钢筋混凝土结构的截面设计，不仅要满足强度要求，还要满足一定的延性要求，尤其是抗震结构，要使其具有良好的抗震性能，必须保证截面具有一定的延性。文献[1,2,3,4]给出了T形和工字形截面、矩形截面、环形截面和圆形截面构件的截面延性系数的计算方法，本文根据任意形状截面的应力和应变关系，推导出这种形状截面延性系数μ的计算公式。

　　 截面应变保持平截面假定，钢筋的应力-应变关系采用理想弹塑性模型，屈服应力、应变分别为f_y，ε_sy;受压区混凝土的应力-应变关系简化为线性上升段加水平段，峰值应力为f_c，峰值应变为ε₀，极限应变为ε_cu (ε_cu=0.003 3) ，不考虑混凝土抗拉强度。

　　 任意形状截面延性系数定义为^[5]:

　　 式中:θ_y为截面受拉钢筋达到屈服时的转角;θ_u为极限阶段即混凝土边缘受压纤维的应变ε_cu达到0.003 3时的转角。

　　 屈服阶段和极限阶段的应变图形如图1所示。

　　 由图1可得任意形状截面延性系数μ为:

　　 由式 (2) 可见，确定延性系数μ的关键在于求k_y和k_u。

　　 对具有一个对称轴的任意形状截面，式 (2) 中k_y和k_u分别为屈服阶段和极限阶段对称轴方向的截面受压区高度系数。

　　 下面对具有一个对称轴的任意形状截面，且外力作用平面与对称轴平行时，在弯矩M和轴向力N联合作用下的普遍情况，推导计算k_y和k_u的方法，把受弯作为偏心受压当压力N=0时的特定情况。

　　 根据构件受力情况和截面纵向钢筋的配筋率大小，截面应力图形可能出现以下几种情况。

　　 第一种情况，混凝土受压区应力沿截面高度分布为三角形，受压钢筋应力沿截面高度分布呈三角形，如图2所示。

　　 根据截面应变保持平截面的假定，有ε_c=ε_syk_y/ (1-k_y) ，等式两边乘E_c，有σ_c=k_yf_y/n[ (1-k_y) ]，其中n=E_s/E_c。

　　 由基本假定，设混凝土受压区应力沿截面高度呈线性分布，σ_c=k_y+b，当y=h₀时σ_c=f_c，当y= (1-k_y) h₀时σ_c=0，由此可得混凝土的应力函数为:

　　 类似推得钢筋的应力函数为:

　　 第i排钢筋 (其纵坐标为y_si) 应力为:

　　 第二种情况，混凝土受压区应力沿截面高度分布为三角形，受压钢筋应力沿截面高度分布为梯形，如图3所示。受压钢筋梯形应力图形由高度为b₁和b₂的两部分组成，b₂= (1-k_y) h₀。

　　 受压钢筋屈服处的纵坐标值y为:

　　 混凝土的应力函数为:

　　 第i排钢筋 (其纵坐标值为y_si) 应力函数为:

　　 第三种情况，受压区混凝土应力沿截面高度分布为梯形，受压钢筋应力沿截面高度分布呈三角形，如图4所示。受压混凝土梯形应力图形由高度为a₁和a₂的两部分组成，由截面应变图形可得:

　　 混凝土的应力函数为:

　　 第i排钢筋 (其纵坐标值为y_si) 应力函数为:

　　 第四种情况，受压区混凝土应力沿截面高度分布为梯形，受压钢筋应力沿截面高度分布呈梯形，如图5所示。

　　 混凝土的应力函数为:

　　 第i排钢筋 (其纵坐标值为y_si) 应力函数为:

　　 (2) 极限阶段

　　 受压区混凝土应力沿截面高度分布为矩形，受拉和受压钢筋的应力沿截面高度分布为梯形，如图6所示。钢筋梯形应力图形由三角形部分和矩形部分组成，三角形部分沿截面高度b₂=Mk_uh₀, M=B/n。

　　 混凝土的应力函数为:

　　 第i排钢筋 (其纵坐标值为y_si) 应力函数为:

　　 各种情况的应力图形内力平衡的一般形式为:

　　 式中:D_c为受压区混凝土的合力;D_s为钢筋的合力;N为外轴向力。

　　 可见，只要求出D_c和D_s，即可得到截面应力图形各种情况时的平衡方程。

　　 (1) 屈服阶段截面应力图形第一种情况时

　　 设混凝土受压区面积为A_c，其形心到中和轴的距离为y₀，混凝土受压区面积形心y₀处的混凝土应力为:

　　 则:

　　 式中S_c为混凝土受压区面积对中和轴的面积矩，S_c=A_cy₀。

　　 式中:A_si为第i排钢筋的截面面积;A_s为所有钢筋截面面积之和， ;S_s为所有钢筋对通过最大受拉钢筋重心且垂直于截面对称轴的直线的总面积距， 。

　　 将D_c和D_s代入平衡方程式 (3) 有:

　　 经整理得:

　　 设:

　　 则:

　　 解得:

　　 (2) 屈服阶段截面应力图形第二种情况时

　　 当2 (1-k_y) h₀≤y_si≤h₀时，有:

　　 当0≤y_si<2 (1-k_y) h₀时，有:

　　 式中S_s^y=∑y_si A^y_si为在0≤y_si<2 (1-k_y) h₀范围内的钢筋对通过最大受拉钢筋重心且垂直于截面对称轴的直线的面积矩总和。

　　 将D_c和D_s代入平衡方程式 (3) 有:

　　 经整理有:

　　 设:

　　 则:

　　 解得:

　　 (3) 屈服阶段截面应力图形第三种情况时

　　 当 (1-A) (1-k_y) h₀≤y≤h₀时，有:

　　 当 (1-k_y) h₀≤y< (1+A) (1-k_y) h₀时，有:

　　 式中:σ_cy0为混凝土受压区截面混凝土应力图形为三角形部分的混凝土截面面积A^y_c的形心处 (距中和轴距离为y₀处) 的混凝土应力， 为在 (1-k_y) h₀≤y< (1+A) (1-k_y) h₀范围内的混凝土截面面积A^y_c对中和轴的面积距;A^u_c为在 (1+A) (1-k_y) h₀≤y≤h₀范围内的混凝土截面面积。

　　 将D_c和D_s代入平衡方程式 (3) 有:

　　 解得:

　　 (4) 屈服阶段截面应力图形第四种情况时

　　 将D_c和D_s代入平衡方程式 (3) 有:

　　 解得:

　　 (5) 极限阶段

　　 式中:A_c^u为在 (1-0.8k_u) h₀≤y≤h₀范围内的混凝土截面面积;A_s^u为在0≤y_si≤h₀- (1+M) k_uh₀和h₀- (1-M) k_uh₀≤y_si≤h₀范围内的钢筋截面面积之和;A_s^y为在h₀- (1+M) k_uh₀<y_si<h₀- (1-M) k_uh₀范围内的钢筋截面面积之和;S_s^y为在h₀- (1+M) k_uh₀<y_si<h₀- (1-M) k_uh₀范围内的钢筋对通过最大受拉钢筋重心且垂直与对称轴的直线的面积距，S_s^y=∑y_si A_si。

　　 将D_c和D_s代入平衡方程式 (3) 有:

　　 解得:

　　 (1) 受压区混凝土应力图形形状的判别

　　 受压区混凝土应力图形为三角形时，ε≤ε₀即 ， ，代入式 (8) 有:

　　 式 (12) 是受压区混凝土应力图形形状的判别式，当满足式 (12) 时受压区混凝土应力图形形状为三角形，否则受压区混凝土应力图形形状为梯形。

　　 (2) 受压钢筋应力图形形状的判别

　　 受压钢筋应力图形形状的判别，分为以下两种情况:

　　 1) 受压区混凝土应力图形为三角形时受压钢筋应力图形形状的判别

　　 受压区混凝土应力图形为三角形，受压钢筋应力图形为三角形时，ε_s≤ε_s^y即，得 ，其中 为钢筋保护层厚度，将其代入式 (6) 得:

　　 式 (13) 是受压区混凝土应力图形为三角形时受压钢筋应力图形形状的判别式，当满足式 (13) 时，受压钢筋应力图形为三角形，按式 (6) 计算k_y，否则受压钢筋应力图形为梯形，按式 (8) 计算k_y。

　　 2) 受压区混凝土应力图形为梯形时，受压钢筋应力图形形状的判别。

　　 受压区混凝土应力图形为梯形，受压钢筋应力图形状为三角形时 ，将其代入式 (9) 得:

　　 式 (14) 是受压区混凝土应力图形为梯形时受压钢筋应力图形形状的判别式，当满足式 (14) 时，受压钢筋应力图形为三角形，按式 (9) 计算k_y，否则受压钢筋应力图形为梯形，按式 (10) 计算k_y。

　　 求屈服阶段受压高度系数k_y时，先按式 (12) 判别受压区混凝土应力图形形状，如受压区混凝土应力图形为三角形时，按式 (13) 判别受压钢筋应力图形形状，如受压区混凝土应力图形为梯形时，按式 (14) 判别受压钢筋应力图形形状，从而选择相应的公式计算k_y。

　　 因为在计算k_y和k_u的公式中含有A_c^u, A_s^u, A_s^y, S_c, S_c^y, S_s^y, S_s，它们都取决于截面中和轴的位置，即取决于截面受压区高度系数，所以采用逐次逼近法计算k_y和k_u值。首先假定截面受压区高度系数k_y和k_u，为逼近得快些，一般假定受压区高度系数k_y=0.45, k_u=0.30，计算相应应力图形的A_c^u, A_s^u, A_s^y, S_c, S_c^y, S_s^y, S_s，将其代入式 (6) , (8) , (9) , (10) , (11) ，求得k_y和k_u第一次近似值，记为k_y¹和k_u¹，按此k_y¹和k_u¹值计算相应应力图形的A_c^u, A_s^u, A_s^y, S_c, S_c^y, S_s^y, S_s，将其代入式 (6) , (8) , (9) , (10) , (11) ，求得k_y和k_u的第2次近似值，记为k_y²和k_u²，以此类推。当前后两次的k_y值 (或k_u值) 相近时，即为所求的k_y和k_u值。求得k_y和k_u值后，再按式 (2) 计算截面延性系数μ。

　　 对任意形状截面，如图7所示，式 (2) 中k_y, k_u对偏心受压构件分别是屈服阶段和极限阶段外力作用点、受压区的混凝土和钢筋合力作用点与受拉钢筋合力作用点连线方向的截面受压区高度系数;对受弯构件分别是屈服阶段和极限阶段受压区的混凝土和钢筋合力作用点与受拉钢筋合力作用点连线方向的截面受压区高度系数。

　　 由于构件在外力作用下截面上的内力与外力平衡，所以对偏心受压构件是外力作用点A、受压区的混凝土和钢筋合力作用点B与受拉钢筋合力作用点C位于一条直线上，且限定受压区边界的中和轴垂直于这三点的连线;对受弯构件是受压区的混凝土和钢筋合力作用点B与受拉钢筋合力作用点C的连线与外弯矩作用平面平行，且限定混凝土受压区边界的中和轴与这两点的连线垂直。

　　 为建立任意形状截面上的应力图形，过截面上最大受拉钢筋重心引互相垂直的X₁轴和Y₁轴，在这一坐标系中，外力N作用点A的坐标为 (X₁^A, Y₁^A) ，受压区的混凝土和钢筋的合力作用点B坐标为 (X₁^B, Y₁^B) ，受拉钢筋合力作用点C坐标为 (X₁^C, Y₁^C) 。

　　 对偏心受压构件，A, B, C三点共线的条件是:

　　 式中θ_Y1为ABC三点连线与Y₁轴的夹角。

　　 设限定截面受压区边界的中和轴与X₁轴的夹角为θ，则截面中和轴与A, B, C三点连线垂直的条件为:θ_Y1=θ。

　　 即:

　　 对受弯构件，中和轴垂直B, C点连线的条件是:

　　 为推导任意形状截面上混凝土和钢筋的应力，过最大受拉钢筋的重心引互相垂直的两个坐标轴X轴和Y轴，这个坐标轴与上述的坐标轴的夹角为θ，即这个坐标系的Y轴与任意形状截面的中和轴垂直，X轴与中和轴平行，即中和轴与X₁轴的夹角为θ。这两个坐标系的关系为:

　　 所建立的XY坐标系的Y轴，对偏心受压构件来说是外力作用点、受压区的混凝土和钢筋合力作用点与受拉钢筋合力作用点的连线方向;对受弯构件来说是受压区的混凝土和钢筋合力作用点与受拉纲筋合力作用点的连线方向。以下为在XY坐标系中建立截面上的应力图形关系式。

