楼盖一般包括两大类，分别是有梁楼盖和无梁楼盖^[1]。相比有梁楼盖，无梁楼盖具有板底平整、空间宽敞、经济效益高、施工周期短等特点^[1]，因此受到越来越多工程师、建筑师的关注。实际工程中，写字楼、商场、地下停车场以及工业厂房等都采用了无梁楼盖结构，该结构逐渐成为常见的结构形式之一^[2]。

　　 无梁楼盖作为一种双向受力的板柱结构，跨度一般较大，整个楼盖是由柱上板带和跨中板带组成的水平结构，其受力特点与普通的肋梁楼盖有明显的不同。近年来经常发生无梁楼盖的坍塌事故，其原因可能有:楼盖抗冲切能力不足、堆载过大、活载不利布置等。

　　 在国内外研究中，Mullen, Muhanna^[3]和Saxena V^[4]提出了一些关于荷载不利布置简化计算的方法;杜文风等^[5]提出“分区组合法”，对单层球面网壳结构分区排列组合，研究屋面雪荷载的不利布置;Don^[6]根据影响线理论和影响面理论，对不规则楼板进行荷载不利布置的研究分析;谢楠等^[7,8,9]根据影响面理论和荷载不利布置的原理，研究了混凝土浇筑期施工荷载最大活载效应。大部分研究表明，影响线 (影响面) 理论是获取结构最不利内力的基本原理^[3,6,10]。

　　 从已有文献来看，目前针对无梁楼盖进行荷载不利布置的研究相对缺乏，这影响了无梁楼盖在实际工程中安全性的确定。若通过影响面理论对无梁楼盖进行荷载不利布置分析，需要建立大量模型以获得结构影响面数据，工作量大且操作繁琐，采用传统的建模方法不切实际。

　　 为此，本文基于影响面理论，通过SAP2000 API编制接口程序，建立无梁楼盖有限元模型，展开活载不利布置的研究分析，对等跨平板结构考虑不利荷载后的弯矩特性进行研究。

　　 针对工程中常见的结构尺寸，本文采用SAP2000建立一个无梁楼盖有限元模型，见图1。该模型在x, y方向上均为5跨，每跨均为8m，板厚为200mm，柱子截面尺寸为400mm×400mm。综合考虑计算精度及时间效率因素，每一跨上均分为8份，整个40m×40m模型上分为40×40个网格，总计1 600格。

　　 影响线 (影响面) 理论被公认为计算结构内力时获取荷载最不利布置的基本原理^[3,6,10]。一般地，二维结构在单位移动荷载作用下，结构上某一量值 (轴力、剪力、弯矩等) 与单位移动荷载位置之间的函数关系曲线，称为影响线，该曲线的函数解析式称为影响线函数;类似地，三维结构在单位移动荷载作用下，结构上某一量值与单位移动荷载位置之间的函数关系曲面，称为影响面，该曲面的函数解析式称为影响面函数^[3,11]。

　　 基于影响面理论，在影响面函数为正值的区域，即在对结构产生不利影响的区域，布置活载;而在影响面函数为负值的区域，即在对结构产生有利影响的区域，不布置活载。无梁楼盖结构在影响面函数下活载的布置情况如图2所示，其中I为单位移动荷载在图2中A点时的影响面函数，q为均布活载。

　　 基于影响面理论，本文对无梁楼盖活载不利布置进行分析研究。研究采用两种方法，分别为网格法和板带分块法，如图3所示。两种方法中无梁楼盖模型的划分网格均为图1所示的1 600格，但在荷载布置的方式中，网格法是将图3 (a) 中的1 600个区域依次分别布置活载后取最不利荷载作为计算依据，而板带分块法是在如图3 (b) 中的225个区域依次分别布置活载后取最不利荷载作为计算依据。可以看出板带分块法是在网格法的基础上关于研究子区域a_i进行优化划分的方法。具体如后详述。

　　 无梁楼盖是按照板带进行配筋设计的，而本文的有限元模型只是得出各板壳单元内单位长度的弯矩值M₁₁，如图4所示，因而在计算无梁楼盖板带弯矩时需进行求和计算。以x方向上的弯矩值M_x为例，先得出每个网格点的弯矩值M₁₁，再根据图5进行积分，由式 (1) 得出各板带对应点的弯矩值M_x:

　　 式中:M_11A, M_11B, M_11C, M_11D, M_11E分别为图5中点A, B, C, D, E的弯矩值M₁₁;1为各相邻点间的距离，m。

　　 在网格法中，该模型的研究区域A被划分为1 600个子区域a_i，将单位均布荷载1kN/m²依次单个作用于每一个子区域，分析计算模型，得出每一个加载模型下的数据。

　　 如图3所示，此分析模型中共有11条板带 (包括6条柱上板带和5条跨中板带) 。以板带弯矩M_x为例，根据网格法，积分后每一条板带上存在41个研究点，则结构中共存在41×11=451个研究点。依次对1 600个子区域进行加载之后，每个研究点具有1 600个弯矩值M₁₁，即为每个研究点的影响面数据的集合。对取正值对应的子区域布置活载，对取负值的子区域不布置活载，累加计算得出各板带每一个研究点对应的最大正弯矩值M_{x, max};反之，得出最大负弯矩值M_{x, min}。

　　 在网格法中，将单位均布荷载1kN/m²依次作用于1 600个子区域进行分析计算，在计算时间和效率上，程序需要循环1 600次，消耗时间长;而在板带分块法中，所采用的无梁楼盖模型的网格精度也为1 600个，但其在网格法的基础上，对荷载作用的子区域a_i进行了优化，具体如下:

　　 无梁楼盖在x方向和y方向上均可划分出柱上板带和跨中板带，如图6所示。将两个方向的板带划分区域进行叠加，则会出现225个子区域，即将子区域a_i由网格法下的1 600个优化为板带分块法下的225个，如图3所示，此时模型的划分精度保持不变。在板带分块法中，将单位均布荷载1kN/m²依次作用于225个子区域进行分析计算，在计算时间上，程序循环225次，很大程度地减少了程序运行时间，大大提高了计算效率。

　　 同样地，在板带分块法中，以板带弯矩M_x为例，积分后在结构中存在451个研究点。依次对225个子区域进行加载，得出每个研究点的影响面数据的集合。经过累加计算之后，分别得出各点的最大正弯矩值M_{x, max}和最大负弯矩值M_{x, min}。

　　 将网格法和板带分块法的计算结果进行对比分析，以第二行柱上板带和第一行跨中板带弯矩为例，见图7 (a) , (b) 。

　　 比较图7 (a) , (b) 可以看出，在第二行柱上板带中，两种方法计算得出的活载不利布置下的板带弯矩值基本重合;在第一行跨中板带中，对于板带弯矩值M_x，支座处区域 (支座处柱两边1/8跨度范围内) 板带分块法比网格法略微偏小，其他区域的弯矩值基本重合。总体上，两种方法差距很小，板带分块法得出的板带弯矩值符合精度要求，满足实际工程需要，因此工程上可以采用优化的板带分块法进行无梁楼盖活载不利布置下板带弯矩的求解。

　　 为了进一步验证两种研究方法的差异性，以第二行柱上板带的第二跨跨中位置为板带研究点 (图8) ，分别采用两种方法进行活载的不利布置。两种方法得出的无梁楼盖的活载不利布置情况如图9所示。

　　 由图9 (a) , (b) 可以看出，两种方法下的活载不利布置情况大致相同，相比之下，板带分块法的布置情况比较简单。在仅考虑单位均布活载不利布置 (不考虑恒载) 情况下，对比两种方法下得出的“板带研究点”在x方向上的最大正弯矩值M_{x, max}，结果发现，网格法下M_{x, max1}=19.53kN·m，而板带分块法下M_{x, max2}=19.41kN·m，两者相差仅0.64%。但板带分块法的模型数量从1 600个减少为225个，降低了85.94%，时间效率提高了88.10%。

　　 以上结果表明，经过优化的板带分块法满足研究分析的精度要求，可适用于实际工程的计算分析。

　　 定义活载设计值与恒载设计值的比值为η，各板带对应位置在活载不利布置下与在满载下的最大弯矩设计值比值为λ。具体计算公式为:

　　 式中:M_G满载为在恒载满载情况下的板带弯矩设计值;M_{Q活载不利布置}为在活载不利布置情况下的板带弯矩设计值。

　　 在无梁楼盖模型中，设置12组活载设计值与恒载的设计值比值η，如表1所示。恒载设计值统一取8kN/m²，活载设计值依次取2, 4, 6，…，256kN/m²，研究不同比值η下，考虑活载不利布置时λ的变化关系。其中，较大的几个活载数值在工程中极少出现，设置的原因主要是为了规律的对比。

　　 图10 (a) , (b) 给出了模型S6 (η=1.5) 第二行的柱上和跨中板带的板带弯矩图;图11 (a) , (b) 分别表示图10 (a) , (b) 中相应跨中及支座处λ的变化图。由图10, 11可见，活载不利布置下的板带弯矩均比满载下的板带弯矩大，λ均大于1，其大小因η的改变而改变。当η=1.5时，柱上板带的λ达到1.35，跨中板带的λ达到1.63，其位置均出现在板带第二跨的跨中位置。

　　 以第二行柱上板带及跨中板带为例进行说明，图12和图13分别给出了不同模型的柱上板带及跨中板带在不同位置的λ-η变化曲线以及不同η下比值λ的变化情况。

　　 由图12和图13可以看出，随着η的增大，系数λ呈现出非线性增大的状态，当η>16时，各λ值趋向于收敛。柱上板带与跨中板带λ值的分布规律有所不同。对于柱上板带，两个内跨跨中的λ值要较其他位置大，最大值接近1.6;而其他位置相对较小，数值均在1.2以下;而对于跨中板带，所有内跨支座及跨中均有较大的λ值，λ值最大超过1.5，甚至达到2.0。这表明了若不考虑活载不利布置，有可能会大大低估了弯矩设计值。

　　 3.2节中以第二行的板带举例进行阐述，但不同行的柱上及跨中板带λ值也各有不同，下文提出一种可较方便用于工程中的简化方法。

　　 图12 板带不同位置λ-η的变化曲线

　　 由图12可以看出，不论是跨中板带还是柱上板带，跨中弯矩的λ值一般都比支座弯矩的λ值大。因而偏于安全地将各支座及跨中η-λ曲线中λ值最大的曲线提取出来，作为第二行柱上或跨中板带的最不利λ曲线。同样可以得到第一行和第三行板带的最不利λ曲线。

　　 将这些不同板带间的曲线绘制在一起，可以得到如图14所示的最不利λ-η关系图。图14 (a) 为板带支座处的最不利λ-η关系图，图14 (b) 为板带跨中处的最不利λ-η关系图。由图可看出，无论在柱上或跨中板带中，λ值都随着η值的增大而增大;柱上板带的比值λ比跨中板带小。

　　 由图14可见，不同柱上板带的λ值变化折线相对集中，不同跨中的板带间的λ值变化折线之间也差距不大。因此本文进一步将图14进行简化，偏于安全地取出三行板带中的柱上板带及跨中板带的最大值，作为获取活载不利布置下各板带弯矩最大值的依据，如表2及图15所示。

　　 无梁楼盖在实际设计配筋时，可先按满载对结构的板带弯矩进行计算，根据表2或图15提供的比值λ，通过线性插值的方法，得出各板带对应支座处和跨中处弯矩值相应的放大比值λ，将满载下的板带弯矩值乘以对应比值λ后进行配筋设计，以考虑活载不利布置对结构的影响。

　　 (1) 网格法和板带分块法均可以用于活载不利布置的研究。其中板带分块法的计算结果满足精度要求，相比于网格法，板带分块法将建模数量降低了85.94%，计算的时间效率提高了88.10%，适用于实际工程的计算分析。

　　 (2) 当活载与恒载设计值的比值η增大时，活载不利布置下与满载下关于板带弯矩最大值的比值λ将增大。当η=1.5时，柱上板带的λ达到1.35，跨中板带的λ达到1.63，大于满载下各板带弯矩。因而在结构设计中进行无梁楼盖活载不利布置非常重要。

　　 (3) 对于等跨、规则的平板结构，各板带弯矩最大值可先按满载对结构进行计算，再参考本文提出的简化λ-η关系图，通过线性插值，得出板带对应位置弯矩值相应的放大比值λ，将满载下的板带弯矩值乘以对应比值λ后进行配筋设计，以考虑活载不利布置对结构的影响。