恢复力模型是将试验滞回曲线中力与变形之间的关系经过抽象后得到的数学模型。国内外大量试验研究表明, 结构总的弹塑性变形主要由关键受力区域 (如塑性铰区) 的弯曲变形、剪切变形以及纵向受力钢筋的锚固滑移变形三部分组成^[1,2,3,4,5]。不同受力构件中, 各变形分量所占总变形的比例不同, 滞回曲线存在很大的差别。如受弯构件、无滑移的偏压及压弯构件中, 以弯曲变形为主, 剪切及滑移变形所占比例很小, 滞回曲线为饱满的梭形, 耗能能力较好;剪跨比较大、剪力较小并配有一定箍筋的弯剪构件和压弯剪构件中, 受一定剪力以及钢筋滑移的影响, 滞回曲线为中部存在捏缩的弓形, 耗能能力一般;而剪跨比较小、剪力较大的弯剪构件以及受弯矩、剪力和轴力共同作用的框架节点中, 剪切滑移和粘结滑移明显, 滞回曲线为存在严重捏缩的倒S形, 耗能能力最差^[6]。

　　 本研究的第一部分^[7]中介绍了几种可以同时考虑各种变形成分的恢复力模型, 通过改变模型中的参数, 模拟各种形状的滞回曲线。在实际研究中, 采用针对各种变形分量的恢复力模型模拟相应的变形, 根据一定的规则组合得到构件总的变形曲线, 是准确模拟构件抗震性能的另一类方法。本文介绍了针对弯曲、剪切和滑移三种变形的经典恢复力模型以及可以同时考虑轴力及侧向荷载变化的恢复力模型, 简述了经典模型的修正和改进, 总结了恢复力模型的发展方向, 指出了需要解决的问题。

　　 在地震作用下, 结构构件的变形反应包括弯曲变形、剪切变形以及滑移变形, 分别考虑这些变形反应是准确模拟构件抗震性能的另一类方法。此类方法原理简单、计算量小, 在剪切性能影响较大的弯剪破坏和剪切破坏型构件抗震性能分析中应用较多。Ambrisi和Filippou^[2], Pincheira等^[8], Lee和Elnashai^[9], Mergos和Kappos^[10], Sezen和Chowdhury^[11], 蔡茂等^[12], Chowdhury^[13]分别采用该方法实现了反复加载下钢筋混凝土构件滞回性能的模拟。

　　 Takeda等^[14]根据钢筋混凝土柱构件的低周反复加载试验结果, 考虑反复加载过程中的刚度退化特性提出了三线形恢复力模型, 如图1所示。模型考虑了卸载及反向加载过程中的刚度退化, 全面地考虑了加载路径的多样化, 详细规定了在弹塑性阶段以及塑性阶段的循环加载过程中未达到最大位移幅值之前的小位移幅值加、卸载规则。

　　 考虑到弹塑性地震反应分析的主要目的是研究构件进入塑性阶段后的性能, 将屈服前的骨架曲线简化为连接原点和屈服点的直线, 保持弹性阶段和塑性阶段的加、卸载规则不变, 得到修正的Takeda双线形模型。修正后的Takeda模型极大地简化了模型形式, 并准确地模拟了循环荷载作用下构件的弯曲性能, 在研究中得到了广泛应用, 成为了模拟钢筋混凝土构件弯曲性能的典型模型^[7,8,15,16]。

　　 合理模拟钢筋混凝土构件剪切滞回性能的恢复力模型应能反映构件在卸载及再加载过程中的刚度退化、强度衰减以及捏缩现象。基于此, Ozcebe和Saatcioglu^[17]提出了专门针对剪切性能的剪切恢复力模型, 该模型中加、卸载刚度根据大量的试验数据经过统计分析得出, 强度退化考虑了竖向荷载、延性系数以及在给定位移幅值下循环次数的影响, 较准确地模拟了往复荷载作用下构件的剪切性能。

