应力-应变曲线对柱子曲线的影响很大。图 12 (a) 为没有明显流限的材料应力-应变曲线, 如铝合金及高强钢, 相应的柱子曲线为图12 (b) 。图 12 (c) 为具有流限的建筑钢应力-应变曲线, 柱子曲线为图12 (d) 。

　　 小于比例极限σ_p时, 柱子曲线为欧拉临界应力曲线L-σ_p;比例极限σ_p至流限σ_y, 柱子曲线为σ_p-M, 注意到此时E_t=0 (E_t为柱切线模量) 对应着l/r=0 (r为柱回转半径, l为柱几何长度) 。试验中会出现l/r值低于30的短柱, 其屈服强度P/A (P为轴压力; A为柱截面面积) 高于流限很多的现象。这是由于材料的不均匀性, 使得流塑不是在整个截面同时发生, 先期进入流塑的部分会出现强化, 使临界应力有些像高强钢一样向上增长而超过流限。但这一变化是不稳定的, 因此还是建议采用L-σ_p-M作为柱子曲线。

　　 对于具有完整的材料受压应力-应变关系的柱子, 可以按弹性区欧拉荷载和非弹性区切线模量荷载, 做出柱子屈服荷载和长细比关系的柱子曲线。这个柱子曲线对任何实心截面的理想柱子都是有效的, 可以作为中心受压柱设计公式的唯一理论基础。

　　 轴心受压柱失稳时, 有微小的挠曲, 会产生弯矩, 弯矩M=Py (P为轴压力;y为挠度) , 此弯矩对应的剪力Q为:

　　 $Q=\frac{\text{d}{\rm M}}{\text{d}x}={\rm P}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

　　 经推导 (从略, 详见原著) , 得到考虑剪应力影响的临界荷载P_c′, 公式为:

　　 ${\rm P}{}_{{\text{c}}^{\prime }}=\frac{\text{π}{}^{2}E{}_{\text{t}}{\rm I}}{l{}^2}\frac{1}{1+\frac{\beta }{G{}_{\text{t}}A}\frac{\text{π}{}^{2}E{}_{\text{t}}{\rm I}}{l{}^2}}$

　　 式中:I为柱截面惯性矩;β为与柱子截面形状有关的系数, 对于矩形截面, β=1.2, 对于沿腹板挠曲的H形截面, β=2;G_t为剪切切线模量;A为柱截面面积。

　　 令$\upsilon =E{}_{\text{t}}/G{}_{\text{t}},k=\sqrt[]{1+\text{π}{}^2\beta \upsilon \left(\frac{r}{l}\right){}^2}$。不考虑剪应力影响的临界荷载${\rm P}{}_{\text{c}}=\frac{\text{π}{}^{2}E{}_{\text{t}}{\rm I}}{l{}^2}$, 则:

　　 ${\rm P}{}_{{\text{c}}^{\prime }}={\rm P}{}_{\text{c}}\frac{1}{k{}^2}(25)$

　　 k与l/r有关且大于1, 即P_c′小于P_c。取伯桑比ν=1/3, 则υ=2 (1+ν) =8/3, 选择H形截面并取β=2, 可得l/r取不同值时k, P_c′/P_c的值。

　　 可以看出, 对于所有实用的长细比值, 由于剪力所引起的实腹截面柱强度减小微不足道, 在实际计算中可不予考虑。

　　 这里的偏心受压, 讨论的是偏心力矩平面与屈曲平面重合的平面内稳定。在偏心受压柱稳定理论的发展史中, 首先要提到奥斯坦费德 (Ostenfeld) 。他于1898年就提出了以柱截面边缘屈服为临界荷载的计算公式。

　　 卡门首次将偏心受压柱的屈曲荷载作为稳定问题加以研究, 给出了完整而精确的分析。1926年罗斯 (Ros) 和勃伦纳 (Brunner) 将挠曲中线用正弦半波代替, 对偏压柱稳定进行了理论分析和试验研究。1928年韦斯脱伽 (Westergaard) 和奥斯古特 (Osgood) 以余弦半波代替挠曲中线, 大大简化了卡门的研究方法而又不失精度。许瓦拉 (Chwalla) 从卡门的精确概念出发, 深入细致地研究了偏压柱的稳定性, 并做了大量图表, 其研究成果对评估近似方法的精确性具有价值。耶硕克 (Jezek) 采用简化的双线性应力应变模型进行分析, 得到了很好的结果。

　　 杨氏 (Young) 从正割公式出发, 将最大纤维应力达到屈服时的荷载看成破坏荷载, 并做出了偏心柱的柱子曲线。但他的出发点与奥斯坦费德一样, 一开始就错了。