对超高层结构进行动力弹塑性分析后,一般从位移限值、整体刚度退化和构件损伤等多个层面进行抗震性能评价 ^[1],而在判断整体刚度退化时,第一种方法是通过地震总剪力相对弹性分析的降低程度来判断,第二种方法是将弹塑性分析的顶部位移时程曲线与弹性结果画在一张图中,考察二者位移响应振动周期的差异性,通过结构发生塑性以后的周期相对弹性周期的拉长程度,间接判断结构刚度退化的程度。其中第一种通过剪力降低程度的判断方法有时会出现异常情况,并不总能得到符合实际的判断结果,该情况在文献[1]中已进行专门讨论,分析了具体原因。第二种通过位移响应周期的变化间接判断刚度退化程度的方法,也并非总是有效,相关影响因素较为复杂,目前尚未看到有文献专门针对该问题进行研究。本文以一个实际超高层案例为背景,针对这个问题进行讨论,以增加对弹塑性分析结果的进一步认识,形成更加合理的概念判断。

　　 某600m级超高层结构,基本自振周期9.181s,对其进行罕遇地震弹塑性分析,下面给出典型的两组地震波的弹塑性位移和弹性位移对比结果。图1为人工波时程曲线,图2为一组天然波时程曲线。

　　 图1中的两条曲线非常清晰地反映了工程师以往熟悉的规律:在开始阶段,弹塑性和弹性位移时程曲线基本重合,随着地震进程,弹塑性的振动响应周期逐渐拉长,但总体变化并不大,符合基本的概念判断。图2中的曲线则出现“反常”,尽管在开始阶段二者基本重合,但在30s以后,弹塑性的响应周期出现慢慢“缩短”趋势,在40～50s之间缩小程度还比较明显。对于这个反常现象,直观上会有两种解释:一是计算错误或者数据提取错误; 二是以往的经验尚未包含这种情况。经仔细核查并没有发现明显的计算或数据处理错误,所以接下来的讨论将“尝试”解释这种现象,从更深层次的角度分析导致这种现象的原因。

　　 在分析原因之前,先补充一个现象:对于上面所给出的两组波的响应,当考察结构构件的破坏程度时,天然波相对人工波破坏得更为严重,尤其核心筒的破坏更加明显。

　　 根据动力学原理 ^[2],结构的自由振动周期只取决于质量矩阵与刚度矩阵,地震作用下,质量矩阵一般不考虑变化,变化的只有刚度矩阵。结构在地震中发生破坏,刚度退化,自振周期变长是最基本的力学规律。但是结构在地震作用下的振动并非自由振动,所谓的顶点位移曲线所显示的响应周期只是对自振周期的间接反映,并不等同于自振周期,而是一种受迫振动周期,很多时候反映出的是输入地震动的周期。

　　 以简谐荷载下单自由度结构振动为例进行说明,其振动方程为:

　　 $m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle y}}+c\dot{y}+ky={\rm P}\sin \theta t(1)$

　　 式中:m为结构的质量; k为体系的刚度; c为体系的阻尼系数; P和θ分别为荷载幅值和频率; y为结构的位移。

　　 该方程的解为:

　　 $\begin{array}{l}y(t)=-\text{e}{}^{-\xi \omega t}[B{}_1\cos \omega {}_{\text{d}}t+(B{}_2\text{θ}+B{}_1\xi \omega )\sin \omega {}_{\text{d}}t]+\\ (B{}_1\cos \theta t+B{}_2\sin \theta t)(2)\end{array}$

　　 其中:

　　 $\begin{array}{l}\omega {}_{\text{d}}=\omega \sqrt{1-\xi {}^2}\\ B{}_1=\frac{-2\xi \omega \theta }{(\omega {}^2-\theta {}^2){}^2+4\xi {}^2\omega {}^2\theta {}^2}\frac{{\rm P}}{m}\\ B{}_2=\frac{\omega {}^2-\theta {}^2}{(\omega {}^2-\theta {}^2){}^2+4\xi {}^2\omega {}^2\theta {}^2}\frac{{\rm P}}{m}\end{array}$

　　 由式(2)可以看出,振动体系的位移解由两部分组成。第一部分为瞬态振动,又称为伴生自由振动,反映结构的自振特性; 第二部分为稳态振动,主要和荷载激励频率相关。一般认为瞬态振动衰减较快,通常可以忽略,结构最终将按照外部激励的周期做稳态振动。但地震激励并非简单的简谐激励,而是具有丰富的频谱特征,尤其结构周期较长时,瞬态响应更明显。所以对于地震激励,就不存在瞬态响应可以忽略的情况 ^[3]。因此,在地震中结构的振动响应周期实际上是瞬态振动和稳态振动叠加的综合结果,不纯粹是自振周期的反映。

