我国供水管网漏损问题十分严重,根据《中国城市建设统计年鉴》(2017年)数据,2017年我国城市总漏损水量为78亿m³,漏损率约为14.7%^[1]。随着水资源短缺问题的日益严峻,取水和制水成本不断提高,解决供水管网漏损问题迫在眉睫。2015年发布的《水污染防治行动计划》要求到2020年全国公共供水管网漏损率控制在10%以内,这对全国大多数供水公司来说都是一项艰巨的任务。

供水管网漏损包含表观漏损和真实漏失,真实漏失根据是否可通过被发现或主动检漏措施探测到而分为明漏、暗漏和背景漏失。明漏是指可以被用户或路人发现的漏失,多为爆管事件。暗漏是指可以通过主动检漏措施检测到的漏失。背景漏失包括各种连接管、接头和附件的微小漏失,位置非常隐蔽且无法检测到^[2]。管网真实漏失的主要原因是管网内水压过高和管道老化。针对这2个原因,控制真实漏失的方法有压力管理和管网更新修复^[3]。背景漏失虽然在局部影响很小,但随着时间的累积往往成为城市管网真实漏失总量的主要来源。因此,针对背景漏失的控制方法应该引起足够的重视。

近年来,基于达尔文进化机制的优化算法被广泛应用于供水管网背景漏失的控制研究,通常是建立以最小化管网改造成本和背景漏失量为目标的优化模型^[4,5,6],由特定算法求解后得到一系列帕累托前锋(Pareto front),决策者根据当地的实际情况选择最合适的解。传统的背景漏失控制优化模型只考虑了管网改造的经济成本和背景漏失量2个目标函数,但针对漏控的改造措施同时会对管网系统的可靠性和水质状况产生直接的影响。因此,通过探究不同改造措施下供水管网系统中成本、背景漏失量、系统可靠性和水质状态之间的内在关系,可为制定综合效益最优的决策方案提供科学的支撑。

本文旨在建立管网背景漏失控制的高维多目标优化模型,通过实际管网验证该模型相对于传统优化模型的优势,为城市管网漏失控制提供实用的分析工具。

背景漏失控制的高维多目标优化模型包含4个目标,分别是最小化管网改造的经济成本、最小化管网漏失水量、最大化管网系统可靠性以及最小化管网水质衰减程度,以下给出各目标的数学表达式。

管网改造成本包括更换管道和安装阀门的费用,见式(1)。

式中Cost———管网改造的经济成本,(欧元);

n_pd、n_pv———管网改造需要更换的管道数和安装的阀门数;

C_i^p———管段i的单位长度成本,;

L_i———管段i的长度,m;

C^v_j———阀门j的价格,。

供水管网的背景漏失水量是管网压力的函数,见式(2)^[7]。

式中Leakage———管网背景漏失量,m³;

n_pa———管网的总管道数;

C_i^L———漏损性能系数,旧管取10^-8 m^0.82/s,新管取0.6×10^-8 m^0.82/s;

h_i———管段i两端节点压力的平均值,mH₂O;

n_leak———固定的指数,取1.18;

Δt———水力计算时间,s。

供水管网的可靠性是指管网所包含的各要素(如管段)在正常或发生故障情况下能供给满足用户需水量、水压及水质能力的大小。供水管网的可靠性与管材、接口的构造、安装质量、土壤性质、水压变化等因素有关。本文选用管网弹性力(Network Resilience,表示为I_n)指标衡量供水管网系统的可靠性^[8]。研究表明,管网弹性力指标越大,供水管网在事故条件下(如爆管)恢复正常供水的能力越强。管网弹性力的计算见式(3)和式(4)。

式中I_n———管网弹性力,无量纲;

n_r、n_pu、n_n———管网中水源节点、水泵、需水节点的个数;

Q_j———第j个节点的流量,m³/s;

H_j———第j个节点的总水头,mH₂O;

H^min_j———第j个节点所需的最低水头,mH₂O;

Q_k———第k个水源节点的供水量,m³/s;

H_k———第k个水源节点的总水头,mH₂O;

P_i———第i台水泵提供的功率,kW;

γ———水的容重,9.8kN/m³;

U_j———连接到节点j的管径布局均匀度,无量纲;

n_pj———连接节点j管段的数量;