　　 (1) 屈服阶段

　　 根据构件受力情况和截面纵向钢筋的配筋率大小，截面应力图形可能出现以下几种情况。

　　 第一种情况，混凝土受压区应力沿截面高度分布为三角形，受压钢筋应力沿截面高度分布呈三角形，如图8所示。

　　 第二种情况，混凝土受压区应力沿截面高度分布为三角形，受压钢筋应力沿截面高度分布为梯形，如图9所示。

　　 第三种情况，受压区混凝土应力沿截面高度分布为梯形，受压钢筋应力沿截面高度分布呈三角形，如图10所示。

　　 第四种情况，受压区混凝土应力沿截面高度分布为梯形，受压钢筋应力沿截面高度分布呈梯形，如图11所示。

　　 (2) 极限阶段

　　 受压区混凝土应力沿截面高度分布为矩形，受拉和受压钢筋的应力沿截面高度分布为梯形，如图12所示。

　　 任意形状截面上屈服阶段和极限阶段的混凝土和钢筋的应力表达式与具有一个对称轴的任意形状截面相同。

　　 由于任意形状截面上混凝土和钢筋的应力在XY坐标系中的表达式与具有一个对称轴的任意形状截面相同。因此在XY坐标系中求解k_y和k_u的数学公式，也都与具有一个对称轴的任意形状截面相同。详见式 (6) , (8) , (9) , (10) , (11) 。

　　 由于任意形状截面上的混凝土和钢筋的应力在XY坐标系中的表达式与具有一个对称轴的任意形状截面相同，所以屈服阶段各类应力图形形状的判别式也与具有一个对称轴的任意形状截面相同，详见式 (12) , (13) , (14) 。

　　 因为任意形状截面上的应力图形是在假定截面中和轴的倾角为θ时的情况下建立的，但θ角的大小事先不知道，所以采用试算法，事先假定一个初始值θ₁，求得k_y和k_u后要验算所假定的θ₁是否满足条件式 (15) 或式 (16) ，若不满足，再重新假定θ值求算k_y和k_u，再验算新假定的θ值是否满足式 (15) 或式 (16) ，这样反复试算，直至使式 (15) 或式 (16) 满足为止。

　　 在验算中和轴倾角θ是否满足式 (15) 或式 (16) 时，为计算简便，应先求出外力作用点A、受压区的混凝土和钢筋合力作用点B与受拉钢筋合力作用点C在XY坐标系中的坐标，再按式 (17) 求出它们在X₁Y₁坐标系中的坐标。在XY坐标系中计算它们的坐标时应特别注意要釆用所对应阶段的混凝土应力图形形状和钢筋的应力图形状。

　　 又因为在XY坐标系中计算k_y和k_u的公式中含有A_c^u, A_s^u, A_s^y, S_c, S_c^y, S_s^y, S_s，它们都取决于截面中和轴的位置，即取决于截面受压区高度系数，所以采用逐次逼近法计算k_y和k_u值。首先假定截面受压区高度系数k_y和k_u，为逼近得快些，一般假定受压区高度系数k_y=0.45, k_u=0.30，计算相应应力图形的A_c^u, A_s^u, A_s^y, S_c, S_c^y, S_s^y, S_s，将其代入式 (6) , (8) , (9) , (10) , (11) 。

　　 求得k_y和k_u第一次近似值，记为k_y¹和k_u¹，按此k_y¹和k_u¹值计算相应应力图形的A_c^u, A_s^u, A_s^y, S_c, S_c^y, S_s^y, S_s，将其代入式 (6) , (8) , (9) , (10) , (11) ，求得k_y和k_u的第2次近似值，记为k_y²和k_u²，以此类推。当前后两次的k_y值 (或k_u值) 相近时，即为任意形状截面中和轴倾斜角θ₁的首次假定值θ₁时的k_y和k_u值。然后验算θ₁是否满足式 (15) 或式 (16) ，如果满足，则即为所求。若不满足，再第二次假定θ值，按上述步骤求算k_y和k_u和验算此次假定的θ值否满足式 (15) 或式 (16) ，以此类推，把最后求得的满足式 (15) 或式 (16) 的k_y和k_u值代入式 (2) 计算任意形状截面构件的截面延性系数μ。