0 引言

　　 滑坡是公路路堑边坡最具破坏性的自然灾害之一，路堑边坡滑坡灾害的发生会造成巨大的经济损失和人员伤亡。因此，准确地对边坡稳定性进行预测尤为重要。由于公路路堑边坡系统是一个开放且复杂的系统，其稳定性影响因素呈现出不确定性的特点。如何建立各影响因素之间的联系，寻找一种快速准确的预测模型，对于边坡稳定性的预测至关重要。

　　 灰色系统理论 ^[1]是由邓聚龙教授提出的对小样本数据的识别、分析和预测的算法理论，近年来被广泛应用于边坡预测工程。我国学者欧阳经富等 ^[2]通过建立GM(1,1)模型实现了边坡变形监测和预测。马兴峰等 ^[3]结合高速公路的典型边坡，验证了GM(1,1)模型在公路边坡变形预测的适用性。此外，人工神经网络(ANN)是一个易于使用的工具，可以使用一组训练数据对其进行训练，训练后可用于从一组给定输入样本预测输出结果，在岩土工程中已被广泛使用 ^[4]。毕卫华等 ^[5]利用RBF神经网络模型(简称RBF模型，其中RBF为径向基函数)训练快、计算精度高的特点，进行边坡稳定可靠度分析。舒苏荀等 ^[6]通过RBF模型建立边坡安全系数的预测模型。以上研究都是单一模型的预测，虽有一定的预测效果，但灰色模型预测效果往往容易受到数据波动性的影响，无法很好地拟合复杂函数；RBF模型需要足够多的样本数据来作依据，当样本数据少的情况下就会出现较大的误差，往往达不到理想的预测效果，预测精度不够。

　　 为了有效避免单一模型显现出的问题，本文建立了一种GM-RBF组合模型来实现单一模型的互补，进而提高预测边坡稳定性的精度。GM-RBF组合模型在不同领域都展现出良好、稳定的预测精度，参考文献[7,8,9]分别通过建立GM-RBF组合模型来实现更高精度的化学需氧量(COD)预测、水泥长期强度预测及瓦斯涌出量预测，GM-RBF组合模型在不同领域均展现出良好的预测精度，更加客观地反映不确定因素下预测结果的变化规律。然而，该模型在道路工程领域，特别是具有不确定因素变化规律下的路基边坡工程研究却很少。本文结合京-新高速项目沿线路堑边坡失稳的情况，建立了一种基于GM-RBF组合的高路堑边坡变形预测分析模型，选取了重度γ、内摩擦角φ、内聚力c、坡角ϕ和坡高H五个因素进行分析，并验证模型的可行性，进而建立完整的高路堑边坡变形预测模型。

1 GM-RBF组合模型

1.1 GM(1,N)模型

　　 GM(1,N)模型是灰色系统理论的重要组成部分。目前，N个变量、一阶微分的GM(1,N)预测模型被广泛使用。其原理为将不规则的原始样本序列进行累加进而得到规律性较强的生成序列模型，通过模型演示样本序列进行预测。具体建模步骤如下：

　　 (1)AGO(累加生成)

　　 已知x(0)ii(0)(k),利用AGO对x(0)ii(0)(k)的一阶累加生成为x(1)ii(1)(k):

　　 x(1)i(k)=∑j=1kx(0)i(j)         (1)xi(1)(k)=∑j=1kxi(0)(j)         (1)

　　 式中：x(0)ii(0)(k)为原始序列；x(1)ii(1)(k)为累加序列，i=1,2,3,…,n,k=1,2,3,…,m。

　　 在数学理论中，设有一组光滑的非负数据所组成的数列，当利用一次累加的方式对数列进行处理后，生成的新数列基本都呈指数形式变化，这便是建立灰色系统模型的理论基础之一。

　　 (2)灰色建模

　　 对x(1)ii(1)(k)建立一阶微分方程：

　　 dx(1)i(k)dt+ax(1)i(k)=μ=∑i=2Nbix(1)i(k)         (2)dxi(1)(k)dt+axi(1)(k)=μ=∑i=2Νbixi(1)(k)         (2)

