近年来, 工字型钢梁已广泛应用于土木工程中, 对其受力特性已有不少研究, 文献[1]比较了薄腹工字形截面轴压构件有效面积计算方法;文献[2]分析了轴心受压工字形构件有效面积计算方法;文献[3]研究了薄壁工字形钢梁在小载荷偏心作用下的承载力。众所周知, 梁在横向外载荷作用下发生弯曲时, 会引起横截面的翘曲。当梁在各横截面上的剪力都相等时, 各横截面的翘曲也相同, 相邻截面间纵向纤维的长度不因横截面翘曲而改变, 所以在各横截面剪力都相等的情况下, 梁横截面的翘曲不影响根据平截面假定所推导出的正应力分布规律;但在分布载荷作用下, 梁在各横截面上的剪力不同, 各横截面的翘曲程度也不同, 相邻横截面间纵向纤维的长度必然会因此发生变化, 从而会影响梁弯曲正应力的分布。

　　 工字型钢梁横截面的腹板高度与腹板宽度相差较大, 因此工字型钢梁在横向外载荷作用下发生弯曲时, 剪力有可能对工字型钢梁腹板的弯曲正应力有较大影响。所以, 本文研究了剪力对工字型钢梁腹板弯曲正应力的影响。

　　 研究剪力对工字型钢梁 (图1) 腹板弯曲正应力的影响时, 仅考虑腹板上与剪力平行方向的剪应力作用, 因为工字型钢梁的腹板承担了梁截面95%～97%的剪力^[4]。

　　 由材料力学^[4]可知工字型钢梁腹板上的剪应力τ₁为:

　　 $\tau {}_1=\frac{Q}{8{\rm I}b}[B({\rm H}{}^2-h{}^2)+b(h{}^2-4y{}^2)](1)$

　　 其中, ${\rm I}=\frac{B({\rm H}{}^3-h{}^3)}{12}+\frac{bh{}^3}{12}$。

　　 式中:I为工字型钢梁截面绕中性轴的惯性矩;B为翼缘宽度;H为梁截面高度;b为腹板宽度;h为腹板高度;Q为剪力;y为截面任意点至中性轴的距离。

　　 若忽略y方向分布载荷对工字型钢梁产生的压缩变形, 可认为翼缘弯曲时的挠度与腹板弯曲变形时的挠度相同。

　　 利用式 (1) 可知腹板的剪应变γ₁为:

　　 $\begin{array}{l}\gamma {}_1=\frac{\tau {}_1}{G}=\frac{\partial u{}_1}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ =\frac{Q}{8G{\rm I}b}\left[B({\rm H}{}^2-h{}^2)+b(h{}^2-4y{}^2)\right](2)\end{array}$

　　 式中:u₁, w分别为工字型钢梁x, y方向位移;G为工字型钢梁剪切弹性模量。

　　 设工字型钢梁截面没有面内位移, 可知梁挠度w与y方向无关。

　　 将式 (2) 对y做积分可得:

　　 $\begin{array}{l}u{}_1=-y\frac{\text{d}w}{\text{d}x}+\frac{Q}{8G{\rm I}b}[B({\rm H}{}^2-h{}^2)y+\\ b\left(h{}^{2}y-\frac{4y{}^3}{3}\right)]+C{}_1(x)(3)\end{array}$

　　 式中C₁ (x) 为以x为自变量的函数。

　　 在中性轴处有y=0, u₁=0, 所以由式 (3) 可知C₁ (x) =0为常数。

　　 由材料力学^[4]可知$q=-\frac{\text{d}Q}{\text{d}x}$, 由式 (3) 可知腹板轴向应变ε_1x表达式为:

　　 $\begin{array}{l}\epsilon {}_{1\text{x}}=\frac{\text{d}u{}_1}{\text{d}x}=-y\frac{\text{d}{}^{2}w}{\text{d}x{}^2}-\\ \frac{q}{8G{\rm I}b}\left[B({\rm H}{}^2-h{}^2)y+b\left(h{}^{2}y-\frac{4y{}^3}{3}\right)\right](4)\end{array}$

　　 由式 (4) 可得工字型钢梁截面腹板弯曲正应力σ_1x为:

　　 $\begin{array}{l}\sigma {}_{1\text{x}}=-Ey\frac{\text{d}{}^{2}w}{\text{d}x{}^2}-\\ \frac{qE}{8G{\rm I}b}\left[B({\rm H}{}^2-h{}^2)y+b\left(h{}^{2}y-\frac{4y{}^3}{3}\right)\right](5)\end{array}$

　　 式中E为钢材的弹性模量。

　　 工字型钢梁截面翼缘弯曲正应力σ_2x为:

　　 $\sigma {}_{2\text{x}}=-Ey\frac{\text{d}{}^{2}w}{\text{d}x{}^2}(6)$

　　 由材料力学^[4]可知工字型钢梁的静力平衡方程为:

　　 ${\rm M}(x)={\displaystyle {\int }_{\text{A}}y}\sigma (x)\text{d}A(7)$

　　 式中:M (x) 为工字型钢梁截面弯矩;A为工字型钢梁横截面面积。

　　 将式 (5) , (6) 代入式 (7) 中积分可得:

　　 $-\frac{\text{d}{}^{2}w}{\text{d}x{}^2}=\frac{{\rm M}(x)}{E{\rm I}}+\frac{q(1+\mu )}{4E{\rm I}{}^2}\left[\frac{B({\rm H}{}^2-h{}^2)h{}^3}{12}+\frac{bh{}^5}{15}\right](8)$

　　 将式 (8) 代入式 (5) 中, 可得工字型钢梁截面腹板弯曲正应力为:

　　 $\begin{array}{l}\sigma {}_{1\text{x}}=\frac{{\rm M}(x)y}{{\rm I}}+\frac{q(1+\mu )}{4{\rm I}{}^2}\left[\frac{B({\rm H}{}^2-h{}^2)h{}^{3}y}{12}+\frac{bh{}^{5}y}{15}\right]-\\ \frac{q(1+\mu )}{4{\rm I}b}\left[B({\rm H}{}^2-h{}^2)y+b\left(h{}^{2}y-\frac{4y{}^3}{3}\right)\right](9)\end{array}$

　　 在式 (9) 中令B=0, 式 (9) 即可简化为矩形截面梁的弯曲正应力公式:

　　 $\sigma =\frac{12{\rm M}(x)y}{bh{}^3}+\frac{q(1+\mu )y}{bh}\left(\frac{4y{}^2}{h{}^2}-\frac{3}{5}\right)(10)$

　　 对于矩形截面梁, 采用弹性力学^[5]给出的弯曲正应力公式:

　　 ${\sigma }^{\prime }=\frac{12{\rm M}(x)y}{bh{}^3}+\frac{qy}{bh}\left(\frac{4y{}^2}{h{}^2}-\frac{3}{5}\right)(11)$

　　 式 (10) , (11) 分别为本文方法、弹性力学方法推导出的均布载荷作用下简支矩形截面梁的弯曲正应力公式, 由式 (10) , (11) 可知, 本文方法解与弹性力学解的计算误差为:

　　 $\text{Δ}\sigma =\frac{\sigma -{\sigma }^{\prime }}{{\sigma }^{\prime }}\times 100\%(12)$

　　 将由本文方法推导出的均布载荷作用下简支矩形截面梁的弯曲正应力公式与弹性力学解进行比较, 以说明本文提出方法的计算精度。由式 (10) ～ (12) 可知, 本文方法解与弹性力学解在梁中性轴处弯曲正应力的误差为:

　　 $\delta =\frac{4\mu h{}^2}{15l{}^2}\left(1+\frac{4h{}^2}{15l{}^2}\right)\times 100\%(13)$

　　 当泊松比μ=0.25时, 取不同跨高比l/h的矩形截面梁, 计算本文方法与弹性力学方法求出的均布载荷作用下简支矩形截面梁的弯曲正应力误差, 结果见表1。

　　 从表1可以看出:随着跨高比的增大, 本文方法解与弹性力学解的误差逐渐减小, 即使跨高比为2时, 本文方法解与弹性力学的误差也仅为1.56%, 这说明本文方法的计算精度与弹性力学解的计算精度相当。所以, 本文方法推导出的均布载荷作用下简支矩形截面梁的弯曲正应力公式计算精度较高, 可在工程实际中应用。

　　 下面以文献[6]中的某焊接工字型钢简支梁为例, 讨论剪力对均布载荷作用下工字型钢梁腹板弯曲正应力的影响。

　　 参阅文献[6]可知, 工字型钢简支梁截面参数为:B=400mm, b=8mm, h=1 000mm, H=1 032mm, q=120kN/m, μ=0.25。

　　 由式 (9) 可求得工字型钢梁腹板中性轴处最大弯曲正应力公式为:

　　 $\begin{array}{l}(\sigma {}_{1\text{x}}){}_{\max }=\frac{ql{}^{2}h}{16{\rm I}}+\frac{1.5q}{4{\rm I}{}^2}\left[\frac{B({\rm H}{}^2-h{}^2)h{}^4}{24}+\frac{bh{}^6}{30}\right]-\\ \frac{1.5q}{4{\rm I}b}\left[\frac{Bh}{2}({\rm H}{}^2-h{}^2)+\frac{bh{}^3}{3}\right](14)\end{array}$

　　 取不同跨高比的工字型钢梁, 把式 (14) 计算的均布载荷作用下工字型钢梁腹板最大弯曲正应力结果与材料力学解均列在表2中以便分析讨论。

　　 对表2进行分析可知, 随着跨高比的增大, 均布载荷作用下工字型钢梁腹板弯曲正应力也逐渐增大, 这主要是由于工字型钢梁的截面弯矩也在增大。从表2可以看出, 随着跨高比的增大, 本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解与材料力学解误差逐渐减小, 这说明剪力对弯曲正应力的影响逐渐减小。但是, 式 (14) 中工字型钢梁腹板最大弯曲正应力公式考虑了工字型钢梁翼缘的作用, 而材料力学^[4]给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力公式没有考虑工字型钢梁翼缘的作用, 所以本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解小于材料力学解。在跨高比l/h<12时, 采用本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解是经济安全的。由材料力学^[4]可知, 当跨高比l/h>12时, 采用本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解与材料力学解皆安全。

　　 尽管本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解与材料力学解相差较大, 材料力学解偏于安全, 但不经济、过于保守。由以上分析可知, 由于工字型钢梁横截面腹板高度相对较大、腹板宽度相对较小, 剪力对工字型钢梁腹板最大弯曲正应力的影响较大。

　　 (1) 由均布载荷作用下简支矩形截面梁的弯曲正应力计算分析可知, 本文方法解与弹性力学解误差非常小, 这说明本文方法解的计算精度可靠。

　　 (2) 在跨高比l/h<12时, 采用本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解是经济安全的。当跨高比l/h>12时, 采用本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解与材料力学解皆安全。

　　 (3) 随着跨高比l/h的增大, 本文方法给出的工字型钢梁腹板弯曲正应力解与材料力学解误差逐渐减小, 这说明剪力对弯曲正应力的影响也逐渐减小。

　　 (4) 由于工字型钢梁横截面腹板高度相对较大、腹板宽度相对较小, 剪力对工字型钢梁腹板最大弯曲正应力的影响较大。