振动体系中使振动振幅稳定减小的作用称为阻尼, 建筑结构中, 阻尼主要来自结构变形过程中材料的内摩擦作用、不同材料之间的相互作用和周围介质 (如空气) 产生的阻力等, 其中各类摩擦和相互作用包括混凝土微裂缝的张开与闭合、各连接部位的摩擦、结构自身与非结构构件 (如非填充墙) 之间的摩擦、土壤-结构的相互影响作用等^[1]。阻尼作为反映结构振动过程中能量耗散的动力特性之一, 不同于结构质量和刚度等其他动力特性可直接精确描述, 在计算中通常需要抽象为数学模型。

　　 以单自由度体系的自由振动为背景, 当不考虑阻尼时, 体系的运动方程为:

　　 $m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}+ku=0(1)$

　　 式中:m为质量;k为刚度;$\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}$为加速度;u为位移。

　　 定义体系自振圆频率$\omega {}_{\text{n}}=\sqrt[]{k/m}$, 方程转化为:

　　 $\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}+\omega {}_{\text{n}}^{2}u=0(2)$

　　 当给定初始扰动后, 体系将以固定周期2π/ω_n往复运动, 位移曲线如图1所示。

　　 当考虑阻尼力f_D作用时, 建立图2所示的经典质量-弹簧-阻尼器单自由度系统结构体系, 运动方程如下式所示:

　　 $m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}+f{}_{\text{D}}+ku=0(3)$

　　 假设阻尼力f_D与结构的相对速度$\dot{u}$相关, 并设定黏滞阻尼系数c, 使得$c\dot{u}$项耗散能量与实际结构中的阻尼耗能相当, 即$f{}_{\text{D}}=c\dot{u}$;这种理想化的假定即称为等效黏滞阻尼, 其运动方程为:

　　 $m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}+c\dot{u}+ku=0(4)$

　　 黏滞阻尼系数c无法和结构刚度一样通过结构尺寸和构件大小来计算得到, 一般通过振动试验测量运动衰减率计算得到。

　　 如果结构阻尼纯粹为黏滞的, 理论上运动会如图1所示的自由振动永远持续下去, 尽管振幅越来越微小;然而在实际情况中, 必定存在使结构振动停下来的阻尼机制, 这部分阻尼称为库伦摩擦阻尼, 其来自两个表面滑动产生的摩擦, 表达式为F_s=μN (F_s为库伦摩擦力;μ为摩擦系数;N为滑动表面的法向力) , 大小与速度无关。

　　 在实际工程应用中, 除非结构中装有摩擦装置, 一般仍只采用等效黏滞阻尼。

　　 由于黏滞阻尼理论可导出简便的运动方程形式, 在工程中被广泛应用, 但其每个周期的能量耗散依赖于激励频率;而试验表明, 在每个周期的循环应变中, 内部能量耗散基本上与循环频率无关 (图3) 。

　　 基于此, 工程界定义了新的滞变阻尼理论, 其与速度同相而与位移成比例, 能量耗散不依赖于激励频率, 其阻尼力为:

　　 $f{}_{\text{D}}(t)=\text{i}\zeta k\dot{u}(5)$

　　 式中:i为虚数单位;ζ为滞变阻尼系数。

　　 等效黏滞阻尼体系的运动方程 (式 (4) ) 表达为:

　　 $\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle u}}+2\xi \omega {}_{\text{n}}\dot{u}+\omega {}_{\text{n}}^{2}u=0(6)$

　　 式中ξ为阻尼比, $\xi =\frac{c}{2m\omega {}_{\text{n}}}$, 其大小取决于体系的质量、刚度和阻尼系数。

　　 结构阻尼比一般需要通过长时间积累的大量结构地震动实测记录来分析确定, 但阻尼数据的积累并不容易, 因为最合理的阻尼值需要在结构产生较强烈振动但不产生非线性响应的时候获得, 当振动较小时, 测得的阻尼比值通常过小;而一旦结构进入非线性, 实测的阻尼数据将会受到由于材料非线性滞回耗能带来的影响而数值过大。