　　 式中：a为发展灰数；μ为生灰数；b_i为参数。

　　 根据最小二乘法，解得参数向量：

　　 aˆ=[a,b1,b2,⋯,bN]Ta^=[a,b1,b2,⋯,bΝ]Τ,满足aˆ=(BTB)−1BTYNa^=(BΤB)-1BΤYΝ

　　 B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−12(x(1)1(1)+x(1)1(2))−12(x(1)1(2)+x(1)1(3))⋮−12(x(1)1(n−1)+x(1)1(n))x(1)2(2)x(1)2(3)⋮x(1)2(n)⋯⋯⋮⋯x(1)N(2)x(1)N(3)⋮x(1)N(n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥         (3)YN=(x(0)1(2),x(0)1(3),⋯,x(0)1(n))T         (4)B=[-12(x1(1)(1)+x1(1)(2))x2(1)(2)⋯xΝ(1)(2)-12(x1(1)(2)+x1(1)(3))x2(1)(3)⋯xΝ(1)(3)⋮⋮⋮⋮-12(x1(1)(n-1)+x1(1)(n))x2(1)(n)⋯xΝ(1)(n)]         (3)YΝ=(x1(0)(2),x1(0)(3),⋯,x1(0)(n))Τ         (4)

　　 经计算得出GM(1,N)模型预测方程为：

　　 x(1)1(k+1)=[x(1)1(0)−1a∑i=2Nbix(1)i(k+1)]e−ak+1a∑i=2Nbix(1)i(k+1)         (5)x1(1)(k+1)=[x1(1)(0)-1a∑i=2Νbixi(1)(k+1)]e-ak+1a∑i=2Νbixi(1)(k+1)         (5)

　　 其中x(1)11(1) (0)=x(0)11(0) (1),对x(1)11(1)(k)序列进行累减，还原得到模拟值为：

　　 x(0)1(k+1)=x(1)1(k+1)−x(1)1(k)         (6)x1(0)(k+1)=x1(1)(k+1)-x1(1)(k)         (6)

1.2 RBF模型

　　 预测高路堑边坡安全的演变趋势需要科学和合理的预测方法。RBF是一种单隐层前馈神经网络，由一个带核函数的非线性层和一个线性输出层组成，能够仅使用少量径向基函数映射具有良好泛化性能的多维非线性系统，目标函数的学习效果好，为相对简单的网络结构，而且具有较强的逼近能力。高斯函数是RBF模型中常用的函数，函数表示为：

　　 Ri(xp)=exp(−12σi2∥xp−ci∥2)         (7)Ri(xp)=exp(-12σi2∥xp-ci∥2)         (7)

　　 式中：R_i(x_p)为高斯基函数值；x_p为第p个输入样本，x_p=(x(p)11(p), x(p)22(p), … x(p)mm(p))^T;‖x_p-c_i‖²为欧式范数；c_i为网络隐含层结点的中心，i=1,2,3,…,m;σ_i为高斯函数的方差。

　　 RBF模型的输出模型为：

　　 yi=∑i=1nωijexp(−12σ2i∥xp−ci∥2)         (8)yi=∑i=1nωijexp(-12σi2∥xp-ci∥2)         (8)

　　 式中ω_ij为隐含层到输出层的连接权值，j=1,2,3,…,m。

　　 通过K-means聚类算法，可以求得高斯函数的方差为：

　　 σi=cmax2h√ (i=1,2,3,⋯,h)         (9)σi=cmax2h (i=1,2,3,⋯,h)         (9)

　　 式中：c_max为各中心点距离的最大值；h为训练样本时临时作为高斯函数中心的样本个数。

1.3 GM-RBF组合模型

　　 首先，构建单变量X(0)00(0)和多变量X(0)ii(0)的系统分析序列：

　　 X(0)0=(X(0)0(1), X(0)0(2), ⋯,  X(0)0(n))X(0)1=(X(0)1(1), X(0)1(2), ⋯,  X(0)1(n))⋮X(0)m=(X(0)m(1), X(0)m(2), ⋯,  X(0)m(n))         (10)X0(0)=(X0(0)(1), X0(0)(2), ⋯,  X0(0)(n))X1(0)=(X1(0)(1), X1(0)(2), ⋯,  X1(0)(n))⋮Xm(0)=(Xm(0)(1), Xm(0)(2), ⋯,  Xm(0)(n))         (10)

　　 由于输入样本各因素的量纲不同，并且数值大小相差很大，为了提高网络的精度，加快训练网络的收敛速度，需要将原始数据控制在[0,1]之间，用式(11)进行归一化处理，得到新的序列(式(12))。

　　 xi(k)=Xi(k)−XiminXimax−Ximin         (11)x(0)0=(x(0)0(1), x(0)0(2), ⋯,  x(0)0(n))x(0)1=(x(0)1(1), x(0)1(2), ⋯,  x(0)1(n))⋮x(0)m=(x(0)m(1), x(0)m(2), ⋯,  x(0)m(n))         (12)xi(k)=Xi(k)-XiminXimax-Ximin         (11)x0(0)=(x0(0)(1), x0(0)(2), ⋯,  x0(0)(n))x1(0)=(x1(0)(1), x1(0)(2), ⋯,  x1(0)(n))⋮xm(0)=(xm(0)(1), xm(0)(2), ⋯,  xm(0)(n))         (12)

