{\rm M}{}^{\text{W}}-{\rm N}{}^{\text{W}}x{}^{\text{C}\text{W}}(8)\end{array}$

　　 式中:M^W和M^C分别为结构内剪力墙部分和框架部分的总力矩;N^W和N^C分别为结构内剪力墙总轴力和框架柱总轴力(两者绝对值相等,但反号);x^CW为框架柱总轴力与剪力墙总轴力之间的距离。

　　 式(8)定义的是结构总倾覆力矩,从其构成来看,此时抗规法和力学法似乎达到了统一,但其力学法表达式中多了一项N^Wx^CW。由于结构只受规定水平力的作用,没有竖向力作用,因此总框架部分的轴力合力与总剪力墙部分的轴力合力应当位于同一点,即应有x^CW=0。

　　 式(8)是对结构整体倾覆进行分析的,所以得到x^CW=0这个结论很好理解。但目的是求解按图2(b)所示拆分出来的框架部分的倾覆力矩,那就应当对拆分处进行求矩。

　　 仍基于图2(b)进行分析,在框剪梁两端不都是铰接情况下视其为框架梁(一般情况下这是合理的)并计入框架抗倾覆中,按式(9)定义取矩点:

　　 $x{}_{\text{G}{}_0}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V}{}_{i}x{}_{\text{c}\text{w}i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V}{}_i}(9)$

　　 式中V_i和x_cwi分别为结构第i层的框剪梁剪力(以Z轴正向为正)及其靠墙端的坐标,如图2(b)所示。

　　 结合式(2)的定义,在规定水平力下,根据力学法对图2(b)所示计算简图求框架倾覆力矩,结果如式(10)所示:

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[(F{}_i+{\rm N}{}_i){\displaystyle \sum _{j=1}^{i}h}{}_j-V{}_i(x{}_{\text{c}\text{w}i}-x{}_{\text{G}{}_0})+{\rm M}{}_i\right]}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}h}{}_{i}V{}_i^{\text{C}}-\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V}{}_{i}x{}_{\text{c}\text{w}i}-x{}_{\text{G}{}_0}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V}{}_i\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm M}}{}_i\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}h{}_i\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm M}}{}_i(10)\end{array}$

　　 式中M_i和N_i分别为图2(b)所示结构第i层框剪梁靠墙端的弯矩值(顺时针转动为正)和轴力值(与当前规定水平力同向为正),当第i层有多根框剪梁时其分别为该层各框剪梁靠墙端的弯矩值和轴力值之和。

　　 将式(10)与式(1)、式(2)进行对比,发现该方法在框架倾覆力矩计算上是在抗规法的基础上增加了框剪梁靠墙端的固端弯矩,弥补了抗规法考虑的欠缺,也回答了力学法的合理取矩点的问题,同时也更符合结构工程的概念,因此将其定义为框架倾覆力矩的统一解法。从该方法的组成会得到如下结论:

　　 (1)当框剪梁靠墙端固端弯矩总和为零时,统一解法与抗规法相同,由于式(10)与规定水平力F_i没有显著联系,因此框剪梁靠墙端固端弯矩总和为零,即要求框架-剪力墙结构中所有的框剪梁靠墙端均为铰接。在美国,对于框架-核心筒结构中框架与核心筒之间的连系梁,往往将其与核心筒连接端设为铰接,此时抗规法计算结果与统一解法计算结果相等,这或许可以认为是抗规法在美国工程实践中可以应用的力学原因。

　　 (2)当框剪梁靠墙端固端弯矩总和不为零时,即实际结构中框剪梁靠墙端非铰接,为刚接或半刚接,这正是当前我国大量框架-剪力墙结构所具有的结构特征。若式(10)所定义的统一解法在所有的框架倾覆力矩计算方法中是最合理的,则应当在实际工程中采用并予以推广。

　　 (3)由于规定水平力总体上是朝同一方向的(个别楼层会出现反向),此时统一解法结果中框剪梁靠墙端的固端弯矩之和往往是大于零的。得出结论:统一解法计算结果一般是大于抗规法计算结果的。工程实践中有时会觉得抗规法低估了框架倾覆力矩,特别是当显著加大框剪梁截面时抗规法计算结果没有增大或者增大很小甚至还减小,统一解法回答了这个疑惑。

　　 利用式(10)所示的力学法求解框架倾覆力矩的推导过程是基于式(9)等式右边分母不为零,即框剪梁剪力之和不为零这个前提的。对于实际工程来说,一般情况下是成立的,但对于绝对对称的结构来说,则会出现框剪梁剪力之和为零的情况,此时框架倾覆力矩的表达式是否可以用式(10)最后的等式来表示呢?

