弦支穹顶在继承空间杆系结构以较少质量跨越较大空间特点的基础上, 弥补了穹顶结构承载力有限、易发生局部失稳的缺陷。通过下弦拉索使上弦杆件内力重分布, 增加了结构刚度、改善了结构破坏模态。因而, 对弦支穹顶结构杆件重要性的研究成为认识该结构破坏规律的重要方法之一。

　　 在理论研究方面, 陈志华等^[1,2,3]运用有限元方法分析了弦支穹顶的特征值屈曲、初始缺陷和半跨荷载下的结构稳定性, 并与单层网壳结构进行了动力性能对比分析, 提出了结构体系的三种分类方法。罗永峰等^[4]对弦支穹顶索撑节点的滑移性能进行了足尺模型试验, 分析了该类节点的失效和破坏模式。单艳玲等^[5]利用二级搜索的大爆炸算法优化了弦支网壳结构的鲁棒性设计, 通过模型试验验证了结构承载能力的提升。张国发等^[6]利用数值方法分析了结构缺陷对弦支穹顶结构稳定性的影响, 发现网壳节点竖向坐标偏差对结构稳定性能影响最大。姜正荣等^[7]分析了初始几何缺陷分布模式及材料弹塑性对弦支穹顶稳定性的影响, 认为一致缺陷模态法并不完全适用于结构的稳定分析。郑阳等^[8]将能量法和纽曼级数应用于结构抗连续倒塌分析中以确定大型结构的关键构件。在工程应用方面, 弦支穹顶结构的性能和设计方法也一直是研究人员讨论的热点^[9,10,11], 也产生了新型杂交弦支结构^[10]。

　　 在已有研究基础上, 提出了损耗因子法, 将弦支穹顶结构根据杆件类型分成子系统, 基于时域和空间域研究弦支穹顶结构在外荷载作用下结构体系内部能量分布和传递规律, 通过理论计算获得构件及构件群的能量变化规律, 从而分析杆件重要性。结合室内模型试验, 研究了具有荷载缓和功能弦支穹顶结构在阶跃荷载作用下杆件重要性的损耗因子评价法, 以验证理论研究的可靠性。

　　 损耗因子法是通过结构IC矩阵 (Internal matrix and Coupling matrix) 来反映结构能量分布特征、计算结构内部损耗因子和耦合损耗因子、研究结构杆件重要性变化的一种新方法, 能通过杆件或子系统能量损耗能力变化, 识别结构杆件重要性。主要包括:内部损耗因子、耦合损耗因子和IC矩阵三部分。内部损耗因子是子系统能量损耗能力和相对稳定程度的综合特征值, 耦合损耗因子是结构耦合子系统间能量传递能力参数。

　　 子系统在整个加载破坏过程中, 主要包括自身能量损耗和能量传递两种形式, 所以内部损耗因子和耦合损耗因子可用于说明结构子系统间能量分布特征, 从而表征结构失效模式。

　　 内部损耗因子的定义是:在子系统i上施加荷载时, 子系统i的耗能能力。其计算方法见式 (1) :

　　 $\eta {}_i={\displaystyle \sum _{k=1}^{{\rm K}}\nu }{}_{\text{s}ik}V{}_{ik}/{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}m}{}_{in}gh{}_{in}(1)$

　　 式中:η_i为子系统i内部损耗因子;ν_sik为子系统i中杆件k的应变能密度;V_ik为子系统i中杆件k有效长度范围内的体积;m_in为对子系统i中节点n所施加外部荷载重量;g为重力加速度;h_in为子系统i中节点n的竖向位移值。

　　 式 (1) 中分子为子系统i在外部荷载作用下所吸收的应变能, 分母为外部荷载对子系统i中节点n所做的功。可见, 内部损耗因子不仅取决于子系统本身所吸收的能量, 还与结构整体稳定性有关, 即:外部荷载作用下节点n竖向位移越大, 子系统i稳定性越差, 子系统i的内部损耗因子就越小, 反之亦然。

