超高层强外框(筒)结构是一种新型结构体系，其核心思想是将结构材料外围化布置，形成强外框(筒)体系，从而达到改善结构整体侧向刚度、减少结构水平位移的目的。强外框(筒)体系结构外框形式如图1所示，外框柱距一般为4.2～9.0m。这种强外框(筒)结构有利于增大抗侧力力臂，提高抗倾覆能力，可有效承受大部分甚至全部水平剪力。当外框结构底部承担的水平剪力占总基底剪力的20%～50%时，则为强外框体系;当外框结构底部承担的水平剪力占总基底剪力的50%以上时，则为强外筒体系^[1,2]。此外，强外框(筒)结构体系还具有建筑平面布局灵活、采光与通风更为合理以及节约建筑材料等优点，是一种安全、经济和有效的超高层结构体系，目前已在多个重大工程项目中得到应用^[3,4,5]。

　　 水平风荷载是检验超高层结构抗侧力水平的主要荷载之一，它对结构产生的响应对结构设计有重要影响。将强外框(筒)结构用于高层结构设计，有必要进行风荷载作用下结构响应的计算和分析。通过对风致响应关于结构设计变量(如构件截面尺寸)的灵敏度分析，可以掌握风致响应对构件参数变化的敏感程度，从而有针对性地调整结构设计参数，快速而有效地实现改善结构抗风性能的目标^[6]。因此，为了完善超高层强外框(筒)结构体系的理论研究和抗风分析与设计，开展风致响应的灵敏度分析是有必要的。

　　 结构参数灵敏度分析方法可分为局部灵敏度分析法和全局灵敏度分析法^[6,7]，其中局部灵敏度分析法是考察单个参数对结构响应的影响，概念清晰、操作简便，目前应用比较广泛，适用于获得风荷载与风致响应之间的规律性联系。在局部灵敏度分析方面比较常用的计算方法是有限差分法和解析法^[8]。有限差分法原理简单、便于应用，但计算量大;解析法精度高、计算量小，对杆件单元较为适用^[8]，但对复杂超高层结构的适用性并不高。结构设计参数灵敏度本质上是结构优化设计中约束函数对设计变量求偏导，Chan^[9]和Fu^[10]等为建立以风振响应为约束函数的优化方法，根据虚功原理建立了风振响应与构件截面参数的显式表达式。基于此表达式，进一步可推导各设计参数对风致响应的灵敏度计算公式，既可避免传统解析法^[8]推导复杂刚度矩阵的问题，又可减少有限差分法的计算量，有利于进行结构局部灵敏度分析。

　　 因此，本文拟借鉴结构抗风优化设计方法的有关理论，通过有限元软件获取强外框(筒)结构在风荷载作用下的结构内力信息，并引用风致位移、层间位移角以及结构自振周期的显式表达式，推导关于结构设计参数的灵敏度计算公式。最后以实际强外框(筒)结构项目为背景，进行响应灵敏度分析，以期掌握强外框(筒)结构对设计参数的敏感性。

　　 超高层建筑在风荷载下进行线弹性分析时，可通过虚功原理和功能关系建立结构响应的显式表达式，本文基于此表达式进一步推导结构风致位移、层间位移角以及结构自振周期关于结构构件截面参数的灵敏度计算公式。

　　 利用虚功原理建立结构风致位移u与设计变量的一般通式，如下式所示:

　　 式中:n为构件类型的数量;Δ_i表示第i类构件的内力所引起的结构位移，其计算式如下:

　　 式中:E,G分别为构件材料的弹性模量与剪切模量;l_i表示第i类构件的长度;F_N,F_Sx,F_Sy,M_z,M_x,M_y和f_N,f_Sx,f_Sy,m_z,m_x,m_y分别为构件在实际风荷载和单位力这两个工况作用下产生的6个截面内力分量，6个分量依次为轴力、x向剪力、y向剪力、扭距、绕y轴弯矩和绕z轴弯矩;A,A_x,A_y,I_z,I_x,I_y表示构件截面的截面特性，分别为截面面积、沿x轴的剪切面积、沿y轴的剪切面积、绕z轴的转动惯量、绕x轴的惯性积和绕y轴的惯性积，这些参数可由截面尺寸表示。

　　 式(2)是虚功原理的通式，对于矩形截面，截面面积为:A_i=b_i×h_i，其中b_i,h_i分别为矩形截面的边长，其余截面特性，如剪切面积、惯性矩等，以此类推，可分别通过截面尺寸参数获得，从而建立结构总体位移响应与各构件截面尺寸参数的显式表达式。

