折叠网架结构的核心在于节点。节点位置的移动、平面内外的转动及所连杆件的变形共同构成了折叠网架结构的整体变形。分析整体变形的尺度，需要首先建立基于节点的空间位置及组合单元机构在展开和收拢过程中各节点姿态、位置、速度的解析表达式^[1]，然后将荷载及其组合变形模态作为初始缺陷施加在节点，研究网架结构在不同工况下的整体稳定系数^[2]。进而应用几何非线性理论，分析网架结构的整体变形失效过程^[3]。还可以综合几何参数和材料特性，计算节点的承载能力或对可展开结构进行大变形分析^[4,5]。

　　 在折叠网架结构的优化设计中，通常将上述整体变形尺度和稳定性作为全局约束，同时考虑交汇于枢轴节点处刚性杆的平面运动边界与节点转动方式的关系^[6]。在实际设计中，要依据不同的折叠网架结构设计需求，设定相应的目标函数和特异性约束条件。文献[7]研究了一种异形网架结构的优化设计，该设计以结构总质量为目标函数，以应力比和长细比作为特异性约束条件。文献[8]设计了一种适用于钻井工程井壁堵漏的柔性网架结构，其特异性约束条件为堵漏扩孔的力学模型。

　　 在折叠网架结构的工程实践中，需要分析其正常工况和极端工况下整体变形尺度与荷载的关系。文献[9,10]研究了折叠网架结构毂盘节点的变形规律，并分析了变形失效的破坏机理，得出了对某根独立杆件而言，最大应力未必对应最大荷载状况的研究结论。文献[11]应用随机过程理论，建立了折叠网架结构变形与荷载关系的概率预测模型。

　　 本文首先阐述折叠网架结构的特点;不同节点间的变形并不连续，然而折叠网架结构整体在各节点间连续变形，故采用整体拟合的方式研究折叠网架结构的变形特点;基于毂盘节点的受力分析和对折叠网架结构整体变形规律的研究，进行折叠网架结构的跨度分析，从结构布置和节点与构件间关系的角度给出最优跨数组合。为不断扩大结构自身跨度并根据不同使用需求合理选择各种尺度的折叠网架结构提供理论支持。

　　 折叠网架结构的单元类型有矩形单元和梯形单元，其受力构件都是剪杆，剪杆按照一定规律固定在毂盘节点的插槽处，两种结构单元均有8根边剪杆、8根腹剪杆和10个毂盘节点，如图1所示。其中每相交于枢轴节点处的2根剪杆组成剪杆单元，共形成4对边剪杆单元和4对腹剪杆单元，每对剪杆单元可以在其平面内绕枢轴节点自由转动，但其他方向的自由度都受到约束，图2给出剪杆单元的示意图。相邻单元共用接触面上的4个毂盘节点，外侧和内侧毂盘节点各5个，内、外侧毂盘节点之间的距离即为折叠网架结构的厚度。

　　 整个折叠网架结构中，毂盘节点按照其上所连接的剪杆数量可分为5类:第一类是单元拼接处的角节点，即结构的中部节点，该节点上均匀固定着8根剪杆，这是最重要的一类节点，对结构的承载能力和变形机制都有显著影响;第二类是山墙和主体结构相交处的节点，该类节点较中部节点少1根腹杆与其相连，位于结构的4个阴角部位;第三类是结构的边部节点，有5根剪杆和该节点相连;第四类是单元中部节点，每个节点上伸出4根腹杆;第五类是结构的角部节点，有3根剪杆相交于该节点。

　　 根据不同的使用需求，两种结构单元在毂盘节点处拼接、组合，然后分别沿纵、横向扩展，进而形成不同长度、不同跨度的空间拱形结构，图3,4分别给出6榀5拱折叠网架结构的立面图和平面展开图，以下将以该结构为对象，研究折叠网架结构的变形特点及其跨度选取。

　　 从第1节所述折叠网架结构的特点可以看出，该类结构刚度较差，整体较柔，荷载效应非常显著，竖向荷载作用下，结构分别沿着横向、纵向、竖向三个方向变形，毂盘节点在沿着荷载方向发生竖向位移的同时，体系沿着横向和纵向向外扩展，形成结构的水平位移，包括沿山墙方向的纵向位移和垂直于山墙方向的横向位移，变形特点主要表现为毂盘节点位置的移动，通过节点的下移、外扩及其平面内外的转动引起相应剪杆产生内力和变形。