　　 表1为文献[2]对常见结构形式的阻尼比取值范围的建议。表中给出了不同应力水平下的阻尼比, 由表1中数据可见, 对于应力水平要求较高的结构, 阻尼比取值相对较为保守;而不同材料的阻尼比的取值, 由于材料自身性能差异, 其阻尼比也存在差异。

　　 表2为国内外规范对阻尼比的取值规定。由表2可见, 结构阻尼比不仅与结构本身的材料、结构高度、结构形式等有关, 还与分析时的建模方式有关。当采用非线性模型进行罕遇地震作用下动力弹塑性分析时, 由于材料进入塑性引起的耗能不应再重复考虑到阻尼耗能中;而采用等效弹性模型时, 则可将非线性耗能作为等效阻尼比考虑。

　　 文献[3]也指出, 等效黏滞阻尼通常指在线弹性范围内的能量耗散模型;结构在非线性时程分析中, 大部分能量将由结构构件在往复运动下力-变形滞回响应进行耗散, 因而非线性分析模型应根据在构件滞回特性中无法考虑的能量耗散来指定等效黏滞阻尼, 通常包括:模型中作为弹性单元建模, 但实际中会产生一定开裂和屈服的构件所导致的能量耗散;模型中未考虑的非结构构件, 如建筑面板和隔墙等产生的能量耗散;模型中没有考虑土体-结构相互影响时, 基础和土体相互作用带来的能量耗散等。

　　 当结构为多自由度体系, 自由振动运动方程为:

　　 $\mathit{m}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{u}}}+\mathit{c}\dot{\mathit{u}}+\mathit{k}\mathit{u}=0(7)$

　　 式中m, k和c分别为质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。

　　 u采用无阻尼振型, 并用u=Φq表示 (Φ为体系的振型矩阵, q为振型坐标矩阵) , 并前乘Φ^T, 方程 (7) 可改写为:

　　 $\mathit{\Phi }{}^{{\rm T}}\mathit{m}\mathit{\Phi }\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}}}+\mathit{\Phi }{}^{\text{Τ}}\mathit{c}\mathit{\Phi }\dot{\mathit{q}}+\mathit{\Phi }{}^{\text{Τ}}\mathit{k}\mathit{\Phi }\mathit{q}=0(8)$

　　 即:

　　 $\mathit{{\rm M}}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}}}+\mathit{C}\dot{\mathit{q}}+\mathit{{\rm K}}\mathit{q}=0(9)$

　　 由振型矩阵Φ的正交性可知, M=Φ^TmΦ, K=Φ^TkΦ为对角矩阵, 而C=Φ^TcΦ是否为对角矩阵取决于体系中阻尼的分布。

　　 如果C为对角矩阵, 此时一般结构中各部位都具有相似阻尼机制 (如多层建筑沿高度具有相似的结构特性) , 则称该体系具有经典阻尼。

　　 此时运动方程可代表为振型坐标q_n的n个无耦联的微分方程, 即:

　　 $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}{\rm M}{}_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & {\rm M}{}_{nn}\end{array}\right]\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}{}_{\mathit{n}}}}+\left[\begin{array}{ccc}C{}_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & C{}_{nn}\end{array}\right]\stackrel{\cdot }{{\displaystyle \mathit{q}{}_{\mathit{n}}}}+\\ \left[\begin{array}{ccc}{\rm K}{}_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & {\rm K}{}_{nn}\end{array}\right]\mathit{q}{}_{\mathit{n}}=0(10)\end{array}$

　　 从而对于线性分析, 原n维多自由度问题可直接解耦为求解n个单自由度的运动方程 (式11) , 经典振型分析法即为该直接解耦方法。求解过程与单自由度一致, 直接通过各振型阻尼比ξ_j定义对应阻尼系数C_jj。

　　 ${\rm M}{}_{jj}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle q{}_j}}+C{}_{jj}\stackrel{\cdot }{{\displaystyle q{}_j}}+{\rm K}{}_{jj}q{}_j=0(j=1,2,\cdots ,n)(11)$