　　 将${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V}{}_i=0$代入式(10)得到式(11),可以看到此时力学法求解与取矩点坐标无关(即取矩点可任意取),但结果比式(10)多了一项${\displaystyle \sum _{i=1}^n-}V{}_{i}x{}_{\text{c}\text{w}i}$,可以简单证明该项为常量,结果仅与各框剪梁剪力及其墙端的相对坐标相关。但这一项是否应该计入框架倾覆力矩中呢?

　　 ${\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}h{}_i)+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm M}}{}_i+{\displaystyle \sum _{i=1}^n-}V{}_{i}x{}_{\text{c}\text{w}i}(11)$

　　 以一层对称的框架-剪力墙结构来举例说明(图3),层高为h,分列于剪力墙两侧的两根框剪梁剪力量值相等(记为V₀,相对应于梁端和墙端分别记为$V{}_0|{}_{\text{梁}}$和$V{}_0|{}_{\text{墙}}$)但符号相反,坐标分别为x₀和x₁,墙顶剪力、墙左右两侧水平梁梁端弯矩、墙底弯矩反力以及墙截面高度分别记为V_W,M₁,M₂,M_W和L_W。此时由于剪力墙的轴向合力为零,计算发现式(11)比式(10)多的这一项可表示为${\displaystyle \sum _{i=1}^n-}V{}_{i}x{}_{\text{c}\text{w}i}=V{}_0|{}_{\text{梁}}(x{}_1-x{}_0)=-V{}_0|{}_{\text{墙}}L{}_{\text{w}}$,而根据剪力墙的受弯平衡有$V{}_0|{}_{\text{墙}}L{}_{\text{w}}=V{}_{\text{w}}h-{\rm M}{}_1-{\rm M}{}_2-{\rm M}{}_{\text{W}}$,这显然是剪力墙的倾覆力矩,不应视为框架倾覆力矩的一部分,应予扣除。

　　 因此,当式(9)中${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V}{}_i=0$时,仍然可采用式(10)最后的等式来计算框架倾覆力矩。只是若采用力学法计算时,虽可任取取矩点但求解结果中需扣除该项${\displaystyle \sum _{i=1}^n-}V{}_{i}x{}_{\text{c}\text{w}i}$。

　　 若将图2(b)所示的计算简图拓展到实际三维框架-剪力墙结构,则取矩点的表达式应为下式:

　　 $x{}_{\text{G}{}_0}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\displaystyle \sum _{j=1}^{p{}_i}V}}{}_{\text{c}\text{w}ij}x{}_{\text{c}\text{w}ij}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\displaystyle \sum _{j=1}^{p{}_i}V}}{}_{\text{c}\text{w}ij}}(12)$

　　 式中:V_cwij和x_cwij分别为结构第i层第j根框剪梁靠墙端的剪力(以Z轴正向为正)及其靠墙端的坐标;p_i为结构第i层的框剪梁根数。

　　 式(10)定义的框架倾覆力矩统一解法回答了框架-剪力墙结构中框架倾覆力矩的合理计算,似乎解决了抗规法用于我国工程实践的矛盾,也回答了力学法的取矩点问题,那该方法的合理性能否得到证明、其合理性是否有明确的物理意义呢?进一步,其应用范畴是否可以继续拓展呢?比如在规定水平力下,对一任意的建筑结构(不限其结构形式),其内部存在一部分抗弯框架(不妨称这种情况下的框架为一般框架),对这部分抗弯框架的倾覆力矩可否采用统一解法来计算呢?

