在地震或飓风作用下, 核电厂的钢筋混凝土墙会受到水平力和内部压力 (核泄漏、内压力增大) 的共同作用, 使墙承受两个方向的薄膜拉力和水平剪力, 从而产生了墙的平面内抗剪问题。我国现行的《压水堆核电厂预应力混凝土安全壳设计规范》 (NB/T 20303—2014) ^[1]、《压水堆核电厂核安全有关的混凝土结构设计要求》 (NB/T 20012—2010) ^[2]和美国规范核电厂混凝土安全壳规范ACI 359-13^[3]给出了墙内配筋的计算公式, 钢筋布置非常拥挤, 因此有必要对此进行深入研究。

　　 由于核电厂钢筋混凝土墙平面承受复杂的应力作用, 相关的试验和理论研究不多。文献[4]曾结合美国规范ACI 359-13的编制, 进行了一系列混凝土平板的平面内剪切试验, 包括预设裂缝的平板, 但理论研究一直比较缺乏。考虑到钢筋混凝土塑性极限理论经过适当的简化, 可得到简单的解析解, 为便于分析和理解, 本文采用塑性极限理论对核电厂钢筋混凝土墙平面内的受剪特性进行了研究, 给出了其受剪承载力的下限解和上限解。

　　 结构或结构构件从开始加载到完全破坏要经历线弹性阶段和塑性阶段, 一般情况下可根据材料的实际本构关系采用有限元或其他数值方法进行分析, 但往往只能得到数值解, 从设计规范的角度考虑不便于应用。钢筋混凝土的塑性极限理论通过对材料本构关系的简化和放松某些条件, 使问题的分析变的简单。目前, 塑性极限理论已在钢筋混凝土的结构设计和理论分析中得到广泛应用, 如钢筋混凝土梁柱的塑性铰和板的塑性铰线分析, 钢筋混凝土梁的抗剪分析等^[5]。上述这些分析针对的是单向受力问题, 而本文的塑性极限理论分析针对的是双向平面内受力问题。另外, 塑性极限分析方法在岩土工程中也得到广泛应用, 著名的库伦土压力公式就是通过极限分析得到的。

　　 塑性极限分析一般将结构材料视为刚性-完全塑性材料。按刚性-完全塑性材料进行结构分析, 只考虑结构的塑性变形, 忽略了弹性变形, 从而使分析得到简化, 便于得到解析解。图1为钢筋和混凝土弹性-完全塑性和刚性-完全塑性的应力-应变关系。对于普通钢筋, 弹性段很短, 当变形很大时, 可以忽略弹性段而采用刚性-完全塑性应力-应变关系。对于混凝土, 按刚性-完全塑性理论进行分析时, 常将其实际应力-应变关系等效为图1 (b) 所示的刚性-完全塑性应力-应变关系, 其中混凝土应力取为β_cf_c。本文采用欧洲规范EN 1992-2-1∶2004^[6]中钢筋混凝土梁受剪承载力计算的规定, 当混凝土抗压强度标准值小于60N/mm²时, 取β_c=0.6。

　　 按照经典的固体力学理论, 结构静力分析需要满足3个条件, 即平衡条件、几何条件 (变形协调) 和物理条件 (应力-应变关系) 。在塑性极限分析中, 可用机动条件 (内外功相等) 代替平衡条件, 用屈服条件或强度条件 (采用刚性-完全塑性理论时应力-应变关系只与材料强度有关, 与应变无关, 见图1) 作为物理条件, 塑性极限分析中对3个条件不同程度的满足, 构成了塑性极限分析的3个定理, 即上限定理、下限定理和唯一性定理^[7], 3个定理的关系如图2所示, 由3个定理求得的解分别为上限解、下限解和精确解。下限解是以下限定理为基础, 小于或等于精确解, 即结构满足平衡条件和强度条件的荷载, 为尽可能接近精确解需求其最大值;上限解是以上限定理为基础, 大于或等于精确解, 即结构满足机动条件、几何条件和屈服条件的荷载, 为尽可能接近精确解需求其最小值。如果求得的下限解与上限解相等, 则求得的解为精确解。