　　 骨架线根据修正压力场理论建立, 考虑了剪力、弯曲和轴力的相互影响。恢复力模型如图2所示, 图中, V_cr为开裂荷载;V_y为屈服荷载;Δ_p为某方向上最近一个卸载点的最大位移值;V_p为与Δ_p对应的剪力值;Δ_m为某方向上位于骨架线上的最大位移幅值;V_m为骨架曲线上对应于Δ_m的剪力值。其主要滞回规则为:若剪力至少一次超过V_y, 卸载曲线以荷载值等于V_cr的点为界, 采用双折线形式, 刚度分别为:

　　 式中:Δ_y为屈服位移;k₂为骨架线上屈服点与反方向上开裂点连线的斜率。

　　 若剪力在加载方向已经超越了开裂荷载V_cr, 该方向再加载时, 再加载路径以荷载为V_cr的点为界分为两段:荷载值小于开裂点V_cr之前, 为沿指向点 (Δ_p, V_p') 的直线加载;荷载值超过V_cr之后指向点 (Δ_m, V_m') 。最外围的为骨架线, 一旦与骨架曲线相交后, 沿骨架曲线继续加载。V_m'和V_p'采用下式计算:

　　 式中:N/N₀为轴压比;i为同一最大幅值Δ_m的循环次数 (初始为1) , 加载至Δ_m±Δ_cr范围内卸载时, i的数值增加1, 若超过该范围后卸载, i重新变为1 (主要考虑在实际地震中, 几乎不会出现完全相同的两个位移幅值) 。

　　 Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提剪切恢复力模型是基于试验结果提出的, 具有一定的适用范围。首先, 确定卸载刚度时, 拟合所用的试验数据中, 延性系数μ=Δ/Δ_y的取值范围为0~9, 而在罕遇地震中, μ>9的情况是有可能存在的, 尤其是针对不规则结构。针对该问题, Lee和Elnashai^[9]提出将μ>9之后的卸载刚度取为恒定值, 但是, 这种做法缺乏理论依据;而Xu和Zhang^[18]在研究中将延性系数的取值范围扩大至50, 同时将开裂点上、下的卸载刚度k_uld1和k_uld2分别修正为:

　　 在低延性水平时, 式 (7) 和式 (8) 的计算结果与Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提模型中式 (1) 和式 (2) 计算结果基本一致。

　　 另外, Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提模型中通过式 (5) 和式 (6) 考虑了轴压比对捏缩效应的影响, 但只适用于轴压比0≤N/N₀≤0.17的构件, 较小的轴压比取值范围限制了该模型的适用性, 鉴于此, Xu和Zhang^[18]对式 (6) 进行了修正, 将轴压比范围扩大至1:

　　 Xu和Zhang^[18]在研究中还指出, 当构件上作用有轴向拉力时, 若两个方向上的剪力均超过开裂剪力, 卸载后再加载时不考虑强度退化和捏缩效应。

　　 除适用范围较小外, Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提剪切恢复力模型在结构动力性能分析中还表现出另一个问题:计算的稳定性较差。这主要是因为实际地震加载路径非常复杂, 根据Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提剪切恢复力模型中的相关计算式所确定的卸载及加载路径异常导致的。首先, 按照式 (1) 或式 (2) 所确定的卸载刚度进行卸载时, 根据骨架线形状以及开裂点、屈服点的不同位置, 会出现正 (负) 方向上卸载后残余变形点的位移为负 (正) 值的情况, 如图3 (a) 所示。显然, 该问题主要是算得的卸载刚度过小导致的, 对此, Mergos和Kappos^[10]指出, 任何情况下卸载刚度必须大于最小卸载刚度的约束条件, 最小卸载刚度定义为卸载点与另一个方向骨架线上开裂点的连线的斜率值。而Xu和Zhang^[18]在研究中提出, 采用式 (7) 和式 (8) 算出的卸载刚度不得小于图3 (b) 中的k₃和k₄。图中, k₃为骨架线上的卸载点与反向开裂点连线的斜率;k₄为当前卸载线上开裂荷载对应的点与反向开裂点连线的斜率;k₁为原点与开裂点连线的斜率。任何情况下, k₃和k₄的值不得大于k₁。