　　 结构风致位移关于截面尺寸参数的灵敏度，可通过式(1)和式(2)对截面参数求偏导获得，以矩形截面为例，位移关于某截面边长b_i的灵敏度计算式为:

　　 式中:l_ik表示第i类、第k根构件的长度;m_i为第i类构件的数量。式(3)即为位移关于任一截面参数的灵敏度计算公式。

　　 根据位移的表达式，层间位移角也可由确定性参数和设计参数显式表达:

　　 式中:Δu_s,H_s分别为第s层的水平位移差和层高，u_s-1,u_s分别为第s-1层和s层的水平位移。

　　 需要注意的是，为了满足实用性要求，各层的层高应取各层实际层高。

　　 同样地，对式(4)中包含的设计参数求偏导，即可求得层间位移角关于该设计参数的灵敏度，计算通式如式(5)所示:

　　 式中:b_i为第i类矩形截面构件的截面边长。需要说明的是，式(5)与式(3)一样，具有计算位移灵敏度和层间位移角灵敏度的通用性，即可对矩形构件截面的边长求灵敏度，也可对钢管混凝土的直径与壁厚、工字钢的翼缘与腹板尺寸等参数计算灵敏度。

　　 结构自振周期与结构刚度息息相关，与结构风致加速度响应也存在对应关系，因此成为一种非常重要的指标，有必要分析其灵敏度。Chan^[9]根据瑞利商方法，认为结构第j阶自振周期T_j与第j阶模态惯性力在静力作用下产生的结构内部总应变能U_j存在如下关系式:

　　 式中:c_j为第j阶模态应变能与自振周期的平方之间的比例常数，应变能可通过第j阶模态惯性力作用工况获得。

　　 根据功能转换关系，第j阶模态惯性力在静力作用下产生的结构内部总应变能可由每个构件做的功组合而成:

　　 式中F_Nj,F_Sxj,F_Syj,M_zj,M_xj,M_yj分别为构件在第j阶模态惯性力作用下产生的6个截面内力分量，含义与式(2)相同。

　　 在某一平衡状态下，若结构自振周期已知，且对应模态的应变能可求，则可获得两者之间的比例常数c_j，将此常数值及式(7)代入式(6)，便可获得此状态下结构周期与构件截面尺寸参数的显式表达式。进一步对尺寸参数求偏导，可获得各阶自振周期关于截面参数的灵敏度计算公式，以矩形截面边长b_i为例，自振周期的灵敏度计算公式为:

　　 需要说明的是，本文给出的式(3),(5)和(8)分别是位移、层间位移角和自振周期的灵敏度计算通式，适用于多种静力分析工况，本文主要用于分析风致响应的灵敏度，对应计算公式中的构件内力均来自风荷载作用工况。该方法以虚功原理为基础，故简称为虚功解析法。

　　 以深圳某实际超高层建筑为分析原型，该结构属于新型的强外框(筒)结构体系^[3]，包含51个结构层，总高度约227.7m，结构平面如图2所示。在案例分析中，以原型结构为基础建立有限元模型，在高度方向分为9个标准层，在每个标准层平面中设置4类柱构件(X顺向外框柱(沿平行X轴的?轴和○N轴布置)、Y顺向外框柱(沿平行Y轴的(1)轴和(13)轴布置)、内筒角柱和内筒中柱)、2类混凝土梁构件(外框梁和内框梁)和2类工字钢梁构件。

　　 结构风荷载来自风洞试验，基本风压取深圳当地50年基本风压值0.75kN/m²，峰值因子取2.5，结构阻尼比取4%。风振响应及其灵敏度解析公式中的构件内力值，均由来自风洞试验的等效静力风荷载在静力作用工况下产生，自振周期公式中的内力来自模态惯性力作用工况。

　　 本文给出的响应灵敏度计算公式是基于响应显式计算式建立的，即式(2)，该计算式的计算精度直接影响灵敏度的计算精度。因此，有必要依托案例对响应计算精度进行验证。

　　 根据式(2)在等效静力风荷载作用下计算结构位移响应(简称为虚功法)，并与同等工况下运用有限元法计算得到的响应进行比较，如图3所示。从图中可以看出，两种方法计算得到的各楼层位移值非常接近，两者之间的差别都在1.5%以内，最大差别仅为1.41%，处于42层。两者相互验证，说明虚功法计算的位移值是可靠的。

