钢筋混凝土墙是核电厂混凝土结构的常用结构部件。在水平地震或飓风等作用下, 钢筋混凝土墙平面内会产生薄膜应力和剪应力。因此, 平面内抗剪是钢筋混凝土墙设计需要考虑的一个重要方面。不同于高层建筑高宽比很大的剪力墙, 核电厂钢筋混凝土墙属于低矮部件, 设计中一般采用板或壳单元建立钢筋混凝土结构的有限元模型, 根据计算得到的墙单元的内力进行配筋。我国《压水堆核电厂核安全有关的混凝土结构设计要求》 (NB/T20012—2010) ^[1] (简称NB/T 20012—2010) 、《压水堆核电厂预应力混凝土安全壳设计规范》 (NB/T20303—2014) ^[2] (简称NB/T 20303—2014) 和美国Rules for construction nuclear facility componentsⅢ, code for concrete containments division 2 (ACI 359-13) ^[3] (简称ACI 359-13) 都给出了钢筋混凝土墙和壳平面内抗剪配筋计算的公式, 但用规范公式计算的钢筋用量比较大, 墙内钢筋布置比较拥挤。文献[4-5]针对钢筋混凝土单元平面内抗剪设计能否通过考虑混凝土的抗拉作用来降低钢筋用量进行研究, 得出考虑混凝土的抗拉作用并不能显著降低钢筋用量。实际上, 规范给出的平面内抗剪配筋计算公式是针对一个单元的, 用于有多个单元的钢筋混凝土墙配筋计算时, 没有考虑各单元之间钢筋的相互联系。为此, 本文从整体角度对钢筋混凝土墙配筋设计进行了研究, 提出了基于单元静力平衡公式的抗剪配筋计算方法及基于优化分析的配筋计算方法。

　　 图1为一钢筋混凝土平面单元, σ_x, σ_z分别为作用于单元x, z方向的薄膜应力;ν为作用于单元的剪应力。单元的薄膜应力和剪应力由单元混凝土x, z方向的正应力σ_cx, σ_cz和钢筋的等效薄膜应力ρ_xσ_sx, ρ_zσ_sz共同承担, ρ_x, ρ_z分别为单元x, z方向的配筋率, σ_sx, σ_sz分别为x, z方向钢筋的应力。利用应力摩尔圆, 单元的薄膜应力和剪应力与混凝土的主应力σ₁, σ₂存在式 (1) ~ (3) 表示的关系, 其中θ为混凝土主压应力与x轴的夹角^[4,5]:

　　 式 (1) ~ (3) 可进一步表示为:

　　 式 (4) ~ (6) 即为本文钢筋混凝土单元抗剪设计采用的基本公式。当σ₁为拉应力时, 如文献[5]分析, 由于混凝土的抗拉性能比较差, 当单元内的钢筋达到屈服强度时, 混凝土受拉进入软化段所起的抗拉作用已经很小, 设计中可忽略混凝土的抗拉作用。由式 (4) ~ (6) 得到:

　　 式中β_c为主压应力方向混凝土强度的折减系数, 取0.5。

　　 式 (7) 和式 (8) 为钢筋混凝土单元静力平衡公式, 属于塑性极限分析的下限解^[4], 图2为单元的应力状态, 设计配筋和混凝土抗压强度只要满足两式 (7) , (8) 的要求, 钢筋混凝土单元平面内受剪承载力就满足要求。文献[4]已经对式 (7) , (8) 表达的承载力范围进行了分析。

　　 忽略混凝土的抗拉作用, 单元两个方向的钢筋应力σ_sx, σ_sz均取其对应的屈服强度f_yx, f_yz, 即σ_sx=f_yx, σ_sz=f_yz, 则由式 (4) ~ (6) 得:

　　 由式 (9) 可以看出, 设计中混凝土主压应力或裂缝倾角θ取不同的值可得到不同的配筋率。假定σ_x=σ_z=2.5 N/mm², ν=3.0 N/mm², f_yx=f_yz=435 N/mm², f_c=23.1 N/mm², 图3 (a) ~ (c) 分别表示出了混凝土单元两个方向配筋率和单元两个方向配筋率之和随θ的变化, 图3 (d) 表示出了混凝土主压应力σ₂随θ的变化。由图3 (d) 可以看出, 为使单元钢筋屈服前混凝土斜压杆不被压坏, 由式 (10) 确定的裂缝倾角θ的范围为10.13°≤θ≤79.87°。由图3 (a) ~ (c) 可以看出, θ>15°时, x方向钢筋配筋率随θ的变化不大, θ<15°时, x方向钢筋配筋率随θ增大剧减;θ<75°时, z方向钢筋配筋率随θ的变化不大, θ>75°时, z方向钢筋配筋率随θ增大剧增;15°<θ<75°的范围内, 两个方向钢筋配筋率之和随θ的变化不大。

　　 钢筋混凝土单元两个方向的配筋率之和ρ_{s, tot}为:

　　 由图3 (c) 可以看出, 虽然钢筋混凝土单元的总配筋率随裂缝倾角θ的变化而变化, 但存在一个使单元总配筋率最小的θ值。由dρ_{s, tot}/dθ=0得, 此时ρ_{s, tot}最小。代入式 (11) 得:

　　 由式 (10) 知, 只有单元混凝土主压应力σ₂≤β_cf_c时, 式 (12) 和式 (13) 才是成立的。即:

　　 如果两个方向钢筋屈服强度相等, 即f_yx=f_yz=f_y, 则tanθ=1, θ=45°。式 (12) 和式 (13) 表示的单元两个方向的配筋率为:

　　 根据式 (14) , 混凝土压杆不被压坏的条件为ν≤0.5β_cf_c。

　　 式 (15) 即为NB/T 20012—2010, NB/T 20303—2014和ACI 359-13中钢筋混凝土单元平面内抗剪配筋计算的公式, 规范中的公式是用薄膜力、剪力和钢筋面积表示的, 本文是用薄膜应力、剪应力和配筋率表示的。NB/T 20012—2010, NB/T 20303—2014规定, ν≤0.25 f_c, 也就是混凝土抗压强度折减系数β_c取0.5。

　　 在式 (15) 中, 如果ρ_x<ρ_{x, min}, 其中ρ_{x, min}为规范规定的x方向的最小配筋率, 则取ρ_x=ρ_{x, min}, 同时为满足式 (7) 的要求, ρ_z也需调整。将ρ_x=ρ_{x, min}代入式 (7) 得到:

　　 同样, 如果ρ_z<ρ_{z, min}, 其中ρ_{z, min}为规范规定的z方向的最小配筋率, 则取ρ_z=ρ_{z, min}, ρ_x需调整为:

　　 第1节给出了钢筋混凝土单元静力平衡计算公式, 说明了规范公式式 (15) 的来源, 按式 (15) 确定的钢筋混凝土单元的两个方向钢筋用量最小, 但采用有限元方法对核电厂混凝土结构进行设计时, 墙要划分为多个单元, 由于每个单元的薄膜应力和剪应力是不同的, 则按式 (15) 确定的每个单元两个方向的配筋也是不同的。实际设计中不会按计算的每个单元的结果独立进行配筋, 而是从钢筋混凝土墙整体考虑, 统一布置钢筋, 如图4所示。

　　 图4 (a) , (b) 为对一钢筋混凝土墙水平划分的两个单元, 两个单元的x方向和z方向均承受薄膜拉应力和剪应力的作用。按式 (15) 进行计算, 单元1的x方向需配置6根钢筋, z方向需配置单根面积相同的7根钢筋, 单元2的x方向配置5根钢筋, z方向配置面积相同的6根钢筋。实际设计中通常不会将单元1的x方向的一根钢筋截断, 而是直接将其6根钢筋全部伸入单元2, 这样单元2的配筋变为图4 (c) 的形式。由于单元两个方向的钢筋都同时承受剪力的作用, 因此对于单元2, 在承载力不降低的条件下, 增加x方向的钢筋量, 可减少z方向的钢筋量, 如图4 (d) 所示。在将单元1钢筋伸入到单元2后, ρ_x2=ρ_x1, 单元2的z方向的配筋率按下式计算:

　　 算例1:钢筋混凝土墙两边均为单位长度的两个单元, 单元1:σ_x1=3.0 N/mm², σ_z1=2.5N/mm², ν₁=3.0 N/mm²;单元2:σ_x2=2.0N/mm², σ_z2=2.5 N/mm², ν₂=1.5 N/mm²。钢筋屈服强度f_yx=f_yz=435 N/mm²;混凝土抗压强度f_c=23.1 N/mm²。求两个方向钢筋的配筋率。步骤如下:

　　 (1) 按式 (15) 计算

　　 对于单元1, 由式 (15) 得:

　　 对于单元2, 由式 (15) 得:

　　 以上是按对两个单元独立进行计算确定的钢筋量。当单元2的x方向按单元1的x方向配筋, 而单元2的z方向配筋率不变时, 单元2的配筋率为:ρ_x2+ρ_z2=1.379%+0.920%=2.299%。

　　 (2) 一个方向配筋按式 (15) 计算、一个方向配筋按式 (17) 计算

　　 将单元1的x方向的钢筋伸入到单元2, 即取ρ_x2=ρ_x1=1.379%, 单元2的z方向的配筋率按式 (17) 计算:

　　 此时单元2的总配筋率为:

　　 由此可见, 当单元2的x方向的配筋取与单元1的x方向配筋相同但不调整z方向的配筋率时, 单元2两个方向的总配筋率为2.299%, 单元1和单元2两个方向的总配筋率为4.942%;按式 (17) 调整单元2的z方向配筋率后为2.126%, 单元1和单元2两个方向的总配筋率降为4.769%。因此, 调整后单元2配筋率降低 (2.299%-2.126%) /2.299%=7.525%。单元1和单元2两个方向的总配筋率降低 (4.942%-4.769%) /4.942%=3.501%。

　　 对于图4所示墙的两个单元, 在保持x方向钢筋配筋率相同即ρ_x1=ρ_x2=ρ_x的前提下, 按式 (17) 确定两个单元z方向的配筋率ρ_z1和ρ_z2, 通过使两个单元钢筋总用量最小确定ρ_x, ρ_z1和ρ_z2。

　　 两个单元钢筋的总用量为:

　　 式中V₁和V₂分别为单元1和单元2的体积。

　　 式中:χ₁=V₁/V, χ₂=V₂/V;V为两个单元的总体积。

　　 由式 (19) 解ρ_x即得两个单元钢筋用量最小时的配筋率。

　　 算例2:假定V₁=V₂, 按式 (19) 计算算例1钢筋的配筋率ρ_x, ρ_z1和ρ_z2。步骤如下:

　　 由V₁=V₂得χ₁=χ₂=1/2, 将算例1两个单元的薄膜应力和剪应力, 并代入式 (19) 得:

　　 解得ρ_x=1.206%。单元1和单元2的z方向的配筋率分别为:

　　 将ρ_x, ρ_z1和ρ_z2代入式 (18) 得到两个单元钢筋的总用量:

　　 在算例1中, 按本文方法确定的配筋率ρ_x1+ρ_z1=2.643%, ρ_x2+ρ_z2=2.126%, 两个单元的总钢筋用量

　　 在算例2中, 按优化方法确定的配筋率ρ_x=1.206%, ρ_z1=1.496%, ρ_z2=0.734%, 两个单元的总钢筋用量

　　 由此可以看出, 相对于规范配筋计算方法, 算例1中按本文方法可节省钢筋3.501%, 算例2中按x和z两个方向优化配筋可节省钢筋6.070%。

　　 需要说明的是, 算例1和算例2仅针对图4的两个单元进行了分析。如果墙的单元很多, 但只用几个单元作为代表性单元进行配筋计算时, 钢筋节省将会更多, 下面给出一个钢筋混凝土墙应用的算例。

