0前言

混凝土结构设计中, 在较大跨度的楼板、扁梁中配置无粘结钢绞线预应力筋, 可有效提高此类受弯构件的抗裂性能和弯曲刚度, 相应减小构件截面高度、结构自重, 从而增加结构层净高或减小结构总高度, 具有明显的综合效益。为此, 无粘结预应力混凝土技术自20世纪70年代引入国内后, 配合相关试验研究、产品开发、宣传推广, 及编制相关规范、规程、标准, 逐渐在多、高层混凝土结构中得到了广泛应用, 目前其已成为业内常规技术。

无粘结预应力混凝土受弯构件正截面承载力设计验算时, 需先确定无粘结预应力配筋的极限应力增量Δσ_p。由于无粘结预应力筋在混凝土受弯构件中可滑动, Δσ_p通常小于有粘结预应力筋的相应值, 且无法借助平截面假定计算确定。

多年来国内外围绕如何确定Δσ_p已有较多研究成果, 但至今仍基本采用经验统计方法, 且均未能针对具体情况确定这些方法的近似程度。此外, 因选用统计变量不同、验证条件各异, 各国现行相关规范、规程中确定Δσ_p的经验方法、计算结果亦相差较大。

本文通过补充无粘结预应力混凝土受弯构件极限状态下的截取受弯段几何分析模型, 推导了未知变量Δσ_p的解析算法, 根据已有试验对该算法进行了验证, 结果可供相关设计与研究参考。

业内普遍认为, 无粘结预应力筋的极限应力σ_pu由已知有效预应力σ_pe与未知极限应力增量Δσ_p两部分组成, 即:

式中σ_pu≤f_py, f_py为无粘结预应力筋抗拉强度设计值。

我国目前根据经验公式 (2) ^[1]确定Δσ_p:

其中:

式中:ξ_p为综合配筋指标, ξ_p≤0.4, 连续结构取各跨构件支座截面ξ_p与跨中截面ξ_p的平均值;h为受弯构件的截面高度, mm;l₀为受弯构件的计算跨度, mm;l₁为连续结构中无粘结预应力配筋两端锚具之间长度, mm;l₂为连续结构中同时弯曲破坏各跨的总长度, mm, 限l₂≤l₁。

对于翼缘位于受压区的T形、I形截面受弯构件, 当破坏截面受压区高度大于翼缘高度h_f'时, 式 (2) 中ξ_p按下式计算:

对于矩形截面或翼缘位于受拉区的倒T形截面受弯构件, 式 (2) 中ξ_p按下式计算:

式中:A_p为无粘结预应力筋的截面面积, mm²;A_s为普通受拉钢筋的截面面积, mm²;f_c为混凝土轴心抗压强度设计值, MPa;f_y为普通钢筋抗拉强度设计值, MPa;b为受弯构件的矩形截面宽度, 或I形、T形、倒T形截面的腹板宽度, mm;h_p为无粘结预应力筋合力点至截面受压边缘的距离, mm;b_f'^[2]为T形和I形截面受压翼缘的计算宽度, mm。

对于翼缘位于受压区的T形、I形截面受弯构件, 《无粘结预应力混凝土结构技术规程》 (JGJ 92—2016) ^[1] (简称无粘结预应力混凝土规程) 尚未说明如何判断破坏截面受压区高度是否大于h_f', 也未相应给出破坏截面受压区高度小于h_f'时确定ξ_p的方法。

根据变形协调原理, 混凝土受弯构件在极限状态下, 构件内无粘结预应力配筋极限伸长量Δ_p与其周围混凝土总伸长量相同。现截取含有固定端单跨构件的一弯曲段, 见图1中a, b, c, d四点所围区域, 其中l_c为最大挠度截面与一侧固定端支座的间距, 令2个固定铰点o₁, o₂解除转动约束, 使该段构件原位完全恢复至弯曲变形前的状态, 即图1中e, f, g, j四点所围矩形区域。

忽略图1中截取构件弯曲段的微小轴向变形, Δ_p等于p, q两点间距Δ_c1与r, s两点间距Δ_c2之和, 可记为:

由相似三角形Δo₁pq, Δmnu, Δo₂rs, 且忽略u, p两点间微小高差, 可得出以下几何关系:

式中:x₁, x₂分别为弯曲段两端破坏截面的受压区高度;f_max为构件跨中最大挠度;h_p1, h_p2分别为弯曲段两端截面受拉边缘与中和轴的距离, 见图1, 限h_p1>x₁, h_p2>x₂。

将式 (5) 代入式 (4) , 可解出:

在弹性范围内, 图1所示弯曲段内无粘结预应力筋的极限应力增量Δσ_p可记为:

式中E_s为无粘结预应力筋的弹性模量。

同理, 对含有简支端的构件弯曲段或悬臂构件, l_c长度内无粘结预应力配筋的极限伸长量Δ_p可由图2确定, 仍忽略此截取弯曲段的微小轴向变形, 将图2中o₁, a, b, c四点所围区域的2个固定铰点o₁, o₂原位解除转动约束, 使该弯曲段恢复至弯曲变形前的状态, 即o₁, d, e, f四点所围矩形区域。此时Δ_p等于g, h两点之间距离, 忽略u, p两点间微小高差, 限h_p2>x₂, Δσ_p可记为:

如果弯曲段所在单跨 (非悬臂) 构件对称弯曲, 最大挠度f_max位于跨中l₀/2处, l_c=0.5l₀, l₀长度内的Δσ_p可按双波弯曲或单波弯曲, 分别由式 (7a) 或 (7b) 确定。

如果截取段所在 (非悬臂) 构件为非对称弯曲, 且f_max两侧弯曲段长度相差较大时, 该跨构件需分两段, 依据双波或单波弯曲状态分别按式 (7a) 或 (7b) 计算Δσ_p, l₀长度内的Δσ_p取两段Δσ_p的平均值, f_max的位置可借助文献[3]确定。

悬臂构件的Δσ_p根据图2和式 (7b) 确定, 此时l_c为悬臂长度, 且l_c=l₀。

已知混凝土受弯构件极限挠度f_max的一般计算式为:

式中:α₁为荷载与边界条件系数, 可借助文献[3]确定;待定系数α₂为构件的破坏截面刚度与平均刚度之比;ε'_{c, max}为构件破坏截面的混凝土极限压应变, 可取0.003 3^[2]。

根据构件弯曲破坏截面的平衡条件可列出:

式中ξ_p1, ξ_p2由式 (3a) 或 (3b) 确定, 计算时分别取图1中x₁, x₂所在截面的相应变量。

由式 (9) 可知:

联立式 (7a) 和式 (8) ～ (10) , 可整理得出图1中破坏截面受压区高度x₂的二次方程:

其中:

联立式 (7b) , (8) , (9) , 可整理得出图2中破坏截面受压区高度x₂的二次方程:

求解式 (11a) , (11b) 分别确定图1、图2中的x₂, 再代入式 (9) 求出Δσ_p, 然后将其代入式 (1) 可相应解出σ_pu值。

对于n跨 (n>1) 连续结构, 其中m跨 (m≤n) 同时发生弯曲破坏时, 忽略未弯曲破坏的n-m跨内无粘结预应力筋应力的微小增量, n跨内通长无粘结预应力筋的Δσ_p由下式确定:

式中Δσ_{p, i}为第i跨弯曲破坏构件的无粘结预应力筋极限应力增量, Δσ_{p, i}≤f_py-σ_pe, 由m个单跨逐一计算确定。

连续结构中, 构造与边界约束条件相同的部分跨的Δσ_{p, i}相同, 此时可仅分析同一弯曲段以简化计算Δσ_{p, i}。将式 (12) 确定的Δσ_p代入式 (1) 后, 可解出连续结构的σ_pu值。

根据文献[4]中19根无粘结预应力混凝土简支梁的弯曲破坏试验数据 (不含22根试件中缺实测Δσ_p的3个试件的数据) , 将各试件的实测Δσ_p代入式 (9) 先解出对应的x₂, 再将各实测f_max和x₂代入式 (8) 可逐一解出α₂。各试件基本情况^[4]:矩形截面b×h=160mm×280mm, l₀=4 200mm, 配无粘结预应力直线形钢丝束, 其中试件1～8的σ_pu=1 640MPa, 试件9～19的σ_pu=1 475MPa, h_p2=220mm, 各试件三分点对称集中加荷。统一取α₁=0.106 5, ε'_{c, max}=0.003 3, E_s=2.05×10⁵MPa, l_c=l₀/2=2 100mm, f_y与f_c取相应实测值, ξ_p2由式 (3b) 计算确定, 各试件其他变量及x₂, α₂计算结果见表1。由表1可见, 19根试件的α₂平均值为0.462。

对于文献[4]中19根试件, 统一近似取α₂=0.462, 其他参数同第3节, 由式 (11b) 解出x₂, 由式 (8) 解出f_max, 由式 (9) 解出Δσ_p, 验算结果见表2。为便于比较, 由式 (2) 确定的Δσ_p也列于表2中。

基于图1和图2几何分析模型, 使构件弯曲段按设定条件恢复变形之前状态, 补充弯曲极限状态下无粘结预应力筋伸长量与构件挠曲的协调变形关系式 (6) , 引入相关的荷载与边界条件系数α₁及定义明确的实测参数α₂, 依此推导出Δσ_p的解析算法。

