对于动力基础弹性半空间理论, 因地基土的土质、土层多种多样, 且非匀质, 与原有匀质弹性体假定大有差别, 需实测对比修正;同时为便于计算, 对理论公式简化较多, 又产生一定差别, 从而可将动力基础弹性半空间理论视为半理论半经验。此种方式一方面考虑了波能损耗产生辐射, 提高了地基阻尼比, 一方面经济效益显著, 改变了我国动力基础设计用小阻尼比状况。

　　 假定地基土体为匀质、各向同性、线性变形的弹性半无限体, 1904年拉姆 (H Lamb) ^[1]给出竖向谐和扰力作用于弹性半空间表面、波在土中传播产生动位移的解, 其力学分析、数学运算极为复杂。1936年赖斯纳 (E Reissner) ^[2]用其得出扰力作用于无质量刚性圆板、底部受均匀压应力的位移解, 并提出两个重要实用参数, 无量纲频率a₀和质量比b。其解在竖向谐和扰力P=P₀e^iωt作用于无质量刚性圆板时, 板中心竖向位移Z为:

　　 ${\rm Z}=\frac{{\rm P}{}_0\text{e}{}^{\text{i}t\omega t}}{Gr{}_0}(f{}_1+\text{i}f{}_2)(1)$

　　 式中:i为虚数;P₀为扰力;t为时间;G为土剪切模量;r₀为圆板半径;ω为扰力频率;f₁, f₂为位移函数, 是无量纲频率a₀与泊松比υ的复函数。

　　 剪切波速v_s为:

　　 $v{}_{\text{s}}=\sqrt{G/\rho }$

　　 式中ρ为土密度。

　　 从实用出发, 1962年谢氏 (T K Hsich) 按等效集总体系, 得出单自由度振动方程为:

　　 $m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle {\rm Z}}}+\left(c{}_{{\text{z}}^{\prime }}+\frac{Gr{}_0}{\omega }\cdot \frac{-f{}_2}{f{}_1{}^2+f{}_2{}^2}\right)\dot{{\rm Z}}+\frac{Gr{}_{0}f{}_1}{f{}_1{}^2+f{}_2{}^2}{\rm Z}=Q{}_0\text{e}{}^{\text{i}\omega t}(2)$

　　 令:

　　 $c{}_{{\text{z}}^{″}}=\frac{Gr{}_0}{\omega }\cdot \frac{-f{}_2}{f{}_1{}^2+f{}_2{}^2}$

　　 则有:c_z=c_z′+c_z″。

　　 式中:m为质量;Z为位移;Q₀为扰力;c_z′为内阻尼系数, 内阻比通常取0.05;c_z″为波能损耗的阻尼系数, 阻尼比大。

　　 又令:

　　 ${\rm K}{}_{\text{d}}=Gr{}_0\frac{f{}_1}{f{}_1{}^2+f{}_2^2}$

　　 式中K_d为动刚度。

　　 将c_z, K_d代入式 (2) , 则得类似一般的单自由度振动方程, 仅c_z, K_d是f₁, f₂的函数。

　　 1965年莱斯默 (J Lysmer) 对式 (2) 再予简化, 得出实用的比拟法竖向阻尼比ζ_z公式为:

　　 $\zeta {}_{\text{z}}==\frac{0.425}{\sqrt{B{}_{\text{z}}}}(3)$

　　 修正质量比B_z为:

　　 $B{}_{\text{z}}=\frac{1-\upsilon }{4}b=\frac{1-\upsilon }{4}\cdot \frac{m}{\rho r{}^3}$

　　 质量比b为:

　　 $b=\frac{m}{\rho r{}^3}$

　　 式中r为基础底面积等效半径。

　　 式 (1) ～ (3) 的推导详见文献[3]。

　　 由式 (1) 可见, 半空间的计算直接采用G, a₀, υ等参数, 无地基阻尼比和刚度, 是由等效集总体系得出的。等效集总体系在于得出波能损耗, 产生辐射阻尼 (或称几何阻尼) , 其提高了地基阻尼比, 经济效益特别显著, 是半空间的主要因素, 有别于普通质量-弹簧-阻尼体系。由于土层的非匀质性以及土层的反射、折射, 减少了幅射阻尼, 故须通过测试折减。