D_i———第i根管道的管径,mm。

研究表明,水质指标中的浊度、色度、臭和味、锰等常规检测项目的含量一般随着水力停留时间的增加而升高^[9]。因此,可用管网中所有节点的最大水龄来反映用户节点的水质状况,表达式见式(5)。

式中waterAge_i———第i个节点的水龄,h。

综上,供水管网背景漏失控制的高维多目标优化模型可归纳为式(6)。

背景漏失控制的优化模型须满足节点质量守恒和管段能量守恒方程。此外,还须满足节点最低水压限制和可选标准管径等约束条件。上述约束条件的数学表达式可参考文献[10]。控制管网背景漏失的措施有更换管道和安装阀门并调节其开启度。因此,决策变量的个数可用n_pd+n_pv表示。

为了对比本文提出的供水管网背景漏失控制的高维多目标优化模型与传统背景漏失控制模型的差异,建立以最小化管网改造成本和背景漏失量的低维模型(目标函数为f₁和f₂)。低维模型的决策变量和约束条件与高维模型相同。

进化算法作为一种基于种群的智能搜索方法,目前已经能够成功求解具有两、三个目标的多目标优化问题。然而,当遇到目标数目增至四个或四个以上的多目标优化问题时,基于Pareto支配排序的多目标进化算法(如NSGA-II,SPEA2)在搜索能力、计算成本和可视化方面都遇到了很大的挑战。Borg算法是由Hadka和Reed^[11]开发的具有多项高级功能的多目标进化算法。研究表明^[12],在求解许多具有复杂特性的高维多目标优化问题上,Borg比传统的多目标进化算法更高效、更可靠。因此,本文选用Borg算法求解管网背景漏失控制的高维和低维多目标优化模型。

以文献[7]中的管网为例,管网拓扑结构如图1所示。该管网包含25个节点,其中1～22为需水节点,节点最小水头为25 mH₂O,23～25为水源节点。此供水系统包含低、中、高3种不同的需水负荷条件,每种需水量负荷持续时间为8h,共24h,水力计算步长为1h。该管网共有37根管道,并且所有的管道都可以安装阀门。因此,决策变量的总数为n_pd+n_pv=37+37=74。n_pd的范围为0～7,其中1～7表示更换为新管道,数字越大表示新管道的管径越大,0表示管道维持原样。n_pv的范围为0～5,0表示在该管段不设置阀门,1～5表示在该管段设置阀门,且阀门的开启度分别为20%、40%、60%、80%和完全关闭(等同于隔离阀)。不同管径对应的管道和阀门单位造价见文献[7],文献中管径的单位是英寸,本文已转换为毫米。为求解案例管网的高维和低维优化模型,Borg算法的参数设置如下:种群大小设为100,进化代数设为50 000。为了避免随机初始种群对优化结果的影响,采用Borg算法对高维和低维模型分别进行10次独立的计算,再对10次计算得到的全部结果进行非支配排序^[13],最后筛选得到4 730个高维模型最优Pareto解和89个低维模型最优Pareto解。

图2a为高维和低维模型的Pareto前锋在二维坐标系的分布情况,图2b为2种背景漏失控制模型在高维空间的分布情况(三维笛卡尔坐标系+由颜色深浅构成的第四维度)。由于低维模型只有管网改造成本和背景漏失量2个目标函数值,低维模型的Pareto解对应的管网弹性力和节点最大水龄值可分别通过式(3)～式(5)求得。

从图2a可以发现,低维模型的Pareto最优解支配了高维模型的Pareto最优解,但低维模型Pareto解的数量远少于高维模型。这是因为随着目标函数个数(维数)的增加,算法求出的非支配解将呈指数规模增加。图2b用黑色实线圈起来的部分表示低维模型的Pareto解,其余部分表示高维模型的Pareto解。从高维空间的视角分析可以发现,在水龄维度高维和低维模型的Pareto解均主要分布在0～40h和140～160h两个区间,但高维模型的Pareto解分布在0～40h区间的比例显著高于低维模型。在管网弹性力维度,低维模型Pareto解的颜色几乎都是浅色的,也就是管网弹性力主要分布在0.1～0.4区间;高维模型Pareto解的颜色则明显更深,即管网弹性力主要分布在0.55～0.85区间。因此,高维模型找到的Pareto解在水龄和管网弹性力维度要优于低维模型。