　　 图4显示的是虚功法(式(4))和有限元法关于层间位移角计算结果的比较，总体上也是比较接近的，最大差别为2.59%(35层)，显示虚功法在计算层间位移角方面也是比较可靠的。通过这两类响应在本案例中的比较验证，说明虚功法在计算风致响应方面具有较高的精度，后续可以基于此显式公式进行灵敏度分析。另外从图3(a)和图4(a)中看出，结构顶部位移值和各层层间位移角均远小于规范要求的限值(H/500和1/500,H为结构高度)，说明仅从风荷载的角度考虑，该结构侧向刚度足够大，具有进一步优化刚度和节省材料的空间。因此，为了掌握风振响应对截面参数的敏感程度和有效调节结构刚度，进行灵敏度研究分析是必要的。

　　 为了验证本文推导的虚功解析法计算响应灵敏度的计算精度，运用中心差分法进行对比验证。中心差分法是有限差分法的一种，其计算公式为^[8]:

　　 中心差分法相较于一般有限差分法，具有更高的精度，但会增加计算量。此外，中心差分法还存在设计变量的微小摄动Δx_i难以确定的问题，而且微小摄动的取值会对灵敏度的计算精度产生重要影响。为此，在本案例中，选取不同的摄动值并计算响应灵敏度，如图5所示。从图中看出，随着设计变量微小摄动取值的减小，位移灵敏度呈现稳定收敛的趋势，当微小摄动≤32mm时，位移对柱截面长和宽的灵敏度值基本不再变化，说明设计变量的摄动值对位移灵敏度的计算精度确有影响，当摄动值达到一定精细程度，中心差分法计算的灵敏度也达到稳定精度。那么找到合适的微小摄动，并以中心差分法计算多类响应对多类设计变量的灵敏度，则可对本文给出的灵敏度计算方法进行校验。

　　 在本案例中，根据图5的计算结果，设计变量微小摄动取8mm，然后运用中心差分法计算响应对柱截面长(h)和宽(b)的灵敏度，对虚功解析法进行校验，如表1所示。从表中可以明显看出，在此条件下，虚功解析法与中心差分法的值非常接近，两者差别的绝对值在0.6%以内，说明虚功解析法是具有较高精度的，用于强外框(筒)结构体系的响应灵敏度分析是合理可行的。

　　 运用虚功解析法，计算风致楼顶位移对各类构件的截面参数的灵敏度。其中设计变量包含矩形柱截面边长(b×h，对应位置见图6中的坐标简图)和混凝土矩形梁截面边长(宽度为b，高度为h)，并且在高度方向沿标准层的分布进行分类，位移方向以x向为例进行展示，计算结果如图6所示，由于该计算结果来自x正向风荷载作用工况，故风振响应和灵敏度的值均为负值。

　　 在图6(a)中，对于x向的位移响应，x顺向外框柱的截面边长h的灵敏度绝对值是最大的，而且远大于其他柱截面边长的灵敏度值，而内筒角柱的灵敏度是最低的。在高度方向，不同标准层的柱截面边长灵敏度是曲折变化的，总体上是底部高于上部，而且是最底部标准层对应的灵敏度绝对值最大。从设计变量看，对x向位移，x顺向长度对应的设计变量灵敏度绝对值高于横向变量，如图6(b)所示，这与结构荷载传递原理是吻合的。通过分析可以得出，对风致位移的敏感性外框柱高于内框柱，底部柱高于上部柱，柱截面顺向长度高于横向长度。

　　 对于梁构件，其截面设计变量对应的灵敏度计算结果如图7所示。在图7中可见，外框梁的灵敏度绝对值高于内框梁，顶部标准层梁截面设计变量的灵敏度绝对值最大，梁高的灵敏度绝对值高于梁宽的灵敏度绝对值。另外，从坐标数值上比较(图6和图7)，梁构件设计变量的敏感性明显高于柱构件。综合来看，对于强外框(筒)结构体系，结构顶部外框梁的梁高对结构风致位移最为敏感，可首先考虑调整梁高，其次是外框梁梁宽和底部外框柱截面顺向长度。

　　 风致层间位移角的灵敏度分析仍以x向响应为例，其计算结果如图8～10所示。图8中标注的(Δu_x/H_s)/h₁表示各层x向层间位移角对第1标准层柱截面边长h₁求灵敏度，h₁下标1表示标准层从低到高的编排顺序，图中根据高度间隔展示了5个标准层，每条曲线表示各层层间位移角分别对某个标准层柱截面边长h的灵敏度值。

