0 概述

　　 楼板在人行荷载激励作用下会产生振动，当楼板自振频率较小时，会引起行人感官舒适性问题。《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010) ^[1]、《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ 3—2010) ^[2]等对楼板自振频率做了相应规定。当楼板竖向振动频率小于3Hz时，楼板竖向振动加速度峰值不应超过相应的限值。胡卫国等 ^[3]采用有限元数值分析方法对楼板尺寸与振动舒适度影响进行研究；陆伟东等 ^[4]对基于振动舒适度的建筑物楼板设计方法进行了研究。楼板竖向加速度响应与人行荷载频率、人行步距、楼板几何尺寸等参数相关，而简支楼板在人行荷载作用下的响应，是研究楼板在其他工况及边界条件下加速度响应的基础，本文基于傅立叶级数法，对单人行走荷载作用下楼板加速度响应进行分析探讨。

1 楼板动力响应

1.1 基本假定

　　 1)根据《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010),工程中常见的单向楼板跨厚比不大于30,双向板跨厚比不大于40,在几何尺寸上一般满足薄板的范围，假定楼板为薄板；2)假定楼板在受力变形后符合克希霍夫假设。

1.2 人行荷载函数

　　 定义人行荷载为：

　　 q(x,y,t)=q0(x,y)f1(t)         (1)q(x,y,t)=q0(x,y)f1(t)         (1)

　　 式中：q(x,y,t)为人行荷载时间空间函数；q₀(x,y)为单足落步人行荷载空间函数；f₁(t)为人行荷载时间函数。

　　 结合文献[5,6,7,8,9]研究成果，本文采用文献[6]总结的人行荷载函数且n取1,人体自重荷载P₀=0.6kN ^[2]:

　　 f1(t)=P0[1+∑i=1n(aicos(2πfit+φi))]         (2)f1(t)=Ρ0[1+∑i=1n(aicos(2πfit+φi))]         (2)

　　 式中：a_i为振幅系数；f_i为步频；t为时间参数；φ_i为与人行荷载初始条件相关的相位角；n为确定人行荷载的傅里叶级数的阶数。

　　 相位角φ_i仅代表人行荷载加载初始条件，因式(2)中余弦函数为周期函数，当楼板长度远大于步距，相位角φ_i取值对加速度峰值最终结果影响很小，本文为减小计算量，φ_i全部按零取值。

1.3 楼板受迫振动方程

　　 楼板微单元，满足下列方程：

　　 D[Δ2Δ2ω+χΔ2Δ2(∂ω∂t)]+ρh(∂2ω∂t2)]=q(x,y,t)         (3)D[Δ2Δ2ω+χΔ2Δ2(∂ω∂t)]+ρh(∂2ω∂t2)]=q(x,y,t)         (3)

　　 式中：D为楼板抗弯刚度；ω为楼板挠度；χ为黏滞阻尼系数；ρ为楼板密度；h为楼板厚度。

　　 对式(3)进行求解，在任意荷载作用下，楼板挠度函数ω(x,y,t)ω(x,y,t)如下 ^[10]:

　　 ω(x,y,t)=∑m=1∞∑n=1∞{e−ψ4πωm,nt[am,ncosωm,n¯¯¯¯¯¯¯t+bm,nsinωm,n¯¯¯¯¯¯¯t]+1ωm,n¯¯¯¯¯¯¯Mm,n∫0te−ψ4πωm,n(t−τ)Pm,n(τ)sinωm,n¯¯¯¯¯¯¯(t−τ)dτ}Wm,n(x,y)         (4)ω(x,y,t)=∑m=1∞∑n=1∞{e-ψ4πωm,nt[am,ncosωm,n¯t+bm,nsinωm,n¯t]+1ωm,n¯Μm,n∫0te-ψ4πωm,n(t-τ)Ρm,n(τ)sinωm,n¯(t-τ)dτ}Wm,n(x,y)         (4)

　　 式中：ω(x,y,t)ω(x,y,t)为楼板挠度的时间空间函数；ω_m,n为角频率；ωm,n¯¯¯¯¯¯¯ωm,n¯为与ω_m,n相关的中间计算变量；a_m,n,b_m,n为与初始条件有关的常数；ψ为阻尼参数；P_m,n(t)为广义力；M_m,n为广义质量；W_m,n(x,y)为振型函数；τ为杜哈梅积分变量。

　　 因人行荷载在空间非连续，在时间上具有周期性，并且双足落地时间具有重叠段，在采用式(1)～(4)求解时，需要根据单步荷载持续时间与荷载步到达时间，对整个行走过程进行分段计算。各阶常数a_m,n,b_m,n由前一荷载步结束时刻确定，对于第i步起始时刻有：

