中关村三小新校区项目包括教学楼和体育馆两部分, 整体效果图见图1。体育馆主要功能为篮球馆, 其屋顶为上人屋面, 兼做学校的操场。体育馆平面形状呈椭圆形, 长轴约92.55m, 短轴55.24m。体育馆比赛场地为两层通高, 层高10.6m, 体育馆剖面图见图2。

　　 体育馆屋盖结构采用单向受力的钢桁架结构体系, 桁架采用下弦支承的鱼腹形管桁架, 桁架与下部混凝土框架柱的柱顶采用铰支座连接。椭圆形屋盖中间的跨度, 即椭圆短轴方向最大约39.2m。屋盖结构的每榀桁架最大高度沿着中间长轴方向逐渐减小, 中间榀桁架最大高度约3.00m, 两端的桁架最大高度约2.60m, 各榀桁架两端的最小高度均为1.95m, 体育馆屋顶钢桁架三维透视图见图3。由于建筑功能的需要, 体育馆屋顶作为学校的风雨操场需要铺设400mm厚的覆土, 因此在桁架上弦顶面铺设钢筋混凝土楼板, 以符合建筑使用功能的需要。

　　 图3 体育馆屋顶钢桁架三维透视图

　　 由于大跨度体育馆屋盖跨度大、竖向刚度小而且容易出现人员密集行走或做有规律的运动, 使得屋盖结构在人群荷载激励下容易出现共振等不利情况, 从而使得加速度超过人体舒适度的耐受极限, 给人造成不适甚至引起恐慌。尤其是作为学校的风雨操场使用, 学生的活动更为多样化, 合理地选取激励模型成为控制屋盖振动的关键。

　　 屋盖结构前7阶自振频率见表1, 其中第1阶、第2阶、第3阶、第6阶为竖向振型 (图4) 。结构第1阶振型是屋盖竖向单抛物线形, 结构第2阶振型是屋盖竖向双抛物线形, 结构第3阶振型是屋盖竖向三抛物线形, 第4阶和第5阶振型均是下部结构侧向变形, 第6阶振型再次出现屋盖竖向四抛物线形振动。屋盖的整体刚度相比下部结构较弱, 屋盖结构第1阶竖向自振频率仅有2.341Hz。

　　 由于大跨度屋盖结构的竖向刚度较小, 低阶固有频率偏低, 结构对振动扰动比较敏感。结构第1阶竖向振动基本频率为2.341Hz, 低于3Hz, 不满足《高层建筑混凝土结构技术规程》 (JGJ 3—2010) ^[1] (简称高规) 中“楼盖结构应具有适宜的舒适度。楼盖结构的竖向振动频率不宜小于3Hz, 竖向振动加速度峰值不应超过表3.7.7的限制”的要求。因此有必要对体育馆屋盖在人致激励下的振动舒适度进行分析, 对不满足要求的结构采取相应的减振措施。

　　 参考文献[2]中的统计数据, 城市小学男生平均体重34.55kg, 城市小学女生平均体重32.6kg。由此, 取学生平均体重为35kg。

　　 一般用等效均布动荷载来反映其对楼板体系振动的影响, 等效均布动荷载的大小取决于参与有节奏运动的人数, 即等效人数。参照《美国道路通行能力手册》 (HCM2000) ^[2], 人行道单位面积的人数对应于不同的活动状态, 见表2^[3]。

　　 依据随机振动理论, n个幅值相等的但相位随机分布的输入所产生的线性结构的动力响应, 正好是单个输入的响应的$\sqrt{n}$倍。依据这一假定, Matsumoto^[4]提出了计算低密度人群自由行走时等效人数N_p的计算公式:

　　 ${\rm N}{}_{\text{p}}=\sqrt{n}(1)$

　　 根据表2, 单位面积的人数少于0.5人/m²时, 人处于较自由状态, 与Matsumoto^[4]公式的假定符合。屋盖投影面积约为2 482m², 按0.5人/m²考虑, 操场上共有n=1 241人;按0.3人/m²考虑, 操场上共有n=745人。

　　 当单位面积的人数达到0.8～2.0人/m²时, 行人前后间距很小, 已不能正常自由行走, 在这种情况下, 行人之间被迫调整步长和步速以适应别的行人的步态, 这样将导致更多行人行走协同。持续的高密度人群流动可以比拟连续的物质流, 相互同步的概率要比低密度人群大很多。文献[5]认为, 高密度人群条件下, 行人之间的步频已完全同步, 只是相位不同, 按照同样的随机概率分布模拟方法, 总结出高密度条件下等效人数N_p的计算公式^[5]:

　　 ${\rm N}{}_{\text{p}}=1.85\sqrt{n}(2)$

　　 屋盖投影面积约为2 482m², 按1人/m²考虑, 操场上共有n=2 482人;按2人/m²考虑, 操场上共有n=4 964人。

　　 工况一:分析步行荷载时, 考虑人员密度较大, 屋顶操场上人员的密度按2人/m²取用。操场上共有n=4 964人, 按照式 (2) 计算得到等效人数N_p为130人。人行激励F (t) 取文献[4]中建议的步行荷载曲线, 见下式:

　　 $F(t)=p[1+{\displaystyle \sum a}{}_i\cos (2\text{π}if{}_{\text{s}}t+\phi {}_i)](3)$

　　 式中:p为人的自重, 取35kg;ɑ_i为第i阶荷载谐波的动载因子, 一般来说, ɑ_i随着荷载谐波的阶数的增加而不断地减小;i为第i阶荷载谐波;f_s为步频;t为时间;φ_i为相位角。

　　 试验研究证明, 一般人正常步行频率在2.0Hz附近, 为1.7～2.3Hz^[6]。因此, 对于步行工况来说, 分别选取1.7, 2.0Hz和屋盖第1阶振动频率2.341Hz的协同步行, 按集中力作用在振型峰值节点上。

　　 工况二:当人行频率提高后, 步行荷载改为跑步荷载。人与人之间的距离会相应增大, 且多人同步跑步的概率远小于多人同步行走。故按表2中的C级上限0.8人/m²的密度考虑, 操场上共有n=1 986人, 按照式 (1) 计算得到等效人数N_p为45人。近似认为跑步荷载可按步行荷载曲线 (式 (3) ) 模拟, 仅提高激励频率^[7]。工况二分别采用屋盖第2阶振动频率2.777Hz、第3阶振动频率3.353Hz和第6阶振动频率3.990Hz共三种频率, 按集中力作用在振型峰值节点上。

　　 该建筑具有别于一般大跨建筑的使用特殊性, 作为操场学生将在屋盖上进行有一定规律的体育活动和体操运动。学校要求未来操场能够容纳3 000名学生进行活动, 故此工况取3 000人作为参与运动的样本数量。

　　 参考文献[3]中的统计数据, 取小学生臂展平均值为1.3m, 前后距离0.5m, 做操时人均占地为0.65m², 取每个上弦杆节点的承载面积为8m²。以第八套广播体操中的跳跃运动一节为例 (此节运动是4个8拍, 共16s) , 持续时间20s。跳跃荷载参考美国ATC设计指南^[8], 跳跃荷载F (t) 采用下式模拟:

　　 $F(t)=\{\begin{array}{c}a(t)G\\ 0\end{array}\begin{array}{c}(0<t\le 0.5{\rm T})\\ (0.5{\rm T}<t<{\rm T})\end{array}(4)$

　　 式中:a (t) 为激励系数;G为激励荷载;T为结构第1阶竖向振动周期。

　　 取激励系数ɑ (t) 为1.5, 学生平均体重为35kg, 跳跃频率取2Hz。根据式 (4) 绘制出学生跳跃的荷载时程曲线, 见图5。

　　 工况三:结构第1阶振型的最不利工况, 即在跨中布置3 000名学生, 共布置244个节点荷载, 见图6 (a) 。

　　 工况四:结构第2阶振型的最不利工况, 即在操场的一侧布置3 000名学生, 共布置244个节点荷载, 见图6 (b) 。

　　 高规未给出室外场所的竖向加速度峰值限值, 完全采用室内要求过于严格。参考《机械振动与冲击 人体暴露于全身振动的评价 第1部分: 一般要求》 (GB/T 13441.1—2007) 给出的人对振动的感知水平中位值是0.015m/s², 其上下四分位值分别为0.020m/s²和0.010m/s²。ISO 10137^[9]采用ISO 2631-1^[10]中规定的舒适度基本曲线乘以60作为人行桥的舒适度限值, 根据频率的不同, 加速度峰值介于0.5～1.0m/s²之间。公共场所一般取感知水平的60倍作为加速度峰值限值, 加速度峰值限值取0.60m/s²。

　　 综合考虑本屋盖的结构和功能特点, 既作为下层体育场馆的屋盖结构, 又作为学生活动操场。在常规荷载激励作用下要满足高规规定, 即“当竖向自振频率不大于2Hz时, 竖向加速度限值为0.22m/s², 当竖向自振频率不小于4Hz时, 竖向加速度限值为0.15m/s²”^[1]。按结构基频计算得到的加速度限值为0.208 1m/s²;在特殊荷载激励作用下, 要满足公共场所的舒适度要求, 参考ISO 2631-1^[10]的相关规定, 取加速度上限值为0.60m/s²。