　　 由于体系沿纵向的整体刚度较大，故该方向上的侧移量相对较小，与横向位移相比不在一个数量级，可以忽略不计，变形后的结构与原结构相比其形状变得扁而且宽，这样由于结构顶部的矩形单元和其两侧的梯形单元同时发生了较大的下沉和侧移，致使剪杆弯曲变形严重，个别毂盘节点破裂，整体结构因丧失继续承载的能力而失效。

　　 由此可见，节点位移的研究、控制、优化是此类结构的关键问题，相同荷载下不同位置毂盘节点的各自变形共同构成了折叠网架结构整体的变形，根据试验测量结果^[10]，以下将分别从体系竖向位移、体系横向位移及两者间的关系研究折叠网架结构的整体变形规律。

　　 轴各节点及山墙的4个角部节点支撑在地面上，以此作为约束，竖向荷载作用下，山墙部分由于整体刚度优于主体结构，其上各节点变形均较小，故在此不做讨论;因为剪杆本身压缩变形很小，故轴上毂盘节点的竖向位移很小，相比轴各节点不在一个数量级，可以忽略不计，整个体系的竖向位移集中体现在屋脊部位即轴各节点处，由于结构、荷载、约束的对称性，这两轴上的对应节点变形相同，现以?轴节点为例进行分析。

　　 不同雪荷载作用下?轴外毂盘各节点竖向位移的变化规律如图5所示，图中横坐标的节点编号1,3,5,7,9,11,13分别代表轴与(1),(3)，…，(13)轴相交处的毂盘节点。

　　 从图中可以看出:所有节点的联合变形曲线在不同荷载工况下的形状相似，均为抛物线，随着荷载的增加，竖向位移越来越大，而且增量也逐级增大，140mm厚雪荷载作用时竖向位移(y₁)与节点位置(x₁)的关系为:y₁=2.68x₁²-37.17x₁-42.85。

　　 受益于两侧山墙的约束作用，各毂盘节点的横向变形从主体结构两边向中间逐渐增大，到对称轴(7)轴时，横向位移达到最大值，这一结论同样适用于体系的竖向位移。

　　 对各轴上节点横向位移的研究表明:轴上外毂盘节点受压力较大，基本不发生侧移，除此之外，从(1)轴到(13)轴，各轴上所有节点横向位移的联合变形曲线形状相似，结构按照抛物线的规律向外扩展，在各级雪荷载作用下，(7)轴外毂盘各节点的横向位移曲线，如图6所示。图中横坐标的节点编号1,2,3,4分别代表(7)轴与轴相交处的毂盘节点。140mm厚雪荷载作用下水平位移(y₂)与节点位置(x₂)的关系为:y₂=28.9x₂²-144.4x₂+215.85。

　　 对?轴各节点的竖向位移及其横向位移进行联合分析可知，毂盘节点的下降与其外扩间呈线性关系。随着节点竖向位移的增大，线性关系略有减弱，图7给出了关系最弱的(7)轴与轴相交处外毂盘节点两种位移间的关系:山墙的约束使得毂盘节点的下降和外扩间呈现线性规律，越远离山墙的节点这种规律越弱，但仍然表现出较强的线性关系，这一规律同样适用于(1),(7),(13)轴与轴相交处的各毂盘节点，体现了竖向荷载下对称的空间柔性结构变形具有对称性的特点。

　　 从(1)轴到(13)轴，同轴上的毂盘节点，越靠近结构外侧横向位移越大，即轴上各节点的横向位移大于轴上各节点，竖向位移最大的节点并不是横向位移最大的节点，这是因为竖向荷载向下传递时，除顶部矩形单元承担一部分荷载外，沿横轴的各边杆是主要传力构件，此类边杆对轴上各毂盘节点形成较大的外推力，这也是这两轴上靠近结构中部的毂盘节点率先破裂的原因之一，再加上自身所受到的节点力，导致轴各节点产生的横向位移大于顶部单元两轴上各节点的横向位移。

　　 对轴各节点的竖向位移及?轴上对应各节点的横向位移进行联合分析可知，同一横轴上毂盘节点的最大下降与相应节点间的最大外扩呈显著性线性关系。图8给出(7)，轴相交处的外毂盘节点竖向位移与(7)，轴相交处的外毂盘节点横向位移间的线性关系。