　　 当C=Φ^TcΦ为非对角矩阵时, 则称为非经典阻尼, 即方程组 (式12) 耦合, 无法解耦形成单自由度形式的动力方程进行求解。

　　 $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}{\rm M}{}_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & {\rm M}{}_{nn}\end{array}\right]\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{q}{}_{\mathit{n}}}}+\left[\begin{array}{ccc}C{}_{11}& \cdots & C{}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ C{}_{n1}& \cdots & C{}_{nn}\end{array}\right]\stackrel{\cdot }{{\displaystyle \mathit{q}{}_{\mathit{n}}}}+\\ \left[\begin{array}{ccc}{\rm K}{}_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & {\rm K}{}_{nn}\end{array}\right]\mathit{q}{}_{\mathit{n}}=0(12)\end{array}$

　　 常见的非经典阻尼体系通常包括两个或两个以上具有明显不同阻尼水平的部分:如结构-土体系统 (图4) 、具有特殊耗能装置结构、隔震系统和混合结构等。

　　 当对具有非经典阻尼或具有经典阻尼的结构进行非线性分析时, 方程组之间存在耦联, 无法通过振型分析方法求解, 此时需给出阻尼矩阵的完整定义, 通过直接积分法来求解运动方程。常见的阻尼矩阵模型有振型阻尼和瑞雷阻尼。

　　 振型阻尼矩阵可根据振型阻尼比确定, 由于C=Φ^TcΦ为对角矩阵, C_n=ξ_n (2M_nω_n) , 其中M_n为M矩阵对角元素, 即M_n=Φ^T_nmΦ_n, 故阻尼矩阵c可通过对角矩阵M换算表达为:

　　 $\mathit{c}=\mathit{m}\left({\displaystyle \sum _{n=1}^j\frac{2\xi {}_{\text{n}}\omega {}_n}{{\rm M}{}_n}}\text{ϕ}{}_n\text{ϕ}{}_n^{\text{Τ}}\right)\mathit{m}(13)$

　　 瑞雷阻尼假设阻尼为质量阻尼和刚度阻尼的线性组合 (图5) , 表达式为:

　　 $\mathit{c}=\alpha \mathit{m}+\beta \mathit{k}(14)$

　　 式中α和β为常数, 可通过给定的任意两阶振型阻尼比反算求得。

　　 对于动力弹性分析, 这两种阻尼模式可单独使用, 也可组合使用。大多数结构计算通常选取振型阻尼, 但振型数量的设定往往由于矩阵维度和计算量的限制, 一般只能选取到结构前n个振型 (满足振型质量参与系数要求) , 如只采用振型阻尼, 则高振型都处于无阻尼状态, 此时就需要设定一定比例的瑞雷阻尼, 形成组合形式的阻尼模型。

　　 由图5 (c) 可见, 阻尼矩阵仅能确保两个振型 (T_A和T_B对应振型) 的阻尼为设定值 (如混凝土材料为5%) , 因而在T_A～T_B区间的阻尼比将小于5%, 结构响应偏大, 导致设计偏于保守, 但一般来说可满足工程结构的分析精度;而在小于T_A和大于T_B区间, 阻尼估算偏大, 结构响应偏小, 可能会导致设计偏于不安全。因而当采用瑞雷阻尼时, 应选择合适的两个振型来确定质量系数α和刚度系数β。

　　 以表3所示结构为例, 结构前6阶振型对应的频率见表3, 在确定瑞雷阻尼参数时选择三种方案指定T_A和T_B对应振型 (相应阻尼比为5%) :1) 工况1, 指定第1, 2阶振型;2) 工况2, 指定第3, 4阶振型;3) 工况3, 指定第1, 6阶振型。计算得到其他各阶频率对应阻尼比如表3所示。

　　 由图6的结果分布可知, 关键振型的选择对各振型阻尼比值影响不可忽视, 当采用前2种取值方法时, 将过高估计其余振型的阻尼影响。因而在采用瑞雷阻尼时, 建议通过多方案对比分析, 对关键振型的选取进行检验。

　　 对于上部钢结构屋盖、下部混凝土支承结构, 由于钢结构部分的阻尼比为0.02, 而混凝土结构部分的阻尼比为0.05, 故结构为明显的非经典阻尼体系。

　　 抗规对于此种结构形式给出了两种简化方法:振型阻尼比法和统一阻尼比法。振型阻尼比法通过设置各种材料的不同阻尼比, 根据各构件的应变能加权平均的方法来计算各阶振型阻尼比。应变能贡献大的构件对该振型的阻尼比贡献较大, 反之则较小。

