实际楼板常为均载弹性薄板, 设计时需求得最大正 (负) 弯矩, 有时还需确定负弯矩的最大影响长度。求解最大正弯矩可能是一维或二维最大值问题, 求解负弯矩的影响长度是零值点问题。上述问题均属于求极值问题。在一个给定的二维区间范围内, 既可能有多个极值, 也可能只有一个极值。工程中碰到的极值问题, 由于具有实际背景, 极值的数量事先是确定的。

　　 直接采用一般解析方法求解弹性薄板的极值较为繁琐且还有不小困难, 本文给出两种简捷求解方法。

　　 求解均载弹性板最大正 (负) 弯矩时要考虑计算效率。如果能够先找到含有最大值的大致范围, 并使这个范围快速地逐渐缩小, 当缩为一点时, 就得到了需求的最大值。于是萌生了缩小网片逼近法, 下面以求解X向最大正弯矩M_xmax为例详述其原理, 计算简图如图1所示, 图中每次搜寻网片中最大值的坐标用 (x¹, y¹) , (x², y²) , …, (xⁱ, yⁱ) 表示。

　　 假设均载弹性板尺寸为L_x×L_y。首先令X向最大初始正弯矩 (M_x) ⁰_max=0, 然后以网片中点 (x₀=L_x/2, y₀=L_y/2) 为中心, 以L_x⁰×L_y⁰=L_x×L_y为初始网片。将这个网片划分成m×m个网格 (建议取m为不小于4的偶数) , 每个方向的网格长度h_x⁰=L_x⁰/m, h_y⁰=L_y⁰/m, 生成 (m+1) × (m+1) 个网点。第ij (i, j=1, 2, …, m+1) 个网点的坐标 (x_i, y_j) 可按下式计算:

　　 计算这些网点的所有函数值, 将其最大值 (M_x) _max求出来, 与 (M_x) ⁰_max比较, 取新的 (M_x) ¹_max=Max[ (M_x) _max, (M_x) ⁰_max], 同时记录 (M_x) ¹_max相应的点坐标 (x¹, y¹) 。再以点 (x¹, y¹) 为中心, 左右取L_x¹=2h_x⁰, 上下取L_y¹=2h_y⁰为新网片, 将这个网片再划分成m×m个网格以及 (m+1) × (m+1) 个网点, 新的网格长度h_x¹=L_x¹/m, h_y¹=L_y¹/m。重复以上过程, 直到满足以下两个条件结束计算:

　　 计算经验表明, ε₁和ε₂均取0.000 1便足以满足精度要求。最终结果可包括最大正弯矩M_xmax值及其所在点的坐标。

　　 同理可求得Y向最大正弯矩M_ymax值。

　　 计算表明, “缩小网片逼近法”具有求解速度快、精度足够、稳定性好的优点, 并可以通过EXCEL的VBA组织运算。

　　 当已知最大正弯矩位于一个固定方向时, 可以采用效率更高的缩小区间逼近法求解。此法只需将网片改成已知方向的线段区间, 沿着固定方向逐步缩小区间长度, 所需计算工作量可以大大减少。

　　 各种矩形板的最大负弯矩均位于边界上, 当最大负弯矩不在边界中点时, 如两邻边连续两邻边简支板的X向最大负弯矩M_xmax'以及Y向最大负弯矩M_ymax'、三边连续一长边简支板的短边支座Y向最大负弯矩M_ymax'、三边连续一短边简支板的长边支座X向最大负弯矩M_xmax'等, 也可采用缩小区间逼近法求解。

　　 钢筋混凝土楼板支座负弯矩钢筋长度需要通过负弯矩影响长度来确定, 确定均载弹性板负弯矩的影响长度要复杂一些。因为负弯矩的范围如同从板边开始的水波向跨中以空间曲面形状蔓延, 波在板边两端数值小, 中部数值大, 负弯矩与正弯矩的交界线均为零值点。所以, 确定均载弹性板负弯矩的影响长度时面临区域中有多个零值点情形。工程上, 更加关注负弯矩从板边到跨中的最大影响长度。因此, 对于X向负弯矩M_x'只需求得离板边最远的坐标x值, 对于Y向负弯矩M_y'只需求得离板边最远的坐标y值。

　　 求解跨中最大正弯矩的缩小网片逼近法本质上是向最大值逼近, 确定负弯矩的最大影响长度相当于向零值点坐标逼近。计算经验表明, 采用缩小网片逼近法向零值点坐标逼近的效率不高, 因为零值点太多, 易受干扰。

　　 一条直线上的零值点坐标可以利用经典的“两分法”精确求解。设想知道了一个方向所有平行线的零值点坐标, 将平行线的间距不断缩小, 最终就可以求得所有零值点坐标的最大值。这就构成了求解二维零值点问题的缩小区间逼近零值点坐标法, 其求解原理如图2所示, 图中每次搜寻区间的零值点最大坐标用x¹, x², …, xⁱ表示。

