剪切破坏一般是指构件在剪力和弯矩作用下沿斜裂缝发生的破坏, 又称斜截面破坏。在弯矩和剪力共同作用下的构件, 由于开裂后的内部变形协调关系理论尚未建立, 混凝土在复杂应力状态下的强度理论也不成熟, 所以还不能定量地建立剪切破坏的力学关系, 因此还没法用解析法建立剪切强度计算公式^[1]。

　　 目前, 国内外混凝土无腹筋梁抗剪承载力计算公式均为半理论半经验公式, 这些公式是根据不同的理论模型对试验数据进行统计分析而来的, 所以各国的计算公式在形式上不尽相同, 考虑的影响因素也不尽相同。例如我国规范^[2]主要考虑了混凝土强度、剪跨比和箍筋配筋率, 而美国规范^[3]还显式地考虑了纵筋率。

　　 《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2002) ^[4]的混凝土无腹筋梁抗剪计算公式一般被认为安全储备较高, 但有关文献发现某些情况下, 抗剪计算公式安全储备并不高, 甚至偏于不安全。文献[5]进行了8根钢筋混凝土无腹筋梁的抗剪试验, 得出纵筋率对抗剪承载力影响明显, 指出《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2002) ^[4]的抗剪公式所依赖的试验数据纵筋率过高 (通常纵筋率在2%以上) , 该抗剪公式在计算纵筋率较大的梁抗剪承载力是安全的, 但在计算纵筋率较小的梁抗剪承载力可能偏于不安全。文献[6]进行了6根钢筋混凝土无腹筋梁的抗剪试验, 得出我国规范^[2]抗剪计算公式在计算剪跨比较小的梁抗剪承载力是安全的, 但在计算剪跨比较大的梁抗剪承载力不够安全。文献[7]收集了291根混凝土无腹筋梁的抗剪试验数据, 通过统计分析, 得出当纵筋配筋率小于2%, 或者剪跨比大于2.5, 以及截面有效高度大于600mm时, 试验值与我国规范^[2]抗剪计算公式计算值的平均值小于1, 得出我国规范^[2]抗剪计算公式不够安全。

　　 本文首先对我国规范^[2]抗剪计算公式的由来进行梳理, 然后对规范公式基于的试验数据库进行统计分析, 最后采用拉压杆理论推导出一个抗剪承载力计算公式, 验证文献[5,6,7]提出的问题是否存在, 同时, 为我国规范^[2]抗剪计算公式的完善提供参考。

　　 建国以来, 我国分别于1966年、1974年、1989年、2002年和2010年颁布了5版混凝土结构设计规范, 均对钢筋混凝土构件抗剪强度的计算提出了相应的经验公式。其中1966年颁布的《钢筋混凝土结构设计规范》 (BJG 21-66) 几乎完全参照1955年的苏联规范HNTy 123-55^[8], 这不仅不符合我国国情, 而且在安全性上也存在很大的问题。从20世纪60年代后期到70年代初期, 我国学者结合实际情况进行了大量的理论和试验研究, 于1974年颁布了《钢筋混凝土结构设计规范》 (TJ 10-74) , 此版规范根据国内外222根配有箍筋的梁的剪压破坏试验数据, 给出了抗剪强度计算的经验公式, 其中集中荷载作用下梁的抗剪强度计算公式为:

　　 $Q\le Q{}_{\text{p}}=\frac{0.4}{m+0.4}R{}_{\text{a}}bh{}_0+\alpha {}_{\text{k}\text{h}}R{}_{\text{g}}\frac{na{}_{\text{k}}}{s}h{}_0+0.8A{}_{\text{w}}R{}_{\text{w}}\sin \alpha (1)$

　　 式中:Q为构件斜截面上的最大剪力设计值;Q_p为 构件斜截面受剪承载力设计值;m为剪跨比, 1.7≤m<4时取m=1.4, m≥4时取m=4;其余各符号含义见《钢筋混凝土结构设计规范》 (TJ 10-74) 。