　　 耦合损耗因子建立在两个耦合子系统i和j基础上, 表征外部荷载在子系统j上做功时子系统i的耗能能力, 其计算方法见式 (2) :

　　 $\eta {}_{ij}={\displaystyle \sum _{k=1}^{{\rm K}}\nu }{}_{\text{s}ik}V{}_{ik}/{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\rm N}}m}{}_{jn}gh{}_{jn}(2)$

　　 式中:η_ij为对子系统i相对于子系统j的耦合损耗因子;m_jn为对子系统j中节点n所施加外部荷载重量;h_jn为子系统j中节点n竖向位移值。

　　 式 (2) 中分子依然是子系统i在外部荷载作用下所吸收的应变能, 而分母是外部荷载在子系统j上所做的功, 所以耦合损耗因子主要体现了子系统间能量传递能力。

　　 结构IC矩阵是通过对子系统的内部损耗因子和耦合损耗因子的组合, 将整个结构能量分布用损耗因子的形式表达出来, 相对于传统意义中的能量法, 该方法具有广泛性及适应性的特点, 见式 (3) :

　　 $\mathit{{\rm I}}\mathit{C}=\left[\begin{array}{cccc}\eta {}_1-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne 1\end{array}}^{{\rm N}}\eta }{}_{i1}& \eta {}_{12}& \cdots & \eta {}_{1{\rm N}}\\ \eta {}_{21}& \eta {}_2-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne 2\end{array}}^{{\rm N}}\eta }{}_{i2}& \cdots & \eta {}_{2{\rm N}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \eta {}_{{\rm N}1}& \cdots & \cdots & \eta {}_{{\rm N}}-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne {\rm N}\end{array}}^{{\rm N}}\eta }{}_{i{\rm N}}\end{array}\right](3)$

　　 当外界向结构输入能量时, 结构为达到平衡状态会通过内部分布将能量分配给各子系统。因此, 可由式 (3) 的IC矩阵来表示上述平衡过程, 见式 (4) :

　　 $\left[\begin{array}{cccc}\eta {}_1-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne 1\end{array}}^{{\rm N}}\eta }{}_{i1}& \eta {}_{12}& \cdots & \eta {}_{1{\rm N}}\\ \eta {}_{21}& \eta {}_2-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne 2\end{array}}^{{\rm N}}\eta }{}_{i2}& \cdots & \eta {}_{2{\rm N}}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \eta {}_{{\rm N}1}& \cdots & \cdots & \eta {}_{{\rm N}}-{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}i=1\\ i\ne {\rm N}\end{array}}^{{\rm N}}\eta }{}_{i{\rm N}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}W{}_1\\ W{}_2\\ \cdots \\ W{}_{{\rm N}}\end{array}\right]=$$\left[\begin{array}{c}V{}_{\text{S}1}\\ V{}_{\text{S}2}\\ \cdots \\ V{}_{\text{S}{\rm N}}\end{array}\right](4)$

　　 式 (4) 表明, 结构子系统的损耗因子η_i及子系统上外部荷载做功W_i决定了结构能量分布, V_Si为各子系统分配得到的能量。当假设结构的能量分布形式仅与子系统的内部损耗因子η_i及W_i有关时, 式 (4) 即退化为式 (5) :

　　 $\left[\begin{array}{cccc}\eta {}_1& & & \\ & \eta {}_2& & \\ & & \cdots & \\ & & & \eta {}_{{\rm N}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}W{}_1\\ W{}_2\\ \cdots \\ W{}_{{\rm N}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}V{}_{\text{S}1}\\ V{}_{\text{S}2}\\ \cdots \\ V{}_{\text{S}{\rm N}}\end{array}\right](5)$

