供水管网是城镇供水系统建设中投资占比最大、设计方案最多样的部分。任何条件下的管网设计都要考虑水量及水压的保证性、水质的合格性、供水的可靠性和供水的安全性这四个因素^[1]。为了得到科学合理的给水管网设计方案, 在设计的同时也要考虑其经济性。这些因素是由水厂及管线布置、管径搭配、泵站情况等多种因素共同决定的。因此。城镇供水管网优化设计, 是一个具有NP特性 (Non-Deterministic Polynomial) 的多决策变量、多优化目标和多约束条件的复杂数学模型的构建并优化求解的过程。

供水管网优化设计模型的构建核心因素是决策变量和优化目标的选择。刘书明^[2]总结分析了以往的优化模型中的目标函数包括:管网系统年费用、节点富余水头加权平均值、管网信息熵、流量比率和管网弹性力5项指标。但是, 这些优化目标主要是以管网管径搭配组合为决策变量进行优化, 缺乏对供水管网管线布置和管道尺寸的协同优化设计。李海滨^[3]应用遗传算法最优化理论和图论知识, 以管网投资最小化为目标, 建立了基于整数遗传算法的树状管网布置与管径同步优化模型。但是该研究内容只局限于树状管网的优化设计, 而环状管网的设计相对于树状管网更加复杂和多样。姚慰炜^[4]用连续型 Hopfield 神经网络结合聚类算法解决环状管网的布置问题, 提出一种环状给水管网布置优化设计的方法。但是, 这种设计方法只是针对管道建设费用单目标问题进行求解, 无法确保设计方案的综合效益最高。随着计算机技术的发展, 进化算法发展迅速, 进而提高了求解多目标优化模型的稳定性和精确度。其中, 非支配排序多目标遗传算法 (NSGA-Ⅱ) 在求解给水管网多目标优化问题上具有良好的性能^[5]。

综上提出一种新的供水管网优化设计方法:以管网管线布置和管径搭配共同作为决策变量, 分析确定多项调整决策变量的优化目标, 建立优化模型, 并采用合适的多目标优化算法进行求解, 为供水管网优化设计提供合适的方案。

城镇供水管网管线布置分为2种:环状管网和树状管网。树状管网设计是在保证节点供水需求的基础上, 优化供水路径, 建立管网生成树, 根据节点流量平衡的条件, 计算得到管径合理配置的管网^[6]。环状管网则是在树状管网的基础上, 通过添加管道形成闭合环, 以提升供水系统的可靠性。通常, 城镇供水管网是由环数较多的环状网和一部分树状网组成的混合型管网。在城镇供水管网优化设计中, 基于管网建设成本的经济性和基于水量和水压的供水可靠性是常用的优化目标。因此, 本文首先利用基于禁忌矩阵和零信息素的蚁群算法, 初始化随机形成有限种不同的管网生成树, 在不改变生成树结构的同时, 协同管段的增减和管径的配置来形成多种混合型管网。然后, 建立优化目标为最小化“管网建造成本”、“管网管段水压均值”、“枝状管流量和”和最大化“管网恢复力”的多目标优化模型。接着, 用 MATLAB 软件平台搭载 EPANET2 动态链接库运算管网水力模型, 同时采用改进的 NSGA-Ⅱ 算法求解多目标优化模型, 得到基于以上4个优化目标模型的 Pareto 前沿解集。最后, 使用 VIKOR 法对 Pareto 前沿解集进行排序, 选出最优折衷设计方案。技术路线如图1所示。

供水管网生成树的建立是一个基础的非确定性多项式问题, 蚁群算法对于解决这类问题具有很大的优势^[7]。由于实际管网铺设过程中存在建筑物的阻碍和地形限制, 不能满足各个供水节点间都直接建立管线连接。因此, 依据节点连接关系, 需建立禁忌矩阵对蚁群算法行进路线探索约束。同时为保证管网生成树即初始种群的随机性, 需禁止蚁群在路线探索中释放信息素。本文采用基于禁忌矩阵和零信息素的蚁群算法初始化建立供水管网生成树, 基本步骤如下。