　　 后来规范抗剪研究小组又对梁的抗剪强度做了大量的试验研究, 研究结果表明, 实测的承载力比式 (1) 的计算值低, 说明《钢筋混凝土结构设计规范》 (TJ 10-74) 中的抗剪强度公式不安全, 于是1989年颁布了《混凝土结构设计规范》 (GBJ 10-89) , 根据试验结果调整了抗剪强度公式中的各系数值。计算公式为:

　　 $V\le V{}_{\text{u}}=\frac{0.2}{\lambda +1.5}f{}_{\text{c}}bh{}_0+1.25f{}_{\text{y}\text{v}}\frac{A{}_{\text{s}\text{v}}}{s}h{}_0+0.8f{}_{\text{y}}A{}_{\text{s}\text{b}}\sin \alpha (2)$

　　 式中:V为构件斜截面上的最大剪力设计值;V_u为构件斜截面受剪承载力设计值;λ为剪跨比, λ<1.4时取λ=1.4, λ>3时取λ=3;其余各符号含义见《混凝土结构设计规范》 (GBJ 10-89) 。

　　 随着高强混凝土的日益广泛使用, 有关高强混凝土构件的试验结果表明, 高强混凝土的抗剪强度与混凝土抗压强度的符合程度不够好, 而与混凝土抗拉强度 f_t符合较好, 多家院校及科研机构也在相关的论文中建议在钢筋混凝土抗剪强度计算中引入混凝土的抗拉强度^[4]。所以, 从《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2002) ^[4]开始, 规范采用了混凝土抗拉强度代替抗压强度, 同时, 条文说明还指出:抗剪承载力计算还宜考虑纵向受拉钢筋配筋率、截面高度尺寸效应等因素的影响。混凝土无腹筋梁在集中荷载作用下的抗剪承载力计算公式为:

　　 $V\le V{}_{\text{u}}=\frac{1.75}{\lambda +1}f{}_{\text{t}}bh{}_0(3)$

　　 式中:V为构件斜截面上的最大剪力设计值;V_u为构件斜截面受剪承载力设计值;λ为剪跨比, λ<1.5时取λ=1.5, λ>3时取λ=3。

　　 式 (3) 是基于文献[5]中钢筋混凝土构件斜截面抗剪强度试验数据统计分析而来, 共292个混凝土无腹筋梁构件, 基本均为普通混凝土, 试件的有关参数为:截面宽度约为50～600mm, 截面有效高度约为70～1 100mm, 纵筋率为0.57%～5%, 剪跨比为1～8.5。试验数据的实测值与 f_tbh₀的比值分布情况见图1, 混凝土无腹筋梁试验数据见表1^[9]。

　　 从图1可以看出, 不考虑纵筋率的影响, 当剪跨比大于3时, 构件的抗剪承载力与剪跨比关系不大;当剪跨比小于3时, 构件的抗剪承载力与剪跨比有明显的关系, 随剪跨比的减小而增大, 但数据的离散性较大。

　　 对试验数据进行分类, 按剪跨比不同分为2类:1<λ<2.5, λ≥2.5;按纵筋配筋率不同分为3类:ρ≥2%, 1%<ρ<2%, ρ≤1%;按截面高度不同分为2类:h₀≤600mm, h₀>600mm。分类后不同影响因素下的数据分析情况见表2。

　　 表2中结果表明, 纵筋配筋率小于2%、剪跨比大于2.5以及截面有效高度大于600mm的构件, 试验值与式 (3) 计算值的比值的平均值均大于1。没有出现文献[5,6,7]描述的情况。不过, 随着剪跨比的增大, 试验值与式 (3) 计算值的比值的平均值在减小;随着纵筋率的减小, 试验值与式 (3) 计算值的比值的平均值也在减小;随着截面高度的增大, 试验值与式 (3) 计算值的比值的平均值在减小。