　　 式中X_imax和X_imin分别为X_i序列的最大值和最小值。

　　 利用GM(1,N)模型对训练样本进行一次预测，对各训练样本进行灰色AGO(累加生成),计算出模型参数序列值aˆa^,新的预测值序列yˆ(1)y^(1),构建差值序列：

　　 d1=yˆ(1)(k)−x(0)0(k)         (13)d2=yˆ(1)(k−1)−x(0)0(k)         (14)d1=y^(1)(k)-x0(0)(k)         (13)d2=y^(1)(k-1)-x0(0)(k)         (14)

　　 利用RBF神经网络进行二次预测，通过GM(1,N)模型所得到的一次预测值与实际值进行差值计算，把所得的差序列作为输出，RBF神经网络模型的分析序列如下：

　　  d1=(d1(1),  d1(2), ⋯, d1(n)) d2=(d2(1),  d2(2), ⋯, d2(n))x(0)0=(x(0)0(1), x(0)0(2), ⋯,  x(0)0(n))x(0)1=(x(0)1(1), x(0)1(2), ⋯,  x(0)1(n))⋮x(0)m=(x(0)m(1), x(0)m(2), ⋯,  x(0)m(n))         (15) d1=(d1(1),  d1(2), ⋯, d1(n)) d2=(d2(1),  d2(2), ⋯, d2(n))x0(0)=(x0(0)(1), x0(0)(2), ⋯,  x0(0)(n))x1(0)=(x1(0)(1), x1(0)(2), ⋯,  x1(0)(n))⋮xm(0)=(xm(0)(1), xm(0)(2), ⋯,  xm(0)(n))         (15)

　　 将x⁽⁰⁾作为模型的输入样本，d₁和d₂为期望输出，其中d由下式表示：

　　 d=(d1,d2)=∑i=1mωiRi(x)=∑i=1mωiexp(−∥xp−ci∥22σi2)         (16)d=(d1,d2)=∑i=1mωiRi(x)=∑i=1mωiexp(-∥xp-ci∥22σi2)         (16)

　　 式中ω_i为突触权值。

　　 对输入和输出序列进行训练拟合，从而得出预测输出d′₁和d′₂,计算出差值序列yˆ(0)(k)y^(0)(k):

　　 yˆ(0)(k)=d′1−d′2         (17)y^(0)(k)=d′1-d′2         (17)

　　 将yˆ(0)(k)y^(0)(k)用式(18)进行反归一化处理，即可得到GM-RBF组合模型的预测值y⁽⁰⁾(k)。

　　 y(0)(k)=yˆ(0)(k)×(X0max−X0min)+X0min         (18)y(0)(k)=y^(0)(k)×(X0max-X0min)+X0min         (18)

　　 式中X_0max和X_0min分别为X₀序列的最大值和最小值。

1.4 预测精度分析

　　 为了使预测效果得到科学合理的检验，本文分别从平均绝对误差(MAE)、均方根误差(RMSE)以及相对均方误差(RRMSE)等三个方面对各模型预测结果进行对比检验，各表达式如下：

　　 MAE=1n∑i=1n(X(1)0(i)−X(0)0(i)X(0)0(i))         (19)RMSE=1n∑i=1n(X(1)0(i)−X(0)0(i))2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√         (20)RRMSE=1n∑i=1n(X(1)0(i)−X(0)0(i)X(0)0(i))2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷         (21)ΜAE=1n∑i=1n(X0(1)(i)-X0(0)(i)X0(0)(i))         (19)RΜSE=1n∑i=1n(X0(1)(i)-X0(0)(i))2         (20)RRΜSE=1n∑i=1n(X0(1)(i)-X0(0)(i)X0(0)(i))2         (21)

　　 式中：X(1)00(1)(i)为第i个预测值；X(0)00(0)(i)为第i个实测值；n为预测的点数。

2 工程实例验证

　　 由于高速公路边坡稳定性评价体系涉及众多复杂因素和多种选择指标，其中定性指标有坡体结构、地层岩性和自然灾害等，定量指标有坡高、坡率和降雨量等 ^[10]。因此，对于评价体系中的每一个指标，都要能合理地反映边坡的真实情况，充分分析各指标的直接影响和间接影响。结合某段高速公路高路堑边坡工程实际情况，选取了重度γ、内摩擦角φ、内聚力c、坡角ϕ和坡高H等五个分析指标，以边坡安全系数F_s为预测评价指标。