　　 ωs(x,y,ti)=∑m=1∞∑n=1∞[am,n]=ωe(x,y,ti−1)         (5)ω˙s(x,y,ti)=∑m=1∞∑n=1∞[αam,n+βbm,n]=ω˙e(x,y,ti−1)         (6)ωs(x,y,ti)=∑m=1∞∑n=1∞[am,n]=ωe(x,y,ti-1)         (5)ω˙s(x,y,ti)=∑m=1∞∑n=1∞[αam,n+βbm,n]=ω˙e(x,y,ti-1)         (6)

　　 式中：ωs(x,y,ti)ωs(x,y,ti)为第i荷载步起始时刻位移函数；ω˙s(x,y,ti)ω˙s(x,y,ti)为第i荷载步起始时刻速度函数；ωe(x,y,ti−1)ωe(x,y,ti-1)为第i-1荷载步结束时刻位移函数；ω˙e(x,y,ti−1)ω˙e(x,y,ti-1)为第i-1荷载步结束时刻速度函数；α,β为系数。

　　 结合式(5)、式(6),利用振型正交性，即可求解a_m,n,b_m,n。

1.4 最不利振动激励选取

　　 在楼板设计时，一般需要计算最不利振动激励，即采用最不利的荷载激励。在选取最不利激励荷载时：1)应选取与楼板固有频率接近的激励；2)激励荷载轨迹应根据楼板振型，穿越楼板振型中振幅最大部位；3)荷载轨迹应穿越楼板变厚度部位及楼板支座刚度突变处。本文重点研究四边简支楼板，选平行于楼板长边且穿越楼板短边跨中部位直线为最不利振动激励荷载轨迹线。

2 试验验证

　　 在加速度响应函数中，楼板固有角频率ω_m,n起决定性作用，该参数与楼板长度、宽度平方成反比，与楼板厚度成正比。由于楼板长度、宽度远大于厚度，并且前者相对后者是更高阶函数，故本文式(2)～(6)也可较好地预测压型钢板组合楼板的加速度响应。文献[11]对边长为9.144m、总厚度0.222m、板净厚度0.117m的正方形简支组合桥面板进行了单人行走荷载试验，对试验组合板进行力学参数换算，其中：顺肋方向折算厚度0.168 m, 垂直肋方向折算厚度0.117 m, 平均厚度0.143 m, 与之对应的折算密度为3 127.78kg/m³。试验中人行荷载频率1.8Hz, 人体自重荷载P₀=0.7kN,计算位置为板跨中。依据本文理论公式(式(2)～(6))进行计算对比，本文峰值加速度理论值为0.017 5g, 试验值为0.013 6g ^[11],两者误差为28.7%;而与试验值出处文献[11]的理论研究成果误差为24%,本文中理论值与试验值误差在可接受范围。误差存在原因为理论边界条件与试验约束条件有差异、试验中行人频率在一定范围内波动等不可避免因素导致。

3 楼板加速度响应规律分析

3.1 加速度时程峰值包络曲线

　　 依据式(1)～(6)对拟建工程进行计算分析，拟建工程为学校，计算分析对象为学校单体之间走廊板，板厚120mm, 四边简支。假定人行荷载时程函数主要参数为：频率f=2.0Hz, 步距s=0.8,行走速度v=1.6m/s, 楼板长度a=24m, 宽度b=3m, 单人自重P=0.6kN,在y=b/2=1.5m处沿楼板一端开始向另外一端行走。整个行程过程中，楼板短跨跨中y=b/2=1.5m处各点处峰值加速度包络曲线如图1所示。

　　 图1 y=b/2处各点处加速度时程峰值包络曲线 

　　 由图1可知：1)y=b/2处各点峰值加速度的最大值出现在靠近楼板端部，而并非出现在楼板跨中；2)对于狭长楼板，中间区域正、负峰值加速度相对稳定。

3.2 加速度最大点时程

　　 楼板峰值加速度最大点(x=0.4;y=b/2)处加速度时程曲线如图2所示。

　　 图2 峰值加速度最大点(x=0.4;y=b/2)处加速度时程曲线 

　　 记行人到达时刻为t₁,每步着地时间为t_step。由图2可知：

　　 (1)正、负峰值加速度均非出现在到达时刻t₁,即楼板加速度响应函数与人行荷载函数存在相位差，相位差与人行荷载函数式(2)中的a_icos(2πf_it+φ_i)项取值次数有关。