(1) 根据地形因素和城镇规划信息, 结合供水节点位置, 建立管线初步连接图, 并依据节点连接信息建立节点连接禁忌矩阵A_n×n, 见式 (1) 。其中a_ij的取值为0或1, 用来表征节点i与节点j是否可以直接连接;第i行即为第i个节点的禁忌连接表。

(2) 单只蚂蚁从随机节点出发, 每前进一个节点, 建立或更新所有途径节点的禁忌连接表。在规避所有节点禁忌表并集的情况下, 忽略传统蚁群算法的信息素, 随机选择下一个连接线路移动至新的节点。

(3) 待蚂蚁行进路线遍历所有节点后, 收集蚂蚁所有线路, 在供水管网节点图中连接相应节点, 得到一组管网生成树。

(4) 重复步骤 (2) ～ (3) , 直到获取足够数量的管网生成树, 来组成改进的 NSGA-Ⅱ 算法在求解模型中所需的初始可行解集。

本文采用4个优化目标来构建供水管网管线布置和管径搭配协同优化模型, 优化目标分别为最小化“管网建造费用”、“管网管段压力均值”、“枝状管流量和”以及最大化“管网恢复力”。各个优化目标的计算方法及计算公式如下所示。

供水管网的建造成本 (Cost) 是由多种因素所决定的, 本文只考虑供水管网的管长和管径对于建造成本的影响, 采用式 (2) 计算该优化目标的适应度。

式中 C_i——第i根管段的单位长度造价;

L_i —— 第i根管的长度;

np —— 管网中连接管段总数。

在排除外力因素的条件下, 管网爆管、漏损和管网的水压成正相关的关系, 即水压越高管网可靠度越低^[8]。在保证供水管网节点满足最小服务水头的同时, 采用管段连接节点水压平均值的方法计算管网各个管段的水压, 水压越低, 管网正常工作的概率就越高, 因此本文选用最小化管网管段水压均值 (P_avg) 作为优化目标, 适应度的计算见式 (3) 。

式中 P_i——第i根管段的平均水压, 由上下游节点的水压均值决定。

管网在发生故障时恢复到正常供水的能力称为管网恢复力 (I_r) ^[9], 表达方式为节点冗余能量占管网中可利用的最大冗余能量的比值, 该优化目标的适应度计算方法见式 (4) 。

式中 Q_p——泵站最大扬程时的流量;

H_p —— 泵站最大扬程;

H_i ——节点i自由水头;

H_imin —— 节点i最小服务水头;

npu ——管网中泵站数量。

供水保证性的大小是评估一个供水管网可靠性的主要因素, 在树状管网的基础上, 每增加一个合适管径的管线, 即增加了整个管网的可靠性。对于管网节点来说, 每增加一个与上游节点连接的管段, 该节点的供水保证性就越高。供水节点最大连接管段数一般不超过4根, 表1统计了10种节点管段连接情况, 并对10种情况的节点供水保证性进行从大到小的排序。

从表1可以看出, 若节点与管网上游连接方式为枝状管连接, 该节点的供水保证性表现为差;在此基础上, 节点连接的下游节点越多, 管网的可靠性就越差, 而节点与下游节点连接管段数, 通常与上游枝状管段的流量成正相关。因此, 选取最小化枝状管流量和 (Q_not) 作为优化目标, 采用公式5作为适应度计算方式。

式中 npt——管网中枝状管段数目;

Q_i ——第i根枝状管的流量。

在供水管网优化设计中, 除了保证供水管网的正常运行, 还需确保水质安全以及供水水压、流量的可靠性。因此, 供水管网还需受水力平衡条件、节点服务水头需求以及流速限制等多种条件的约束。其中水力平衡条件以及常态水量的保证性在 EPANET2 水力模拟中自动满足, 其余约束条件则在适应度计算中加入惩罚函数^[10]确保算法求解的最优解集符合条件。

选用供水管网管线布置和管道尺寸共同作为决策变量来构建供水管网优化模型, 所以决策变量取值范围可表达为Di∈{0, d₁, d₂, … d_k}, 其中0表示该管线不铺设, 其余元素为管网拟采用的管径规模。

NSGA-Ⅱ算法是求解多目标优化模型的常用算法, 针对需要解决的问题, 为更好地求解多目标优化模型, 在原有的NSGA-Ⅱ算法上进行了改进^[11,12], 如下所示。