　　 由于本结构各阶振型主要发生在内部椭圆形的桁架体系中, 与外部的连接无关, 所以荷载分布只考虑内部椭圆部分。考虑该结构功能的特殊性, 即学生将在作为操场的屋盖上进行体育活动和体操运动。此种工况成为结构最不利荷载工况, 需要针对此工况激励荷载进行减震设计, 考虑学生跳跃运动对结构的激励能量最大, 且频率与结构自身固有频率最为接近 (跳跃运动节拍为2Hz) , 选定调谐质量阻尼器 (TMD) 的调谐频率为2Hz。

　　 在理论上, 存在着最佳的TMD配置参数。TMD附加质量越大, 减振效果越好, 但要受到结构承载力和成本的约束。通常可选取的TMD总质量为减震控制目标振型模态质量的1%～5%。基于经济性, 本工程选定TMD总质量为54t, 考虑到结构受力均匀与减震效果, 选定54个质量为1t的TMD分散布置在体育馆屋盖上弦平面, 每排布置6套, 共9排, 如图7所示。

　　 通常增加TMD中阻尼器的阻尼比, TMD可调频的带宽增加, 针对目标频率激励荷载的减震效果减弱, 所以阻尼比的选取应视具体情况而定。针对本结构主要控制2Hz激励荷载, 同时要兼顾不同频率激励荷载的减震效果, 因此选取较大的阻尼比, 阻尼比ζ取0.2。最终选定的调谐质量阻尼器TMD系统的参数如表3所示。

　　 为了保证计算分析的准确性, 提高结构建模的效率, 本工程采用SAP2000 V15对楼板进行舒适度设计。TMD采用集中质量模拟, 并通过Link单元将其与结构相连, 这种方法可以很好地模拟TMD系统的动力行为。人行激励采用多点输入人行时程, 动力计算方法采用快速非线性分析 (FNA) 方法。

　　 阻尼是描述楼板体系中机械能损失程度的量, 阻尼的大小直接影响到屋盖振动的衰减快慢。娄宇、黄健等^[11]提出对人行走而言, 钢结构楼板的阻尼比一般可取2%, 混凝土楼板结构的阻尼比一般可取5%。加拿大国家建筑规范NBC-1985^[12]根据楼板的组成和使用者情况确定了表4中给出的阻尼比建议值。本工程综合各种资料, 按照屋盖结构类型阻尼比取0.02。

　　 在人行荷载激励和跑步荷载激励作用下的屋盖结构响应最大点处的位移、竖向加速度见表5和表6。

　　 由表5可知, 在人行荷载激励作用下, 原结构响应最大点处竖向加速度出现在2.00Hz频率的步行激励下, 为40.26cm/s², 大于高规规定的商场和室内连廊的竖向加速度限值20.81cm/s², 其他频率的步行激励也均不满足规范要求。设置TMD后, 屋盖结构响应最大点处的竖向加速度得到了有效控制, 减振后2.00Hz频率的步行激励下响应最大点处竖向加速度减小至17.59cm/s², 减振率高达56.3%;而减振后屋盖结构响应最大点处竖向加速度出现在2.341Hz步行荷载激励作用下, 为20.44m/s², 满足规范要求。从表中可见, TMD对于与调频频率相近激励荷载的减振效果最为明显。

　　 由表6可知, 在跑步荷载激励作用下, 原结构响应最大点处竖向加速度仅为10.43cm/s², 满足规范要求。由于单位面积人数少且同步率较低, 等效人数N_p比步行激励少, 使得跑步荷载激励作用下的结构最大竖向加速度远小于步行荷载激励作用下的各种情况。从图8可以明显看出, 在2.341Hz频率的步行荷载到频率2.777Hz的跑步荷载激励下, 结构的加速度峰值出现了大幅度的下降, 减震率也随着激励频率的加大而明显减小。故将TMD的目标频率定在一般人正常步行频率范围是合理且经济的。

　　 早晨学生需要按统一口令在操场上做广播体操, 荷载激励不再是随机分布, 而是具有一定的同步性。在这种荷载激励下, 屋盖结构加速度峰值较大且持续时间往往较短, 衰减较快。对于本工程屋盖结构如果按加速度峰值进行控制, 会过于保守, 产生投资浪费;故按照加速度常遇值进行控制, 即为结构在往复荷载激励下出现概率较大的平均加速度, 忽略荷载引起短时间的加速度峰值引起的不利影响。

　　 所有学生在不同的等效人数的特殊荷载激励作用下屋盖结构响应最大点处的加速度峰值和常遇值见表7和表8。

　　 原结构在等效人数不小于1 500人时, 最不利节点的加速度峰值大于0.6m/s²的限值要求;等效人数不小于2 100人时, 最不利节点的加速度常遇值大于限值0.6m/s² (图9) 。减振后, 仅在等效人数不小于2 100人时, 最不利节点的加速度峰值大于限值0.6m/s², 其他各种情况均满足要求。设置TMD后, 加速度常遇值的减振率可以达到49.5%, 对于加速度峰值的减振率稍低, 但也大于25%。