　　 以350m和600m高的两个超高层工程为例,输入同一条波进行弹性时程分析。二者自振周期分别为6.46s和9.53s。图3为两个结构的顶部位移时程对比曲线。结果显示,600m高结构的位移响应周期比自振周期短很多,甚至比350m高结构的自振周期还要短。刚开始振动时600m高结构的响应周期大于350m高结构,20s以后则出现相反情况。可认为20s以后600m高结构的振动响应主要反映的是激励强迫振动的特征。对于这条波,如果假定一个结构的弹性周期是6.46s,在罕遇地震下刚度出现退化后,周期拉长到9.53s,增加到约1.5倍,那么弹塑性分析的位移响应振动周期基于上述分析将有可能“缩短”。

　　 实际结构发生的振动为有阻尼振动,包括系统输入的阻尼,也包括结构进入非线性后滞回耗能产生的等效阻尼。阻尼的作用主要有两个,一是使得结构响应得到衰减,二是对自振周期产生一定的影响。关于第二个阻尼对周期的影响反映在式(3)中,主要是阻尼使得周期变长,当阻尼比足够小时,这种影响基本可以忽略。

　　 $\omega {}_{\text{d}}=\omega \sqrt{1-\xi {}^2}(3)$

　　 式中:ω_d和ω分别为是否考虑阻尼时的自振周期; ξ为阻尼比。

　　 关于第一个阻尼对结构响应衰减产生的影响是否对结构振动响应周期有间接作用需进一步讨论。根据前面分析已经知道结构实际振动响应的周期由瞬态振动和稳态振动共同决定,而阻尼更大程度上影响瞬态振动的衰减,这将改变瞬态振动与稳态振动叠加时二者的比例,当这两种振动的周期差别较大时,将有可能使最终合成的周期发生一定程度的变化,从而出现响应周期相对“缩短”的现象。关于这一点将在后文进一步讨论。

　　 前面两个方面的分析仅仅是有可能发生弹塑性周期“缩短”的内部条件,而地震波本身的频谱特征可能是更为重要的外部影响因素。下面分别给出本文开篇介绍工程案例采用的天然波的时间历程加速度曲线、反应谱曲线以及傅里叶幅值谱曲线,同时给出位移响应时程曲线(图4～6及图2)。

　　 不难看出,该地震动有如下特征:典型的长周期地震动、在周期为2s附近以及4～8s之间傅里叶谱幅值较高,容易使得这个周期范围内的结构产生共振,9s周期附近是幅值低谷,本工程的基本周期正好在幅值谷段,这一特征对于所讨论问题的理解非常重要。

　　 表1给出各圈完整往复振动的实际响应周期,主要给出15～50s之间振动幅值较大的四个循环。从具体数值可看出,在前半段,结构的响应周期和自由振动周期并不吻合,位移响应周期更多反映了地震动的周期成分。这是由于在结构的基本周期附近傅里叶谱幅值较低,很难使结构在基本周期上发生共振响应,此时稳态振动占主导。而弹性结构的后半段瞬态响应占的比例较高,响应周期更接近自由振动周期。对于弹塑性结构,由于结构发生损伤破坏后,等效阻尼增加,瞬态振动响应的成分衰减较快,导致其比例降低,振动响应周期仍以稳态振动响应为主。相比之下,表现出在后半段弹塑性周期相对“缩短”的现象,而实质上是一种“地震动强迫振动的激励周期比结构自由振动周期短”的响应表现。

　　 为了进一步验证上述分析的可靠性,排除复杂实际工程弹塑性分析中各种不确定因素造成的影响,现构造一个简单的悬臂柱模型,共8层,高24m,通过适当的质量和刚度调整,分别获得有一定差异的自振周期,来模拟实际刚度退化对自由振动周期的影响,实际结构非线性耗能的效应则通过增大阻尼比来反映(暂假定从5%提高到10%),如此一来就可以进行等效弹性分析,完全排除材料非线性的影响。输入的地震动仍为前述实际工程采用的天然波。共构造三组对比试验,对比试验1的自振周期与前述实际工程的周期接近,在9s附近; 对比试验2的自振周期比前述实际工程的周期短,在7～8s之间。另外增加一组对比试验(对比试验3)用以反映不同等效阻尼比的影响。通过不同情况的对比来验证前述分析结论。

　　 下面给出3组对比试验的位移时程曲线,可以反映不同周期段的影响,也可以反映等效阻尼比的影响。具体见表2和图7,分析如下:

　　 (1) 对比试验1自由振动周期和前述实际工程比较接近,基本响应规律也非常一致,在40～50s范围内长周期结构响应周期有明显的“缩短”现象。

　　 (2)对比试验2同时减小两个周期,使其在7～8s范围内变化(具体数值见表2),用以模拟不同周期范围的情况,同时考虑附加阻尼的增加,结果未出现响应周期“缩短”。说明在7～8s范围内结构的振动均以瞬态振动周期为主,即最终的综合振动响应周期与自由振动周期较为接近。结合前面图6输入地震动的傅里叶幅值谱可知,在4～8s范围内谱值均较高,说明当结构自由振动周期落在这个范围内时,均较容易产生基于基本周期的共振响应。因此当刚度退化后,自然出现响应周期“延长”。

　　 (3)对比试验3自由振动周期变化情况和对比试验1相同,仅仅不考虑附加耗能阻尼影响,则不再出现响应周期“缩短”,说明结构变柔后,阻尼不变的情况下,瞬态响应的成分并没有快速衰减,最终的响应周期仍以瞬态振动周期为主,相比“弹性结构”,表现出响应周期“延长”。

　　 通过上面理想算例的对比试验,进一步验证了前述概念分析结论的合理性。说明在罕遇地震作用下,结构刚度退化后,位移响应的振动曲线所反映出的周期是有可能“缩短”的。

　　 前文通过结构位移响应曲线详细分析了刚度退化程度异常现象的原因。结构响应周期的“缩短”并不代表结构变刚。可以通过震后模态分析,重新得到结构在发生一定损伤后的振动周期 ^[4]。对本文开篇提到的工程案例进行不同地震强度等级的弹塑性时程分析:从7度小震到2倍9度大震,共分为6个强度等级,分别在每一级地震结束后进行模态分析,得到不同地震后的自振周期,并和震前结果进行比较(表3),据此计算刚度退化程度(表4)。由表中数据不难看出,随着地震强度的增加,结构的自振周期逐渐增加,其中7度大震时周期从震前9.181s增加为9.429s。图8给出了两个方向平动刚度和扭转刚度在不同强度地震后的退化程度。

　　 由此看出,通过震后模态分析所得结果进行刚度退化评估更加符合概念判断,没有出现位移曲线的“反常”现象。但该方法在构造即时刚度矩阵时将受到应力水平、拉压刚度取法的影响,所得结果并不稳定,并且反映的是某时刻或者地震结束后的“瞬时特征值周期”,实际结构在地震中考虑损伤破坏后刚度矩阵将随时间不断变化,在一次往复振动过程中的响应周期是一个时间段内的综合数值,和“瞬时特征值周期”是有区别的。本文讨论的工程案例若采用地震结束时的状态进行模态分析,所得基本周期为9.429s,比弹性结果的9.181s略有增大,该结果一定程度上能反映最终累积损伤带来的刚度退化,但并不代表结构在整个地震过程中的最大周期。因此如何通过合理、准确地计算周期变化来评判结构的刚度退化需要进一步开展研究。

　　 为进一步了解结构自由振动周期的变化情况,建议在地震动输入结束后继续增加计算时间,在没有地震激励情况下结构将发生自由振动,位移曲线的振动将更加真实地反映自振周期的变化。针对震后周期的合理性计算和评价问题将在后续工作中进一步研究。

　　 本文结合实际工程分析结果、概念和理论分析、理想弹性算例验证等,从多个方面对结构在地震损伤后的响应周期进行综合论证,对基本规律和结论总结如下:

　　 (1)在罕遇地震作用下,结构刚度退化后,位移响应的振动曲线所反映出的周期通常是“延长”的,但也有可能出现“缩短”的现象。

　　 (2)位移响应振动周期是瞬态振动和稳态振动叠加的结果,不纯粹是自振周期的反映。

　　 (3)当输入地震动所包含的频率周期成分在结构自由振动周期附近比例较低时,开始阶段较难直接激发以自由振动周期为主的共振响应,此时结构将主要以输入激励的其它频率(周期)进行受迫振动,瞬态响应的成分随地震进程发生变化。若结构发生非线性耗能导致阻尼增加后,瞬态响应衰减较快,两种振动叠加后的响应周期受到影响,若原自振周期较长而强迫激励周期较短时,则较容易发生响应周期“缩短”的现象。

　　 (4)通过弹塑性和弹性位移响应对比曲线反映的周期变化情况来判断结构总体刚度退化水平,并非完全科学合理,有可能会出现“误判”。建议结合构件的实际损伤破坏水平进行综合评判。

　　 (5)通过震后模态分析可以获得结构发生部分损伤后的自振周期,但计算结果受到应力水平、拉压刚度取法的影响,稳定性需进一步研究。