管网布置优化实质上是在管网初步连接图的基础上确定各管线的连接状态。依据1.2节所述步骤确定供水管网的初始可行解集。对可行解集进行双序列基因编码, 如图2所示, 一组基因中的第一序列采用1和0来表征初始解中的管段是否连接, 第二序列采用整数型编码来表征管段管径, 编码集合为{0, 1, 2, … k}。其中, 0代表管线不铺设, 1～k分别表示为一种管网可以采用的管径尺寸。

传统的遗传算法中, 种群杂交采用基因组互换的双亲杂交方式进行杂交, 如单点杂交和多点杂交, 但是这样容易形成不满足管网整体连接的不可行解, 产生可行解的效率较低。周荣敏^[13]提出了一种采用单亲遗传算法进行种群进化, 虽然保证了可行解的产生率, 但忽略了传统算法中的交叉部分, 影响进化进度, 使得算法在解空间的搜索能力受到影响。采用一种改进的双亲杂交方式, 染色体杂交只交换每组基因的第二序列。如图3所示, 在交叉过程中, 以一条染色体为主体, 对拟交叉的另一条染色体的基因段进行逐个分析, 防止杂交后主体染色体出现基因第一序列为1, 第二序列为0的现象, 规避不可行解的产生。

采用条件变异对染色体基因进行突变操作, 基因突变只对基因的第二序列有效。若一组基因的第一序列为0时, 第二序列可突变成编码集合中的任意其他编码;若一组基因的第一序列为1时, 第二序列只能突变为编码集合中的其他非零编码。

传统的 NSGA-Ⅱ 算法限于种群的规模, 无法实现对局部解集的深入探索。通过建立一个外部档案储存算法进化过程中发现的非支配解^[14], 旨在收集更多的 Pareto 前沿解集。

在交叉和变异后产生的子代和外部存储档案中的解集共同进行非支配排序, 采用多人锦标赛进行下代种群的选取, 同时加入一定比例的新的个体, 增强种群的全局搜索性。

VIKOR法^[15]是由Opricovic提出的一种多属性决策方法, 属于一种基于理想点的最佳化妥协决策方法。VIKOR的基本观点是在充分考虑决策者主观偏好的同时, 通过最大化群效应和最小化个体遗憾对有限决策方案进行折衷排序。求解步骤如下。

(1) 确定理想解和临界评价值。汇总m个 Pareto 最优解在相应优化目标下的n个适应度值, 建立决策矩阵A_m×n, f_ij表示为第i个方案的第j项优化目标的适应度, 分别用f^*_j和f^-_j表示第j项优化目标的最优和最差评价值。

(2) 计算各Pareto最优解的群体效用值S_i和个体遗憾值R_i, 见式 (6) 和式 (7) 。

式中 ω_j——第j项评价指标的权重。

(3) 计算各Pareto最优解方案的折衷值Q_i, 见式 (8) 。

式中

$R{}^{-}=\underset{i}{{\displaystyle \max }}R{}_i;$

v—— 决策机制系数。

(4) 按照Q_i值递增的方式对Pateto最优解集进行排序, 得到A ⁽¹⁾ , A ⁽²⁾ , …A ^(j) , …A ^(m) , 若A ⁽¹⁾ 为最优方案, 且同时满足式 (9) , 则A ⁽¹⁾ 为此决策过程中的最优折衷方案。

$Q(A{}^{(2)})-Q(A{}^{(1)})\ge 1/(m-1)(9)$

按照上述描述方法, 以广东省某城镇供水管网设计为研究实例。依据供水特性和地形限制因素, 建立如图4所示的管网初步连接图, 该管网初步设计有61根管段, 42个节点, 2个市政供水点, 日供水量约为 1.71×10⁴m³, 属于小型城镇管网。管网节点流量依据城镇历史用水量进行确定, 各个节点蓄水量离散分布。此外, 拟建管段长度以及节点标高等基础数据也已确定。管网的最小服务水头为14 m, 为保证供水安全, 约束管道流速在合适的区间内。以管网管线布置和管道尺寸为设计变量, 拟建立一个管道数为41～61的一体化混合管网。每个管段在确定铺设状态下有5种可选管径, 管段在不铺设状态下标记为0, 则每个管段共有6种取值, 因此, 该优化问题的搜索空间大小为6⁶¹≈2.93×10⁴⁷。