　　 假设均载弹性板尺寸为L_x×L_y。欲求其X向负弯矩M_x'的最大影响长度, 先令其零值点最大坐标x⁰=0, 再将搜寻区间取为L_y⁰=L_y, 并将整快板沿y向划分成m个板条, 每个板条宽度h_y⁰=L_y⁰/m, 生成m+1条直线, 分别用“两分法”求得这些直线上所有的零值点坐标x_i, 得到x¹= (x_i) _max。取x¹所在直线为中心线, 新的搜寻区间为L_y¹=2h_y⁰, 再将其划分成m个板条, 新板条宽度h_y¹=L_y¹/m, 再求得该区间内新的零值点最大坐标x²。重复上述过程, 直到满足以下两个条件结束计算:

　　 最终的零值点坐标就是X向M_x'的最大影响长度。计算经验表明, ε₁和ε₂均取为0.000 1便足以满足精度要求。

　　 计算每条直线的零值点坐标时, 当X向负弯矩M_x'关于L_x/2轴对称时, “两分法”的区间范围为[0, L_x/2];当X向负弯矩M_x'不对称时, 区间范围为[0, L_x]。

　　 显然, 欲求均载弹性Y向负弯矩M_y'的最大影响长度时, 只需沿X向划分板条, 板条宽度为h_xⁱ, 求得零值点的最大坐标yⁱ即可。

　　 计算表明, 上述方法速度较快, 精度足够, 稳定性也很好, 可以用EXCEL的VBA组织运算。

　　 采用精确单三角级数和缩小网片逼近法求解均载下几种常用弹性矩形薄板的跨中最大正弯矩系数。X向 (Y向) 最大正弯矩M_xmax (M_ymax) 等于=X向 (Y向) 最大正弯矩系数× (qL) ², 其中, q为板上作用的均载, L为边长L_x, L_y中之较小者, 弯矩方向与文献[1]相同。计算结果见表1。

　　 由表1可见, 采用缩小区间逼近法的结果与文献[1]几乎相同。但采用缩小网片逼近法的结果对于有些板型与文献[1]的误差就较大。例如, 对于两邻边连续两邻边简支板, 文献[1]M_xmax系数的误差在-6.62%～9.94%之间;当0.5≤L_x/L_y≤0.6时, M_ymax系数的误差随L_x/L_y值的减小而增大, 最高达-22.10%。M_xmax系数和M_ymax系数误差均为负值, 表明文献[1]计算的最大弯矩值偏小, 实际应用时可能造成承载力不足。误差较大的原因是文献[1]按一定间距选择一些点求弯矩, 将其中最大的一个作为理论最大值的近似值, 选点可能偏少了些。

　　 对于三边连续一长边简支板的M_ymax系数以及三边简支一长边连续板的M_ymax系数, 文献[1]均在长连续边中点的对称轴上计算最大正弯矩。对于这两种板型, 边长比L_x/L_y不断变小 (相当于板沿着Y向变长) 时, 长边正弯矩最大值并不在长边中点对称轴上, 而在对称轴两侧的某一对称位置上, 如图3所示。

　　 三边连续一短边简支板在0.5≤L_x/L_y≤0.7之间的M_ymax系数, 本文缩小网片逼近法的计算结果与文献[1]的计算误差较大, 还需进一步研究。

　　 顺便提及, 文献[1]第218页中可能有印刷错误, 三边连续一短边简支板当L_x/L_y=0.9时M_y应为0.014 9, 而不是0.015 9。

　　 采用精确单三角级数和缩小区间逼近零值点坐标法求解常用均载矩形弹性薄板支座负弯矩的最大影响长度系数。均载下常用弹性矩形薄板支座负弯矩的最大影响长度系数的计算结果见表2。由表2可见, 负弯矩的最大影响长度系数不仅与板的边界条件有关, 还与板的边长比L_y/L_x有关。长向负弯矩的最大影响度系数δ_ey略大于短向负弯矩的最大影响长度系数δ_ex。负弯矩的最大影响长度系数有以下特点:

　　 (1) 以板短向净跨长度L_x1为准, 负弯矩的最大影响长度系数一般情况下小于0.25L_x1。

　　 (2) 对于三边简支一短边连续板且λ=L_y/L_x≥1.25时以及两短边连续两长边简支板且λ=L_y/L_x≥1.5时, 负弯矩的最大影响长度系数大于0.25L_x1且逐渐接近0.32L_x1。

　　 (3) 对于两邻边连续两邻边简支板且λ=L_y/L_x≥1.5时以及三边连续一长边简支板且λ=L_y/L_x≥1.75时, 负弯矩的最大影响长度系数大于0.25L_x1且逐渐接近0.263L_x1。

　　 (1) 本文提出了计算均载弹性矩形薄板正 (负) 弯矩最大值及负弯矩的最大影响长度简捷方法, 即缩小网格逼近法以及缩小区间逼近零值点坐标法, 这两种方法计算速度快, 精度好, 且可在EXCEL上用VBA组织运算。

　　 (2) 本文计算结果表明, 对于三边连续一长边简支板的M_ymax系数以及三边简支一长边连续板的M_ymax系数, 边长比L_x/L_y不断变小时, 在长连续边中点对称轴两侧某一位置的对称正弯矩将大于对称轴上的正弯矩, 这一现象应引起设计人员的重视。

　　 (3) 板负弯矩的最大影响长度并不总是小于0.25倍的短向净跨长度, 有些板型甚至可达0.32倍的短向净跨长度。