　　 (1)折叠网架结构沿纵向各子网架形式相同，当结构展开时沿横向各个结构单元尺寸也相同，故节点竖向位移的联合变形规律及横向位移的联合变形规律，均以节点数1,2，…作为图5,6的横坐标，而没有介入结构单元的具体尺寸。事实上，无论是以节点数还是以具体的结构单元尺寸作为横坐标，其联合变形规律都不会改变。各毂盘节点竖向位移V和横向位移H与节点位置的关系可表示为:

　　 式中:x为沿山墙方向的纵向跨数;y为垂直于山墙方向的横向跨数;i,j分别为纵向、横向毂盘节点;a,b,c,d,e,f为待定系数。

　　 (2)从图7可以看出，虽然各节点的横向位移随着竖向荷载的增加逐级增大，但增量并没有体现出逐级增大的特点，雪荷载厚度从100mm增加到120mm时，横向位移呈现跳跃式增加，结构中部屋脊部位横向位移突然增大，这一阶段的位移增量占破坏时位移总量的大约40%，如表1所示。到120mm厚雪荷载时，累积位移与破坏时位移总量之比>80%。横向位移大部分发生在120mm厚雪荷载之前，其中尤以100～120mm厚雪荷载期间最为显著，折叠网架结构良好的延性特点在这里集中体现。

　　 (3)从图6和表1还可以看到，当雪荷载厚度分别为80,100,120,140mm时，随着荷载增大，在横向位移总体增加的情况下，跨中位移增量呈现交替增加的现象，即位移增量按照大→小→大→小的顺序增加，与竖向位移增量连续增大的现象不同，这说明竖向荷载作用下，被动产生的横向位移不具有使结构产生持续性累积的线性增量，结构中部屋脊部位横向变形具有部分自修复功能，通过横向位移的交替增加不断吸收并耗散能量的同时保持结构的整体稳定性。

　　 (4)从120～140mm厚雪荷载时，最大竖向位移的增量值还较大，这二级荷载下的位移增量占累积位移总量的30%左右，见表2。而此时相同节点的横向位移其增量值只占竖向位移增量值的大约50%，这说明120mm厚雪荷载之前，结构中部屋脊部位通过不断外扩起主要耗能作用，此后随着荷载的增加，其继续外扩的能力显著降低，同时经剪杆将大部分荷载向下传递，主要通过节点自身的继续下移和下层节点的持续外扩，结构继续承担荷载。

　　 (5)如表2所示，最大竖向位移和最大横向位移随荷载增加同步增大，其变形规律相同，相邻两级荷载下两种位移的增量值相近，最大差值不超过5.6%;达到或超过120mm厚雪荷载时，两种位移的增量值基本相同，差值在2.0%左右，进一步验证了最大竖向位移和最大横向位移间成线性关系，其变化规律可表示为:

　　 式中:g,h,k,m为待定系数，其余符号意义同式(1)。

　　 结构控制部位的毂盘节点，在受到荷载作用产生相应位移过程中，任一时点变形趋势相当，毂盘节点设计合理，折叠网架结构具有良好的协同工作性能。

　　 第一类毂盘节点处均有8根剪杆沿周边均匀布置，当此类节点位于对称轴上时，毂盘节点对称轴和结构体系对称轴重合，由于荷载、结构体系、约束的对称性，竖向荷载作用下，两侧对应剪杆受力状态相同，如图9所示。无论是同时受拉还是同时受压，由于剪杆插槽位置的偏心设置，此时相对于毂盘节点中心产生的平面内转动弯矩为:

　　 式中:F₁,F₅为剪杆1、剪杆5受到的轴向力，且F₁=F₅;S为剪杆插槽偏心距(图9);θ为剪杆倾斜的角度(图2)，一般为10°～15°;网架厚度和单元长度如第1节所述。

　　 至于剪杆1和剪杆5的垂直分力，在顶部矩形单元时，由于剪杆可以在插槽平面内自由转动，此两分力不起作用;当毂盘节点倾斜时，此两分力则对毂盘节点形成相同的运动趋势，这也是位于结构中部两侧梯形单元上的毂盘节点较顶部矩形单元对应毂盘节点较早破裂的原因之一。

