强震作用下, 结构往往会发生损伤破坏。一个完整的结构损伤破坏过程是以结构或构件的内部损伤为起点, 随着材料损伤、构件损伤、结构损伤的不断累积发展, 直至结构失效的过程。结构的损伤程度常采用损伤模型来定量描述, 损伤演化研究的即为结构损伤程度随着外部作用的变化规律。损伤模型可分为材料、构件和结构三个层次。材料损伤的研究一般以损伤力学、断裂力学等为基础, 研究材料的损伤本构及损伤演化方程;结构或构件的损伤是以唯象破坏现象为基础, 一般更着重于结构或构件损伤状态的评估, 对于其损伤演化过程往往研究得并不多。但是结构的损伤演化规律对于结构整体性能的判断以及结构在地震等灾害下的损伤预测是至关重要的。和材料损伤一样, 结构的损伤演化规律也应是研究的重点。

　　 结构损伤模型又可分为加权组合法模型和整体法模型。加权组合法模型以Park-Ang损伤模型^[1]为代表, 目前的研究主要集中在加权组合系数及对Park-Ang模型的改进上^[2];整体法模型一般考虑结构的振动特性或刚度退化^[3,4,5], 以最终软化指标^[4]和Ghobarah模型^[5] (简称G模型) 等为代表。Park等^[6]在研究中虽然给出了不同损伤等级对应的损伤值范围, 但划分较粗且未对各阶段的损伤发展规律进行研究。G模型的研究^[5,7]指出峰值加速度 (PGA) 水平与损伤指数之间存在较好的相关性, 但也没有具体分析其随PGA的演化规律。刘海卿等^[8]以改进的Park-Ang损伤模型为基础, 分析了基于该损伤模型的框架结构损伤演化规律, 并通过拟合指出结构的整体损伤演化规律符合指数形式的发展。但从大量的结构损伤描述及观测中可以得到, 结构在作用水平较低阶段一般处于弹性状态, 损伤为0;当作用水平逐渐增大, 结构开始出现损伤, 并随着作用的进一步增加, 损伤呈现加速增长现象, 之后, 损伤以相对恒定的速率继续发展;到达后期, 尽管进入塑性的构件或截面越来越多, 结构的响应会越来越大, 但从结构的整体损伤层面, 损伤指数的增长速率逐渐下降, 最后趋近于某一特定值 (一般为1.0) 。整个过程表现出类似S形曲线的规律^[9,10,11]。事实上, 这一现象与Logistic曲线极其相似。Logistic曲线最初源于生态学中生物群体的增长, 但由于其增长方式的一般性, 该曲线被广泛应用于动植物种群动态、经济学、政治学、化学等领域, 也可将其引入到结构损伤演化规律的研究中。

　　 本文从单自由度体系入手, 研究了不同损伤模型的损伤演化规律, 并提出了基于Logistic曲线的结构损伤演化方程。通过改变Logistic方程的参数, 可以得到不同的曲线形式, 用于描述不同特性结构的损伤演化规律。对于实际问题, 以已有的结构损伤模型为基础, 计算出结构的Logistic损伤演化方程, 得到单自由度体系较为合理的损伤演化曲线。

　　 当评估结构性能时, 通常以静力推覆方法 (Pushover方法) 或增量动力分析方法 (简称IDA方法) 作为研究手段, 以结构顶点位移或地震动强度指标为自变量分析结构性能。损伤指数作为结构的一种性能指标, 也可采用以上方法来研究其演化规律。本节将主要研究单自由度体系基于G模型与改进的Park-Ang损伤模型^[12] (简称MPA模型) 的损伤演化规律。

　　 G模型采用结构损伤前、后两个状态的刚度变化来评定结构损伤, 其表达式为^[4]:

　　 式中K_initial, K_final分别为结构损伤前、后Pushover分析所得基底剪力-顶点位移曲线的初始斜率。

　　 实际计算中, 损伤前的刚度可根据刚度识别方法或结构初始恢复力骨架曲线的相关参数来确定;损伤后的刚度则可通过二次Pushover分析确定, 或者在知道荷载作用历史的情况下也可根据恢复力模型来确定。G模型是一种仅适用于刚度退化结构的整体损伤模型 (刚度的退化也符合钢筋混凝土结构的实际特性) , 故本节所用的结构恢复力模型为考虑刚度退化的Park三线性恢复力模型^[13], 如图1所示。

　　 对单自由度体系做Pushover分析, 并求解每一步位移增量下的G模型损伤指数。对于图1的恢复力模型, K_final仅与结构卸载时的位移相关, 即与Pushover每步加载所达到的最大位移相关。由此便可得到按G模型求得的结构损伤指数表达式为关于最大位移δ_m的函数:

　　 式中:δ_m为作用过程中构件的最大位移;k₁, k₃, F_y, δ_y及α的含义见图1。

　　 可以看到, 结构屈服后G模型的演化方程为双曲线在第一象限中的一支。该双曲线形式的损伤演化存在极限值D_c= (k₁-k₃) /k₁<1.0。

　　 MPA模型是在Park-Ang损伤模型的基础上, 对其位移项进行了修正, 使得在弹性状态下结构损伤指数不再为非零值, 其表达式为^[12]:

　　 式中:δ_u为单调加载作用下构件的极限位移;δ_r为卸载可恢复位移;β为组合参数;∫d E为累积塑性耗能;其他参数含义同式 (2) 。

　　 可以看出, MPA模型的第一项是关于最大位移δ_m的一次函数;而第二项能量项对于三线性恢复力模型的积分结果为关于δ_m的二次函数。同G模型一样, 求解Pushover分析中每一步位移增量下的MPA损伤指数, 得到MPA模型的损伤演化表达式为:

　　 式中:a, b和c为关于k₁, k₂, k₃, F_y, δ_y以及α, β, γ的函数。

　　 当结构一定时, 这些参数都为定值, 即a, b和c为常数。可以看出结构屈服后的MPA损伤演化方程为开口朝上型抛物线的右半部分, 该曲线不存在上极值。

　　 由于Pushover分析与IDA分析的相似性, 可近似地认为单自由度体系在IDA分析下的G模型与MPA模型的损伤演化规律也符合1.1节所得的规律。本节通过对一单自由度体系的IDA分析来证明这一点。采用IDARC2D软件^[14]建立了一个单自由度模型, 选取Park三线性恢复力模型, 任选一条地震波做IDA分析, 求得各损伤指数并对所得曲线进行拟合得到图2所示的结果。

　　 从图2中可以看出, G模型与MPA模型损伤指数随着PGA的变化分别表现为双曲线及抛物线的形式, 但同时也可采用Logistic曲线近似表示, 即结构的G模型损伤演化曲线基本类似于S形, 而MPA模型的演化曲线也可看作S形曲线的一部分。以往的研究^[9,10,11]也表明, 结构的损伤演化类似于S形曲线的增长, 即结构的损伤在初期很小, 且发展也较缓慢;随着作用的逐步增大, 损伤快速发展, 损伤指数急剧增大;当外部作用进一步加大, 结构整体损伤达到最终阶段, 尽管进入塑性的结构构件或截面越来越多, 但是从结构或构件整体损伤层面, 损伤演化速率会逐渐降低, 结构的损伤指数将逐步收敛到1.0。故可引入S形的Logistic曲线来描述结构的整体损伤演化。

　　 结构的各阶段损伤状态对应于损伤曲线上的长度、大小以及速率都是不一样的, 即表现为非对称的S形曲线。引入以下形式的Logistic曲线公式:

　　 式中:y为损伤指数;x为作用强度;A₁, A₂, p, x₀均为参数。

　　 当x=0时, y=A₁, 即作用强度为0时的结构损伤值为A₁, 代表损伤初始值, 一般情况下A₁取0, 或者对存在初始缺陷的结构取为初始损伤值;当作用趋于无穷大时, y趋近于A₂, 根据损伤的定义A₂应取为1.0。实际上, 结构一般在未达到D=1.0时便已破坏, 故常以一个略小于1.0的值D_c作为损伤临界值来判断结构失效。p控制着整个过程中损伤增加的快慢, 该值需要根据实际情况确定;x₀为结构损伤值达到0.5时所对应的作用强度, 该值也需根据实际情况确定。一般情况下, 结构并不存在初始损伤或初始损伤可忽略不计, 由此可得结构的损伤演化方程为:

　　 取几种特殊情况的x₀和p值, 得到图3所示的损伤演化曲线。图3中的1号曲线, 其初期损伤很小, 但结构损伤一旦开始发展, 便很快进入到损伤高速发展段, 不久便达到结构损伤的临界值D_c, 结构破坏, 这种损伤发展趋势可用于表示脆性结构的损伤演化。而3号曲线所表示的则应是耐损性能较好的结构损伤演化曲线, 损伤的初期发展阶段、加速阶段、近似常速阶段及减速至临界损伤阶段都有着较为合理的长度。另外, 有些结构也可能表现出类似于2号及4号曲线等的损伤演化规律, 而这些损伤演化曲线都可以采用式 (6) 的损伤演化方程来统一表示。

　　 重新考虑第1.2节中的G模型和MPA模型可以看出, 图2中的Logistic曲线方程并不符合式 (6) 的要求, G模型与MPA模型的损伤演化公式也不符合损伤的定义。G模型的损伤极限值为0.7左右, 偏小;而MPA模型则为5.0, 远大于1.0。可知, 这两种模型的损伤演化曲线都存在问题, 不能客观地反映结构的S形损伤演化规律。

　　 但G模型的损伤演化基本符合全程的S形发展趋势;Park和Ang^[1]验证了142根柱和261根柱在单调加载和循环加载下失效点的损伤值, 按照其损伤值达1.0来判断构件失效是合理的。故可综合G模型与MPA模型来建立单自由度体系的Logistic损伤演化曲线, 选取G模型损伤值达0.5时的地震动强度x_0G, 以及MPA模型损伤值达1.0时的地震动强度x₁, 代入式 (6) ;并取损伤临界值D_c为0.98, 得到单自由度体系基于G模型和MPA模型的损伤演化方程为:

　　 式中κ=x₁/x_0G。

　　 选取一根钢筋混凝土柱, 其混凝土强度等级为C30, 几何及配筋信息如图4所示。采用Open Sees软件^[15]进行模拟, 材料选用Concrete02和Steel02, 质量集中在顶点, 近似为单自由度体系。在太平洋地震工程研究中心 (PEER) 地震动数据库^[16]中选取了1994年Northridge地震、1999年Hector Mine地震、1979年Imperial Valley地震、1995年Kobe地震、1999年Kocaeli地震、1989年Loma Prieta地震、1990年Manjil地震、1987年Superstition Hills地震、1992年Cape Mendocino地震、1968年Borrego Mtn地震、1999年Chi-Chi地震、1986年Chalfant Valley地震、2002年Denali Alaska地震和1971年San Fernando地震等, 共22条地震波。地震动反应谱如图5所示。

　　 采用以上22条地震波对该钢筋混凝土柱做IDA分析, 并计算出不同PGA下该柱的G模型损伤指数和MPA模型损伤指数, 得到结果如图6, 7所示。图中右下角的公式为拟合的均值Logistic曲线方程。从图6, 7中可以看到, 虽然在不同地震波下结构损伤指数的分布存在着一定的离散性, 但整体演化趋势基本相同;各地震波作用下的损伤演化曲线及均值曲线都可近似采用Logistic曲线表示。但是, 拟合得到的方程各参数不符合损伤演化方程式 (6) 的要求。G模型的极限值过小, 为0.7左右;MPA模型极限值过大, 已达5.0;都不符合结构损伤的定义。

　　 采用2.2节所示的方法来求取该钢筋混凝土柱的Logistic损伤演化方程。但是, 由于结构在22条地震波作用下的损伤演化曲线存在较大的离散性, 故在计算Logistic曲线参数前, 需对图6, 7的结果进行规则化。根据2.2节的分析, 按照MPA模型损伤指数达到1.0来判断钢筋混凝土柱失效是合理的, 因此以MPA损伤指数达到1.0时所对应的地震动强度为单位值对图6, 7进行规则化, 结果如图8, 9所示。规则化之后G模型和MPA模型损伤曲线的平均标准差及变异系数都有了明显的减小, 结果见表1。

　　 然后, 通过规则化后的MPA模型和G模型损伤均值曲线, 反演出图10中虚线所示的G模型和MPA模型的损伤均值曲线。再分别根据D=0.5与D=1.0求得x_0G=0.43, x₁=1.15, 进而得到log_κ49=4。便可得到该钢筋混凝土柱的Logistic损伤演化方程为:

　　 该柱的Logistic损伤演化曲线如图10中实线所示。从图10中可看到, 当地震动强度在0~0.15g时, 损伤可忽略不计, 可认为结构处于无损状态;当地震动强度在0.15g~0.3g时, 损伤逐渐加速;当地震动强度在0.3g~0.55g时, 损伤演化速率相对恒定, 损伤发展速率达到最大;当地震动强度在0.55g~1.15g时, 损伤逐渐放缓, 向1.0收敛, 并最终达到临界损伤值D_c=0.98, 结构失效。该Logistic损伤演化曲线, 综合反映了G模型和MPA模型的损伤演化特点, 并且其变化规律同图3中的3号曲线相类似, 表示该钢筋混凝土柱具有较好的耐损性能。

　　 文中研究了G模型和MPA模型损伤演化规律, 基于这两种损伤模型得到了结构的Logistic损伤演化方程, 并通过对一钢筋混凝土柱的分析得到的结论如下:

　　 (1) 得到的Logistic损伤演化曲线可以描述结构体系全过程的S形发展规律:当作用水平较低时, 体系处于弹性工作范围, 没有损伤;当作用水平增大时, 损伤出现并加速演化, 直至损伤演化速率呈现相对恒定;到达后期时, 尽管进入塑性的截面越来越多, 但是从整体损伤层面, 损伤指数会随着作用的增大而逐步稳定下来, 并逐渐趋近于1.0。

　　 (2) G模型的损伤演化为双曲线形式, MPA模型的损伤演化为抛物线形式, 这两类形式都可采用Logistic方程近似表示, 但所得方程的物理意义不合理;G模型的极限值偏小, 在0.7左右, MPA模型的极限值过大, 已达到5.0。

　　 (3) 单自由度体系的损伤演化方程可以通过综合考虑G模型和MPA模型的特点求得。从算例结果可以看出, 虽然在不同地震波下结构的损伤演化曲线存在一定的离散性, 但损伤演化规律基本不变;基于G模型和MPA模型的Logistic损伤演化曲线, 能够描述该钢筋混凝土柱在不同阶段的损伤状态, 且各阶段都具有相对合理的长度。

　　 文中的研究主要聚焦于单自由度体系的损伤演化, 对于多自由度体系的损伤演化曲线是否也可按照文中所示方法求解还有待进一步研究;另外, 地震作用下的损伤演化规律是以PGA为标准进行考虑的, 结构的损伤演化与其他地震动强度指标是否具有更好的相关性, 也是下一步需要研究的内容。