　　 室内模型试验在中国民航大学土木工程实验室进行, 结合试验场地及加载方法要求, 选定弦支穹顶结构跨度为3.5m。其中, 上部穹顶由三种规格相同但长度不同的等边角钢 (26×2) 通过钢板节点铰接连接而成, 撑杆为边长30mm的方钢管, 撑杆底部设置沿索道方向滑轮。拉索为直径6mm的钢拉索束, 拉索一侧用绳卡固定在结构柱顶部, 另一侧通过支座上定滑轮悬挂配重^[13], 以保证拉索内力恒定。螺栓选取直径10mm的普通螺栓。杆件选用规格为25×3的单角钢, 弹性模量为206GPa。中心压杆 (杆件1～6) 、环向拉杆 (杆件7～12) 和支座压杆 (杆件13～18) 的下料尺寸分别为867.47, 866.03, 916.52mm。所有角钢预留螺栓孔位置均取在距端部30mm处, 孔直径为12mm。竖向型钢柱给弦支穹顶结构提供了可靠的竖向支撑和侧向刚度, 无需额外施加外环杆件, 结构示意图见图1。

　　 结构采取对称加载方式, 在节点a～f处同时加载, 从试验开始到结构破坏, 每个节点每次施加2.55kg砝码, 共六级荷载。

　　 依据结构几何相似性和受力对称性, 采用两种由简单到复杂的子系统划分方案, 如下:

　　 (1) 方案A:将上弦桁架划分为三个子系统, 而将下弦索单独看做一个子系统。即图1 (a) 中杆件1～6为子系统Ⅰ, 杆件7～12为子系统Ⅱ, 杆件13～18为子系统Ⅲ, 拉索19为子系统Ⅳ。

　　 (2) 方案B:图1 (a) 中杆件1, 4为子系统Ⅰ, 杆件2, 3, 5, 6为子系统Ⅱ, 杆件7, 9, 10, 12为子系统Ⅲ, 杆件8, 11为子系统Ⅳ, 杆件13, 16为子系统Ⅴ, 杆件14, 15, 17, 18为子系统Ⅵ, 拉索19为子系统Ⅶ。

　　 在荷载缓和结构中, 因拉索内力恒定, 竖向撑杆的内力变化幅度相对上部杆件较缓和, 因此未纳入子系统分析。

　　 图2为弦支穹顶结构模型, 为体现荷载缓和装置对结构极限承载力的影响, 采取对称加载方式, 在节点a至节点f处同时加载。每次加载完成后, 通过动态应力-应变测试仪器和水准仪分别记录杆件内部应力变化曲线和节点竖向位移值, 同时记录每次加载后下弦拉索配重的上升高度, 直至结构倒塌。

　　 由方案A和方案B各子系统应变能随荷载步变化规律 (图3) 可知, 各子系统应变能在第三次加载时均出现突变, 表明此时结构承载能力改变, 曲线斜率加大表明子系统重要性更高。对于弦支穹顶结构, 下弦拉索的应变能最大且对应曲线斜率最显著, 表明其对结构承载能力起着关键作用。

　　 在一次加载过程中, 应变能对子系统内部损耗因子大小起决定性作用。但随着荷载步增加, 考虑外部荷载做功影响后, 应变能对内部损耗因子的影响就不是唯一因素, 因而需要通过损耗因子法做进一步分析。

　　 应变能曲线体现了弦支穹顶各子系统承载能力的变化, 但只能反映结构破坏的大趋势, 区分各子系统间承载性能相对差异的能力较弱。为进一步精细描述结构破坏模态, 利用损耗因子法计算各子系统内部损耗因子, 其变化曲线见图4。

　　 由图4 (a) 可知, 在第三次加载后, 子系统Ⅰ和子系统Ⅱ内部损耗因子下降, 但子系统Ⅲ内部损耗因子继续增加且斜率加大。表明上部穹顶杆件群在受力初始阶段能量损耗能力持续上升, 但随着结构的变形, 上部穹顶杆件群在整体结构破坏前达到能量损耗能力的极限, 结构随之破坏。

