在《钢结构设计标准》 (GB 50017—2017) ^[1]中, 推荐了考虑P-Δ效应、P-δ效应的钢结构直接分析法。此方法在结构力学模型建立和构件设计方法上与传统的一阶弹性分析方法均有较大的不同。传统的钢结构设计过程主要分为两个步骤:首先建立理想结构的力学模型, 求解结构所有构件在各种外力作用下的内力并进行荷载效应组合;然后基于承载能力极限状态, 采用规范公式对构件进行抗力和荷载效应的比较, 当抗力大于荷载效应时, 即可认为结构满足规范需求。

　　 当构件内力中的轴力效应不可忽略时, 在构件稳定验算中涉及到计算长度系数求解, 因此传统的一阶弹性分析方法也称为计算长度系数法。即结构一阶弹性分析不考虑几何非线性和材料非线性的影响。P-Δ效应、P-δ效应、结构和构件的缺陷以及材料的塑性行为对结构的影响在构件设计阶段通过计算长度系数进行考虑。构件的计算长度系数与其临界应力有关, 可以通过屈曲分析结合欧拉公式反求构件的计算长度系数 (式 (1) ) 。

　　 $\{\begin{array}{c}\mu =\frac{\text{π}}{l}\sqrt{\frac{E{\rm I}}{{\rm P}{}_{\text{c}\text{r}}}}\hfill \\ {\rm P}{}_{\text{c}\text{r}}={\rm N}\lambda \hfill \end{array}(1)$

　　 式中:μ为计算长度系数;l为构件长度;E为弹性模量;I为截面惯性矩;P_cr为屈曲临界荷载, 大小为特定荷载分布形式下的轴压力N与屈曲因子λ的乘积。

　　 由式 (1) 可知, 不同的荷载分布形式对应不同的计算长度系数。在构件设计中, 当以竖向荷载效应为主时, 荷载分布形式可基于竖向荷载施加。

　　 由一阶弹性分析方法的基本假定可知, 结构内力计算时并不考虑几何非线性和材料非线性的影响, 而按极限状态确定构件承载力时已经考虑了几何非线性和材料非线性的影响。按一阶弹性分析确定的构件内力并不是构件达到极限状态时的实际内力, 即结构的内力计算模式与构件承载力计算模式并不一致。当结构由大量的细长杆件组成时, 结构和构件的初始缺陷、P-Δ效应、P-δ效应并不能被一阶弹性分析准确反映, 基于线性分析的结果进行构件设计可能存在不经济或者没有足够的安全储备情况^[2]。

　　 带有初始缺陷压杆的力学行为^[3]如图1所示。由一阶弹性分析获得杆件承载力λ_crP相当于仅考虑几何非线性承载力极限值。当同时引入材料非线性和几何非线性后, 杆件的承载力下降为λ_uP。而杆件出现第一个塑性铰时的承载力为λ_rP, 即在此案例中通过“直接分析”获得的杆件承载力λ_rP<λ_uP<λ_crP。

　　 直接分析法应用于钢结构设计时, 需要在力学模型中同时考虑结构和构件的初始缺陷 (图2) 。结构整体缺陷模式可按最低阶整体屈曲模态采用, 在实际应用中几何缺陷的最大值Δ₀可取结构高度的1/250或者结构跨度的1/300^[1]。

　　 构件的初始缺陷可按正弦曲线形式施加, 在实际应用中构件中点的最大缺陷值e₀可根据构件分类分别取值, 其极限值范围是杆件长度的1/400～1/250。在有限元模型中, 可以将节点间杆件等分为4个单元, 其中1/4节点处的缺陷值与中点处的比值约为0.707 。

　　 在计算中需要同时考虑P-Δ效应和P-δ效应, 在力学求解中需要根据变形后的状态建立力学平衡方程, 即在分析时需要考虑几何非线性。因此杆件的设计内力不能通过单工况荷载效应的组合确定, 而是应先进行荷载组合再进行内力求解^[4]。

　　 直接分析法将求取的内力作为校核构件的依据, 代入式 (2) , 即可判断构件是否满足承载能力极限状态需求。

　　 $\frac{{\rm N}}{Af}+\frac{{\rm M}{}_{\text{x}}^{\mathrm{Ⅱ}}}{{\rm M}{}_{\text{c}\text{x}}}+\frac{{\rm M}{}_{\text{y}}^{\mathrm{Ⅱ}}}{{\rm M}{}_{\text{c}\text{y}}}\le 1.0(2)$

