地震是特大自然灾害之一, 会造成大量历史古迹和文物损毁。我国是历史文化大国、文物众多, 为展现社会历史文明和社会发展过程, 将越来越多的可移动文物集中到博物馆保存, 有利于文物保护、修复和日常防护管理, 但同时也增加了在突发灾害下大规模损毁的风险。馆藏文物置于博物馆中, 其地震下的安全性受建筑场地、馆舍、展陈等因素影响, 任何一个环节出现震损都会危及馆藏文物的安全, 故需进行全方位、全系统设计^[1]。

　　 吴来明等^[2]、王忠良等^[3]以上海博物馆为工程背景, 调研了上海市及周边地区的地震动参数, 提出了楼层反应谱, 用于快速计算楼层动力响应。这些针对工程个案的研究为本文提供了参考。石油行业浮放物的技术标准中^[4,5], 针对设防烈度地震和罕遇地震经验, 总结了砌体结构和多层框架结构的楼层水平动力放大系数, 可通过地面加速度与楼层水平动力放大系数的乘积快速计算楼层振动响应。但是, 石油储罐浮放物、设备浮放物等与馆藏文物不同, 其直接放置于楼 (地) 面上或通过支座支托, 由于浮放物体量很大, 一般放置在首层, 而馆藏文物一般放置于博物馆展柜或储藏柜中, 地震动通过建筑结构及柜体传播后会有较大变化, 对于馆藏文物进行地震响应分析应充分考虑建筑结构及柜体的动力放大效应。为降低馆藏文物防震计算设计难度, 《馆藏文物防震规范》 (WW/T 0069—2015) 整理了国内外计算分析方法, 针对规则体型的建筑结构和简单常规的布展情况, 在第4.4.2条中提出经验公式法, 即:展台面上浮置文物在水平方向的地震加速度可由博物馆所在场地的设计水平地震加速度与楼层水平动力放大系数和展柜水平动力放大系数的乘积来表达。

　　 本文针对博物馆楼层水平动力放大系数开展研究, 基于不同博物馆类型 (简称馆型) 、不同结构类型、不同建设场地和不同地震强度建立768个规则体型的博物馆结构有限元分析模型, 以加速度为物理量^[1,6]计算各楼层加速度峰值与地面加速度峰值, 将二者比值作为各对应楼层的水平动力放大系数。应用概率统计理论中的正态分布和极值I型分布, 求取博物馆各楼层具有95%保证率的楼层水平动力放大系数, 以便于在博物馆展陈设计过程中简化文物防震安全设计。

　　 为合理确定楼层水平动力放大系数, 确定如下研究过程:1) 建立包括馆型、结构楼层数、楼层、地震设防烈度、场地特征周期五个主要因变量 (影响参数) 的数学模型, 结合我国博物馆建设特征及系列规范, 归纳整理出多组计算分析参数;2) 依据上述计算分析参数分别建立有限元模型进行分析, 提取各工况下楼层加速度峰值, 并以各楼层加速度峰值与地面加速度峰值的比值作为楼层水平动力放大系数;3) 对不同工况下楼层水平动力放大系数进行统计, 判断其因变量 (影响参数) 的贡献率;4) 对各因变量的贡献率进行分析, 剔除与合并贡献率小的因变量, 构成较为简单实用的楼层水平动力放大系数数学模型, 优化过程见表1。

　　 本文考虑钢筋混凝土结构的馆型、抗震设防烈度、特征周期等因素, 参考《博物馆建筑设计规范》 (JGJ 66—2015规范) (简称JGJ 66—2015规范) 按照面积、层高等指标区分“大型馆”和“大中型馆”两种馆型, 其中大型馆面积大于4万m², 大中型馆面积为1～4万m²;大型馆层高略高于大中型馆。考虑博物馆使用需求, 其主要为多层结构, 且JGJ 66—2015规范规定展厅不超过5层, 故选择2～5层结构进行分析, 分析工况见表2。

　　 对应于四种 (2, 3, 4, 5层) 楼层数的博物馆, 分别考虑6度 (0.05g) 、7度 (0.1g) 、8度 (0.2g) 三种抗震设防烈度、不同场地特征周期 (大型馆9种和大中型馆7种) , 共设计出4×3×9+4×3×7=192个博物馆结构模型 (包括钢筋混凝土框架结构、钢筋混凝土框架-剪力墙结构) , 对每个模型进行四条地震波激励下的时程分析。

　　 馆舍与馆藏文物防震计算分析的核心是结构动力学问题的简化、假定与模拟。动力学基本方程如式 (1) 所示:

　　 $\mathit{F}{}_{\text{Ι}}(t)+\mathit{F}{}_{\text{c}}(t)+\mathit{F}{}_{\text{k}}(t)+\mathit{F}(t)=0(1)$

　　 式中F_I (t) , F_c (t) , F_k (t) , F (t) 分别为结构惯性力时程矩阵、结构阻尼力时程矩阵、结构恢复力时程矩阵和结构外力时程矩阵。

　　 通过建筑结构设计软件和力学分析软件MIDAS/Gen, 按照计算分析参数分别设计出合理的博物馆建筑结构, 以某3层大中型博物馆建筑结构 (图1) 为例, 设计出的建筑体型及结构构件基本尺寸见表3。通过MIDAS/Gen软件对博物馆建筑结构模型进行动力时程分析, 典型地震波 (El Centro波) 输入见图2, 其典型楼层 (3层) 楼面响应见图3。对比图2和图3可见, 建筑结构楼面地震响应相比场地地震波发生了明显的滤波和动力放大效应。

　　 楼层宏观地震响应主要包括位移、速度、加速度。本节重点探讨选取何种物理量来求解楼层水平动力放大系数。利用MIDAS/Gen软件, 开展1.3节所述的3层博物馆结构地震响应动力时程分析。以如下计算参数为例:抗震设防烈度7度 (0.1g) , 场地类别为Ⅱ类, 设计地震分组为第二组, 荷载输入为1.2× (1.0恒载+0.5活载) ±1.3× (1.0×X向水平地震+0.85×Y向水平地震) , El Centro波地震激励。提取X向动力响应, 计算结果见表4。表4中相对值与绝对值均取时程响应包络最大值, 相对值不能直观表达各楼层相对地面的响应放大。分析得出:由绝对加速度计算得到的楼层水平动力放大系数大于由位移、速度计算得到的结果, 且浮置物的安全性与惯性力 (加速度与质量的乘积) 密切相关。因此, 从文物安全角度出发, 本文采用绝对加速度作为评价指标进行后续研究。

　　 本文在求解楼层水平动力放大系数时, 主要应用概率统计理论中的正态分布和极值I型分布, 求取具有95%保证率的楼层水平动力放大系数。主要理论有:

　　 (1) 正态分布

　　 正态分布曲线呈钟形, 其定义为:若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的高斯分布, 如式 (2) 所述, 记为X～N (μ, σ²) 。概率密度函数由正态分布的期望值μ决定其位置, 标准差σ决定其分布的幅度。一般事物均符合正态分布, 正态分布一般用于对已知事物发生概率进行统计回归模拟。

　　 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\text{π}}\sigma }\exp \left[-\frac{(x-\mu ){}^2}{2\sigma {}^2}\right](2)$

　　 (2) 极值分布

　　 设{X₁, X₂, …, X_n, …}为一列独立同分布的随机变量, 令X=max{X₁, X₂, …, X_n, …}, 称X具有的概率分布为极值分布。极值分布经常用于对独立同分布的随机变量极值 (极大值或极小值) 序列进行预测。比如, 对于尾部以指数迅速衰减的随机变量 (如正态分布) 构成的样本总体模型, 可用极值分布来确定该模型的最小值。X的概率分布与X_k (k=1, 2, …) 的取值范围有关系, 与X的具体分布形式没有关系, 根据X_k的取值范围可以将极值分布分为极值Ⅰ型 (Gumbel) 分布, 极值Ⅱ型 (Frechet) 和极值Ⅲ型 (Weibull) 分布三类, 本文主要应用极值Ⅰ型 (Gumbel) 分布开展相关研究。

　　 位置参数为μ、尺度参数为σ>0的极值Ⅰ型分布的概率密度函数如式 (3) 所示。其基本特征为:随机变量的取值范围为x∈ (-∞, +∞) ;数学期望为μ+γσ, 其中γ≈0.577 2, 为欧拉-马歇罗尼常数, 方差为$\sigma \text{π}/\sqrt{6}$。

　　 $f(x)=\exp \left[-\exp \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\right](3)$

　　 (3) 置信区间

　　 置信区间指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。置信区间表示参数真实值有一定概率落在测量结果周围的程度。置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度, 即预期的“一定概率”, 这个概率被称为置信水平。置信水平一般用百分比表示, 置信区间的两端被称为置信极限。对于给定情形的估计, 置信水平越高, 所对应的置信区间越大, 如式 (4) 所述。