　　 当剪跨比λ≥3时, 抗剪承载力与剪跨比关系不大, 那首先从剪跨比λ≥3时的情况来研究抗剪承载力, 研究的方法采用拉压杆方法。拉压杆的基本假定为:混凝土斜压杆只承受压力, 钢筋拉杆只承受拉力;混凝土斜压杆压应力达到双轴受力下混凝土极限强度时, 压杆-拉杆桁架模型达到受剪承载力极限状态。除了拉压杆的基本假定, 本文还假定斜拉破坏的斜裂缝角度保持不变, 均为λ=3时的角度。

　　 文献[8]研究表明, 在受力过程中, 在A-A截面上, 混凝土压杆的压应力如图2所示, 沿压杆中心线呈抛物线分布。由于局部压应力的影响, 混凝土压杆所受拉应力的分布见图3, 拉应力沿B-B截面的实际分布长度为k (a/cosθ) , 其中k为拉应力分布长度系数, k=0.5。

　　 参考文献[5]中压杆-拉杆桁架模型 (图4) , 计算分析过程如下:

　　 混凝土斜压杆的压力D为:

　　 $D=\sigma {}_{\text{c}}b\omega (4)$

　　 式中:σ_c为混凝土斜压杆的压应力;b为梁的截面宽度;ω为混凝土斜压杆的截面高度。

　　 在加载点处混凝土斜压杆截面高度ω为:

　　 $\omega =\frac{C{}_{\text{z}}}{\cos \theta }=\frac{0.6\alpha h{}_0}{\cos \theta }(5)$

　　 式中:C_z为混凝土水平压杆截面高度, C_z=0.6αh₀, 其中h₀为截面有效高度;θ为斜压杆角度;α为弯矩作用下跨中混凝土受压区高度系数, $\alpha =\sqrt[]{(n\rho ){}^2+2n\rho }-n\rho$, 其中n为受拉纵筋与混凝土弹性模量之比, ρ为纵筋配筋率。

　　 C60高强混凝土弹性模量E_c=3.6×10⁴N/mm², 钢筋弹性模量E_s=2.0×10⁵N/mm², 则$\alpha \approx 1.35\sqrt[3]{\rho }$。

　　 对于图4所示的桁架模型, 纵筋拉杆拉力T为:

　　 ${\rm T}=D\text{c}\text{o}\text{s}\theta (6)$

　　 梁承受的剪力V为:

　　 $V=D\text{s}\text{i}\text{n}\theta (7)$

　　 根据文献[10,11]对基于压杆-拉杆模型基础上的压杆的分析, 可以将压杆分为由两个分构件组成的构件来传递压力。如图4所示, 其中分力D′与压杆轴线的角度为$\frac{1}{2}$rad, 则有:

　　 $\begin{array}{l}{D}^{\prime }=\frac{D}{2}=\frac{V}{2\sin \theta }(8)\\ {{\rm T}}^{\prime }=\frac{D^{\prime }}{2}=\frac{V}{4\sin \theta }(9)\end{array}$

　　 下面分析沿斜压杆方向和垂直方向的应力情况。斜压杆的压应力σ_c为:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\frac{D}{b\omega }=\frac{V}{b\omega \sin \theta }(10)$

　　 斜压杆垂直方向分布的拉应力σ_t为:

　　 $\sigma {}_{\text{t}}=\frac{2{{\rm T}}^{\prime }}{k\left(\frac{a}{\cos \theta }\right)b}=\frac{V}{2kab}\cot \theta =\frac{V}{ab}\cot \theta (11)$

　　 钢筋混凝土构件受剪开裂后, 混凝土处于拉压双向应力状态, 混凝土斜压杆所能承受的力较单轴受力有所降低。采用修正的Mohr-Coulomb强度准则考虑双向应力状态下混凝土强度值:

　　 $\frac{\sigma {}_{\text{t}}}{f{}_{\text{t}}}+\frac{\sigma {}_{\text{c}}}{f{}_{\text{c}}}=1(12)$