　　 式中:M^Ⅱ_x, M^Ⅱ_y分别为绕X, Y轴的二阶弯矩设计值, 已包含了结构、构件初始缺陷和几何非线性效应;M_cx, M_cy分别为绕X, Y轴的受弯承载力设计值, 需要考虑截面塑性发展系数。

　　 综上所述, 采用钢结构直接分析法进行构件设计的一般流程见图3。

　　 表1给出了几款常用钢结构设计软件在应用钢结构直接分析法的方式和特点。

　　 如表1所示, 不同软件在具体应用时具有不同特点。NIDA提供了高阶带初始缺陷的PEP单元, 可以实现一杆一单元^[3], 便于实现直接分析法应用。

　　 同时需要指出的是, 结构的整体缺陷模拟的是结构的安装误差。在直接分析法的整体缺陷模式中, 采用了基于最低阶屈曲模态的一致缺陷模态法。其主要理论^[5]是结构最低阶临界点所对应的屈曲模态为结构的最低阶屈曲模态, 结构按该模态变形将处于势能最小状态, 所以对于实际结构来说, 在加载最初阶段即有沿该模态变形的趋势。若结构的缺陷分布形式恰与最低阶屈曲模态相吻合, 无疑对其受力性能产生最不利影响。

　　 实际上结构的安装误差近似符合正态分布, 结构的初始安装缺陷是多维随机变量, 其样本空间的每一个样本点都对应着结构的一种缺陷模态。将最低阶屈曲模态作为结构初始缺陷模态, 则避免了随机缺陷模态方法的大量计算工作量, 但是并不一定是真实结构最不利的缺陷^[6]。同时整体缺陷的合理性也依托于初始荷载分布形式的设定。如图4所示, 水平荷载和竖向荷载分别对应不同的缺陷模态。

　　 在实际工程应用中, 当水平荷载如风载、地震作用对杆件轴力有明显的影响时, 屈曲分析时的基本荷载工况应包含水平荷载。

　　 另一方面, 当构件的初始缺陷方向与荷载方向相反时, 显然结构的承载力会高于缺陷方向与荷载方向一致时的承载力, 如图5所示。

　　 然而根据直接分析法的原理, 当结构涉及风载、地震作用等多方向外力作用时, 理论上每一种荷载分布形式都对应一种不同的构件缺陷模式。

　　 文献[7]指出对于单个构件而言, 构件缺陷与单元横向外力方向相同时是最不利的, 但对于整个结构而言则不能确定。对于构件数很多的复杂结构系统, 结构局部缺陷的影响是局部的, 此时可以用规范中的假定缺陷方法估计结构的极限承载力。为了便于工程应用, 也可以考虑固定的杆件初始缺陷方向。

　　 SAP2000软件开放了应用程序开发接口 (OAPI) ^[8], 通过OAPI接口可以便捷地实现构件层次的初始缺陷。本文采用的SAP2000的版本为v17.1.0, 开发平台使用Visual Studio2010, 采用C#语言进行插件的开发, 其主要的流程如图6所示。

　　 在流程第4步中, 为实现可视化界面和用户交互, 需要添加Windows窗体, 显示窗体的代码如下:

　　 public void Main (ref cSapModel SapModel, ref SAP2000v17.cPluginCallback ISapPlugin) {

　　 Form1 form=new Form1 () ;

　　 form.ShowDialog () ;

　　 SapModel.View.RefreshWindow () ;

　　 ISapPlugin.Finish (0) ;

　　 }

　　 第5步编译成可见的COM组件时, 在项目属性中需要勾选“为COM Interop 注册”, 同时将AssemblyInfo.cs中的[assembly:ComVisible (false) ]语句中的false改为true。

