可展结构是20世纪60年代诞生发展起来的一种新型空间结构。为便于储存和运输, 可展结构一般处于收拢状态;当需要使用的时候, 可展结构展开到工作状态。可展结构主要特征是具有两种稳定的构形:完全折叠状态和完全展开工作状态^[1]。随着航空航天技术的发展, 剑桥大学以Pellegrino教授为首建立了可展结构实验室, 与欧洲宇航局一起进行可展结构的研究, 对可展结构的理论研究以及其在航天结构中的应用都产生了深远的影响。

　　 由于可展结构与传统建筑结构相比具有性能上的特殊性, 其运动特性一直是国内外学者关注的焦点, 如法国学者Motro利用机构理论对可展体系进行了大量的研究, 包括折叠准则、基本可展模型、展开过程模拟等。美国学者Cornel Sultan和Robert Skelton从动力学方面对张力集成体系的展开过程进行了分析研究^[2]。

　　 传统的剪式单元作为可展结构中最为常见的一个组成单元, 由两根在中部通过销接点销接于中点的直杆组成, 每对连杆仅能绕垂直于该对连杆所在平面的轴线作相对转动, 而其他自由度完全受到限制。美国工程师Hoberman^[3]对传统剪式单元进行改进, 提出成角度的剪式单元, 它由相等的两根弯折角梁单元通过销接点在中部连接, 当两个角梁单元绕着中间的销接点转动时, 梁端的夹角保持不变。

　　 基于已有的剪式单元理论, 本文首先推导了由折杆剪式单元组成的径向开合网架在发生径向开合运动的时候, 其内外部节点的运动特性及界限。此外, 为解决其固定支座设置困难的问题, 在外圈设置环向布置的滑移杆及滑移杆外圈的内凹式折杆轨道, 且验证了该方案功能的合理性。通过上述过程, 开发出一种带有外圈滑移杆及内凹式轨道的径向开合屋盖, 能够为该类型径向开合屋盖的设计与体系优化提供借鉴。

　　 本文所述的径向开合网架基本组成单元是一种折杆剪式单元, 这种折杆剪式单元是由传统的剪式单元改进得到的, 见图1 (a) , 该折杆剪式单元是由相同的两根弯折杆件通过销接节点在中部连接, 当两根折杆绕着销接节点转动时, 梁端部节点连线的夹角α保持不变。利用这样的性质, 可以在环向复制多个折杆剪式单元, 从而形成闭合环形连杆机构, 如图1 (b) 所示, 进一步将两折杆连杆机构沿径向扩展为多折杆伸缩网架, 其运动特性将保持不变。

　　 由Hoberman单元组成的平面径向开合网架结构如图2所示, 其中折杆折数为五, 沿着环向复制份数为16。其中图2 (a) 为屋盖结构完全闭合状态, 图2 (b) 为屋盖结构部分开启状态。

　　 由于结构的对称性, 只需分析单个区域的运动特性, 即图3中的两根射线之间所夹区域中的节点。图3为该区域部分开启状态的示意图。假定直杆的长度为l, 分别讨论A, B, C, D, E和F点在运动过程中的位移情况, 也即OA, OB, OC, OD, OE及OF长度的变化。假定图3所示部分处于开启状态, Hoberman剪式单元的夹角为α, ∠ADA′=β, 则利用几何关系可得, 在ΔOAD中, ∠AOD=α/2, ∠ADO=π-β/2, 则根据正弦定理:

　　 $\begin{array}{l}{\rm O}A=\frac{l}{\sin \angle A{\rm O}D}\sin \angle AD{\rm O}\\ =\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(\text{π}-\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}(1)\end{array}$

　　 同理可以求得, 从外圈到内圈各圈节点半径为:

　　 $\{\begin{array}{l}{\rm O}A=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ {\rm O}B=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(\alpha +\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ {\rm O}C=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(2\alpha +\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ {\rm O}D=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(\beta /2-\alpha /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ {\rm O}E=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(\alpha /2+\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ {\rm O}F=\frac{l\text{s}\text{i}\text{n}(3\alpha /2+\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\end{array}(2)$