　　 图1 三种模型边坡安全系数预测曲线(样本训练) 

　　  

2.1 预测模型建立与验证

　　 本文选取安全系数F_s(X₀)为参考序列，重度γ(X₁)、内摩擦角φ(X₂)、内聚力c(X₃)、坡角ϕ(X₄)和坡高H(X₅)作为因变量序列，分别构建灰色GM(1,5)模型、RBF模型和GM-RBF组合模型。

　　 选取文献[11,12]中的30个边坡工程实例作为训练样本，如表1所示，预测结果见图1。

　　 边坡训练样本 表1

序号	重度 /(kN/m3)	内聚力 /kPa	内摩擦 角/°	坡角/°	坡高/m	安全 系数
1	18.5	12	0	30	6	1.44
2	22	0	40	33	8	1.15
3	20	0	24.5	20	8	1.23
4	27	50	40	20	8	1.4
5	18	0	30	33	8	1.58
6	22	10	35	30	10	1.55
7	20	35	30	40	25	0.81
8	20	20	36	45	30	0.83
9	22	20	36	45	30	0.89
10	23.4	15	38.5	30.3	45.2	1.421
11	27	30	35	45	46	0.87
12	22.1	24.2	39.7	45.8	49.5	1.578
13	20	10	36	45	50	0.822
14	22.4	10	35	45	50	0.81
15	20	0.1	36	45	50	0.79
16	27.3	16.8	28	35	90.5	1.25
17	27.3	14	31	41	110	1.249
18	27.3	35	35	40	120	1.23
19	27.3	31.5	29.7	41	135	1.245
20	27.3	31.5	30	45	140	0.97
21	19.6	17.8	29.2	46.8	201.2	1.421
22	26	15	45	30	230	1.2
23	27	32	33	42.6	301	1.16
24	27	35	35	37	320	1.22
25	27	50	40	42	407	1.44
26	27	43	35	43	420	1.15
27	25	46	35	44	435	1.23
28	25	46	35	47	443	1.28
29	27.3	10	40	40	470	1.434
30	27.3	10	39	41	511	1.47

 

　　  

　　 由图1可知，GM(1,5)模型、RBF模型和GM-RBF组合模型的边坡安全系数预测值与实测值(实际监测结果)变化趋势基本相同，预测结果保持相对稳定。

　　 通过对三种模型的边坡安全系数预测曲线、输出结果以及边坡安全系数实测值进行统计分析，得出三种模型的边坡安全系数预测结果相对误差曲线，如图2所示。由图2可知，相较于GM(1,5)模型和RBF模型，GM-RBF组合模型大部分样本的边坡安全系数预测值与实测值的相对误差控制在0～5%,边坡安全系数预测值与实测值变化趋势更加吻合，预测结果更加稳定。

　　 根据样本训练结果，选取京-新高速公路段K23+500至K23+780和K40+980至K41+150中的10组典型边坡样本，如表2所示。利用GEO-SLOPE软件计算得到边坡样本的安全系数 ^[13],三种模型的预测结果如图3所示。

　　 边坡预测样本 表2

样本 序号	重度 /(kN/m3)	内聚力 /kPa	内摩擦 角/°	坡角/°	坡高/m	安全 系数
1	22.4	20	27	30	54	1.205
2	21.4	31.5	42	34	18	0.97
3	22.1	24.2	39.7	35.8	49.5	1.578
4	19	50	32	42	26	0.88
5	23.4	15	38.5	30.3	45.2	1.421
6	23.8	31	38.7	46.5	189.5	1.58
7	19.6	17.8	29.2	41.2	50	1.421
8	20	30	36	35	151.2	0.96
9	22	10	35	45.3	110	1.55
10	27	30	35	32.8	46	0.87

 

　　  

　　 图2 三种模型边坡安全系数预测结果相对误差曲线  

　　  

　　 图3 三种模型边坡安全系数预测曲线(实例应用)  

　　  

　　 由图3可知，三种模型的边坡安全系数预测值与实测值变化趋势上基本保持相对一致，说明三种模型对于边坡安全系数的预测都能较为接近真实情况；就边坡安全系数预测值与实测值的吻合程度而言，GM-RBF组合模型预测精度最高。其中，GM(1,5)模型中的第6组、第8组和第9组数据的边坡安全系数预测值与实测值具有相对较大的误差。由表2中数据变化情况可知，样本数据中坡高和坡角的变化起伏较大，RBF模型的第6组数据也出现较大的变化，这表明GM(1,5)模型和RBF模型都会不同程度地受到数据序列波动的影响，而GM-RBF组合模型能抵抗数据序列的波动，有利于在监测数据序列中进行有效预测。

