在核电厂钢筋混凝土结构设计中, 需考虑极端环境条件或地震及事故工况下的荷载效应组合。在上述荷载作用下的钢筋混凝土墙或壳, 其平面内将产生正交两向的薄膜应力和切向剪应力, 此类问题为钢筋混凝土墙或壳的平面内受剪问题。我国现行《压水堆核电厂预应力混凝土安全壳设计规范》 (NB/T 20303—2014) ^[1] (简称规范NB/T 20303—2014) 第7.4.3条规定, 壳体平面内 (或切向) 受剪承载力应由正交两个方向的钢筋网体系提供, 混凝土只承受压力, 不承受拉力。美国混凝土安全壳设计规范ACI 359-13^[2]第CC-3421.5节规定, 普通钢筋混凝土安全壳不考虑混凝土提供的受剪能力, 预应力混凝土安全壳不开裂时考虑混凝土的贡献。一些设计人员认为, 按规范NB/T 20303—2014进行平面内受剪设计, 没有考虑混凝土的抗拉作用, 从而造成配筋过多。文献[3]基于钢筋混凝土结构的塑性极限理论, 解释了混凝土平面内的受剪机理, 指出由于混凝土抗拉强度较低, 很容易开裂, 混凝土开裂后其作用是以桁架压杆的形式承受压力、平衡水平和竖向两个方向钢筋的拉力。本文基于修正压力场理论, 考虑混凝土的抗拉作用, 分析水平和竖向两个方向薄膜应力下混凝土的平面内受剪承载力, 进而考察混凝土受拉对承载力的贡献。

　　 修正压力场理论 (Modified Compression Field Theory, MCFT) ^[4]是加拿大多伦多大学的Vecchio和Collins于1986年提出的一种计算正交两个方向承受薄膜应力的钢筋混凝土平面单元受剪承载力的方法, 该方法建立于压力场理论 (Compression Field Theory, CFT) 的基础之上, 并考虑了混凝土拉应力的影响。目前修正压力场理论已得到国际学术界的广泛认可, 通过简化, 成为加拿大混凝土设计规范CSA A23.3-04^[5]、欧洲模式规范fib MC-2010^[6]和美国荷载与抗力系数桥梁设计规范AASHTO LRFD-2012^[7]中钢筋混凝土墙、预应力混凝土梁受剪承载力的计算方法。在修正压力场理论中, 单元力的平衡方程和几何协调方程是采用材料力学公式建立的, 而混凝土开裂后采用弥散裂缝模型, 将混凝土平面单元看作是在主应力方向具有特殊本构关系的正交各向异性材料。

　　 除加拿大多伦多大学Vecchio和Collins提出的修正压力场理论外, 国际上还有美国休斯敦大学美籍华人徐增全 (Thomas T.C.Hsu) 教授提出的转角软化桁架模型 (RA-STM) 和定角软化桁架模型 (FA-STM) ^[8]。作为一个非线性力学问题, 修正压力场理论模型 (MCFT) 和转角软化桁架模型 (RA-STM) 比较接近, 两个模型的平衡方程和几何协调方程是相同的, 主要区别在于采用的混凝土和钢筋本构关系不同。本文主要采用修正压力场理论进行分析, 同时借鉴转角软化桁架模型的混凝土受拉本构关系。

　　 修正压力场理论是将开裂后的钢筋混凝土膜单元看作是在主应力方向上具有特殊本构关系的正交各向异性材料, 将裂缝弥散于整个钢筋混凝土单元中, 以平均应力和平均应变建立膜单元平衡方程、应变协调方程及本构方程, 也属于转角软化桁架模型。修正压力场模型中的应力、应变、转角及方向定义如图1、图2所示。

　　 模型的基本假定如下:1) 平面膜单元主应力与主应变方向一致;2) 考虑主拉应力方向裂缝间混凝土的拉应力;3) 忽略开裂混凝土的泊松效应, 建立主应力方向上混凝土的本构关系;4) 忽略钢筋与混凝土之间的滑移。

　　 按照静力学原理, 处于静力平衡状态的结构或单元需要满足3个条件, 即平衡条件、协调条件和物理条件 (材料本构关系) 。对于钢筋混凝土平面单元, 具体如下。

　　 (1) 平衡条件

　　 根据上述基本假定和图1所示钢筋混凝土墙的平面单元的应力状态和应力摩尔圆, 可建立如下平衡方程:

　　 式中:σ_x, σ_z分别为单元x方向 (水平向) 和z方向 (竖向) 的薄膜应力;σ_cx, σ_cz分别为单元混凝土x方向和z方向的正应力;ν为单元的剪应力;σ₁, σ₂分别为混凝土单元主拉和主压方向的应力;σ_sx, σ_sz分别为单元x和z方向的钢筋应力;ρ_x, ρ_z分别为单元x方向和z方向的配筋率;θ为主压应力σ_z与x轴的夹角。

　　 (2) 协调条件

　　 根据混凝土单元的几何变形条件和图2所示的应变摩尔圆, 可建立下面的应变协调方程:

　　 式中:ε₁, ε₂分别为混凝土单元主拉和主压方向的平均应变;ε_x, ε_z分别为单元x方向和z方向混凝土的平均应变;γ_xz为单元的剪应变。

　　 (3) 物理条件

　　 混凝土具有一定的塑性变形能力 (尽管很小) , 受拉达到抗拉强度后并不立即断裂, 而是随拉应变的增大不断软化。本文分析采用Balerbi和Thomas T.C.Hsu^[9]提出的混凝土受拉应力-应变关系 (图3 (a) ) :

　　 对于承受双向应力作用的混凝土单元, 主压应力方向可承受的最大压应力会受主拉应变方向的拉应变的影响。采用Bentz^[10]提出的应力-应变关系 (图3 (b) ) :

　　 其中:

　　 式中:ε₀为混凝土圆柱体峰值压应力对应的应变;σ_{2, max}为软化混凝土受压峰值应力;n, k分别为曲线拟合参数和高强度混凝土软化段延性损失参数;f_c'为混凝土圆柱体抗压强度, MPa。

　　 钢筋采用理想弹塑性应力-应变关系 (图3 (c) ) :

　　 式中:E_s为钢筋弹性模量;f_yx, f_yz分别为x方向和z方向钢筋的屈服强度。

　　 受周围混凝土的影响, 包裹在混凝土中的钢筋性能与裸露钢筋性能有所不同^[11]。修正压力场理论不采用混凝土包裹钢筋的本构方程^[12], 而是采用裸露钢筋的本构方程。这一简化分析的前提是需要检验裂缝处钢筋传递荷载的能力是否满足裂缝处的局部应力平衡条件, 即修正压力场理论需要进行裂缝检验以限制混凝土中的拉应力。由于采用了弥散裂缝的假设, 休斯顿大学的Thomas T.C.Hsu^[13]认为修正压力场理论中根据裂缝处局部平衡条件进行裂缝检验是不合理的, 文献[14-15]将Thomas T.C.Hsu提出的转角软化桁架模型 (RA-STM) 与修正压力场模型进行了比较和有限元分析, 认为取消裂缝检查并采用将混凝土单轴受拉的本构方程代以转角软化桁架模型建议的本构方程进行计算, 更接近试验结果。基于这一研究结论, 本文计算中取消裂缝检查, 并以式 (7) 作为混凝土单元受拉本构方程。

　　 对于本文研究的核电厂钢筋混凝土单元平面内受剪问题, 假定已知钢筋混凝土单元薄膜应力σ_x, σ_z和配筋率ρ_x, ρ_z, 以及混凝土抗压强度f_c'、钢筋屈服强度f_yx, f_yz, 计算单元可承受的剪应力ν。由于存在材料非线性, 不能直接求解单元可承受的最大剪应力, 而需计算钢筋混凝土单元的剪应力-剪应变 (ν-γ_xz) 曲线, 根据曲线上的最大剪应力确定单元的受剪承载力。

　　 式 (1) ~ (10) 构成了按修正压力场理论迭代求解的非线性方程组。计算前还需根据式 (1) ~ (10) 做进一步的推导。

　　 利用公式cos²θ+sin²θ=1, 由式 (4) 和式 (5) 得:

　　 由式 (11) 得:

　　 将式 (11) 代入式 (1) 得:

　　 将式 (12) 代入式 (14) 得:

　　 根据式 (9) , 如果x方向的钢筋未屈服, 则σ_sx=E_sε_x, 将σ_sx=E_sε_x代入式 (15) 得:

　　 如果x方向的钢筋屈服, 则σ_sx=f_yx, 将σ_sx=f_yx代入式 (15) 得:

　　 同样, 如果z方向的钢筋未屈服, 则:

　　 如果z方向的钢筋屈服, 则:

　　 一般情况下, 随着外荷载的增大, 混凝土平面单元薄膜应力和剪应力是同时增大的。为能够与设计时采用的薄膜应力和剪应力进行比较, 设单元x和z两个方向的薄膜应力设计值分别为σ_x0, σ_z0 (以受拉为正, 受压为负) , 设单元的剪应力设计值为ν₀, 本文计算采用如下加载方式进行加载:令σ_x/σ_x0=σ_z/σ_z0=ν/ν₀=k, 则σ_x=kσ_x0, σ_z=kσ_z0, ν=kν₀, 即先采用比例加载, k从0开始增大, 确定单元的薄膜应力σ_x, σ_z和剪应力ν。当k=1时, 单元的薄膜应力σ_x, σ_z达到其设计值σ_x0, σ_z0, 然后保持薄膜应力不变, 即σ_x=σ_x0, σ_z=σ_z0, 继续增大剪应力ν。

　　 根据规范NB/T 20303—2014, 墙平面内受剪钢筋配筋率按下列公式计算, 并应大于最小配筋率ρ_min=0.25%:

　　 表1给出了5个算例。算例1为单元受纯剪的情况, 算例2为单元x和z两个方向均有薄膜拉应力的情况, 算例3为单元一个方向有薄膜拉应力、另一个方向有薄膜压应力的情况, 算例4为单元x和z两个方向均有薄膜压应力的情况, 算例5为给定x和z两个方向薄膜应力和配筋率很高的情况。

　　 首先按式 (20) , 根据表1中x和z两个方向的薄膜应力σ_x, σ_z和剪应力ν, 计算前4个算例单元x和z两个方向的配筋, 然后采用第2节的方法计算单元的ν-γ_xz曲线, 得到x和z两个方向的薄膜应力为σ_x0, σ_z0时单元可承受的最大剪应力ν_max, 进而比较考虑混凝土受拉承载时单元可承受的最大剪应力ν_max和不考虑混凝土受拉承载时单元可承受的最大剪应力。图4~7列出了前4个算例的单元应力-应变 (ν-γ_xz, σ₁-ε₁, σ₂-ε₂, σ_sx-ε_x, σ_sz-ε_z) 曲线和薄膜应力-剪应力 (σ_x (σ_z) -ν) 曲线。

　　 根据图4~7中4个算例各曲线的变化, 将单元从开始加载到破坏分为5个阶段:OA阶段、AB阶段、BC阶段、CD阶段及过D点之后阶段。5个阶段混凝土和钢筋的应力变化情况如下。

　　 (1) OA阶段。从O点开始对单元x和z两个方向按比例施加薄膜力和剪应力, 到A点混凝土达到峰值拉应力f_cr, 如4~7图中的σ₁-ε₁曲线所示;在主应力σ₂方向, 算例1、算例3和算例4混凝土为压应力, 算例2混凝土为拉应力;x和z两个方向钢筋的拉应力σ_sx和σ_sz均很小。

　　 (2) AB段。随着荷载增大, 混凝土受拉发生软化, 主拉应力σ₁下降, 导致剪应力ν随剪应变γ_xz增大略有下降, 但随着荷载继续增大, 主拉应力σ₁方向混凝土卸掉的荷载逐步转由x和z两个方向的钢筋承担, 直至B点。B点为单元x和z两个方向薄膜应力达到设计值σ_x0和σ_z0时的点, 这一阶段x和z两个方向钢筋的拉应力和混凝土主应力σ₂方向的应力均有较大幅度提高, 算例2的混凝土主应力σ₂由拉应力转为压应力。

　　 (3) BC阶段。过B点后, 保持x和z两个方向的薄膜应力不再变化, 只增大剪应力, 达到C点, 此时x和z两个方向钢筋同时屈服。B点到C点的距离很短, x和z两个方向钢筋应力和混凝土主压应力变化幅度不大。

　　 (4) CD阶段。过C点后, x和z两个方向钢筋进入塑性流动状态, 应变继续增大, 但应力不变;主压应力方向混凝土也因受到主拉应力方向软化的影响, 应力不能随主压应变继续增大, 处于缓慢下降的状态, 直到D点, 此时单元的ν-γ_xz曲线也呈缓慢下降状态。

　　 (5) 过D点之后阶段。过D点后, 主压应力方向混凝土出现明显软化, 承载能力下降, 引起x和z两个方向钢筋卸载, 单元的ν-γ_xz曲线明显下降。

　　 在混凝土单元的整个ν-γ_xz曲线中, C点的剪应力最大, 为单元可承受的最大剪应力ν_max。由图4~7中4个算例的σ_sx-ε_x和σ_sz-ε_z曲线可以看出, 混凝土达到峰值拉应力A点时, 钢筋基本还没有起到什么作用, 而钢筋屈服、曲线达到C点时, 混凝土受拉起的作用已经很小;这也可从表1中前4个算例的最大剪应力计算结果看出, 当考虑混凝土抗拉的贡献时, 单元可承受的最大剪应力不超过15%。考虑到混凝土属于准脆性材料, 抗拉强度不易保证, 设计中忽略混凝土抗拉作用是可以的。