　　 (2)正峰值加速度出现时刻相比负峰值加速度出现时刻滞后，正峰值加速度绝对值为843mm/s²,负峰值加速度绝对值为908mm/s²,前者比后者小7.16%。

　　 (3)当人行荷载离开此点后，加速度迅速衰减至趋于稳定。

　　 通过对本文式(4)对时间二次求导，可以得到加速度响应函数。显然：加速度响应函数是由含有简谐函数、衰减项e−ψ4πωm,nte-ψ4πωm,nt双重级数的组合运算，受傅里叶级数m,n取值以及人行荷载函数中余弦项次数影响，相位差为非固定常数。

4 楼板加速度参数化分析

　　 从式(4)可知：影响楼板加速度的主要参数为人行荷载时程函数以及楼板的几何参数。本文针对上述参数进行量化分析，其中人行荷载主要参数范围：频率f=1.5～2.5Hz, 步距s=0.6～1.0m, 与之对应的行走速度v=1.1～2.2m/s ^[7]。楼板几何参数包含楼板长宽比a/b。本文所计算的楼板编号及参数如表1所示，其中LB-1为参照楼板，所有楼板边界条件均为四边简支。由于行人在行走过程中，荷载频率和步距具有一定关联，所以LB-1～LB-5对比中，步距和频率联动。

　　 楼板参数 表1

　　 楼板LB-1～LB-5及其他楼板中，楼板质量按均布质量考虑。楼板单位面积均布质量m−=m/A=ρhm-=m/A=ρh,其中m为楼板总质量，A为楼板面积。所有楼板均不考虑活载影响。采用大型商业通用有限元软件MIDAS Gen建立楼板LB-1～LB-5的模型，单元类型为软件自带板单元，模型尺寸为3m× 24m, 单元格划分精度为0.3m, 在楼板短跨方向共10个单元格(11个节点),根据有限元理论可知，网格数量可以保证计算结果精确度。楼板边界约束条件为四边简支。楼板LB-1～LB-5边界条件及荷载轨迹见图3。

　　 图3 楼板LB-1～LB-5边界条件及荷载轨迹 

　　 MIDAS Gen软件计算得到的楼板LB-1～LB-5固有频率值为22.04Hz, 根据文献[10]提供的公式进行计算，理论值为21.7Hz, 误差为1.49%。楼板LB-1～LB-5各阶固有频率见表2。

　　 楼板LB-1～LB-5固有频率/Hz 表2

4.1 步频对峰值加速度影响

　　 对楼板LB-1～LB-5计算结果汇总，得到峰值加速度随频率变化曲线，见图4。

　　 由4图可知：当人行荷载频率f从1.5Hz逐渐增大到2.5Hz, 相应的步距s由0.6m增大到1.0m, 与其对应的人行速度v由0.9m/s增大到2.5m/s, 峰值加速度在0.51～1.14m/s²之间变动，最大值为最小值2.24倍。可见：即使人行荷载频率远小于楼板自振频率，人行荷载频率对峰值加速度影响依然较大，但因频率与步距联动变化的影响，峰值加速度与人行荷载频率不具有单向变化趋势。

4.2 楼板长宽比对峰值加速度影响

　　 对楼板LB-1,LB-6～LB-12计算结果汇总，得到峰值加速度随楼板长宽比变化曲线，见图5。

　　 由图5可知：

　　 (1)楼板长宽比从1.0增大到8.0过程中，峰值加速度逐渐降低，从1.91m/s²降低至0.51m/s²,峰值加速度降低73%。

　　 (2)楼板长宽比从1.0增大至2.0过程中，峰值加速度降幅速率最大，降低幅值为47%。即对于同样的人行荷载，在楼板短跨尺寸不变情况下，双向板的加速度响应远大于单向板。

　　 图4 峰值加速度-步频 关系曲线  

　　 图5 峰值加速度-楼板 长宽比关系曲线 

　　 (3)楼板长宽比小于5.0时，峰值加速度随长宽比非线性变化；楼板长宽比大于5.0时，峰值加速度随长宽比基本呈线性变化。

5 结论

　　 (1)行人荷载频率一定的条件下，当楼板固有频率远大于激励荷载频率时，楼板加速度响应最大值一般不出现在楼板跨中。

　　 (2)楼板加速度响应函数与人行荷载函数具有相位差，但相位差不是固定的常数。

　　 (3)楼板长宽比对峰值加速度影响比较大，在宽度固定条件下：长宽比从1.0增大至8.0时，峰值加速度降低73%,其中长宽比从1.0增大至2.0时，峰值加速度降低47%,对于同样的人行荷载，双向板的加速度响应远大于单向板。