　　 在回答上述问题之前,不妨将结构体系退回来,退到早期建筑结构中最常用的、结构受力最普通的、结构形式最简单的框架结构,即熟知的抗弯框架结构体系(Moment Resisting Frame System),分析其在规定水平力作用下的抗倾覆力矩的构成及特点。

　　 建立典型框架结构,侧向受到X向的规定水平力作用,底部设固定支座,如图4(a)所示。

　　 框架梁和框架柱的正向受力符号约定如图4(b)所示,其中框架梁在分析面(记为XZ面)内的剪力、弯矩的正向分别定义为使得框架梁逆时针转动和顺时针转动为正,反之为负;而框架柱的剪力、弯矩的正向规定相反;框架梁和框架柱的轴力符号都是受拉为正,受压为负。其中框架梁、框架柱的长度L_b,L_c为其在XZ面内的投影长度,一般情况下框架柱的长度即为层高h。

　　 按图4(b)所示的正向受力符号约定,框架结构底部支座以上任意节点受到梁柱的弯矩是平衡的,将其按梁的端弯矩和柱的端弯矩分列在等号两侧,并对结构内所有的节点求和,此时结合式(2)可得到式(13)所表达的框架倾覆力矩计算公式:

　　 ${\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}^{\text{C}}h{}_i)={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n{}_i}V}{}_{ij}^{\text{B}}L{}_{ij}^{\text{B}})+{\displaystyle \sum _{i=1}^q{\rm M}}{}_i^{\text{C}\text{边}\text{界}}(13)$

　　 式中:V^B_ij,L^B_ij和n_i分别为图4(b)所示的第i层第j根框架梁的梁端剪力、梁投影长度以及第i层框架梁的根数;M${}_i^{\text{C}\text{边}\text{界}}$和q分别为结构底层第i根框架柱柱底弯矩及底层框架柱的根数(记这种与边界发生抗弯联系的框架柱为边界柱)。

　　 若进一步在框架结构底部支座处拟设抗弯虚梁连接各框架柱的抗弯支座,将支座承担的弯矩释放掉,改由抗弯虚梁承担,由于原框架结构支座处抗弯约束刚度为无穷大,则抗弯虚梁的抗弯刚度也应取极大值,而将剪切刚度和轴向刚度取极小值。此时框架柱底支座变成了铰接,如图5所示。对于此时的框架结构,其外部边界条件中没有集中力矩的输入或输出,此时式(13)可进一步演化为式(14)。式(14)表明对于普通框架结构,在抗水平力的贡献上,框架柱和框架梁具有对等意义。

　　 ${\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}^{\text{C}}h{}_i)={\displaystyle \sum _{i=0}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n{}_i}V}{}_{ij}^{\text{B}}L{}_{ij}^{\text{B}})(14)$

　　 对于拟设抗弯虚梁后对上部结构体系的受力有无影响,需要予以证明。由于上部结构在规定水平力下达到了平衡,且式(13)正是根据各节点抗弯平衡求解得到的,那么需要论证的是拟设抗弯虚梁之后的结构体系是否平衡且对原结构的平衡有无重构。按图5右侧所示的变量及图4(b)的符号约定,即可证明:对于原结构底层柱柱底弯矩M_i、轴力N_i和剪力V_i,若得到抗弯虚梁的平衡与弯矩M_i、轴力N_i和剪力V_i无关,则表明新增的抗弯虚梁完全可以不影响原结构受力状态。

　　 根据抗弯虚梁的受剪、受弯平衡可以得出式(15)和式(16),由式(15)剪力平衡可以显式得到抗弯虚梁的剪力,再代入式(16)抗弯平衡可以得到式(17):

　　 $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\rm N}{}_1=V{}_1\\ ⋮\\ {\rm N}{}_i=V{}_i-V{}_{i-1}\\ ⋮\\ {\rm N}{}_n=V{}_{n-1}\end{array}(15)\\ \{\begin{array}{l}{\rm M}{}_1=V{}_{1}L{}_{11}\\ ⋮\\ {\rm M}{}_i=V{}_{i}L{}_{i1}+V{}_{i-1}(L{}_{i-1}-L{}_{(i-1)1})\\ ⋮\\ {\rm M}{}_n=V{}_{n-1}(L{}_{n-1}-L{}_{(n-1)1})\end{array}(16)\\ \{\begin{array}{l}{\rm N}{}_{1}L{}_{11}={\rm M}{}_1\\ ⋮\\ {\displaystyle \sum _{j=1}^i{\rm N}}{}_{j}L{}_{i1}={\displaystyle \sum _{j=1}^i{\rm M}}{}_j-{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}(}{\rm N}{}_j{\displaystyle \sum _{k=j}^{i-1}L}{}_k)\\ ⋮\\ {\rm M}{}_n=-{\rm N}{}_{n}L{}_{n-1}+{\rm N}{}_{n}L{}_{(n-1)1}\end{array}(17)\end{array}$