　　 图7所示结构由下部混凝土结构和上部钢屋盖结构组成, 对此结构通过振型阻尼比法进行分析, 结果如图8所示, 结构大部分振型的阻尼比在0.02～0.03, 符合实际情况中钢构件较多的特点。得到不同振型阻尼比后, 一方面可直接用于振型反应谱法进行结构设计或基于振型叠加法进行动力时程分析;另一方面也可以通过不同振型阻尼比组建阻尼矩阵, 进行直接积分法计算。

　　 此简化方法将非经典阻尼转化为经典阻尼, 相当于对结构的阻尼矩阵进行“强制”解耦, 虽然该方法人为地忽略了阻尼转换矩阵中的非对角元素, 不可避免地引入计算误差, 但有利于结构设计人员的理解和应用。 且在特殊情况下, 有利于结构地震力的校核, 如计算混凝土结构附属的屋顶钢结构地震力时, 通过查阅阻尼比值为0.02时对应的局部振型参与质量与钢结构质量比值是否超过90%, 即可判定屋顶鞭梢效应是否在反应谱分析中充分考虑。

　　 参考抗规和高规, 动力弹塑性分析对于混凝土结构阻尼比的取值为0.05, 高层建筑基于性能的抗震设计指南 (PEER-2017) ^[9]中对于超高层阻尼比建议取值为0.025 , 而根据文献[13], 超高层实测阻尼比一般低于2%。

　　 本文以某实际项目为背景, 对其结构模型进行动力弹塑性分析, 结构高度为298m, 标准层结构平面尺寸为49.3m×53.6m, 高宽比为6, 采用钢筋混凝土框架-核心筒结构体系。首先采用PERFORM-3D软件, 参考抗规要求, 取阻尼比为0.05 (重力荷载代表值为1.0恒载+0.50活载) 进行动力弹塑性分析。由图9可见, 弹塑性状态下, 结构振动周期明显加长, 并出现一定的残余变形。

　　 同时参考高层建筑基于性能的抗震设计指南 (PEER-2017) ^[9]相关参数建议, 取重力荷载代表值为1.0恒载+0.25活载, 取阻尼比为0.025 进行动力弹塑性分析;与抗规取阻尼比为0.05的计算结果进行对比, 如图10, 11所示, 以X向为例, 阻尼比为0.025工况下, 阻尼耗能减少20%, 非线性耗能增加25%;X向顶点最大位移增加17%, X向最大层间位移角增加18%。

　　 对比可见, 在动力弹塑性分析下不同阻尼比取值工况对结果的影响明显 (由应变能分布可见, 两工况中活载取值差异对结果影响较小) , 因而对于超高层结构的动力弹塑性分析, 建议对不同阻尼比取值工况进行计算校核。

　　 在以PERFORM-3D为代表的隐式算法软件中, 应用振型阻尼矩阵或瑞雷阻尼矩阵都较为方便。

　　 为节约计算时间, 通常用初始弹性刚度矩阵直接形成瑞雷阻尼矩阵, 或计算结构的初始线弹性自振周期与振型间接形成振型阻尼矩阵, 两类阻尼矩阵都不随时间变化。

　　 将线弹性响应阶段的振型阻尼矩阵用于弹塑性响应阶段, 是一种近似方法, 因为结构进入弹塑性阶段工作后, 自振周期延长, 振型形式也将出现变化。

　　 当结构进入强非线性状态时, 由于结构的刚度处于变化过程, 导致振型形式不是确定性的, 振型阻尼可能会带来明显的数值计算“振荡”, 以单一的瑞雷阻尼形式构建结构体系的阻尼矩阵较为合适。然而需要注意的是, 由于动力弹塑性分析时刚度矩阵处于变化过程中, 瑞雷阻尼矩阵也不再是恒定值, 当采用瑞雷阻尼矩阵时, 对于刚度阻尼项βk必须加以关注, 特别是用纤维模型模拟的混凝土单元的刚度阻尼项, 这类单元的混凝土纤维在初始线弹性响应阶段假设为尚未开裂, 开裂后单元刚度显著下降, 继续用单元开裂前的刚度矩阵将会过高估计与此类单元相关的阻尼力与能耗, 从而影响数值计算的精度及结构动力响应的真实性。在PERFORM-3D中, 一般通过将混凝土纤维单元的刚度阻尼项系数β进行折减来处理。