　　 如果在本机中直接调用这个插件, 可以直接在SAP2000中添加插件, 见图7。

　　 杆件的初始缺陷需要考虑横向截面的X, Y轴两个方向, 要实现杆件中间节点偏移, 首先要获取杆件的X, Y轴的方向角。

　　 SAP2000软件中1轴为轴向, 2轴对应横向截面Y轴, 3轴对应X轴, 如图8所示, 同时1, 2, 3轴满足右手螺旋法则。

　　 杆件的默认方向与杆件的类型有关。对于竖直构件如柱构件, 默认的杆件2轴与整体坐标系X轴平行;对于非竖直杆件, 默认的杆件2轴在竖直平面内。

　　 判断杆件类型代码如下:

　　 //杆件向量V, 正Z轴向量Z

　　 if (V /length==Z)

　　 {

　　 //竖直杆的情况, length为杆件长度

　　 //对于2轴、3轴的定义

　　 axis2=new Vector3D (1, 0, 0) ;//正X轴向

　　 axis3=new Vector3D (0, 1, 0) ;

　　 }

　　 else

　　 {

　　 //非竖直杆

　　 //CrossProduct, 向量叉积运算

　　 axis3=Vector3D.CrossProduct (V, Z) ;

　　 axis2=-Vector3D.CrossProduct (V, axis3) ;

　　 }

　　 对2, 3轴的定义时, 还需考虑局部轴旋转角度。可通过SAP2000 API中以下语句获取杆件局部轴旋转的角度值, 杆件名称ObjectName, 角度值Ang:

　　 SapModel.FrameObj.GetLocalAxes (ObjectName, ref Ang, ref Advanced)

　　 Ang为2, 3轴围绕正局部1轴旋转的角度, 若杆件存在局部轴旋转, 2, 3轴的方向则需进行角度的调整, 角度调整可通过罗德里格旋转公式变换求得。罗德里格旋转公式 (式 (3) ) 中, 设v是一个三维空间向量, k是旋转轴的单位向量, 则v在右手螺旋法则意义下绕旋转轴k旋转角度θ得到的向量v_rot为:

　　 $\mathit{v}{}_{\text{r}\text{o}\text{t}}=\cos \theta \mathit{v}+(1-\cos \theta )(\mathit{v}\mathit{k})\mathit{k}+\sin \theta \mathit{k}\times \mathit{v}(3)$

　　 在上文论述中指出对于不同的荷载组合情况, 可以考虑固定的杆件缺陷方向以便于工程应用。本文的默认处理方式:对竖直杆, 缺陷方向默认设定为构件的正向2轴和3轴方向;对于非竖直杆, 缺陷方向与重力方向夹角小于90°, 即模拟杆件在重力作用下的挠曲。此时需要对2, 3轴的Z方向分量进行判断, 若Z方向分量大于0, 则需进行反向操作。

　　 设定杆件的中点偏移量可以是L/250, L/300, L/350或L/400 (图9) , L为杆件长度。通过获得2轴、3轴偏移量的矢量e和长度offset, 即可确定中点处新的空间定位。

　　 SAP2000 API中提供的“移动”操作可对选中的对象进行当前整体坐标系中的移动, 因此需要根据在其局部坐标系的偏移长度求得在整体坐标系中各个方向的增量。

　　 假设偏移向量与XY平面的夹角为α, 偏移向量在XY平面的投影与正X轴的夹角为β, 见图10。

　　 各个方向的增量可由α, β及偏移长度offset表示, 见式 (4) :

　　 $\{\begin{array}{c}\text{d}x=offset\times \cos \alpha \times \cos \beta \hfill \\ \text{d}y=offset\times \cos \alpha \times \sin \beta \hfill \\ \text{d}z=offset\times \sin \alpha \hfill \end{array}(4)$

　　 对于式 (4) 中的夹角α, β, 可根据偏移向量e表示, 见式 (5) :

　　 $\{\begin{array}{c}\sin \alpha =\mathit{e}.\text{Ζ}/\mathit{e}.\text{L}\text{e}\text{n}\text{g}\text{t}\text{h}\hfill \\ \cos \alpha =\sqrt{\mathit{e}.\text{X}{}^2+\mathit{e}.\text{Y}{}^2}/\mathit{e}.\text{L}\text{e}\text{n}\text{g}\text{t}\text{h}\hfill \\ \cos \beta =\mathit{e}.\text{X}/\sqrt{\mathit{e}.\text{X}{}^2+\mathit{e}.\text{Y}{}^2}\hfill \\ \sin \beta =\mathit{e}.\text{Y}/\sqrt{\mathit{e}.\text{X}{}^2+\mathit{e}.\text{Y}{}^2}\hfill \end{array}(5)$