　　 由图4 (b) 可知, 子系统Ⅱ和子系统Ⅳ的内部损耗因子在第三次加载之后也下降。子系统Ⅲ、子系统Ⅴ和子系统Ⅵ的内部损耗因子则是随着阶跃荷载增大而增加, 且子系统Ⅵ是响应最明显的关键子系统。而子系统Ⅰ的内部损耗因子在整个加载过程中变化不明显, 说明子系统Ⅰ能量响应较弱, 属于非关键子系统。

　　 由上述分析可见, 结构在破坏过程中, 应变能逐渐从中间杆件群向外侧杆件群扩散。与拉索平行的杆件群越是靠近中间撑杆, 其能量损耗能力越弱, 体现了加载过程中结构子系统应变能随结构破坏趋势变化而变化的系统特性。应变能变化规律同内部损耗因子变化规律不同, 内部损耗因子综合考虑了外部荷载做功和结构承载能力, 对结构失效模式分析更精细。在结构破坏前, 内力重分布异常剧烈, 通过细化子系统、比较内部损耗因子, 能更准确获得结构的失效模式。

　　 结构子系统内部损耗因子是IC矩阵的主要部分, 耦合损耗因子对结构失效模式的影响也值得研究。由于耦合损耗因子取值跟子系统结构形式相关, 往往通过经验赋值, 因而本文分析基于如下假设:

　　 (1) 根据结构几何 (荷载) 对称性和子系统划分特点, 假定η_ij=η_ji。

　　 (2) 利用正交法逐次改变不同节点的耦合损耗因子。先假定各子系统间耦合损耗因子相等, 观察耦合损耗因子对内部损耗因子的影响结果变化, 然后进行调整。

　　 (3) 由于拉索采用了固定配重的荷载缓和支座, 其在吸收其他杆件子系统传递的能量后将该能量转换为配重的势能, 无法再传递, 故假设其不参与应变能相互传递。

　　 因此, 式 (4) 变为式 (6) :

　　 $\left[\begin{array}{cccc}\eta {}_1& \eta {}_{12}& \eta {}_{13}& \eta {}_{16}\\ -\eta {}_{12}& 2\eta {}_2& -\eta {}_{42}& -\eta {}_{52}\\ -\eta {}_{13}& -\eta {}_{43}& 2\eta {}_3& -\eta {}_{53}\\ \eta {}_4& \eta {}_{42}& \eta {}_{43}& \eta {}_{46}\\ \eta {}_5& \eta {}_{52}& \eta {}_{53}& \eta {}_{56}\\ 2\eta {}_6& -\eta {}_{16}& -\eta {}_{46}& -\eta {}_{56}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}q\\ q\\ q\\ q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}V{}_{\text{S}1}\\ V{}_{\text{S}2}\\ V{}_{\text{S}3}\\ V{}_{\text{S}4}\\ V{}_{\text{S}5}\\ V{}_{\text{S}6}\end{array}\right](6)$

　　 只需获得式 (6) 中的9个耦合参数即可计算得到各子系统内部损耗因子修正值, 从而得到耦合损耗因子对结构失效模式的影响及规律。考虑耦合损耗因子的内部损耗因子变化曲线见图5。

　　 可知, 当耦合损耗因子从0.025%增大到1%时, 子系统Ⅰ, Ⅳ和Ⅴ的内部损耗因子减小, 子系统Ⅱ, Ⅲ和Ⅵ的内部损耗因子上升, 弦支穹顶上部结构能量分布规则基本不变。值得注意的是, 当耦合损耗因子大于或等于0.1%时, 子系统Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ, Ⅴ和Ⅵ的内部损耗因子出现显著变化, 而子系统Ⅰ的内部损耗因子受耦合损耗因子影响较小。说明了下弦拉索和竖向撑杆的存在, 降低了耦合损耗因子对子系统Ⅰ的影响。从子系统Ⅰ所处位置可见, 下弦索具有改善上部杆件工作性能的作用。同时表明耦合损耗因子可通过改变其他子系统的内部损耗因子影响结构破坏模态。在本次模型试验中, 耦合损耗因子大于0.1%时, 对子系统内部损耗因子影响程度加剧。因此, 耦合损耗因子的合理取值是应用损耗因子法的重要影响因素之一。