　　 文献[14]中建议在隐式算法软件中将振型阻尼与瑞雷阻尼中的刚度阻尼项βk结合应用, 以振型阻尼为主, 为其所涵盖的振型施加所需阻尼, 辅之以很低阻尼比的βk阻尼项, 为高阶振型施加少量阻尼, 解决振型阻尼矩阵中高阶振型无阻尼的问题。

　　 在以ABAQUS为代表的显式分析计算中, 施加刚度阻尼项将会大量增加计算成本, 无法满足工程实际需求;其原因是显式算法为有条件的稳定算法, 其稳定积分时间步长Δt由分析模型中最高阶振型的圆频率ω_max和阻尼比ξ_max确定, 如下式所述:

　　 $\begin{array}{l}\text{Δ}t\le \frac{2}{\omega {}_{\max }}(\sqrt[]{1+\xi {}_{\max }^2}-\xi {}_{\max })(15)\\ \xi {}_{\max }=\alpha /2\omega {}_{\max }+\beta \omega {}_{\max }/2\end{array}$

　　 假设体系基本振型频率为1, 阻尼比为0.01, 最高阶振型圆频率取1 000。由式 (15) 可知, 对于无阻尼体系的稳定时间步长为:

　　 $\text{Δ}t\le \frac{2}{1000}=2\times 10{}^{-3}\text{s}$

　　 当考虑质量阻尼项a₀/2ω_n时, 阻尼比与频率成反比, 对应值为0.01×10^-3, 则稳定积分时间步长为:

　　 $\text{Δ}t{}_1\le \frac{2}{1000}\left(\sqrt[]{1+0.01{}^2}-0.01\right)=1.98\times 10{}^{-3}\text{s}$

　　 当考虑刚度阻尼项为a₁ω_n/2时, 阻尼比与频率成正比, 对应值为0.01×10³, 稳定积分时间步长为:

　　 $\text{Δ}t{}_2\le \frac{2}{1000}\left(\sqrt[]{1+10{}^2}-10\right)=1.0\times 10{}^{-4}\text{s}$

　　 由Δt₁和Δt₂与无阻尼时稳定时间步长Δt对比可见, 考虑质量阻尼项后时间步长基本不变, 而应用刚度阻尼项后, 时间步长减小为Δt的1/20, 计算量将增加20倍。

　　 因此, 在显式分析中, 一般仅采用质量阻尼项;但是由图5可知, 质量阻尼随着自振频率增大将迅速减小, 仅考虑质量阻尼将导致高阶振型的阻尼偏小, 从而过高估计高阶振型响应, 结果将偏保守。

　　 为了克服显式算法这一不足之处, 可行的一个方法是在计算中引入振型阻尼。

　　 由于高层结构自由度数量较大, 如第2.2.3节中所述, 计算中由于矩阵维度和计算量限制, 无法考虑所有振型, 如果只使用振型阻尼仅可保证部分振型的阻尼为设定值, 故本文基于ABAQUS的二次开发环境^[15], 参考文献[16,17,18]中LS-DYNA和PKPM-SAUSAGE的实现方法, 将阻尼力项设定为质量阻尼和振型阻尼的组合形式, 即阻尼矩阵c表达为:

　　 $\mathit{c}=\alpha {}_{\text{m}}\mathit{m}+\mathit{m}\left({\displaystyle \sum _{n=1}^j\frac{2\xi {}_{\text{d}\_n}\omega {}_n}{{\rm M}{}_n}}\text{ϕ}{}_n\text{ϕ}{}_n^{\text{Τ}}\right)\mathit{m}(16)$