　　 文献[1]规定杆件初始缺陷可采用正弦函数分布, 本文将杆件分割成等长四段, 并通过编程对分割点进行便宜操作, 杆件对象获取代码如下:

　　 SapModel.SelectObj.GetSelected (ref NumberItems, ref ObjectTypes, ref ObjectNames) ;

　　 对选中的杆件进行分割操作, 分割数目默认为4, 程序会给分割后形成的新杆件自动按序命名。

　　 SapModel.EditFrame.DivideByRatio (ObjectName, 4, 1, ref newnames) ;

　　 根据对象的名称可获得杆件的端点、端点坐标等属性信息。

　　 SapModel.FrameObj.GetPoints (ObjectName,

　　 ref Point1, ref Point2) ;//获取端点

　　 SapModel.FrameObj. GetCoordCartesian

　　 (Point1, ref X, ref Y, ref Z) ;//获取端点坐标

　　 对于3个分割点, 设定中间分割点偏移距离为offset, 两侧分割点的偏移距离则为$\frac{\sqrt[]{2}}{2}offset$。

　　 根据上文中2, 3轴方向的确定及矢量运算, 对各分割点进行移动, 方式如下:

　　 SapModel.PointObj.SetSelected (point, true) ;

　　 SapModel.EditGeneral.Move (dx, dy, dz) ;

　　 当杆件为竖直柱时, 其截面的2, 3轴方向有特殊的定义。向缺陷方向移动柱的分割点之后, SAP2000中将设定新产生的杆件为梁构件, 其2, 3轴方向将根据非柱构件的方式定义, 与实际所需情况不符。

　　 因此当杆件为柱构件时, 偏移移动分割点之后, 需设置新杆件局部轴的高级轴属性, 使新产出的杆件的2, 3轴方向与原柱构件保持一致, 实现方式如下:

　　 SapModel.FrameObj.SetLocalAxesAdvanced (

　　 newname, true, Plane, PlVectOpt, "Global", ref PlDir, ref PlPt, ref PlVect) ;

　　 上面语句的实现有多种参数设置方式, 本文采用的实现方式是将Plane的数值设为12, 表明由平面参考矢量确定的局部平面是1-2平面; PlVectOpt的数值设为3, 表明平面参考向量由自定义向量确定;PlVect平面参考向量设为为正X轴向量。

　　 建立如图11所示的3个简支梁案例模型, 分别通过临界力公式、计算长度系数法、直接分析法求解结构承载力。

　　 压杆临界力P与横截面面积A关系如下式:

　　 ${\rm P}=\delta {}_{\text{c}\text{r}}A(6)$

　　 由文献[9]可知, 式 (6) 中压杆的临界应力δ_cr与杆件的长细比λ相关, 其关系式如下式:

　　 $\delta {}_{\text{c}\text{r}}=\{\begin{array}{c}\text{π}{}^{2}E/\lambda (\lambda \ge \lambda {}_{\text{p}})\hfill \\ a-b\lambda (\lambda {}_{\text{s}}<\lambda <\lambda {}_{\text{p}})\hfill \\ \delta {}_{\text{s}}(\lambda \le \lambda {}_{\text{s}})\hfill \end{array}(7)$

　　 式中δ_s为材料强度设计值。

　　 对于Q235材料, a=304, b=1.12, λ_p=100, λ_s=61.4。

　　 经计算, 模型A, B, C的承载力汇总见表2。

　　 由表2计算结果可知, 对于模型B (中长杆) 和模型C (短杆) , 计算长度系数法和直接分析法较为接近;对于模型A (细长杆) , 直接分析法设计公式 (式 (2) ) 中包含了截面塑性发展系数, 承载力设计值较计算长度系数法高。由于细长杆失稳时, 材料并未进入塑性状态, 在实际工程应用中对细长杆建议不考虑截面塑性发展系数。