　　 式中: f_c为混凝土抗压强度; f_t为混凝土抗拉强度。

　　 由式 (11) , (12) 可以得到:

　　 $\sigma {}_{\text{c}}=\frac{1}{\frac{0.6\alpha }{\lambda f{}_{\text{t}}}+\frac{1}{f{}_{\text{c}}}}=\frac{\lambda f{}_{\text{t}}f{}_{\text{c}}}{0.6\alpha f{}_{\text{c}}+\lambda f{}_{\text{t}}}(13)$

　　 从而,

　　 $\begin{array}{l}V=D\text{s}\text{i}\text{n}\theta =\sigma {}_{\text{c}}b\omega \sin \theta =\frac{\lambda f{}_{\text{t}}f{}_{\text{c}}}{0.6\alpha f{}_{\text{c}}+\lambda f{}_{\text{t}}}b\frac{0.6\alpha h{}_0}{\cos \theta }\sin \theta \\ =\frac{0.6\alpha \lambda \tan \theta f{}_{\text{c}}}{0.6\alpha f{}_{\text{c}}+\lambda f{}_{\text{t}}}f{}_{\text{t}}bh{}_0(14)\end{array}$

　　 取 f_t/ f_c≈0.1, λ=cotθ=3, λtanθ=1。近似得出以下公式:

　　 $V=\frac{8.1\sqrt[3]{\rho }}{8.1\sqrt[3]{\rho }+3}f{}_{\text{t}}bh{}_0(15)$

　　 当剪跨比1<λ<3时, 根据图1, 构件的抗剪承载力-剪跨比曲线, 为一条随剪跨比的减少而增大的曲线φ (λ) , 当λ=3时, φ (λ) =1。得出曲线φ (λ) 准确的解析式较为困难, 且与本文研究的内容关系不大, 本文不做研究。混凝土无腹筋梁抗剪承载力计算公式可表示为:

　　 $V=\phi (\lambda )\frac{8.1\sqrt[3]{\rho }}{8.1\sqrt[3]{\rho }+3}f{}_{\text{t}}bh{}_0(16)$

　　 当纵筋率分别为1%, 2%, 3%时, 式 (16) 和规范公式 (式 (3) ) 对比见图5。

　　 从图5可以看出, 当纵筋率为2%时, 本文公式 (式 (16) ) 与规范公式 (式 (3) ) 计算结果非常接近;当纵筋率为1%时, 本文公式 (式 (16) ) 计算纵筋率较小、剪跨比较大的构件抗剪承载力比规范公式 (式 (3) ) 小。验证了文献[2,3,4]提出的对于纵筋率较小、剪跨比较大的构件, 规范公式安全储备较小甚至不足的结论。

　　 (1) 规范公式在计算纵筋率较小的梁抗剪承载力的安全储备比计算纵筋率较大的梁要低, 在计算剪跨比较大的梁的抗剪承载力的安全储备比计算剪跨比较小的梁要低。

　　 (2) 当剪跨比较小时, 不论纵筋率大小, 规范公式的安全储备都挺高。但试验数据的离散性较大, 规范公式为了保证设计安全, 对剪跨比较小的构件取值较低是合理的。

　　 (3) 对规范公式依据的试验数据的分析结果表明, 没有出现相关文献提出当纵筋率较小、剪跨比较大的构件, 规范公式安全储备不足的情况。但规范公式依据的试验数据存在纵筋率大部分在2%以上, 对小纵筋率考虑过少的问题。

　　 (4) 本文公式显式地考虑了纵筋配筋率, 但主要是为了定性说明问题, 公式本身由于存在近似替代, 计算未必准确。但从计算结果来看, 验证了相关文献提出的对于纵筋率较小、剪跨比较大的构件, 规范公式安全储备较小甚至不足的结论。在抗剪公式中, 纵筋配筋率对抗剪承载力影响明显, 应采取显式表达的方式。