采用的改进 NSGA-Ⅱ 算法的参数设置如下:初始种群大小设置为100, 循环代数为2 000, 每次循环后加入的新个体数目为10, 其他参数默认配置。为避免随机初始解对优化计算和折衷方案选取产生影响, 进行10次独立的优化计算, 将计算结果合并后并进行非支配排序得到最终的Pareto最优解集。

由上述的试验方案计算得到, 供水管网优化设计的Pareto最优解共3 450个。图5绘制了Pareto最优解的4个优化目标的适应度值, 可以看出, 解集在空间分布较为均匀, 在每个维度的极值差异较大, 表明改进的NSGA-Ⅱ算法在多目标求解上有较高的空间搜索度, 能为决策者提供更多种类的优化方案。

本文所建立的优化模型共有4个优化目标, 即有4个评价指标, 各个优化目标的适应度根据软件 EPANET2 和优化函数计算获得, 建立决策矩阵。各个评价指标的权重对最优方案的选取有非常重要的影响, 采用9种具有代表性的指标权重方案。使用VIKOR法对决策矩阵进行计算排序, 依据9种权重方案选取了9种最优折衷方案, 见表2的方案1～9。此外, 采用常规管网设计方法确定方案10, 表2中也列出了这种方案的4个优化目标的适应度值。

表2中方案2～5依次表示决策者重视某一评价指标的最优折衷方案, 方案6～9依次表示决策者轻视某一评价指标的最优折衷方案。方案1～9均为非支配最优方案, 所以在这些方案中, 单个优化目标值的变优必然伴随着至少一个其他优化目标值的劣化。将方案2～9与方案1依次进行对比, 可以

发现, 8种方案均有效地规避了单项目标值优化而其他优化目标值极差的情况。因此VIKOR法能有效地为决策者选取综合效益最高的折衷方案。

对比表2中10种方案的4项优化目标值, 发现方案4能够ε—支配^[16]方案10, 故选用这2种方案进行详细对比。这2种方案的管网布置和节点压力情况如图6所示, 可以看出, 方案4的较高压节点数远少于方案10, 表现出良好的管网稳定性。统计得到方案4和10的铺设管道总长分别为8.1 km和7.9 km, 相比而言, 方案4多铺设2%长度, 但在合理管径搭配下, 管网建设费用降低了21%, 极大地提升了管网建造的资金利用率。方案4和10铺设管段总数分别为51段和52段, 其中枝状管段数分别为10段和6段, 结合表2中所列2种方案的枝状管流量和, 可以得出方案4的管网可靠性远高于方案10。所以, 通过供水管网管线布置和管道尺寸协同设计, 相比于传统的先定线后定管径的设计方法, 有效提高了供水管网的资金利用率和管网运行可靠性。

(1) 针对给水管网的优化设计问题, 提出一种基于多目标优化的供水管网管线布置和管道尺寸协同设计方法。通过在案例管网上进行试验模拟, 证明了这种方法能够扩大设计问题的空间搜索范围, 得到更多优化设计方案供决策者选择;通过与传统先定线后定管径的设计方法设计出的优化方案进行对比, 证明了协同设计方法能提高管网优化水平, 进一步提升管网设计方案的资金利用率和管网运行可靠度。

(2) 采用改进的NSGA-Ⅱ算法求解多目标优化模型, 得到的Pateto解集在多维目标空间中分布均匀, 且在每个优化目标维度中也表现出良好的搜索性, 证明了改进的NSGA-Ⅱ算法在求解多目标优化问题上的良好适用性。

(3) 采用 VIKOR 法对多目标优化模型求解的Pateto解集进行排序, 选出符合决策者偏好的供水管网综合效益最优的折衷方案。通过对比多种决策偏好下的最优折衷方案, 证明VIKOR法能在优化偏好优化目标值的同时规避其他优化目标值极差的情况, 避免了后续投入高额维护成本的决策风险以及资金利用率过低的现象, 提升了管网设计方案的科学性和合理性。