　　 Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提模型中卸载后反向加载时, 再加载的路径主要是由荷载值为V_p'的参考点控制, V_p'为该方向上最近一次卸载点的荷载值V_p以及轴压比的函数 (式 (5) ) 。若前面一次卸载点的荷载值 (也就是V_p) 很小, V_p'落在了开裂荷载所在的水平线以下, 且连接原点与参考点的直线和开裂荷载所在的直线相交所得的捏缩点对应的位移大于Δ_m, 则裂缝闭合后第二段再加载刚度值会出现负值, 见图4。为避免此类情况的出现, Xu和Zhang^[18]针对上述问题对Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提模型进行了改进:若当前的V_p低于开裂荷载时 (图4 (a) ) , 取前一次循环中卸载点的荷载值高于开裂荷载的点为V_p, 如图5 (a) 所示;若V_p高于开裂荷载, 但算得的第二段刚度仍为负值 (图4 (b) ) , 取V_p作为捏缩参考点, 如图5 (b) 所示。

　　 考虑到实际地震的随机性, 在同一位移等级下会连续加、卸载多次, 会导致由式 (3) 和式 (5) 算得的再加载路径控制点V_m'和V_P'低于开裂荷载, 出现负刚度的情况, Lee和Elnashai^[9]在研究中规定当某次循环的V_m'和V_P'的计算值低于开裂荷载时, 取前一次循环中相应的值确定再加载路径。

　　 Saatcioglu等^[19]对首层柱底处的粘结滑移性能进行了研究, 根据试验结果结合Takeda等^[14]以及Filippou和Issa^[20]的理论研究, 提出了可用于对称截面及非对称截面的双线形弯矩-滑移转角恢复力模型, 具体形式如图6所示。图中, M_y为屈服弯曲, k_e和k_p为骨架线上弹性阶段和弹塑性阶段的加载刚度。

　　 Saatcioglu等^[19]的研究中首先提出了根据阶梯形粘结应力分布确定混凝土中钢筋荷载-变形关系的分析方法。在恢复力模型中将所得弯矩-滑移转角曲线简化为双线形骨架曲线, 第一段为原点与屈服点之间的连线, 第二段为屈服点与临界截面上极限应变为ε₅₀点 (对应于约束混凝土强度退化至峰值的50%的点) 的连线。

　　 截面不对称会导致两个方向上的承载力不同, 所提模型中, 将较弱方向上骨架曲线作为较强方向上的内包络线 (即较强方向上有内、外两个包络线) 。其滞回规则为:超过屈服弯矩M_y后, 加载以斜率k_p沿骨架曲线进行, 沿骨架曲线卸载时, 以M₀为界, 分为两段, 卸载至M₀之前, 卸载斜率为k_u, 此后完全卸载及反向加载均指向内包络线上先前到达过的最大位移点, 然后指向外包络线上先前到达过的最大位移点。

　　 卸载路径分为两段, 主要是考虑轴向荷载的存在导致构件完全卸载之前钢筋就已经卸载完成这一因素。理论上, 卸载刚度k_u应根据钢筋的残余应变确定, 为计算方便, 可以仅计算骨架曲线 (塑性段) 上任意某点的卸载刚度k_u1, 基于卸载刚度随着变形增大逐渐降低这一特性, 根据k_u1和k_e通过内插或外推确定任意点的k_u。

　　 Saatcioglu等^[19]所提模型虽然反映了卸载及再加载过程中的刚度退化, 但并未体现滑移滞回环的一个重要特征:再加载过程中的捏缩现象。这主要是因为该研究是针对底层柱根部的, 柱底钢筋具有足够的锚固长度, 可较好地锚固在基础内, 此时纵筋仅出现了塑性延伸 (应变积累) 而未发生滑移。在滑移占有较大比例的梁、柱节点中, 该模型显然是不适用的。

