假定在压力P作用下的短柱, 应力σ=P/A超过比例极限, 并有微小挠度。图2为仅考虑挠曲影响的截面应力分布。凹区在原压应力σ基础上增加压应力, 因已进入非弹性区, 挠曲新增的压应力符合图3的非线性应力-应变关系, dσ/dε=E_t。凸区在原压应力σ基础上增加拉应力, 因仍处于弹性区, 挠曲新增的拉应力其应力-应变关系为σ=Eε。因σ₂<σ₁, 故挠曲的应力中和轴n-n偏向凸区。

　　 经推导, 得到临界应力公式如下:

　　 $\sigma {}_{\text{r}}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau {}_{\text{r}}}{(l/r){}^2}(17)$

　　 其中:$\frac{\stackrel{—}{{\displaystyle E}}}{E}=\tau {}_{\text{r}},\stackrel{—}{{\displaystyle E}}=E\frac{{\rm I}{}_1}{{\rm I}}+E{}_{\text{t}}\frac{{\rm I}{}_2}{{\rm I}}$。

　　 式中:E为弹性模量;$\stackrel{—}{{\displaystyle E}}$为折算模量 (双模量) ;E_t为切线模量;I为整个截面对形心轴C的惯性矩;I₁为凸区对挠曲中和轴n-n的惯性矩;I₂为凹区对挠曲中和轴n-n的惯性矩。

　　 图5为应力σ_r与τ_r, E_t关系图, 确定方法为, 由σ_r=P/A于应力-应变图定E_t, 可做出σ_r-E_t关系图;由E, E_t定I₁, I₂, 确定$\stackrel{—}{{\displaystyle E}},$做σ_r-τ_r图。

　　 比较公式 (17) 和图5, 会发现还有一个变量l/r。据此, 不妨做一个跨度大一些的小结:对于轴压柱, 假定其截面应力σ=P/A已进入非弹性状态并发生挠曲而失稳, 其临界应力应与E_t和l/r有关。E_t由材料非弹性决定着应力增长程度, l/r由挠曲程度决定着应力增长程度。

　　 恩格塞尔的切线模量理论以下列假定为基础:在临界力σ_t=P_t/A下, 可能出现一个不稳定的平衡挠曲形式, 而变形大小只与相应于临界力σ_t的切线模量E_t=dσ/dε有关。

　　 令τ=E_t/E, 因I₂+I₂>I (I₁, I₂是对不在重心上的n-n轴的惯性矩) , E>E_t, 故τ<τ_r。

　　 经推导, 得到切线模量理论的临界应力公式如下:

　　 $\sigma {}_{\text{t}}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau }{(l/r){}^2}(20)$

　　 因此, 切线模量理论得到的屈曲强度比双模量理论低。

　　 将第4节图5的H形截面的τ_r曲线代入第4节公式 (17) , 可得到σ_r-l/r关系曲线, 结果为图6的曲线A。同理, 将第4节图5的E_t/E曲线代入公式 (20) , 可得到σ_t-l/r关系曲线为图6的曲线B。弹性范围内, 平均压应力与l/r的关系曲线由欧拉双曲线代替。图6的曲线也叫柱子曲线。

　　 公式 (20) 写成普遍形式, 引入考虑压杆端部约束的系数k:

　　 $\sigma {}_{\text{t}}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau }{(kl/r){}^2}(21)$

　　 由图6及公式 (21) 可知, 端部约束系数k对弹性范围内的屈曲强度影响巨大, 而对非弹性范围内的屈曲强度影响不大。

　　 双模量理论看似精确, 但与试验结果不符, 这源自双模量理论的一个假定:在未达到临界荷载σ_r之前, 柱子是直的。香莱在当时发表的文章中看到这一点, 指出当P在P_t和P_r之间变化时, 柱子的挠曲可能是连续变化的, 此时挠度y从0增到无穷大。

　　 香莱的模型见图7, P在P_t和P_r之间时, 满足关系式:

　　 ${\rm P}={\rm P}{}_{\text{t}}\left(1+\frac{1}{\frac{b}{2d}+\frac{1+\tau }{1-\tau }}\right)(22)$

　　 香莱指出, 在荷载P作用下, 具有挠曲形状的柱在理论上是稳定的。而此前人们的认知局限于对弹性欧拉临界力的理解上, 即认为非弹性阶段的稳定临界点柱子是直的, 没有认识到超过切线模量后, 有出现这种挠曲形状稳定的可能性。

　　 令R=P/P_t, 得到:

　　 $\{\begin{array}{c}\frac{\text{Δ}\epsilon {}_1}{\epsilon {}_{\text{t}}}=\frac{2\left(\frac{1}{\tau }-R\right)}{\frac{1-\tau }{R-1}-\left(1+\tau \right)}(\text{凹}\text{面})\\ \frac{\text{Δ}\epsilon {}_2}{\epsilon {}_{\text{t}}}=\frac{2\left(R-1\right)}{\frac{1-\tau }{R-1}-\left(1+\tau \right)}(\text{凸}\text{面})\end{array}(23)$

　　 从图8可见, 超过切线模量后柱截面凹面的压应变快速增加, 凸面的压应变由于挠曲拉区的出现缓慢减少。可以推断, 柱丧失使用价值的临界荷载只比切线模量荷载P_t稍微大一些。

　　 图9为铝合金实心圆杆的试验结果, 图10为软钢杆的试验结果, 图11为铝合金的H形截面的试验结果。从中可见, 试验很好地验证了切线模量理论。

　　 综上, 切线模量理论并不能准确地给出实际的屈曲荷载, 但他可以作为屈曲荷载的下限, 而这个下限只比临界荷载稍微低一些。因此, 可以把切线模量荷载作为临界荷载, 之前的恩格塞尔公式 (20) , 即为柱子曲线公式。

　　 $\sigma {}_{\text{t}}=\frac{\text{π}{}^{2}E\tau }{(l/r){}^2}(20)$