　　 以上内容已论及竖向单自由度振动, 但动力基础有六个自由度:沿三根轴的位移和绕三根轴的转角。通常要求基础重心在竖向对准基础底面形心, 即可分解为互相独立的四类振动:竖向振动和扭转振动是单自由度;水平和回转耦合振动是相依的双自由度, 纵横各一。分别计算这四类振动, 然后相应迭加。但霍尔 (J R Hall) 的耦合振动比拟法, 不计各振动相互影响, 仿照莱斯默竖向方式, 将四类振动各自独立为单自由度, 纵横各二, 总计有六个单自由度的简化方程, 需解六个变量。可将其视作半理论, 需要通过测试对比、折减, 按数理统计规律, 形成经验数据, 亦可看作半经验。

　　 现今, 美国相关规定多采用1965年莱斯默比拟法;前苏联从1979年的苏联动力机器基础规范^[4]开始, 将半空间的阻尼比折减70%。1996年某日, 俄国两院院士、半空间理论学者、动力基础规范主编В.А.Ильчев对该规范公式 (即$\zeta {}_{\text{z}}=0.7/\sqrt{p}$, p为基底平均压应力, t /m²) 进行了详细阐述^[5], 其以半空间理论为基础, 考虑了土体的非匀质性, 通过大量工程实测对比, 得出了70%的折减系数。可见, 此非经验公式。

　　 1989年, 我国有关学者通过引进大型液压台, 并借鉴国外方法, 采用半空间理论的阻尼比设计了液压台基础, 相对规范节省了2/3用料, 约节省1 000m²钢筋混凝土, 且房屋跨度由24m减至18m, 提高了地基阻尼比。长期使用效果良好, 在我国起了带头作用。

　　 几年后, 某大型压力机基础设计^[6]改版了按《动力机器基础设计规范》 (GB 50040—96) ^[7] (简称《动规》) 编制的手册设计的施工图, 钢筋混凝土用料由2 040m²减少为840m², 亦节省了60%。

　　 多年来, 通过大量振动试验台基础和模块实测对比, 将阻尼比予以折减, 即对非匀质土层的修正。2011年将其折减50%并已用于《液压振动台基础技术规范》 (GB 50699—2011) ^[8] (简称《振规》) , 现《振规》增加了电动试验台基础, 正在修订, 阻尼比略有修改, 符号不变, 见下式:

　　 $\zeta {}_{\text{z}}=\frac{c}{\sqrt{(1-v)\stackrel{—}{{\displaystyle m}}}}(4)$

　　 式中:各符号含义详见文献[8], 其中c=0.18 (五折) , 0.216 (六折) , 0.252 (七折) , 一般可取0.216, 可根据土层软硬上下浮动, 软土取小值, 岩基取大值, 也可根据振动台的重要性反向浮动, 重要的取小值。

　　 纵观式 (1) ～ (4) 四个动力基础半空间理论实用化进程:式 (1) 为1936年的赖斯纳方程, 并有两个实用参数, 无量纲频率a₀和质量比b;式 (2) 为1962年的谢氏方程, 等效于单自由度振动方程, 得出了辐射阻尼;式 (3) 为1965年的莱斯默比拟法算式, 量化了辐射阻尼比;式 (4) 为2016年笔者根据大量实测、对比经验及国内外有关论述, 予以概括, 对非匀质土体进行折减而作的修正, 更为实用。

　　 《动规》形式上虽然引用了半空间的阻尼比, 其式 (3.3.9-1) , (3.3.9-3) 与本文式 (3) 相似, 以质量比表示, 似乎也用了半空间理论。但折减过低, 分别约为式 (3) 的0.33 (υ=0.45) , 0.26 (υ=0.3) , 实质上仍然是采用小阻尼比, 未考虑波能消耗产生的辐射阻尼。