　　 从图5所示内部损耗因子变化规律可知:

　　 (1) 在耦合损耗因子为0.025%时, 关键子系统Ⅵ的内部损耗因子随荷载步的增加持续增加, 且破坏前达到了0.05左右, 远大于其他子系统的内部损耗因子值, 说明了子系统Ⅵ在整个加载过程中能量损耗能力持续提高且高于其他子系统, 属于最重要的结构构件。

　　 (2) 子系统Ⅰ的内部损耗因子一直最小, 虽然几何位置制约了能量损耗能力, 但是其传递竖向撑杆支撑力的贡献较大, 影响其他子系统能量传递的能力较大, 因此杆件1, 4为结构主要传力构件。

　　 (3) 子系统Ⅱ和Ⅳ的内部损耗因子随荷载步增加呈现先增加后减小的趋势, 说明二者在结构承受正常使用荷载时, 能量损耗能力随荷载增加持续增强, 但在接近极限荷载时能量损耗能力减弱, 抵抗结构破坏的能力下降。

　　 (4) 子系统Ⅲ和Ⅴ的内部损耗因子先减小后增加, 说明子系统Ⅲ和Ⅴ在接近极限荷载时, 能量损耗能力得到强化, 属于重要结构抗倒塌构件, 设计时应增强其安全储备。

　　 弦支穹顶室内模型破坏试验完成后结构的破坏情况见图6。为进行对比, 提供了星型穹顶结构单点阶跃加载破坏试验的破坏结果照片^[14], 见图7。

　　 比较二者失效模式可知, 星型穹顶结构表现为跳跃失稳, 具有明显的局部失稳特征。施加下弦拉索后, 明显改善了中央压杆群的承载能力, 提高了结构总承载能力。表明弦支穹顶在提高结构承载能力的同时, 增加了结构整体失稳发生的倾向, 与前述内部损耗因子分析法所得结论一致。

　　 利用能量法, 把杆件重要性的概念扩展到杆件群。以子系统的形式分析杆件群的稳定性及相对重要性。不但考虑了杆件内力, 还综合考虑了结构变形, 较传统稳定全过程分析具有动态性强、分析精度高的特点。

　　 (1) 在利用能量法从结构整体角度分析弦支穹顶结构失效规律的基础上, 提出了损耗因子法, 综合考虑了结构子系统承载特性, 将结构划分为若干子系统, 可精细化评估各子系统的能量损耗能力及其对结构杆件重要性的影响。

　　 (2) 内部损耗因子是衡量子系统能量损耗能力和相对稳定程度的综合特征值。在结构杆件重要性分析中, 可通过对比内部损耗因子, 在判定子系统能量损耗能力大小基础上, 获得子系统破坏顺序、模拟结构破坏场景。结构破坏前, 关键构件的内部损耗因子增加幅度较其他构件显著。

　　 (3) 耦合损耗因子是描述结构耦合子系统间能量传递能力的参数。本文所研究结构的耦合损耗因子门槛值为0.1%, 即当其小于门槛值时, 不影响结构能量分布规则;超过门槛值时, 结构某些子系统内部损耗因子将发生突变, 进而影响结构杆件重要性。

　　 (4) 运用损耗因子法分析结构杆件重要性时, 子系统杆件群并不具有相同能量响应和能量损耗能力, 造成了结构失效模式的随机性和多样性。因此, 子系统划分越细, 结构杆件重要性失效模式分析越准确, 但计算工作量也会相应增加。