　　 原结构在等效人数为2 000～3 000人时, 最不利节点的加速度峰值大于限值0.6m/s²;等效人数为3 000人时, 最不利节点的加速度常遇值大于限值0.6m/s² (图10) 。减振后, 仅在等效人数为2 000～3 000人时, 最不利节点的加速度峰值大于限值0.6m/s², 其他各种情况均满足要求。设置TMD后, 加速度的减振率可以达到43.3%, 与工况三的减振率相近;但对于加速度峰值的减振率稍低, 约15%。

　　 图8 各种激励频率下节点加速度峰值变化曲线

　　  

　　 图9 工况三中不同等效人数下节点加速度常遇值变化曲线

　　  

　　 图10 工况四中不同等效人数下节点加速度常遇值变化曲线

　　 在各个工况下最不利情况设置TMD后, 减振结构能满足等效人数为1 500人时激励荷载作用, 最不利节点的加速度峰值不超过限值0.6m/s²。考虑加速度峰值持续时间较短, 不超过总激励结构响应持续时间的5%, 且迅速衰减为加速度常遇值;因此基于经济性的考虑, 按加速度常遇值控制结构减振效果是合理的, 即按控制同步率达到100%的最极端情况下最不利节点的加速度常遇值作为减振设计的目标。根据加速度响应结果, 减振后的屋盖结构能满足多种情况的使用要求。

　　 为保证减振效果, 对体育馆屋盖的动力特性进行现场测试, 检验其设置TMD后的实际减振效果。试验分为三个步骤:1) 测试屋盖的实际竖向自振频率; 2 ) 在TMD不发挥作用的情况下, 测试多种工况下屋盖的振动情况;3) 在TMD发挥作用的基础上, 测试屋盖减振后的实际振动, 并验证TMD的减振效果。

　　 采用环境随机振动激振测定结构自振是目前在结构试验中使用得较多的一种方法。它最大的优点是不再需要用人工激振, 特别适用于测量整体结构的动力特性。

　　 根据有限元模型自振特性的分析结果, 试验测点沿椭圆屋盖的长轴与短轴分布, 具体布置为中跨中点, 长轴1/4跨处, 短轴1/4跨处。通过对环境激励下屋盖的加速度时程曲线做FFT分析得到屋盖的加速度频谱曲线, 该屋盖的自振频率约为3.1Hz。由于测试时的结构与实际使用时存在一定差别, 屋顶建筑面层做法未完全铺设完成, 仅完成找坡层, 导致试验时结构自振频率与正常使用时存在一定差距。根据试验时的荷载情况, 使用有限元软件SAP2000计算得出屋盖结构第1阶理论频率为3.00Hz, 与实测值接近。

　　 由于操场实际容纳人数较多, 在进行人行激励测试时难以按照实际人数进行模拟, 所以在确定人数和激振区域面积时, 采用总人数的平方根所对应的区域面积来进行试验。根据理论分析结果, 人行激励采用最不利的跳跃运动激励。

　　 实际人群很难完全按照相同频率和相位进行运动。故试验前, 训练试验人群根据哨子的响声进行有节奏的弹跳, 待人群运动趋于同步后, 开始进行试验, 具体测试工况见表9。

　　 由于不可能做到所有人的跳动同相位、同频率, 因此人工激励并不完全相同, 导致屋盖的响应幅值有所波动, 表10分别列出了各测试工况屋盖加速度峰值以及减振效果, 表格中减振率为锁死TMD时的加速度峰值与TMD发挥作用的差值加速度峰值除以TMD锁死时的加速度峰值。设置TMD前后, 屋盖实测振动响应的变化规律与理论分析结果基本一致。设置TMD后减振效果明显, 改善了屋盖的舒适度, 图11是TMD安装后的现场实景。

　　 体育馆屋盖在人群激励荷载下, 振动加速度过大, 影响正常使用过程中人体舒适度, 通过采用TMD减震装置进行减振分析, 得到以下结论:

　　 (1) 结构最不利的激励工况不是常规人行荷载和跑步荷载, 而是学生集体在操场做广播体操的激励工况。

　　 (2) 以小学生平均体重为35kg和学校对容纳人数的需求为前提, 设置TMD后的减振结构在同步人数为3 000人时, 结构最大加速度的常遇值均满足加速度不超过限值0.6m/s²的ISO 2631-1^[10]对开敞结构的舒适度要求。

　　 (3) 设置TMD不损伤主体结构, 也无需对主体结构进行大的调整, 施工简单, 也不影响主体结构原有外观, 通过在钢桁架上弦位置设置TMD可以在不改变原有结构的基础上有效抑制结构在人群荷载激励下的振动。