　　 某核电厂钢筋混凝土结构某片墙长l=37.1m, 高h=16m, 厚1m。采用SAP2000有限元软件对该钢筋混凝土结构进行分析, 墙体划分为261个单元, 单元编号、薄膜应力和剪应力如图5所示。各单元取荷载效应最不利组合的内力设计值, 钢筋屈服强度f_yx=f_yz=360 N/mm², 混凝土抗压强度设计值f_c=23.1 N/mm², 对墙进行配筋设计。

　　 如图6所示, 按有限元网格划分情况, 将墙沿竖向分为3个区, l₁=6.000 m, l₂=24.800 m, l₃=6.300 m。每个区中挑选一个水平向配筋最大的单元作为代表单元进行配筋计算。下面按3种方法计算墙体需要的钢筋。

　　 (1) 墙两个方向配筋均按规范公式计算

　　 采用规范公式进行配筋计算, 4850号单元决定了墙体x方向的配筋率, 由式 (15) 求得ρ_x=0.874%。1区、2区和3区z方向的配筋率分别由4851号单元、4734号单元和4850号单元决定, 由式 (15) 求得ρ_z1=0.832%, ρ_z2=0.613%, ρ_z3=1.572%。整个墙的总钢筋用量V_s=10.005 m³。

　　 (2) 墙水平向配筋按规范公式计算, 竖向配筋按本文方法计算

　　 同样, 4850号单元决定了墙体x方向的配筋率, 由式 (15) 求得ρ_x=0.874%。1区、2区和3区z方向的配筋率分别由4851号单元、4734号单元和4850号单元控制, 由式 (17) 求得ρ_z1=0.824%, ρ_z2=0.453%, ρ_z3=1.572%。整个墙的总钢筋用量V_s=9.363m³。

　　 (3) 墙两个方向配筋按优化方法计算

　　 墙3个分区的体积V₁=bhl₁=1×16×6.0=96.0m³, V₂=396.8m³, V₃=100.8m³, V=593.6m³, χ₁=V₁/V=0.162, χ₂=V₂/V=0.668, χ₃=V₃/V=0.170。

　　 参考式 (19) , 墙水平方向钢筋按下式计算:

　　 墙3个区域的竖向钢筋按下列公式计算:

　　 将4850号、4851号和4734号单元的薄膜应力和剪应力代入上式解得ρ_x=0.765%, ρ_z1=0.953%, ρ_z2=0.520%, ρ_z3=1.716%。整个墙的钢筋用量V_s=9.248 m³。表1给出了按3种方法确定的墙的总钢筋用量和相对于按规范公式节省的钢筋百分率:方法1:水平和竖向钢筋均按规范公式计算;方法2:水平方向钢筋面积按规范公式计算、竖向钢筋面积按式 (17) 计算;方法3:水平方向钢筋面积按式 (20a) 计算、3个区域竖向钢筋面积按式 (20b) ~ (20d) 计算。由表1可以看出, 与方法1计算的情况相比, 采用方法 (2) 计算时, 钢筋混凝土墙总钢筋量可节省6.42%;采用方法3计算时, 钢筋混凝土墙的总钢筋量可节省7.566%。

　　 本文对核电厂钢筋混凝土平面内抗剪设计方法进行了研究, 得出如下结论:

　　 (1) 核电厂混凝土规范给出的钢筋混凝土墙平面内抗剪计算公式计算得出的一个单元配筋量是最小的, 当采用有限元方法将钢筋混凝土墙划分为多个单元进行计算时, 按规范公式不能得到整个墙经济的配筋。

　　 (2) 对于有限元计算划分为多个单元的钢筋混凝土墙, 一个方向按规范公式配筋而另一个方向按单元静力平衡公式配筋时, 总配筋量小于两个方向都按规范公式计算的情况。

　　 (3) 对于有限元计算划分为多个单元的钢筋混凝土墙, 如果全部单元按静力平衡公式通过优化分析进行配筋, 总配筋量可进一步减小。