　　 《空间网格结构技术规程》 (JGJ 7—2010) ^[10] (简称《网壳规程》) 规定, 进行网壳全过程分析时应考虑初始几何缺陷的影响。由于传统的建模采用了一杆一单元方式, 即采用屈曲模态分析获得的缺陷是结构的整体缺陷, 并未包含构件层次的缺陷。当网壳结构由全铰接杆件组成时, 杆件本身始终保持直线, 截面内力仅包含轴力。在弹塑性全过程分析时, 即使有限元模型中施加了杆件中部塑性铰模型, 也无法模拟实际情况可能产生的杆件屈曲失稳→产生塑性铰→卸载情况^[11]。

　　 针对网壳全过程分析过程中的不利因素和不确定因素, 《网壳规程》规定了弹塑性全过程分析获得的稳定极限承载力考虑0.5倍折减系数后即为网壳稳定容许承载力。而由于采用直接分析法的模型中考虑了结构和杆件的初始缺陷, 计算过程考虑了P-Δ效应和P-δ效应, 同时考虑了材料非线性, 即可获得结构承载力设计值及承载力极限值。建立如图12所示的超静定案例模型, 采用直接分析法进行弹塑性全过程分析。

　　 案例模型中各杆件均为铰接, 仅考虑平面内杆件初始缺陷, 最大值为L/400 (L为杆件长度) , 杆件初始缺陷采用本文2.3节默认方式。

　　 直接分析法进行全过程弹塑性分析时, 材料应力-应变关系采用理想弹塑性, 屈服强度采用设计值^[1]。本文采用SAP2000自定义轴力-弯矩耦合塑性铰, 轴力-弯矩包络曲线为直线, 见图13。

　　 经分析, 结构的整体轴力-荷载步曲线如图14所示。由图14可知, 结构的承载力设计值约为430kN, 对应第15荷载步;承载力极限值约为930kN, 对应第41荷载步。

　　 全过程分析中, 杆件的轴力-荷载步曲线如图15所示。由图15可知, 1号杆件轴力在第21荷载步达到峰值后进入卸载状态, 塑性变形深入发展, 杆件无法继续承受外荷载作用;2号杆件轴力在第43荷载步达到峰值。杆件在非线性分析过程中的内力、应力、塑性铰开展情况见表3。

　　 综上所述, 采用直接分析法, 上述案例结构的承载力设计值约为434kN, 承载力极限值约为882kN。

　　 采用计算长度系数法时, 1号杆件截面为控制截面, 杆件稳定系数为0.423 , 对应整体稳定轴心受压承载力设计值为78.3kN。当竖向荷载为380kN, 分别采用直接分析法和一阶弹性分析方法求解结构各杆件轴力分布, 如图16所示。

　　 由图16可知, 同样大小的外荷载作用下, 两种方法获得结构内力分布有一定区别。相对直接分析法, 采用一阶弹性分析方法时, 1号杆件截面内力增大20%, 而2号杆件截面内力减小4%。其主要原因是:构件的初始缺陷改变了结构的初始刚度, 同时几何非线性的考虑进一步改变了内力分配。

　　 本文通过对钢结构一阶弹性分析方法和直接分析法的理论及应用要点进行讨论, 基于SAP2000软件开发了可快速施加杆件初始缺陷的插件, 并进行了案例分析, 得出了以下结论:

　　 (1) 一阶弹性分析方法进行压杆设计时, 结构的内力计算模式与构件承载力计算模式并不一致。基于线性分析的结果进行构件设计可能存在不经济或者没有足够的安全储备情况。

　　 (2) 采用最低阶屈曲模态作为结构整体缺陷模式时, 应考虑外荷载的不利分布。当水平荷载如风载、地震作用对杆件轴力有明显影响时, 屈曲分析时基本荷载工况应包含水平荷载。

　　 (3) 基于SAP2000软件提供的OAPI接口, 可以开发快速施加杆件初始缺陷的插件, 能够有效用于钢结构设计的直接分析法中。

　　 (4) 直接分析法设计细长压杆时, 考虑截面塑性发展系数可能会过高估计结构承载力设计值。

　　 (5) 基于SAP2000软件的直接分析法在计算中考虑了双非线性, 可求取结构承载力设计值和承载力极限值, 观察结构在加载过程中的塑性发展趋势, 并判断结构在极限荷载下的失稳形态和破坏机制。