雨水管网作为城市排水管网的重要组成部分,其设计与建设的科学性与合理性直接决定着城市承受洪涝灾害的能力。近年来利用数学模型进行工程优化已经成为城市雨水管网系统在进行优化设计时常采用的方法。目前比较常见的建模思想有以下两种:一种方法是以管网系统建设成本为目标函数^[1,2],该方法侧重考虑管网的合理与经济性,在满足设计规范以及水力学原理的前提下,追求总建造费用最小;另一种方法是以雨水管网水力工况最优为目标^[3~5],采用相关排水软件对研究区域进行模拟仿真分析,校核管网的过水能力,确定优化方案。但是雨水管网的优化设计、运营管理需要充分考虑区域的经济、施工环境以及施工过程等多方面的因素,对于上述两种单目标优化方法显然已经不能满足雨水管网可持续发展的要求,鉴于此,本文从多目标优化的角度来考虑雨水管网改扩建的优化问题,以提高优化结果的科学性与实用性。

　　 对于已定管线的城市雨水管网优化问题,大多学者主要集中研究管道的管径和埋深在满足设计流量下的多种组合,以使投资费用最小^[6]。本文以管道的管径与检查井的内底标高为优化变量。检查井内底标高的改变会使与其连接的上游管道的管底与下游管道的管顶的高程相应改变,从而优化了管道的埋深。另外以检查井的内底标高作为优化变量可以大幅度减少优化模型中的约束个数及变量个数,简化计算过程,提高模型运行效率。

　　 本文的研究对象是雨水管道和检查井,针对已建雨水管网的改造工程,检查井增加埋深虽然会产生一定的费用,但是远小于实际工程中雨水管网大规模翻修与替换产生的成本,因此本文只将雨水管道的改建成本作为目标函数。文献[7]根据不同埋深情况下的土方费用以及不同管径情况下的管材费用对雨水管网的费用函数进行拟合,基于遗传算法进行回归计算,拟合精度高,结果可靠性强。因此本文采用式(1)作为成本目标函数。

　　 式中Z₁———管道改建成本,元;

　　 H———管道平均埋深,m;

　　 D———管道直径,m;

　　 l———管长,m。

　　 雨水管网改建工程一般都会对城市环境与交通造成影响^[6],特别是在商业密集的中心城区、人口密集的老城区以及工业发达的工业区,因此在选择改建方案时,如何减少施工过程中的工程量,将施工对人类生产生活的影响降为最小也是我们需要考虑的因素。以改建管段的挖槽土方量作为可量化的施工控制的目标函数,可以达到减少工程量、缩短工期、减小改建工程对城市正常运行产生影响的目的。检查井埋深增加虽然会产生一定的土方量,但远小于改建多根长达数十米的管段造成的土方量,因此本文只考虑雨水管网的挖槽土方量,其计算公式如式(2)所示。

　　 式中Z₂———管网改建的挖槽土方量,m³;

　　 A———挖槽时梯形截面的面积,与管径D有关,根据实际工程设计图纸计算,m²。

　　 在雨水排放过程中,当进入检查井或者管段连接节点的流量超过系统输送到下游管段的能力时,雨水会造成容积,节点出现超载,若不能及时排除,整个排水系统可能就会受到损坏,导致管井溢流、地面积水等现象。因此本文采用节点溢流量作为雨水管网排水性能检测的量化指标,如式(3)所示。

　　 式中Z₃———溢流量总和,m³;

　　 Q_i———各节点的溢流量,m³。

　　 溢流量总和越小,雨水管网的排水能力越强。SWMM是美国环境保护局EPA开发的用于城市雨水径流、合流管道、污水管道和其他排水系统的设计、规划和分析的软件,目前已经在世界范围内广泛应用^[8]。本文基于MATLAB平台,建立程序调用的接口文件,将SWMM源程序嵌入粒子群多目标寻优过程,将每次迭代得到的管径变量值和管井内底标高变量值写入SWMM输入文件,通过采用SWMM程序模拟运行,从而计算出管网的溢流量,然后将计算结果反馈到粒子群多目标优化算法中的目标评定过程,调用流程见图1。