　　 如第1节所述, 求下限解需要满足平衡条件和强度条件。

　　 图3为一受水平力和竖向力作用的钢筋混凝土墙, x, z方向的配筋率分别为ρ_x, ρ_z。在板中取一个1m×1m的单元, 则单元x, z方向分别作用了正应力 (或薄膜应力) σ_x, σ_z及剪应力ν (因ν_xz, ν_zx相等而省略下标) 。假定混凝土单元内的钢筋与混凝土完全保持粘结, 混凝土承担的x, z方向的正应力分别为σ_cx, σ_cz, 钢筋只承担其所在方向的应力σ_sx, σ_sz。将钢筋承担的应力在其分布方向连续化, 则x, z方向钢筋的分布应力分别为ρ_xσ_sx, ρ_zσ_sz。混凝土单元的应力可表示为:

　　 在薄膜应力σ_cx, σ_cz和剪应力ν的作用下, 钢筋混凝土单元的主拉应力为σ₁、主压应力为σ₂ (为便于表达, 本文用正号表示) , 主压应力 (或裂缝) 与x轴的夹角为θ, 根据图3的摩尔圆和图4可知, σ_cx, σ_cz, ν与σ₁, σ₂之间的关系如下:

　　 将式 (3) , (4) 分别代入式 (1) , (2) 得:

　　 式 (5) 可表示为:

　　 将式 (10) 代入式 (8) , (9) 得:

　　 同时式 (10) 可进一步表示为:

　　 式 (11) ~ (13) 即为本文分析采用的钢筋混凝土单元的平衡方程。

　　 对于构成钢筋混凝土单元的混凝土, 其主压应力应满足下式要求:

　　 式中β_c为混凝土受压强度折减系数。

　　 对于单元x, z方向的钢筋应力, 应满足下列条件:

　　 式中f_yx, f_yz分别为钢筋x, z方向的屈服强度。

　　 假定钢筋混凝土单元x, z方向的薄膜应力σ_x, σ_z和钢筋的配筋率ρ_x, ρ_z已知, 下面确定单元可承受的平面内剪应力ν。

　　 由于混凝土的抗拉强度很小, 设计中一般忽略混凝土的抗拉作用, 即σ₁=0, 则式 (11) ~ (13) 可简化为:

　　 如果再假定混凝土的抗压强度为0, 则σ₂=0, 由式 (16) ~ (18) 得ν=0, σ_x=ρ_xσ_sx, σ_z=ρ_zσ_sz, 即此时混凝土单元不能承担剪应力, 而x, z方向的钢筋也只承担各自方向的薄膜应力。如图4所示, 这是因为虽然混凝土开裂后丧失了承担拉应力的能力, 但混凝土开裂形成的压杆还能通过受压向x, z方向的钢筋传递剪应力;如果混凝土丧失了承担压应力的能力, 则x, z方向的钢筋失去了联系, 不能再承担额外的剪应力。

　　 式 (16) , (17) 相乘得:

　　 式 (16) , (17) 相加后代入式 (18) 得:

　　 根据式 (14) , (15) 和式 (20) , ρ_xσ_sx-σ_x和ρ_zσ_sz-σ_z应满足:

　　 作为钢筋混凝土单元可承受的剪应力的下限解, 为尽可能接近精确解, 剪应力应取最大值。所以求单元可承受的剪应力问题实际为以ρ_xσ_sx-σ_x和ρ_zσ_sz-σ_z为优化变量、以式 (19) 为目标函数、以式 (21) ~ (23) 为约束条件的优化 (最大) 问题。如图5所示, 如果以ρ_xσ_sx-σ_x为横坐标、ρ_zσ_sz-σ_z为纵坐标建立直角坐标系, 则式 (19) 为以ν为等值线的曲线族, 曲线沿45°斜线向右上方移动, 剪应力ν增大。式 (21) ~ (23) 构成一个三角形、梯形或矩形区域, 为点 (ρ_xσ_sx-σ_x, ρ_zσ_sz-σ_z) 的可行域, ν的等值线上至少有一个点在可行域内 (包括可行域边界) 时求得的ν才是有效的。在上述约束条件下, 使剪应力ν取最大值的点为最优点。图5 (b) ~ (d) 示意了不同约束条件起控制作用时剪应力v的等值线和其解的可行域 (阴影区域) 。下面根据可行域的形状分几种情况进行分析。