　　 结合式(15),式(17)中i=1即为式(16)第一个平衡式,而i从2到n-1则是将前一平衡式逐级代入的结果。对式(17),取i=n-1时的结果代入第n个柱节点力矩平衡时整理可得式(18),显然式(18)是原结构支座反力绕第n个柱底节点的力矩平衡表达式。

　　 ${\displaystyle \sum _{j=1}^n{\rm M}}{}_j-{\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}(}{\rm N}{}_j{\displaystyle \sum _{k=j}^{n-1}L}{}_k)=0(18)$

　　 对于原结构的基底剪力V_i,与新增抗弯虚梁受剪受弯平衡没有关系,只与其轴向拉压有关,但由于抗弯虚梁轴向刚度极小,因此V_i在新增抗弯虚梁的结构中由简支支座承担。因此,通过拟设抗弯虚梁的方式对原结构受力体系没有影响。其实从有限元的角度来看,支座的反力对应的自由度部分在求解位移时是需要在结构刚度矩阵中去掉的,而拟设抗弯虚梁只是部分保留了抗弯部分,且该部分与其他自由度并无耦合项,因此在原结构的各抗弯支座间拟设抗弯虚梁的方法不会改变原结构的受力状态,是可行的。

　　 基于图5通过底部抗弯支座等效为拟设抗弯虚梁后的框架结构,考虑其于楼层标高处有弹性侧向支撑,简化为抗弯、抗剪和抗拉压弹簧,如图6(a)所示。在规定水平力作用下,将与该弹性支座相连框架梁靠近该支座端的梁端弯矩记为边界梁边界端弯矩。

　　 仍基于框架内各节点力矩的平衡关系,仿照式(13)可以得到式(19):

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{c}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}^{\text{C}}h{}_i)+{\displaystyle \sum _{i=1}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{p{}_i}{\rm M}}{}_{ij}^{\text{B}\text{边}\text{界}})\\ ={\displaystyle \sum _{i=0}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n{}_i}V}{}_{ij}^{\text{B}}L{}_{ij}^{\text{B}})(19)\end{array}$

　　 式中:M${}_{ij}^{\text{B}\text{边}\text{界}}$为第i层第j根与侧向边界联系的边界梁边界端弯矩;p_i为第i层边界梁的根数。

　　 不难发现式(19)中第一个等式即为式(10),这表明式(10)所给出框架倾覆力矩计算公式是合理的,即回答了统一解法的物理意义。而式(19)第二个等式则为该框架倾覆力矩以框架梁剪力来表达时的计算方法,包括式(13)和式(14)的第二等式,将这种基于框架梁剪力的框架倾覆力矩求解方法记为梁剪法,而对应的基于框架柱剪力的求解方法记为柱剪法。

　　 若进一步仿照图5,取消图6(a)各侧向弹性支座中的转动弹性支座,而代之以相应抗弯刚度的抗弯虚柱,如图6(b)所示,则可得到更为简洁的框架倾覆力矩表达式,即式(14),只是将抗弯虚柱也包括进去。

　　 对于图7(a)所示的建筑结构,受到X方向作用于各层的侧向规定水平力,结构达到了平衡。结构内部第i₀层到第n层存在一局部抗弯框架。在规定水平力下结构内部局部抗弯框架的倾覆力矩可按框架倾覆力矩的柱剪法来计算,即式(20a),也可按框架倾覆力矩的梁剪法来计算,即式(20b):

　　 ${\rm M}{}_{\text{Μ}}^{\text{Ο}\text{Τ}}|{}_{i{}_0}={\displaystyle \sum _{i=i{}_0}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}^{\text{C}}h{}_i)+{\displaystyle \sum _{i=i{}_0}^{n-1}(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{p{}_i}{\rm M}}{}_{ij}^{\text{B}\text{边}\text{界}})$(20a)