对于无粘结预应力混凝土结构, 即使限定在弹性范围内解析确定Δσ_p, 也须依据试验结果对其计算值进行校正。为此所述算法中引入的α₂还同时兼做试验调整系数。

文中所述Δσ_p的求解方法, 既适用于多种截面单跨受弯构件的对称弯曲与非对称弯曲 (含悬臂) 情况, 也适用于多跨连续结构中部分跨或各跨同时发生弯曲破坏的情况, 因此该方法有较好的工程适用性。

研究所涉及19根试件的综合配筋指标ξ_p2=0.053～0.400, 破坏截面相对受压区高度x₂/h_p2=0.094～0.421, 涵盖了工程中绝大多数无粘结预应力混凝土受弯构件的实际情况, 因此这些试件的验算复核结果有较好的代表性。

比较表1中根据实测Δσ_p代入式 (9) 解出的x₂与表2中由式 (11b) 解出的x₂, 可见两者基本相符, 这表明α₂对x₂的影响相对较小。因此式 (11a) , (11b) 中的α₂可统一近似取19根试件α₂的平均值0.462。

本文按照《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010) ^[3] (简称混规) 要求, 将早期文献[4]中构件破坏截面平衡方程中的0.85f_cmk (f_cmk为混凝土弯曲抗压强度标准值) 改为f_c, 验算时取f_c的相应实测值, 这是本文与文献[4]虽基于同批试件试验, 但α₂均值不同的主要原因。

受弯构件的综合配筋指标ξ_p不同时, 破坏截面受压区边缘的混凝土极限压应变ε'_{c, max}可能有变化。因缺少相关试验数据, 为简化计算, 本文暂按混规统一近似取ε'_{c, max}=0.003 3, 该做法可能会导致α₂随不同试验条件而波动。

为简化文中公式推导过程, 参照实际情况, 本文假定图1和图2中构件弯曲段的各截面Δσ_p值相同。由于无粘结预应力筋与其外围混凝土的滑动界面仍存在较小摩阻力, 可能使构件各截面Δσ_p值稍有差别, 但此假定不致明显影响该变量计算精度。

比较表1中实测f_max (根据含有下降段的试件荷载-挠度曲线的峰值确定) 和表2中式 (8) 计算f_max, 可知两者符合程度较好。

比较表1中实测Δσ_p与表2中式 (9) 计算Δσ_p, 可知后者普遍大于前者, 此偏差可能是研究所取的试块混凝土强度大于对应试件混凝土强度所致。

本文解析算法通过变量l_c和破坏截面h_p1, h_p2 (图1和图2) , 计入了无粘结预应力配筋曲线形状对Δσ_p的影响。分析表明, Δσ_p主要源自构件弯曲裂缝分布范围内无粘结预应力筋外周混凝土的伸长变形, 因此可忽略构件未开裂区段各截面中无粘结预应力筋位置对Δσ_p的影响。

由表2可见, 根据经验式 (2) 确定的Δσ_p值明显小于解析式 (9) 计算的Δσ_p值, 即由无粘结预应力混凝土规程方法确定的Δσ_p设计值明显小于相应实测值。此结果与经验式 (2) 有意降低Δσ_p计算值从而使设计结果偏于安全有关。

为便于理解与应用本文所提出的解析算法, 根据文献[3]列出了8种常见工况的受弯构件的α₁系数, 见图3。

本文受研究条件所限, 尚未涉及混凝土受弯构件破坏截面参数h_f'和b_f'对系数α₂的影响, 为此需进一步补充相应试验研究。

结构加固改造工程中, 混凝土受弯构件的体外预应力筋类同于构件内无粘结预应力筋。因此本文所提出的解析算法, 根据体外预应力混凝土受弯试件破坏试验确认或调整系数α₂后, 同理可用于求解混凝土受弯构件体外预应力配筋的σ_pu值。

(1) 基于图1和图2所示几何分析模型, 补充受弯混凝土构件极限状态下无粘结预应力配筋伸长量与相应最大挠度的协调关系, 可推导出Δσ_p的解析算法, 其中α₂需根据试验确定。

(2) 文中确定求解Δσ_p的方法, 既适用于单跨对称弯曲与非对称弯曲 (含悬臂) 无粘结预应力混凝土受弯构件, 也适用于无粘结预应力混凝土连续结构中部分跨或各跨同时发生弯曲破坏的情况。

(3) 根据文献[4]中19根试件的弯曲破坏试验结果, α₂可近似取平均值0.462。

(4) 依据同批试件试验结果, 文中α₂计算值小于早期文献[4]中相应值 (0.76) , 主要缘于试件弯曲破坏截面受压区高度计算方法不同。

(5) 按本文方法求解的Δσ_p基本符合相应实测值, 但两者均明显大于无粘结预应力混凝土规程经验方法取值。

(6) 对翼缘位于受压区的T形、I形截面无粘结预应力混凝土受弯构件, 无粘结预应力混凝土规程今后修订时, 应补充说明如何判断破坏截面受压区高度是否大于h_f', 并给出破坏截面受压区高度小于h_f'时确定ξ_p的方法。