　　 由图3可知, 由Hoberman剪式单元组成的平面径向机构的运动极限状态为最外端的一对折杆剪式单元的两根折杆重合, 从数学关系上, 即为:

　　 $\begin{array}{c}2\angle BCE=\text{π}\hfill \\ \Rightarrow 3\alpha +\beta =\text{π}\hfill \end{array}(3)$

　　 从而可以得到, 夹角β的界线为:

　　 $\alpha \le \beta \le \text{π}-3\alpha (4)$

　　 体系最内圈开孔半径r为式 (2) 所给出的OD的长度, 而外圈支座处的半径R为式 (2) 给出的OC的长度, 即:

　　 $\{\begin{array}{l}r=l\frac{\sin (\beta /2-\alpha /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ R=l\frac{\sin (2\alpha +\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\end{array}(5)$

　　 图4 (a) , (b) 分别为开孔半径r和外圈半径R随着角度β的变化趋势图。假设图3中每根直杆的长度l=4m, α=22.5°。由图4可以看出, 开孔半径r随着角度β的增加而增大。由此可以求得开孔半径r的变化范围为:

　　 $\{\begin{array}{l}r{}_{\min }=0\\ r{}_{\max }=l\frac{\cos 2\alpha }{\sin (\alpha /2)}\end{array}(6)$

　　 而由图4 (b) 可以看出, 外圈半径R随着角度β的增加先增大后减小。外圈半径存在一个极大值, 根据下式可以求得极大值R_max所对应的角度β:

　　 $\begin{array}{l}\frac{\text{d}R(\beta )}{\text{d}\beta }=0(7)\\ \beta =\text{π}-4\alpha (8)\end{array}$

　　 由此可以求得外圈半径R的变化范围为^[4,5]:

　　 $\{\begin{array}{l}R{}_{\min }=l\frac{\sin (5\alpha /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ R{}_{\max }=l\frac{1}{\sin (\alpha /2)}\end{array}(9)$

　　 由第1节中的推导可以得到, 五折杆开合网架的外圈半径在运动过程中, 先增大后减小, 因此, 若将外部强制位移施加在外圈节点C上, 这就要求沿着半径方向向外侧的强制位移在达到最大之后, 再逐步减小, 然而此时的运动会出现一定的分歧, 即节点C可能沿着图4 (b) 峰值点的右侧继续运动, 也有可能沿着峰值点的左侧返回, 并不一定能够使得内圈的半径达到最大, 且这样的位移施加方式对于外部驱动系统的构造要求可能会比较复杂, 因此, 在考虑施工方便及可行性的前提下, 将图4 (b) 中的峰值点设为运动的实际极限点, 图5 (a) , (b) 分别为理想的展开极限状态与真实的展开极限状态示意图。

　　 然而, 由于外圈半径在运动过程中的增大, 外圈驱动系统的设置仍然有一定的困难, 本文采用在五折杆外圈增加滑移杆的方式, 拟将五折杆外圈节点的径向运动转化为附加外圈杆件端部的环向运动, 如图6所示。

　　 对比外圈滑移杆与五折杆外圈节点的连接方式, 分别为刚接与销接的两种情况。由于刚接在节点构造上相对简单, 因此先对滑移杆与五折杆外圈刚接的情况进行可行性探究。

　　 如图7所示, 图7 (b) 为图7 (a) 中滑移杆部分的放大示意图, AC杆为附加的滑移杆, AC杆与五折杆的外圈直杆AB刚接, 则在运动过程中, ABC始终为一个整体。如图7 (b) 所示, 某时刻下, 该杆件位于ABC位置, 在一定的时间t后, 该杆件运动到A′B′C′位置。假设以网架圆心为原点O, 沿着网架径向指向外侧为X轴, 图7 (a) 所示的方向为Y轴建立二维笛卡尔坐标系, 在任意时刻, 对于A点:

　　 $\{\begin{array}{l}x{}_{\text{A}}=l\frac{\sin (2\alpha +\beta /2)}{\sin (\alpha /2)}\\ y{}_{\text{A}}=0\end{array}(10)$

　　 假设五折杆运动过程中的角速度是恒定的, 即:

　　 $\beta =\omega t(11)$

　　 式中ω为折杆转动的角速度, 将式 (11) 代入式 (10) , 可以得到:

　　 $\{\begin{array}{c}x{}_{\text{A}}=l\frac{\sin (2\alpha +\omega t/2)}{\sin (\alpha /2)}\hfill \\ y{}_{\text{A}}=0\hfill \end{array}(12)$

　　 同样地, 根据刚性杆ABC的几何关系, 可以得到, C点始终位于以A点为圆心、以AC长度 (设为l₀) 为半径的圆上, 且AC与X轴的角度为γ+ωt (假设γ为初始角度) , 根据上述关系可以得出以下方程组:

　　 $\{\begin{array}{c}(x{}_{\text{C}}-x{}_{\text{A}}){}^2+(y{}_{\text{C}}-y{}_{\text{A}}){}^2=l{}_0^2\hfill \\ \frac{y{}_{\text{C}}-y{}_{\text{A}}}{x{}_{\text{C}}-x{}_{\text{A}}}=\tan (\gamma +\omega t)\hfill \\ x{}_{\text{A}}=l\frac{\sin (2\alpha +\omega t/2)}{\sin (\alpha /2)}\hfill \\ y{}_{\text{A}}=0\hfill \end{array}(13)$

　　 根据以上方程组可以解出C点的横纵坐标:

　　 $\{\begin{array}{c}x{}_{\text{C}}=l{}_0\cos (\gamma +\omega t)+l\frac{\sin (2\alpha +\omega t/2)}{\sin (\alpha /2)}\hfill \\ y{}_{\text{C}}=l{}_0\sin (\gamma +\omega t)\hfill \end{array}(14)$

　　 从而可以推导得出x_C与y_C之间的关系满足:

　　 $x{}_{\text{C}}=\sqrt{l{}_0^2-y{}_{\text{C}}^2}+l\frac{\sin \left[\frac{\arcsin (y{}_{\text{C}}/l{}_0)+3\alpha /2}{2}\right]}{\sin (\alpha /2)}(15)$

　　 从式 (15) 中不难得到, x_C与y_C之间服从非线性关系, 若是需要将轨道制成沿着曲线的形状, 在加工上会有一定的难度, 因此, 刚接方案在加工制作上的可行性较差, 因此, 下面进行销接方案 (图8) 的可行性研究。

　　 对于销接方案, A点仍然按照既定的运动规律进行运动, 而AC与X轴之间的夹角可以为任意值, 为了加工制作的方便性, 通常轨道为直线型, 所以假设轨道在本坐标系中的方程为y=kx+b, 则C点的坐标满足该方程, 将几个方程式进行联立, 得到下述方程组:

　　 $\{\begin{array}{c}(x{}_{\text{C}}-x{}_{\text{A}}){}^2+(y{}_{\text{C}}-y{}_{\text{A}}){}^2=l{}_0^2\hfill \\ x{}_{\text{A}}=l\frac{\sin (2\alpha +\omega t/2)}{\sin (\alpha /2)}\hfill \\ y{}_{\text{A}}=0\hfill \\ y{}_{\text{C}}=kx{}_{\text{C}}+b\hfill \end{array}(16)$

　　 显然当轨道与A点所在的圆有交点存在, 即当k与b满足式 (17) 时, C点的坐标是有解的。

　　 $\left|kl\frac{\sin (2\alpha +\omega t/2)}{\sin (\alpha /2)}+b\right|\le l{}_0\sqrt{k{}^2+1}(17)$

　　 则由上述的分析结果可以证明, 在合理选择滑移杆长度的情况下, 销接方案是可行的。

　　 在选定滑移杆的连接方式后, 需要选择合理的轨道形式, 该结构大致为圆形网架, 然而轨道在加工制作时, 不便于制作成圆形轨道, 可选择将圆形轨道直线化, 即将其变为正多边形轨道。根据上述的推导可以得出, 对于满足式 (17) 的直线型轨道, 内部网架的开合性能是能够得到保证的。从使用功能上考虑, 轨道需要在屋盖开合的始末都能够满足台车有足够的放置空间, 这就要求在屋盖开启到末态时, 其末端仍能够留有足够的长度以防止滑移杆端部的台车与相邻台车发生碰撞。由于五折杆末端节点的运动长度在其他条件不变的情况下是一定的, 因此, 当A点运动相同距离时, 滑移杆另一端运动距离越小, 末态时预留的空间将越大, 对屋盖能够开启到最终状态越有保证。因此, 以下将给出两种轨道方案, 在五折杆末端运动距离相等时, 对比哪一种轨道方案下滑移杆另一端节点需要运动的距离较小。