　　 激振器竖扰力:前轴2台100kN, 后轴2台220kN;轴距:2～6.5m, 轮距:1.2～2.5m;行程:前轴±150mm, 后轴±220mm;速度:单台0～3m/s, 4台同时0～2m/s, 最大加速度≥20g。

　　 4台激振器置于当中凹坑内, 由于总激振力不同时达到最大值, 工艺上提出可70%折减, 总扰力以450kN计。水平扰力P_x=0。基础尺寸见图1。

　　 根据2007年4月勘察报告, 基础处钻孔土层参数见表1。

　　 最终, 基础置于②层土上, 按勘察报告取地基承载力特征值f_ak=150kPa。

　　 计算符号、术语、公式等含义详见相应规范。

　　 扰力作用工况有竖向、纵向、横向、回转多样, 现仅计算竖向四个激振器同时上下振动的工况。

　　 根据现场波速测试, 用跨孔法测得5m深处相关参数:横波波速V_s=209m/s, 纵波波速V_p=415m/s, 泊松比υ=0.33;基础总重 (包括钢基座板) W=17 075kN;土容重γ=19kN。

　　 算得:基组质量比$\stackrel{—}{{\displaystyle m}}=$0.372, 基础底面积A=180m², 竖向阻尼比$\zeta {}_{\text{z}}=\frac{0.18}{\sqrt{(1-v)\stackrel{—}{{\displaystyle m}}}}$=0.36 (本文式 (4) , c取0.18) 。基础埋深比δ_b=0.373;考虑基础埋深作用后, 竖向阻尼比提高为ζ_z′=0.49。

　　 根据《动规》表3.3.2, 得地基抗压刚度系数C_z=5.0×10⁴kN/m, 考虑基础埋深作用后, 抗压刚度系数提高为C_z′=6.6×10⁴kN/m³;地基抗压刚度K_z=1 188×10⁴kN/m;只计算定扰力作用, 竖向扰力P_z=450kN, 变扰力作用略。

　　 由《振规》式 (A.0.2-4) 得最大竖向线位移A_zmax=0.044 3mm<0.1mm (容许值) 。

　　 由于还有相应工况的迭加, 此处不用足容许值。最大速度、加速度计算从略。

　　 将基础尺寸加大至16m×20m×5m, 基础总重W=34 575kN;土容重γ=19kN。

　　 算得: 基组质量比$\stackrel{—}{{\displaystyle m}}=$0.318;竖向阻尼比 (粉土) $\zeta {}_{\text{z}}=\frac{0.11}{\sqrt{\stackrel{—}{{\displaystyle m}}}}$=0.195 (《动规》式 (3.3.9-3) ) ;基础埋深比δ_b=0.28;考虑基础埋深作用后, 竖向阻尼比提高为ζ_z′=0.25。

　　 根据《动规》表3.3.2, 得地基抗压刚度系数C_z=3.1×10⁴kN/m³;考虑基础埋深作用后, 抗压刚度系数提高为C_z′=3.83×10⁴kN/m³;地基抗压刚度K_z=1 226×10⁴kN/m;只计算定扰力作用, 竖向扰力P_z=450kN。

　　 由《振规》式 (A.0.2-4) 得最大线位移A_zmax=0.075 8mm, 根据《动规》第3.3.11规定, 因C_z值偏低, 对竖向线位移按70%进行折减, 得A_zmax=0.053mm。

　　 A_zmax与按《振规》计算的接近, 但多用混凝土17 500kN (或多700m³) , 按《振规》计算中仅用663m³, 约多1倍。同时由于基础加大, 车间跨度需由18m增大至24m, 更加浪费。

　　 激振器14个 (每边7轮, 7个激振器) , 每个最大推力160kN, 总推力 (按75%折减) 1 680kN, 激振频率0～100Hz, 基础总质量1 380t。基础尺寸见图2。