　　 (1) 最大剪应力由混凝土控制的情况

　　 图5 (b) 所示为由混凝土控制的情况, 即0≤ρ_xσ_sx-σ_x<ρ_xf_yx-σ_x, 0≤ρ_zσ_sz-σ_z<ρ_zf_yz-σ_z, (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c。对于这种情况, x, z方向的钢筋均未屈服, 剪应力ν的最大值由 (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c决定, 即剪应力等值线ν与直线σ₂=β_cf_c相切时ν最大, 由此得到:

　　 将式 (24) 代入式 (19) 得最大剪应力:

　　 我国《压水堆核电厂预应力混凝土安全壳设计规范》 (NB/T 20303—2014) ^[1]、《压水堆核电厂核安全有关的混凝土结构设计要求》 (NB/T 20012—2010) ^[2]最大剪应力取0.25 f_c, 美国规范ACI 359—13^[3]最大剪应力取0.2f_c&apos;。

　　 (2) 最大剪应力由一个方向钢筋和混凝土共同控制的情况

　　 图5 (c) 为最优点在可行域右边界的情况, 此时0≤ρ_xσ_sx-σ_x=ρ_xf_yx-σ_x, 0≤ρ_zσ_sz-σ_z<ρ_zf_yz-σ_z, (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c, 即x方向钢筋屈服, z方向钢筋未屈服, 混凝土达到最大压应力β_cf_c (虽然 (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c与式 (19) 存在切点但切点不在可行域内) 。对于这种情况, 剪应力ν的最大值由 (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c和0≤ρ_xσ_sx-σ_x=ρ_xf_yx-σ_x共同决定。由此得到:

　　 将式 (26) 代入式 (19) 得最大剪应力:

　　 同样, 对于最优点在可行域左边界的情况, 0≤ρ_xσ_sx-σ_x<ρ_xf_yx-σ_x, 0≤ρ_zσ_sz-σ_z=ρ_zf_yz-σ_z, (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c, 即x方向钢筋未屈服, z方向钢筋屈服, 混凝土达到最大压应力β_cf_c, 最大剪应力为:

　　 (3) 最大剪应力由两个方向钢筋共同控制的情况

　　 图5 (d) 为最优点在可行域顶点的情况, 此时0≤ρ_xσ_sx-σ_x=ρ_xf_yx-σ_x, 0≤ρ_zσ_sz-f_z=ρ_zf_yz-σ_z, 即x, z方向钢筋均屈服 (同样虽然 (ρ_xσ_sx-σ_x) + (ρ_zσ_sz-σ_z) =β_cf_c与式 (19) 存在切点但切点不在可行域内) 。

　　 式 (19) 中取σ_sx=f_yx, σ_sz=f_yz得最大剪应力:

　　 对于σ_x, σ_z, ρ_x和ρ_z已知的情况, 可分别计算式 (25) , (27) , (28) , (29) 表示的剪应力ν, 其中较小者为墙单元可承受的最大剪应力。

　　 如第1节所述, 塑性极限理论的上限分析需满足屈服条件、协调条件和机动条件。

　　 在x, z两个方向薄膜应力和剪应力的作用下, 单元钢筋屈服, 混凝土达到假定的“屈服”状态 (图1 (b) ) 。x, z方向钢筋的屈服应力为:

　　 假定混凝土的“屈服”符合Mohr-Coulomb破坏准则 (图6) :

　　 其中:

　　 式中:τ, σ分别为混凝土剪切面上的剪应力和正应力;c, φ分别为混凝土的黏聚力和内摩擦角;f_t, f_c分别为混凝土的抗拉强度和抗压强度。

　　 式 (32) 的“屈服”条件也可表示为主应力的形式:

　　 其中:

　　 式中:β_t, β_c分别为混凝土抗拉强度和抗压强度折减系数;f_et, f_ec分别为折减后的混凝土抗拉强度和抗压强度。

　　 假定钢筋与混凝土粘结良好, 则钢筋的应变等于混凝土的应变, 即:

　　 再假定混凝土主拉应变与x轴的夹角同混凝土主拉应力与x轴的夹角是相同的, 均为θ, 根据图7, 得到混凝土应变与主应变的关系为 (同样主压应变ε₂取正号) :

　　 式中:ε_x, ε_z分别为钢筋混凝土单元x, z方向混凝土的应变;γ_cxy为混凝土的剪应变;ε_c1, ε_c2分别为混凝土的主拉应变和主压应变。

　　 在薄膜应力σ_x, σ_z和剪应力ν的作用下, 钢筋混凝土单元达到极限状态时混凝土和钢筋均进入塑性流动状态。按照塑性理论的流动法则, 混凝土塑性流动方向垂直于混凝土的“屈服”面 (图6) , 则混凝土主拉应变和主压应变为:

　　 式中λ为常数。

　　 将式 (39) 代入式 (34) 得:

　　 将式 (39) 代入式 (33) 得:

　　 将式 (40) 代入式 (36) , (37) 得:

　　 将式 (40) , (42) 代入式 (38) 得:

　　 作用于钢筋混凝土单元的薄膜应力σ_x, σ_z和剪应力ν做外功, 即:

　　 式中:E_ex为薄膜应力σ_x做的外功;E_ez为薄膜应力σ_z做的外功;E_exz为剪应力v做的外功。

　　 单元混凝土抵抗外力作用做内功, 即:

　　 式中E_ic为混凝土主应力σ₁和σ₂做的内功。

　　 单元的钢筋也抵抗外力作用做内功, 即:

　　 式中E_is为钢筋应力ρ_xf_yx和ρ_zf_yz做的内功。

　　 由内外功相等原理得:

　　 将式 (41) ~ (43) 代入式 (48) 得:

　　 同样, 由于混凝土抗拉强度很小, 设计中一般忽略混凝土的抗拉作用。假定f_et=0, 则sinφ=1, c=0, 则式 (49) 变为:

　　 作为上限解, 需要求得剪应力的最小值。由得:

　　 由此得到:

　　 假定ρ_xf_yx-σ_x和ρ_zf_yz-σ_z均大于0, 将式 (52) , (53) 代入式 (50) 得钢筋混凝土单元可承担的剪应力为:

　　 当ρ_xf_yx-σ_x和ρ_zf_yz-σ_z中的一个或两个小于0时, 钢筋混凝土单元不能承担按式 (54) 计算的剪应力。另外, 上述的分析是按σ₂=β_cf_c得到的, 当σ₂>β_cf_c时, 钢筋混凝土单元也不能承担按式 (54) 计算的剪应力。

　　 第2, 3节给出了给定薄膜应力下钢筋混凝土墙平面内受剪承载力的下限解和上限解。下限解要求构件内任一点的应力都不能超过材料的强度 (或强度包络线) , 上限解假定破坏机构上的所有点都达到了材料强度 (或强度包络线) 。上限解的最小值总是大于下限解的最大值, 当两者相等时, 则达到真正的极限状态, 得到的解为精确解。