　　 ${\rm P}(c{}_1\le \mu \le c{}_2)=1-\alpha (4)$

　　 式中:c₁和c₂分别为置信极限的左边界和右边界;α为显著性水平。

　　 尽可能多的将影响楼层水平动力放大系数β的参数考虑全面, 根据1.1节提出的总体研究方法进行192种工况下β的分析计算。

　　 以2～5层、8度设防烈度下大型馆和大中型馆为例, 楼层水平动力放大系数统计结果如表5所示, 典型楼层水平动力放大系数分布检验曲线见图4 (以五参数、楼层数为两层、楼层为2层、抗震设防烈度6～8度为例) 。由表5可见, 5层结构的β在0.98～3.10区间, 4层结构的β在1.29～3.31区间, 3层结构的β在1.47～3.00区间, 2层结构的β在1.47～1.94区间。

　　 按照对楼层水平动力放大系数贡献率的大小, 先剔除“馆型、场地特征周期”两个因变量, 仅考虑“结构楼层数、楼层、设防烈度”, 构成随机变量X_Ι={X_b1, X_b2, …, X_b9, X_m1, X_m2, …, X_m6}, 其中X_mi, X_bi分别为表5中大中型馆和大型馆对应不同T_g的楼层水平动力放大系数。以式 (2) 正态分布概率密度函数求得$f{}_{\text{Ν}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\text{π}}\sigma }\exp \left[-\frac{(X{}_{\text{Ι}}-\mu )}{2\sigma {}^2}{}^2\right]$, 由式 (4) P (c₁≤μ≤c₂) =97.5% 可求得正态分布的置信极限右边界c₂, 作为按正态分布求取的楼层水平动力放大系数;以式 (3) 极值Ⅰ型分布概率密度函数求得$f{}_{\text{E}}(x)=\exp \left[-\exp \left(\frac{X{}_{\text{Ι}}-\mu }{\sigma }\right)\right]$, 以式 (4) P (c₁≤μ≤c₂) =95%可求得极值Ⅰ型分布的置信极限右边界c₂, 作为按极值Ⅰ型分布求取的楼层水平动力放大系数。按两种分布类型进行数理统计, 求得楼层动力放大系数β见表6, 将正态分布和极值Ⅰ型分布求取的楼层水平动力放大系数β取包络, 见表7。说明:本文需求的楼层水平动力放大系数为置信极限右边界。而正态分布为对称分布, 故置信极限右边界应基于97.5%保证率取值;极值Ⅰ型分布为单边分布类型, 故置信极限右边界基于95%取值。由表7可知, 5层结构的β在1.51～3.35区间, 4层结构的β在1.61～3.20区间, 3层结构的β在1.78～3.07区间, 2层结构的β在2.06～2.23区间;由于剔除了某些因变量, 在一定保证率下必然会造成β值增大。值得特别说明的是, 较大的β对应于抗震设防烈度为8度 (0.2g) 的工况, 这与将分析模型假定为弹性有一定关系;实际地震中, 强震会使建筑结构出现明显塑性, 进而会释放一定的地震能量, 使β降低。

　　 进一步剔除“设防烈度”因变量, 仅考虑钢筋混凝土结构的“楼层数、楼层”, 构成随机变量X_Ⅱ={X_I6, X_I7, X_I8}, 其中X_I6, X_I7, X_I8分别表示抗震设防烈度为6度、7度、8度对应的随机变量X_I, X_I为16个数据的向量。按式 (4) 置信区间理论公式, 分别以正态分布和极值Ⅰ型分布两种分布类型进行数理统计, 以95%保证率求得仅有两个因变量的楼层水平动力放大系数β统计值及校验结果, 见表8。由表8可知, 5层结构的β在1.49～3.16区间, 4层结构的β在1.63～3.31区间, 3层结构的β在1.83～3.00区间, 2层结构的β在2.16～2.27区间;进一步剔除“设防烈度”因变量, 其结果的波动性较小, 按95%保证率确定β相比峰值法确定β更具合理性。

　　 本文针对不同情况钢筋混凝土博物馆建筑结构建立多个有限元分析工况, 应用概率统计理论得到具有95%保证率的楼层水平动力放大系数, 主要如下:

　　 (1) 通过数值模拟分析, 对比分析位移、速度、加速度三个指标下得到的楼层水平动力放大系数, 确定了馆藏文物防震计算求取博物馆楼层水平动力放大系数时选用绝对加速度作为物理量。

　　 (2) 得出了基于结构层数和楼层两参数的规则体型钢筋混凝土结构楼层水平动力放大系数, 便于利用规范经验公式法开展博物馆文物防震安全评估计算。