　　 当两侧对应剪杆受力状态不同时，相对于毂盘节点中心产生的平面内转动弯矩不会形成叠加之势，显然，后者对节点的受力更有利，此种情况出现在毂盘节点不为对称轴上的节点时。试验结果也验证了最先发生破裂的毂盘节点在轴与(7)轴相交的第一类节点处。

　　 从毂盘节点的受力分析可知，最优毂盘节点不在对称轴上，研究节点分布特征对整体变形尺度的影响，可以通过分析跨数奇偶性得以实现，这主要体现在:

　　 (1)从山墙的作用来看:山墙自身刚度较强，对主体结构的约束作用显著，当纵横向跨度较大时，其作用更加明显，沿横向若采用奇数跨，山墙的作用平衡而对称，否则会由于山墙偏心设置的影响而使得节点和剪杆发生非对称性变形，整体结构产生附加力，进而影响其使用及寿命。

　　 (2)从体系的变形规律来看:按照抛物线的变形规律，其顶点的纵坐标值正是体系竖向位移的最大值，当结构沿纵向为偶数跨的时候，最大竖向位移出现在第一类毂盘节点，由于变形的连续性，越大的节点位移意味着剪杆受到的变形越大，从而内力越大;当结构沿纵向为奇数跨的时候，对称轴两侧的两个毂盘节点同时发生最大竖向位移，与前者相比，既减小了毂盘节点的位移值，又使得结构体系的整体竖向变形趋于平缓。

　　 (3)从强节点弱构件的理念来看:若纵横向同为偶数跨，如图10(a)所示，此时结构的对称中心与体系最大竖向位移所在的节点重合，该点位于第一类毂盘节点且是体系受约束最小的节点;一个节点达到最大竖向位移，两个节点达到最大横向位移，极值位移集中在对称轴上，这是最不利的情况。

　　 当横向为奇数跨、纵向为偶数跨的时候，如图10(b)所示，此时体系对称中心位于顶部单元边杆的中央，各有两个毂盘节点分别达到最大竖向位移和最大横向位移，且这4个毂盘节点都位于对称轴上，变形也相对集中，体系设置不够合理。

　　 若横向为偶数跨、纵向为奇数跨，如图10(c)所示，此时体系的对称中心位于屋脊部位边杆的跨中，其两侧的两个毂盘节点同时达到最大竖向位移，并有4个毂盘节点达到最大横向位移，变形朝着均衡的方向发展，这种组合相对较好。

　　 当纵横向均为奇数跨时，如图10(d)所示，体系对称中心位于第四类毂盘节点，与纵横向同为偶数跨的情况比较，其优越性在于体系自身约束最弱的节点也不是其位移最大的节点，从而更有利于整体结构变形的一致性与协调性;相比横向为奇数跨、纵向为偶数跨情况和横向为偶数跨、纵向为奇数跨情况，将节点置于对称中心比把构件置于对称中心更有利于结构自身的整体稳定性。最大竖向位移和最大横向位移分别位于四个第一类毂盘节点，即:

　　 式中:N_V,N_H分别为达到最大竖向位移、最大横向位移的毂盘节点数量;其余符号意义同式(1)。

　　 达到极值位移的节点数量最多，且都在双向对称轴两侧对称分布，体系的变形能力和剪杆的承载能力得到充分发挥，无论是从受力的角度还是从经济的角度，这是最理想的跨度组合。

　　 综上，最优折叠网架结构沿纵横向均应采用奇数跨。

　　 折叠网架结构以毂盘节点的移动和转动带动相应剪杆产生内力和变形进而构成结构沿三个方向的整体变形。

　　 (1)通过单元的拼接与组合形成不同体量的结构，以内外两层毂盘节点之间的距离构成结构的厚度，以相交于枢轴节点处的剪杆单元为受力构件，折叠网架结构以此区别于传统网架结构。

　　 (2)竖向荷载作用下，结构沿山墙方向的纵向变形很小，相比其他两个方向的变形可以忽略不计;相同纵轴上的毂盘节点沿荷载方向以及相同横轴上的毂盘节点沿横轴方向的联合变形曲线均为抛物线;毂盘节点自身的下移和外扩以及同一横轴上不同毂盘节点的极值下移和极值外扩间均成线性关系。

　　 (3)折叠网架结构的最优跨度组合为沿纵横向均采用奇数跨，这样可以充分发挥毂盘节点、剪杆和整体结构的承载能力与变形能力，使用效益达到最大化。