　　 如图4所示, 对于薄膜拉力下的钢筋混凝土墙, 混凝土受拉开裂后, x方向和z方向的钢筋与裂缝间的混凝土构成一个静力平衡系统, 墙平面内受剪承载力取决于两个方向的薄膜拉力、两个方向钢筋的屈服强度和配筋率及混凝土的抗压强度。当至少一个方向的纵向钢筋不能承担所在方向的薄膜拉力时, 墙不能承担平面内剪力。对于图5 (b) 所示的情况, 两个方向钢筋都不屈服, 墙平面内受剪承载力取决于混凝土压杆的强度;对于图5 (c) 所示的情况, 一个方向钢筋屈服, 墙平面内受剪承载力取决于屈服方向钢筋承担的拉力和混凝土压杆的强度;对于图5 (d) 所示的情况, 两个方向钢筋都屈服, 墙平面内受剪承载力与混凝土压杆的强度无关, 但这并不意味着与混凝土无关, 混凝土以压杆的形式起联结钢筋的作用并传递压应力, 保持与钢筋应力的平衡, 只是混凝土压杆的强度 (经过折减) 是有富余的;如果没有混凝土以压杆的形式传递应力, 墙同样不能承担平面内剪力。在设计中, 可以通过配置充足的钢筋来抵抗薄膜拉力和剪力, 虽然核电厂混凝土规范的配筋计算公式中没有体现混凝土抗压强度的影响, 但规范中规定ν≤0.25 f_c (《压水堆核电厂预应力混凝土安全壳设计规范》 (NB/T 20303—2014) ^[1]、《压水堆核电厂核安全有关的混凝土结构设计要求》 (NB/T 20012—2010) ^[2]) 或v≤0.2 f_c&apos; (美国规范ACI 359-13^[3]) 实际上要求混凝土必须具有相应的抗压强度, 以保证混凝土以压杆的形式传递剪应力;当不能满足这一要求时, 单元可承受的最大剪应力即为ν=0.25 f_c或ν=0.2f_c&apos;。

　　 由式 (49) 可以看出, 在钢筋混凝土墙平面内受剪承载力的上限解中, 混凝土的强度是通过摩擦角的正弦函数、余弦函数和黏聚力c反映的;由式 (50) 可以看出, 当忽略混凝土抗拉强度时, 混凝土抗压强度的影响也不再显现, 同样这并不意味着混凝土不再起作用, 而是如图4一样, 压杆混凝土一直按假定的塑性强度β_cf_c保持塑性流动状态。实际的混凝土并非理想的塑性材料, 所以随着墙塑性变形的增大, 裂缝间混凝土压杆变形到一定程度时混凝土墙即发生破坏。另外, 由式 (54) 可以看出, 当ρ_xf_yx-σ_x和ρ_zf_yz-σ_z均大于0时, 钢筋混凝土墙平面内受剪承载力的上限解与下限解 (式 (29) ) 是相同的, 说明在这种情况下, 得到解为塑性极限理论的精确解。

　　 本文基于塑性极限理论对核电厂钢筋混凝土墙的平面内受剪承载力进行了分析, 给出了墙受剪承载力的下限解和上限解。分析得出如下结论:

　　 (1) 对于承受薄膜拉力和剪力的钢筋混凝土墙, 当两个方向的钢筋均未屈服时, 平面内受剪承载力取决于混凝土的抗压强度;当一个方向的钢筋屈服而另一个方向的钢筋未屈服时, 平面内受剪承载力取决于钢筋的屈服强度和混凝土的强度;当两个方向的钢筋全部屈服时, 平面内受剪承载力取决于钢筋的屈服强度。本文给出了不同情况下钢筋混凝土墙受剪承载力的计算公式。

　　 (2) 对于两个方向钢筋均屈服的钢筋混凝土墙, 受剪承载力公式与混凝土的强度无关, 但并不意味着混凝土不起作用。混凝土的作用是以压杆的形式联结两个方向的钢筋并传递剪力, 保持与钢筋应力的平衡。核电厂混凝土规范对混凝土抗压强度的限制 (《压水堆核电厂核安全有关的混凝土结构设计要求》 (NB/T 20012—2010) ^[2]为ν≤0.25 f_c) 是为了保证两个方向钢筋屈服前混凝土不被压碎。

　　 (3) 在两个方向钢筋均屈服的情况下, 本文极限塑性分析得到的钢筋混凝土墙受剪承载力的下限解和上限解是相同的, 说明在塑性力学框架内得到的解是精确解。