　　 对于算例2, 图8给出了对应于图5中钢筋混凝土单元各曲线关键点的应力状态。可以看出, 由于剪应力的存在, 单元混凝土主应力方向总是一个处于受拉状态而另一个处于受压状态。在A点, 混凝土裂缝与x轴的夹角为47.3°, 在B点为45.1°, 在C和D点均为45.0°。理论上讲, 混凝土裂缝一旦形成不会再转动, 除非在另一个方向产生新的裂缝。出现这种现象的原因是修正压力场理论采用了弥散裂缝假定, 模型也称为转动角模型。由于从裂缝形成 (A点) 到单元破坏 (D点) 裂缝角度变化仅2.3°, 计算误差不大。

　　 关于前文提到的x和z两个方向的钢筋同时屈服问题, 此问题与表1中采用式 (20) 确定的x和z两个方向钢筋配筋率有关。如图8所示, 当单元接近破坏时 (C点) , 裂缝夹角θ=45°, 这时, 由式 (1) 和式 (2) 得:

　　 两式相减得:

　　 即:

　　 将式 (20) 代入式 (24) 得:

　　 当x方向钢筋屈服时, σ_sx=f_yx, 由式 (25) 得到σ_yz=f_yz。即x和z两个方向配筋计算公式 (20) 决定了此两个方向的钢筋同时屈服。

　　 图9给出计算得到的表1中第5个算例的单元应力-应变 (ν-γ_xz, σ₁-ε₁, σ₂-ε₂, σ_sx-ε_x, σ_sz-ε_z) 曲线和薄膜应力-剪应力 (σ_x (σ_z) -ν) 曲线。由图9可以看出, 与前4个算例相比, 算例5的各曲线有所不同。由于x和z两个方向配筋率均较高, 算例5的主拉应力方向混凝土软化后钢筋立即承担较多的荷载, 从A点到B点, 单元γ_xz-ν曲线没有明显的下跌段。达到B点时, x和z两个方向混凝土薄膜应力达到设计值σ_x0和σ_z0, 同样由于x和z两个方向配筋率均较高, 钢筋应力不大 (不像前4个算例那样, 钢筋接近屈服) 。随着单元剪应力继续增大 (x和z两个方向薄膜应力不再变化) , 曲线从B点到C点, 主压应力方向混凝土达到峰值应力, 到D点时, 混凝土很快进入受压软化状态, 剪应力达到最大值, 但此时x和z两个方向的钢筋仍未屈服。所以, 算例5属于x和z两个方向配筋较多、混凝土受压破坏的情况。

　　 由于混凝土受拉承载起的作用很小, 由式 (3) 可知, 剪应力和主压应力的关系可表示为 (忽略剪应力和主压应力的正负号) :

　　 在临近破坏时θ=45°, 所以式 (26) 可表示为:

　　 由于受到主拉应变的影响及自身方向的软化, 混凝土单元主压应力达不抗压强度, 算例5中σ₂=17.95 MPa, 即σ₂/f_c'=0.6, 由式 (27) 得ν≤0.3f_c'。所以, 为避免钢筋混凝土单元破坏时混凝土被压碎而钢筋未屈服, 我国规范NB/T 20303—2014规定ν≤0.25 f_c、美国规范ACI 359-13^[2]规定ν≤0.2f_c'。

　　 本文采用修正压力场理论对钢筋混凝土单元平面内的受剪承载力进行了分析, 得出以下结论:

　　 (1) 对于正交两个方向作用薄膜应力和剪应力的钢筋混凝土平面单元, 主拉应力方向混凝土达到峰值应力时钢筋尚未起到明显的抗拉作用;而钢筋受拉达到屈服强度时, 主拉应力方向混凝土因软化承担的拉应力很小, 考虑混凝土的受拉承载作用相比忽略混凝土的受拉承载作用, 单元可承受的最大剪应力提高幅度不足15%, 设计中可忽略混凝土的受拉承载作用。

　　 (2) 虽然规范NB/T 20303—2014平面受剪配筋计算公式 (本文公式 (20) ) 中未直接反映混凝土的贡献, 并不意味着混凝土不起作用, 混凝土的作用体现在连接正交两个方向的钢筋并承受压力 (图5) , 即与正交两个方向的钢筋形成桁架以压杆的形式承载。