　　 针对梁柱节点处的粘结滑移, Ambrisi和Filippou^[2]提出了图7所示的弯矩M-锚固滑移θ恢复力模型。图中, M_max为某方向上当前最大弯矩值;θ_{0, max}为两个方向上当前最大残余变形之和。该模型中, 完全卸载后, 反向加载路径以裂缝闭合点 (捏缩点) 为界分为两段。裂缝闭合点由图7所示的参数C₁和C₂确定, 这两个参数控制着捏缩量, 其取值与轴压比有关。该模型充分考虑了再加载过程中的捏缩, 但规定卸载刚度恒等于骨架线的弹性刚度, 虽然简化了计算, 但是却与实际情况不符。

　　 上述经典恢复力模型因形式简单, 且可有效地模拟构件的某一种变形性能, 在结构的抗震性能分析中得到广泛的应用, 但也存在一定的局限性。例如, Taketa等^[14]所提模型中, 卸载刚度k_u=k_i (1/μ) ^0.4, 其中, k_i为屈服点和反向开裂点连线的斜率, μ为延性系数。当μ较大时, 卸载刚度k_u会非常小, 导致算得的残余变形与卸载点对应变形的方向相反, 因此该模型在大变形时的适用性有待进一步研究^[14];而Ozcebe和Saatcioglu^[17]所提出的恢复力模型中, 延性系数的取值范围为0~9, 虽然Lee和Elnashai^[9], Xu和Zhang^[18]的研究中对延性系数大于9之后的情况进行了各种规定, 但是缺少试验数据支持。

　　 现有恢复力模型多是基于恒轴力条件的, 在构件的整个受力过程中仅侧向荷载发生变化, 轴向荷载保持不变。实际地震中, 受竖向地震动分量以及水平地震作用所致倾覆力矩的影响, 结构构件常处于变轴力的水平往复荷载作用下。Xu和Zhang^[21]提出了可用于模拟钢筋混凝土构件在变轴力条件下承受水平往复荷载时滞回性能的恢复力模型。

　　 骨架线的建立基于如下假定:仅轴压比发生变化时, 尽管各关键点 (开裂点、屈服点和极限点) 的荷载增加, 但是屈服位移Δ_y (定义为骨架线上最外层受拉纤维屈服的点) 保持不变;并且骨架线上极限荷载V_u对应的位移延性比恒为2。以轴压比N/N₀为0.05时试件骨架线上屈服点对应的荷载V_{y (0.05)} 和位移Δ_{y (0.05)} 为标准, 通过拟合得出了轴压比N/N₀=n时骨架线上关键点荷载及开裂位移与n, Δ_{y (0.05)} 和V_{y (0.05)} 之间的关系。

　　 定义卸载或再加载线上当前有效侧向荷载V_eff与骨架线上最大位移Δ_max对应的侧向承载力V_m的比值为应力等级指数SLI, 假定对应于某一给定的侧向加载制度, 加载过程中轴向荷载的变化只会改变其侧向承载力, 只要侧向位移不发生变化, 有效侧向荷载与骨架线上侧向承载力的比值仍然保持不变。以图8所示具有不同轴压比N/N₀的同一个构件为例, 图中粗实线为同一根柱子对应3个不同轴压比的骨架线, 在某一个卸载点 (图8中高度分别为c^0.1, c⁰, c^-0.05的点) , 当侧向位移Δ₁保持不变, 轴压比在0.1, 0, -0.05之间变换时, 构件的有效侧向荷载 (也即是卸载或再加载点的高度, 图8中高度分别为d^0.1, d⁰, d^-0.05的点) 会发生上、下变动, 但是SLI值保持不变, 即:

　　 若某一个时间步内轴向荷载及侧向荷载均发生变化, 则当前时间步内的加载状态可以分解为两个过程:变轴力过程 (恒侧向位移状态) 和变侧向力过程 (恒轴向荷载状态) 。两个过程如图9所示, 轴向荷载和侧向位移值分别由上一个时间步内的0.1和Δ₁变化为当前时间步内-0.05和Δ₂。在第一个过程中 (恒侧向位移状态) , 侧向位移为Δ₁, 保持不变, 仅轴压比发生变化, 此时, 有效侧向荷载值上下变化, SLI保持不变。在第二个状态中 (恒轴向荷载状态) , 轴向荷载恒定在-0.05, 侧向力变化, 得到新的SLI值。