　　 图9 (a) 所示方案的外圈为一种外凸式轨道, 一组滑移杆对应的相邻轨道之间的夹角为90°～180°;图9 (b) 所示方案为一种内凹式轨道, 一组滑移杆对应的相邻轨道之间角度为180°～360°。

　　 如图10所示, 将两种方案放到同一张图中进行对比, 图中A₀B₀表示滑移杆的初始位置, DB₀, CB₀所在直线分别为外凸式与内凹式轨道, 假设两种方案滑移杆长度相等, 初始位置一组滑移杆互相之间的角度也相等, 且滑移杆在轨道上的初始长度也相等 (即图中CB₀=DB₀) , 根据对称性易得, ∠B₀DC=∠B₀CD, 假设经一段时间后, A₀点运动到A点, B₀点分别运动到B₁, B₂点, 在ΔAB₁D与ΔAB₂C中, 分别有:

　　 $\{\begin{array}{c}\frac{AB{}_1}{\sin \angle ADB{}_1}=\frac{B{}_{1}D}{\sin \angle B{}_{1}AD}\hfill \\ \frac{AB{}_2}{\sin \angle ACB{}_2}=\frac{B{}_{2}C}{\sin \angle B{}_{2}AC}\hfill \end{array}(18)$

　　 由于

　　 $\{\begin{array}{c}\angle ADB{}_1=\angle B{}_{2}CD\hfill \\ \angle B{}_{2}CD+\angle B{}_{2}CA=\text{π}\hfill \end{array}(19)$

　　 可以得到

　　 $\sin \angle ADB{}_1=\sin \angle ACB{}_2(20)$

　　 因此

　　 $\frac{B{}_{2}C}{\sin \angle B{}_{2}AC}=\frac{B{}_{1}D}{\sin \angle B{}_{1}AD}(21)$

　　 从图中显然可以得到

　　 $\angle B{}_{2}AC＜\angle B{}_{1}AD(22)$

　　 则

　　 $B{}_{2}C＜B{}_{1}D(23)$

　　 从以上的推导中可以得到, 在五折杆网架外圈节点运动相同的距离时, 采用内凹式轨道方案下, 滑移杆外侧节点需要运动的距离更短, 反过来, 当滑移杆末端运动相同距离的时候, 内侧五折杆末端节点在内凹式轨道方案下能够运动的更快更高效, 这就证明了内凹式节点的合理性与高效性。

　　 本文所述的基于折杆剪式单元的径向开合网架, 在其开合过程中, 各个节点均沿着径向向外运动, 内圈半径在开启过程中逐渐增大, 外圈半径先增大, 后减小, 且可以求得外圈半径的峰值为l/sin (α/2) 。

　　 通过在外圈引入滑移杆, 可以将五折杆末端节点的径向运动转化为滑移杆端部节点的环向运动, 一定程度上解决了端部支座设置困难的问题;且本文对比了滑移杆与内部五折杆末端刚接与销接两种方案, 由于刚接情况下, 需要几何构型复杂的轨道形式, 因此从施工方便的角度上考虑, 选择销接方案是较为可靠的。

　　 为了保证轨道上台车能够有足够的运动空间, 对比了外凸式与内凹式轨道在内部五折杆末端节点运动相同距离时滑移杆末端的运动距离, 结果表明在滑移杆的长度、初始角度及初始位置相同的情况下, 滑移杆在内凹式轨道上运动能够带来更高的驱动效率。

　　 通过以上的分析研究, 本文开发出了一种基于折杆剪式单元的径向开合网架, 其内圈为经典的Hoberman网架, 外圈为与内圈销接的滑移杆及内凹式轨道, 通过理论证明, 该网架满足了开合功能的要求, 还具有构造和施工方便等优点, 对于此类径向开合屋盖的体系开发具有一定的借鉴意义。