图3为高维和低维模型中更换管道和阀门调控措施的平均占比情况,即先统计每个解中更换管道和阀门调控不同方案的出现次数,再综合整个Pareto最优解取平均值。对比发现,低维模型Pareto解的管道更换方案比较单一,从图3a可以看出,“不更换管道”、“管道更换为DN152”和“管道更换为DN229”3类方案占比为87%;而高维模型Pareto解的管道更换方案分布相对均衡。这是因为低维模型只考虑改造成本和背景漏失量,在优化过程中种群向低成本方向进化,导致低维模型的Pareto解包含大量小管径管道。然而,从图2b可以看出这类方案会给管网弹性力指标带来负面影响。图3b和图3d中低维模型的Pareto解中“不安装阀门”的占比也大于高维模型,这再次印证低维模型会筛选出更多不安装阀门的方案以降低管网改造成本。

从高维和低维模型的Pareto解中选取成本接近的2个代表性方案,低维模型的解用R_L表示,高维模型的解用R_H表示。R_H和R_L在Pareto前锋上的位置如图2中箭头所示。2种代表性的管网改造方案与改造前的管网在4个指标上的对比结果见表1。可以看出,相比于改造前的管网,R_L和R_H方案对应的管网背景漏失量均有大幅降低,但R_H以部分超过R_L的漏失量为代价换来了管网可靠性和水质的明显改善。

图4为R_L和R_H管网改造方案。R_L中管径相同的管道数最大为14(DN152),最小为1(DN475),而R_H中两者分别为10(DN381)和3(DN457)。从改造后的管径分布可以看出,R_H的平均管径和管径均匀度都高于R_L。在相同管长条件下,较大的平均管径降低了输水过程中的水头损失,从而在需水节点积累了更多的富裕能量。虽然在正常工况下,较高的富裕能量意味着更多的背景漏失量,但当遇到异常工况(如爆管)时,R_H的管网弹性力高于R_L,有利于管网系统维持基本功能并从事故状态中恢复过来。此外,从阀门调控角度看,R_H用比R_L更少的阀门数量和更有效的调控组合改善了管网系统的水质状况。

为了更形象地说明R_L和R_H在管网可靠性上的优劣,对R_L和R_H进行模拟爆管事故分析。具体做法是依次关闭管网中的每根管道,通过水力计算评估各节点的实际水压,统计管网系统在16∶00(需水量负荷最高时段的起点)低于节点最小水头的失效节点总数(见图5)。

R_L不存在阀门完全关闭的管道,所以共对37根管道进行爆管分析;R_H有3根管道(管道编号为5、23、33)的阀门完全关闭,只需对34根管道进行爆管分析。由图5可知,R_H在爆管事故时对需水节点的影响程度显著小于R_L。将导致失效状态的管道数与参与爆管测试的总管道数的比值定义为爆管事故的失效概率,则R_L和R_H对应的失效概率分别为92%和53%。当在相同位置发生爆管时,除了管道8、21和27,R_H导致的失效节点都比R_L少。

本文建立了供水管网背景漏失控制的高维多目标优化模型。基于经典的案例管网,采用Borg算法获得高维模型的Pareto解,并与只考虑成本和背景漏失量的传统模型进行了详细的对比,结论如下:

(1)高维模型能够揭示成本、背景漏失量、可靠性和管网水质4个目标之间复杂的权衡关系,为决策者提供更全面的分析结果,有助于制定综合效益更优的背景漏失控制方案。

(2)与传统的背景漏失控制优化模型相比,高维模型能够获得数量更多的备选方案。通过从高维空间分析Pareto解集可以发现,盲目降低管网背景漏失量会对系统可靠性和水质造成负面影响。换言之,应努力找到合理的背景漏失量控制区间,实现控制背景漏失、提高可靠性和改善水质之间的平衡。

(3)对比高维和低维模型获得的代表性方案发现,在改造成本相近的条件下,高维模型获得的代表性方案具有更大的平均管径和管径均匀度,从而在需水节点积累了更多的富裕能量,有效提升了管网系统在事故状态下的弹性;同时,以更少的阀门数量和更有效的调控组合改善了管网系统的水质状况。通过模拟爆管事故分析,验证了高维模型的代表性方案可显著降低爆管对需水节点的不利影响。