　　 在计算过程中,管径的递减或者递增是非均匀非连续的^[9],改造之后的管径应该具有工程实际应用的意义,不仅需要满足排水性能约束,且应在市场销售的可选管径范围之内,即:

　　 式中d_iu———与管道i相邻的上游管径的最大值,m;

　　 D ———标准规格管径集。

　　 雨水管道的埋深应该满足冰冻和荷载的要求。管顶的埋深应至少在车行道下0.7 m,最大埋深应该不超过7m,即:

　　 根据 《室外排水设计规范 》(GB 50014-2006)^[10],雨水管道的最小坡度为0.003,管道采用平顶连接方式,因此可以推算出相应的管井内底标高约束为:

　　 式中N_i———管道上游管井的内底标高,m;

　　 N_i-1———管道下游管井的内底标高,m;

　　 L———管道长度,m。

　　 粒子群算法最早是由美国电气工程师Eberhart和社会心理学家Kennedy于1995 年提出的,其核心思想是根据自然界中鸟群觅食的现象,将每一个粒子比作鸟群的个体,通过各个粒子之间的信息交换与协调搜索来确定全局的最优。2004年Carlos A提出用粒子群算法求解多目标优化问题^[11],通过使用外部档案集引导粒子飞行的方法来找到一组非支配解,即Pareto最优解集,这组解是权衡了多个目标的折衷解。在求解多目标优化的问题时,与其他优化算法相比,粒子群算法具有搜索效率高、算法设计简单、需要调整的参数较少、易与其他算法结合的优点^[12]。

　　 在进行结构优化时,一般是使用罚函数来处理优化问题中的约束。罚函数法是将罚因子加入原来的算法中以平衡约束函数和目标函数,如何合理设置罚因子是利用罚函数法的关键。若罚因子设置不当,可能导致优化结果收敛不到正确解^[13]。在本文中采用如下方法处理约束:在计算迭代过程中,将不满足约束粒子的适应度函数值设置为一个很大的数(本文中设置为10¹⁰⁰),以确保不满足约束的粒子不会进入pa-reto最优解集。运用多目标粒子群优化算法求解雨水管网优化问题,计算流程见图2,步骤如下^[14,15]:

　　 (1)雨水管网的管径是离散的,因此在对决策变量中的管径进行编码时采用整数编码,不仅可以提高计算的速度,减少储存的空间,同时可以避免二进制编码的冗余。

　　 (2)创建一个规模为n的粒子种群并初始化,即在可行区域内随机地抽取样本点,设置各粒子的初始位置和初始速度。

　　 (3)计算约束,将不满足约束粒子的适应度函数值(即目标函数值)设置为10¹⁰⁰,以确保不满足约束的粒子不会进入pareto最优解集。

　　 (4)计算满足约束的各个粒子的适应度函数值(即目标函数值),并且按照支配关系确定非支配解集。

　　 (5)采用外部档案来储存个体最优位置和全局最优位置。根据非支配排序的机制更新外部档案集。

　　 (6)对档案的容量设置一个最大限值,一旦超出这个限值,外部档案中的非支配解就要按照一定的规则进行删除。

　　 (7)更新个体最优位置和全局最优位置。

　　 (8)根据式(8)更新当前各个粒子的速度,根据式(9)更新粒子的管径变量的位置,根据式(10)更新管井内底标高变量的位置。

　　 式中k———迭代次数;

　　 x_i———x_i=(x_i1,x_i2,…,x_id),粒子i的第d维位置矢量;

　　 x_ig———粒子i的管径整数编码值;

　　 x_ij———粒子i的内底标高值;

　　 v_i———v_i=(v_i1,v_i2,…v_id),粒子i的飞行速度;

　　 p_id———单个粒子目前为止搜寻到的局部最优位置;

　　 g_id———整个粒子种群目前为止搜寻到的全局最优位置;