　　 图8中有一个明显的规律是，各标准层外框柱截面的设计变量主要对本标准层的层间位移角最为敏感，对该标准层上部楼层的层间位移角略有影响，而对下部楼层的层间位移角则毫无影响，这与位移响应是不同的。其原因是，层间位移角的计算公式是上下楼层水平位移之差除以层高，若改变某一层的构件截面参数，对其下部楼层的层刚度几乎是没有影响的，通过位移差得到的层间位移自然是不会有影响的;而上部楼层的层间位移也是通过上部位移减去下部位移，即使下部改变构件参数的楼层的变形发生了变化，也会被减掉，因此对上部楼层的层间位移角影响也不大。根据这个结果，只要调整本楼层的构件参数，就可有效调整该楼层的层间位移角，这也说明位移响应反映的是结构的整体性能，而层间位移角反映的是以层为单位的局部性能。

　　 对于某一标准层，不同柱和梁构件对各个楼层层间位移角的灵敏度计算结果如图9,10所示，图中选择的标准层是层间位移角最大的楼层，该标准层涵盖6个楼层，即34～39层。从图中可以看出，x顺向外框柱的截面边长h对x向层间位移角的灵敏度绝对值是最大的，而内框角柱与中柱对应的灵敏度则较小，这与位移响应的规律是相同的。此外，在该标准层，层间位移角对外框梁截面高度的灵敏度绝对值大于内框梁截面高度的灵敏度绝对值，也大于外框柱截面参数的灵敏度绝对值，说明调整该楼层外框梁高度对该层的层间位移角是最有效的。

　　 根据式(8)计算强外框(筒)结构自振周期灵敏度，结果如图11所示。对于x向一阶自振周期，外框柱截面设计变量的灵敏度绝对值最大，尤其是底部外框柱，远大于内框角柱和内框中柱，而在上部标准层，3类柱子的灵敏度比较接近。内框的角柱和中柱在各个标准层都较为接近，几近重合。对于y方向一阶自振周期，也具有类似的规律，外框柱截面参数的灵敏度绝对值最大，且底部柱大于上部柱，说明结构一阶自振周期对底部外框柱截面设计参数是最为敏感的。

　　 对于梁构件，结构自振周期的灵敏度如图12所示。首先，在两个主轴方向，自振周期对各标准层梁构件设计变量的灵敏度绝对值均呈现上部楼层逐渐高于下部楼层的趋势，这与位移响应灵敏度在高度上的变化趋势是相近的，说明对于强外框(筒)结构，调整上部或顶部梁截面参数对于改善结构侧向刚度比调整底部参数更为有效;其次，在结构中上部，内框梁的灵敏度高于外框梁的灵敏度。其原因是，在本工程实例中，结构上部的强外框已达到强外筒的效果，而内框梁却保持相对更高的灵敏度，说明本工程的上部结构具有进一步改善的空间，可适当减轻质量，从而使外框梁的灵敏度高于内框梁的灵敏度，以更符合强外框(筒)结构的设计初衷。从图11,12的横坐标值还可看出，外框柱的灵敏度绝对值远大于外框梁，因此，对于结构自振周期，底部外框柱截面设计变量是最敏感的参数，应以此类设计变量作为调节结构自振周期的首选变量。

　　 运用本文给出的结构响应灵敏度分析方法，对超高层强外框(筒)结构实例在风荷载作用下的响应进行灵敏度分析与论证，得到以下结论:

　　 (1)以虚功原理建立的位移和层间位移角计算公式是可靠的，在此基础上给出的灵敏度计算公式具有较高的精度。

　　 (2)强外框(筒)结构顶部外框梁的梁高和底部外框柱截面的顺风向长度对结构侧向刚度影响较大，从而对结构顶部风致位移最为敏感。

　　 (3)层间位移角只对本层构件的截面参数较为敏感，其中外框梁高的灵敏度远大于内框梁高的灵敏度，且在一定条件下，亦大于外框柱截面参数的灵敏度。

　　 (4)在柱距一定的前提下，结构自振周期对其主轴方向对应的外框柱截面参数的灵敏度最大，应作为调节周期长短的首选变量。

　　 (5)对于超高层强外框(筒)结构，其风致位移、层间位移角和自振周期主要对外框梁构件、外框柱构件的敏感性较高，说明外框结构对于整体结构刚度的重要性，从而证明强外框(筒)体系外围化布置结构材料的合理性和有效性。