　　 ${\rm M}{}_{\text{Μ}}^{\text{Ο}\text{Τ}}|{}_{i{}_0}={\displaystyle \sum _{i=i{}_0}^{n-1}(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n{}_i}V}{}_{ij}^{\text{B}}L{}_{ij}^{\text{B}})+{\displaystyle \sum _{i=i{}_0}^n(}{\displaystyle \sum _{j=1}^{q{}_i}{\rm M}}{}_{ij}^{\text{C}\text{边}\text{界}})$(20b)

　　 式中:i₀和n分别为局部框架的起始楼层号和结束楼层号;m_i,n_i和h_i分别为第i层框架柱总数、框架梁总数和层高;p_i和q_i分别为第i层边界梁总数和边界柱总数;${\rm M}{}_{\text{Μ}}^{\text{Ο}\text{Τ}}|{}_{i{}_0}$为从第i₀层到第n层局部框架的倾覆力矩;V^C_ij,V^B_ij,L^B_ij,M${}_{ij}^{\text{C}\text{边}\text{界}}$,M${}_{ij}^{\text{B}\text{边}\text{界}}$分别为第i层第j根框架柱剪力、框架梁剪力、框架梁长度(为梁长对XZ平面的投影)、边界柱边界端弯矩和边界梁边界端弯矩(为边界梁边界端弯矩、扭矩对XZ平面矢量投影)。式中各弯矩、剪力均按图1(c)的约定取正负号。

　　 如果对所有的边界柱和边界梁在抗弯支座处拟设相应抗弯刚度的抗弯虚梁和抗弯虚柱,则由前文拟设虚梁后对上部结构体系的受力无影响的证明可得到与原结构等效的结构模型,如图7(b)所示,该等效模型各边界均无集中力矩输入和输出,通过该模型可将原结构局部框架的倾覆力矩计算式予以简化。此时,式(20a)、式(20b)可以分别简化为式(21a)、式(21b)。

　　 $\begin{array}{l}{\rm M}{}_{\text{Μ}}^{\text{Ο}\text{Τ}}|{}_{i{}_0}={\displaystyle \sum _{i=i{}_0}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{m{}_i}V}{}_{ij}^{\text{C}}h{}_i\right)}(21\text{a})\\ {\rm M}{}_{\text{Μ}}^{\text{Ο}\text{Τ}}|{}_{i{}_0}={\displaystyle \sum _{i=i{}_0-1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{n{}_i}V}{}_{ij}^{\text{B}}L{}_{ij}^{\text{B}}\right)}(21\text{b})\end{array}$

　　 式(21b)中梁剪法求解时由于囊括了顶底拟设的抗弯虚梁,所以外部求和符号的求和范围从i₀-1到n。

　　 式(20)或式(21)即为集中于楼层处的规定水平力荷载作用下任意建筑结构中任意框架部分倾覆力矩的理论表达。

　　 从当前结构工程实践和理论研究出发,分析了不同框架倾覆力矩计算方法的异同和各自缺陷,提出了框架倾覆力矩的合理计算方法,记为统一解法。通过一系列分析和论证表明该方法是合理的,具有明确的物理意义,并将其应用范围拓展到任意建筑结构中任意框架部分的倾覆力矩计算。框架倾覆力矩统一解法可以表达为柱剪法或梁剪法,相关结论如下:

　　 (1)与抗规法等效的结构表达为框剪梁在墙端为铰接时的结构体系,并非为框剪梁在柱墙两端均为铰接的结构体系。

　　 (2)提出的框架倾覆力矩须一解法推广了抗规法的适用条件,回答了采用力学法计算框架倾覆力矩的合理取矩点问题:合理取矩点为待分析的框架部分所有的框剪梁靠墙端的剪力在结构平面上的合力作用点,即式(12)。本文提出的框架倾覆力矩计算方法是没有假定没有前提条件的,在理论上是完全成立的,由于其具有明确的物理意义,因此也是合理的。

　　 (3)通过对普通框架结构、带侧向弹性支座的框架结构以及具有一般意义上的建筑结构中部分框架结构的研究,给出在结构各楼层处作用有规定地震水平力下,框架倾覆力矩统一解法的具体表达:柱剪法和梁剪法,分别如式(20a)和式(21a)所示,若在抗弯支座处分别设置抗弯虚梁和抗弯虚柱,则柱剪法和梁剪法又可分别表达为式(20b)和式(21b)。