　　 ω———惯性权重;

　　 c₁,c₂———学习因子,也称加速因子;

　　 rand₁、rand₂———[0,1]之间的随机数。

　　 (9)若达到系统设置的最大迭代次数,终止程序;否则,返回第二步。

　　 以南京市高新区某排水区域为例,验证基于多目标粒子群算法的雨水管网优化算法的合理性。研究区的排水系统为雨水分流制排水,管线总长3.163km,管道按照设计重现期为1年的标准设计修建。《室外排水设计规范》^[10]中规定重现期一般采用0.5~3年,根据研究区域的发展现状及远景规划,选取3年的暴雨重现期对管网改建的效果进行模拟分析,以期提高管网的排水性能。设置初始种群为100,迭代次数为100,外部档案限值为100。经计算,按照溢流量从大到小的顺序,其结果如表1所示。

　　 从表1中可以看出,当研究区雨水管网系统未进行优化时,在强度为3年一遇的暴雨情况下,研究区域的雨水管网超载,节点出现溢流现象,溢流量总和为395m³。针对这一问题,对研究区域的雨水管网进行改建。方案1的投资费用为300 007.55元,溢流量为390m³,与改造之前仅相差5m³,区域积水问题并没有得到解决。方案15(见图3)改建了区域下游部分的16根雨水管道,其中包括9根管道的管径加大,3根管道的埋深增大以及3 根管道的管径与埋深同时增加。雨水管网的溢流量为173m³,与优化之前相比减少了56.2%,超载的管段数减少,挖槽土方量比方案1增加了1 047.1m³。方案38(见图4)中,7根雨水管网的管径被加粗,4根管的埋深加大以及16根管的管径及埋深同时增加,管网投资费用增至512 025.22 元,管网的溢流量为1m³。此时针对于南京市3年一遇的暴雨研究区域基本不会出现积水,但成本目标值与土方量目标值都大幅度提高,方案的实际应用价值降低。通过对雨水管网的改造成本、挖槽土方量以及溢流量3个目标的对比分析可知:随着管网排水性能的逐渐改善和提升,雨水管网溢流量逐渐减小,但与其对应的经济代价与挖槽土方量也逐渐增加。在对管网改造方案进行选择时,应结合3个目标的重要程度,从实际出发,得到一个科学合理的结果。

　　 图5中可以清晰地看出管道改建成本与挖槽土方量之间的关系:随着挖槽土方量的增加,管道改造成本也逐渐增大。增加管道的埋深会使施工过程中开挖的梯形槽体的深度增加,管径增大也促使需要开挖的梯形槽宽增大,而两者皆是影响土方量大小的重要因素,从而提高了土方费用,土方费用属于建造成本的一部分,因而成本目标也呈增大的趋势。图6为溢流量与挖槽土方量之间的关系:随着挖槽土方量增加,溢流量降低。加大管径与管道的埋深都会使管网的流量增大,管网过流能力提高,溢流量减少,而任意增加管径与坡度会使挖槽土方量明显提升,对周围环境产生较大的影响。图7为管道改建成本与溢流量之间的关系:随着可行方案中改建成本的增高,溢流量逐步降低。改建成本与溢流量都受到管径与其埋深的影响,但这两个目标相互矛盾,目标值呈负相关关系。在经济条件允许的情况下,应尽量选择溢流量较低的优化方案。

　　 (1)运用多目标粒子群优化算法,对雨水管网改建优化问题进行研究。在考虑管道的改建成本与管网性能的同时,引入挖槽土方量这一施工控制目标,以期减小管网改造的工程量,缩短施工周期,降低实际工程对周边环境的影响。

　　 (2)以检查井内底标高为优化变量,减少了优化模型中约束个数及变量个数,降低计算的复杂程度,提高优化效率。

　　 (3)基于MATLAB平台,将SWMM源程序嵌入粒子群多目标寻优过程,实现自动调用SWMM进行雨水管网性能计算与模拟,减少了人工操作的步骤,提高了运算速度和优化效率。

　　 (4)在粒子群多目标计算迭代过程中,针对约束问题,规避了罚函数,采用将不满足约束粒子的适应度函数值直接设置为一个极大数的方法,来淘汰不满足约束的粒子,确保其不会进入pareto最优解集,简化了计算程序。