2.2 预测结果对比分析

　　 对GM(1,5)模型、RBF模型和GM-RBF组合模型预测的10组边坡样本安全系数预测值以及边坡安全系数实测值进行统计分析，得出三种模型预测边坡安全系数的相对误差如表3所示。

　　 三种模型边坡安全系数预测值及相对误差 表3

序号	实测值	GM(1,5)模型		RBF模型		GM-RBF组合模型
		预测值	相对误差	预测值	相对误差	预测值	相对误差
1	1.32	1.204	8.79%	1.42	7.58%	1.29	2.27%
2	0.97	1.123	15.77%	0.901	7.11%	0.952	1.86%
3	1.578	1.451	8.05%	1.495	5.26%	1.523	3.49%
4	0.88	0.746	15.23%	1.025	16.48%	0.964	9.55%
5	1.421	1.594	12.17%	1.325	6.76%	1.364	4.01%
6	1.58	1.214	23.16%	1.311	17.03%	1.526	3.42%
7	1.421	1.312	7.67%	1.291	9.15%	1.324	6.83%
8	0.96	1.121	16.77%	1.042	8.54%	0.912	5.00%
9	1.55	1.364	12.00%	1.391	10.26%	1.614	4.13%
10	0.87	1.007	15.75%	0.973	11.84%	0.964	10.80%

 

　　  

　　 由表3可知，选取的京-新高速公路段的10个边坡工程实例的数据具有很大波动性。GM(1,5)模型预测结果中有7组边坡安全系数预测值与实测值的相对误差大于10%,RBF模型预测结果中有4组边坡安全系数预测值与实测值的相对误差大于10%,而GM-RBF组合模型预测结果中只有1组边坡安全系数预测值与实测值的相对误差大于10%。表明，GM-RBF组合模型能有效抵抗数据序列中存在的波动性，预测结果更为准确。

　　 分别计算三种模型预测的边坡安全系数的平均绝对误差、均方根误差和相对均方误差，计算结果如表4所示。从表4可知，相较于GM(1,5)模型和RBF模型，GM-RBF组合模型预测的边坡安全系数的平均绝对误差、均方根误差和相对均方误差三种预测指标值均是最小的。其中，相较于GM(1,5)模型和RBF模型，GM-RBF组合模型预测的边坡安全系数平均绝对误差(MAE)分别降低了64.6%和45.8%,边坡安全系数均方根误差(RMSE)分别降低了66.7%和45.2%,边坡安全系数相对均方误差(RRMSE)也分别降低了58.3%和38.7%。表明GM-RBF组合模型可以显著提高预测效率，实现更准确的边坡安全系数的预测。GM-RBF组合模型很好地结合了GM(1,5)模型根据数据信息来建立系统内部连接的优势以及RBF模型强大的非线性映射能力，边坡安全系数的平均绝对误差、均方根误差和相对均方误差三种指标值都达到了预期效果，从而实现对边坡安全系数更准确地预测。

　　 三种模型边坡安全系数预测评价指标 表4

评价指标	MAE	RMSE	RRMSE
GM(1,5)模型	0.132	0.175 6	0.142 5
RBF模型	0.086 2	0.107	0.096 7
GM-RBF模型	0.046 7	0.058 6	0.059 3

 

　　  

3 结论

　　 高路堑边坡的稳定性受到多种不确定因素的影响，本文通过研究GM(1, N)模型与RBF模型，提出了一种有效预测边坡安全系数的GM-RBF组合模型，根据30组样本实例的训练结果对10个边坡工程实例的安全系数进行有效预测，得出结论如下：

　　 (1)GM-RBF组合模型具有良好的预测性能，其边坡安全系数的预测值与实测值具有较好的一致性，且GM-RBF组合模型在边坡稳定性预测方面显现出较高的稳定性。

　　 (2)通过对10个边坡工程实例安全系数的预测，进一步验证了GM-RBF组合模型在边坡实际工程稳定性预测中的可行性和合理性。

　　 (3)将GM-RBF组合模型边坡安全系数预测结果与GM(1,5)模型、RBF模型的预测结果进行比较，结果表明，GM-RBF组合模型预测精度要高于GM(1,5)型和RBF模型，更能准确地预测出不同指标下的高路堑边坡安全系数，验证了该方法的有效性和可靠性。