　　 上述模型可以模拟构件在轴向及侧向荷载同时变化的滞回性能, 其本质是将轴向加载和侧向加载分开考虑, 这种做法极大地简化了分析过程, 但实际地震中, 轴向及侧向荷载是同时作用在结构构件上的, 相互之间是有影响的;另外, 轴压比的变化对构件的强度退化、刚度退化以及捏缩效应均有较大的影响, 上述分析过程中无法全面地考虑上述各种影响。

　　 目前, 单向水平地震作用下钢筋混凝土构件恢复力性能的研究已取得了一定的成果, 建立了大量的恢复力模型, 并在工程实际中得到了广泛应用。但实际地震对结构的作用是多维的, 仅对构件进行单向抗震性能的研究是不安全的^[22,23]。

　　 大量地震调查和理论分析表明, 在双向水平地震作用下, 结构构件任一方向上的损坏会对另一个方向上的抗震性能产生影响, 两方向上的相互耦合作用严重削弱了结构构件的抗震性能^[24,25]。虽然部分学者对钢筋混凝土构件多维抗震性能进行了试验研究和数值模拟^{[24,25,26,27,28]}, 得出了一些宏观的结论, 如:双向耦合效应加速了钢筋混凝土柱构件的强度退化, 降低了延性, 削弱了构件的承载能力和滞回耗能能力。杜宏彪^[27]、刘继明等^[28]还根据试验结果提出了相应的恢复力模型, 但所提模型均基于特定试件和试验条件获得, 适用性较差。如杜宏彪^[27]所提模型中试件的加载条件是两个方向的荷载按照同一比例增加或减小, 这一条件显然与实际双向地震作用存在差别, 模型的有效性有待于进一步验证。

　　 变轴力双向循环加载条件更符合实际地震中构件的受力形式, 研究此类加载条件下结构构件的抗震性能具有更大的实际意义, 但由于问题的复杂性, 此类研究较少。李宏男等^[24]对截面形式及配筋相同但加载方式不同的6个试件进行了试验, 其中1个试件为变轴力双向循环加载, 轴压比变化范围为0.161~0.323, 试验结果表明, 相比其他6个单轴循环加载以及恒定轴力双向循环加载的试件, 变轴力双向循环加载条件下试件的破坏最为严重, 试验在位移幅值不大的情况下, 因荷载减低过多而停止。虽然, 李宏男等^[24]的研究成果为变轴力双向循环加载条件下构件抗震性能的研究提供了基础, 但相比Xu和Zhang^[21]变轴力单向循环加载中轴向荷载正负循环的变化形式, 李宏男等^[24]的研究中轴力的变化形式较为简单, 与实际情况相差较大。

　　 可见, 国内外有关多维受力构件恢复力模型的研究尚不成熟, 可用的试验资料也较少。因此, 研究钢筋混凝土构件多维恢复力特性, 建立相应的恢复力模型, 真实地反映实际地震中竖向地震动和水平地震动共同作用下钢筋混凝土构件的抗震性能具有重要意义。

　　 本文介绍了针对各变形分量的经典恢复力模型以及同时考虑轴力及侧向荷载变化的恢复力模型, 总结了模型的修正和改进, 分析了模型的特点。结合文献[7]的研究成果可以看出, 近年来钢筋混凝土构件恢复力模型的发展主要集中在两个方向, 一方面通过各种方式对现有的经典模型进行发展和修正, 或扩大模型的适用范围, 或将其简化, 结合不同的弹塑性分析模型, 将各种用于单一变形分量的恢复力模型进行的合理组合, 以准确地预测构件总的变形性能;另一个方面, 建立从包括刚度、强度退化以及每次循环滞回能的退化在内的退化角度或从变形和能量的角度综合考虑各变形性能的恢复力模型。目前, 对单向水平地震作用下钢筋混凝土构件恢复力性能已取得了一定的研究成果, 但对钢筋混凝土构件多维恢复力特性, 由于各个方向上相互耦合作用导致的问题较为复杂, 还需进一步的研究, 以更加真实地反映钢筋混凝土构件的抗震性能。