　　 中风化砾岩层f_ak=500kPa;质量密度ρ=2.24t/m³, 根据现场波速测试, 用跨孔法测得5m深处相关参数:横波波速V_s=800m/s, 纵波波速V_p=2 000m/s, 泊松比υ=0.4, 剪切模量G=ρV_s²=1 430MPa。

　　 算得:基组质量比$\stackrel{—}{{\displaystyle m}}=$0.372, 基础底面积A=140m², 竖向阻尼比$\zeta {}_{\text{z}}=\frac{0.18}{\sqrt{(1-v)\stackrel{—}{{\displaystyle m}}}}$=0.381, 按《振规》在岩层不考虑埋深对地基阻尼比及刚度的提高, 现考虑埋深的环抱作用, 予以提高。

　　 基础埋深比δ_b=0.373 (h=4.4m) ;考虑基础埋深作用后, 竖向阻尼比提高为ζ_z′=0.523;当f_ak=500kPa时, 查《动规》表3.3.2得地基抗压刚度系数C_z=17×10⁴kN/m³;根据文献[9]式 (1-90a) , 考虑基础埋深作用后, 抗压刚度系数提高为C_z′=20.42×10⁴kN/m³;地基抗压刚度K_z=28.59×10⁶kN/m;由《动规》式 (A.0.2-4) 得最大竖向线位移A_zmax=0.066mm<0.1mm (容许值) 。

　　 《动规》无岩层计算, 此部分略。

　　 1台激振器竖向扰力80kN, 最大行程:±150mm;最大速度:±2.5m/s;最大加速度:±20g;激振频率:0.001～80Hz。

　　 激振器置于基础正中, 见基础平面图 (图3) 。由于老房扩建, 原有基础不深, 振动台基础不能深挖, 故用桩基础 (图4) , 包含28根灌注桩, 直径d=0.4m, 长度l=8m。

　　 根据1982年7月勘察报告, 土层名称及承载力见图5。根据1982年8月动力测试报告, 靠近基础底面下 (-3.8m) :土容重γ=19.4kN/m³, 横波波速V_s=120m/s;纵波波速V_p=252m/s, 泊松比υ=0.35。

　　 基础质量271.4t;竖向振动桩和桩间土参加振动的当量质量:取桩的折算长度1.8m, 为138.3t, 基础总质量m=409.7t, 根据1982年7月勘察报告, 桩周土的当量抗剪刚度系数及桩尖土的当量抗压刚度系数, 并参考《动规》, 可得单桩竖向刚度29.68×10⁴kN/m, 总刚度K_z=831.0×10⁴kN/m, 竖向自振频率f_n=22.7Hz。由基组质量比$\stackrel{—}{{\displaystyle m}}=$0.847, 得块体基础竖向阻尼比$\zeta {}_{\text{z}}=\frac{0.18}{\sqrt{(1-v)\stackrel{—}{{\displaystyle m}}}}$=0.243。

　　 基础埋深比δ_b=0.48, 考虑基础埋深作用后, 竖向阻尼比提高为ζ_z′=0.36;桩基阻尼比ζ_p.z=0.36+0.05=0.41。

　　 桩基最大线位移A_zmax=0.012 8mm (实测5.2um) <0.1mm。

　　 除阻尼比外, 同按《振规》计算结果。轻中亚黏土为粉土, 竖向阻尼比$\zeta {}_{\text{p}\text{z}}=\frac{0.14}{\sqrt{\stackrel{—}{{\displaystyle m}}}}$=0.152;考虑基础埋深作用后, 其竖向阻尼比提高为ζ_p.z′= (1+0.8δ_b) =0.21;桩基最大线位移A_zmax=0.023 5mm=23.5um (实测5.2um) <0.1mm, 比《振规》的计算结果约大1倍。

　　 我国《动规》采用的原有质量-弹簧-阻尼体系未考虑波速、波能消耗, 地基阻尼比小, 经济效果较差。动力基础按半空间理论大大提高了地基阻尼比, 经济效益特别显著, 很多问题能从理论上得到解释, 值得借鉴。