　　 式中ξ_{d_n}为振型阻尼部分的阻尼比。

　　 阻尼比ξ值大小为质量阻尼部分ξ_m和振型阻尼部分ξ_d之和, 质量阻尼仍采用默认实现方法, α_m为ξ_m对应计算得到的质量阻尼系数;振型阻尼部分首先通过振型阻尼比计算得到阻尼矩阵, 即式 (16) 等式右侧第2部分, 继而结合节点速度值计算得到振型阻尼力, 将其作为已知外力作用在结构上。

　　 由于受ABAQUS二次开发环境限制, 近似采用n-1步的速度向量$\dot{\mathit{u}}{}_{n-1}$代替n步时刻的$\dot{\mathit{u}}{}_n$, 结合振型阻尼矩阵计算得到振型阻尼力$\mathit{c}{}_2\dot{\mathit{u}}{}_{n-1}$, 并将其移至运动方程$\mathit{m}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{u}}}{}_{\mathbf{n}}+\mathit{c}\dot{\mathit{u}}{}_{\mathit{n}}+k\mathit{u}=p(t)$的右边, 如下式所示:

　　 $\mathit{m}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \mathit{u}}}{}_n+\alpha \mathit{m}\dot{\mathit{u}}{}_n+k\mathit{u}{}_n=\mathit{p}(t)-\mathit{c}{}_2\dot{\mathit{u}}{}_{n-1}(17)$

　　 式中:c₂为式 (16) 等式右侧第2部分。

　　 由式 (17) 可知, 已知外力作用, 显式算法仍然成立, 且不会改变求解时间步长。

　　 图12为采用上述等效阻尼力方法 (式17) ) 计算等效阻尼力和直接采用阻尼系数的计算结果对比, 可见该方法可满足工程精度需求。

　　 图13为在ABAQUS软件中实现振型阻尼的流程, 首先通过模态分析获取结构的一致质量矩阵、周期和特征值等模态数据;其次计算阻尼矩阵, 形成矩阵文件C_Matrix.txt, 当矩阵维度过大时, 可按层进行简化;最后通过子程序*VDLOAD获取节点速度, 计算得到振型阻尼力作用于结构。

　　 以某实际项目为背景进行罕遇地震作用下的动力弹塑性分析, 项目采用钢筋混凝土-框架核心筒体系, 结构总高度为180.8m, 通过本文方法在ABAQUS显式分析中实现振型阻尼。图14为结构在仅采用质量阻尼、同时采用振型阻尼和质量阻尼情况下的顶部位移时程, 可见本文方法较仅采用质量阻尼方法有更大的阻尼耗能。计算验证本文方法可在取得较少振型阻尼阶数的情况下, 保证结构有足够的阻尼作用, 且可同时保证求解稳定性。

　　 (1) 对结构设计中常见的阻尼数值模型和国内外规范和规程的阻尼使用方法进行了总结对比, 并基于结构运动方程, 对比分析了常用的振型阻尼和瑞雷阻尼模型, 为不同工程使用场景提供指导。

　　 (2) 确定结构阻尼比取值时, 需同时考虑结构材料、结构高度、结构形式和建模方法等因素。

　　 (3) 采用瑞雷阻尼时, 建议通过多方案对比分析, 对确定质量和刚度系数的两个关键振型进行合理选取。

　　 (4) 当结构为多种材料构成的非经典阻尼体系时, 可采用振型阻尼比法简化为经典阻尼体系进行结构设计和校核。

　　 (5) 国内外规范和规程对于超高层结构在动力弹塑性分析下的阻尼比给出了不同的取值方法, 通过本文计算, 两者计算结果差异较大, 在实际工程中建议同时对不同阻尼取值工况进行验算校核。

　　 (6) 对比分析了阻尼在动力弹塑性隐式分析和显式分析中的实现方法和特点, 给出使用方法建议;基于ABAQUS/Explicit方法, 对振型阻尼在显式分析中的应用方法进行了探讨和研究, 其相对于仅采用质量阻尼方法可更好地考虑高阶阻尼作用影响, 可为相关工程应用提供参考。

　　 (7) 阻尼问题本身较为复杂, 建议后续研究和相关规程和指南中对其在结构动力计算中的应用问题进行更为深入的研究, 如弹性和弹塑性分析下阻尼比的取值差异化, 国内外阻尼比取值和实测值的差异等, 以帮助设计师在实际应用中得到更全面和准确的参考资料。