作用在管道上的荷载主要有覆土荷载、管道自重、流体重力等恒载以及地面堆载、交通荷载、管道内压、地震荷载等活荷载，除此之外，管道冰冻荷载也是供水管道所受的重要荷载。在低温条件下，土壤的冰冻深度会随着气温的降低而增加，进而导致管道冰冻荷载的增大，供水管道所受应力增加甚至发生破裂。据统计^[1]，供水管道在冬季发生破裂的频率是夏季的两倍。以上海市为例，上海市2016年1月下旬遭遇了超级寒潮，在一周时间内供水管线破坏严重，造成直接经济损失超过1.6亿元。因此研究供水管道冰冻荷载的产生机理及其大小、分布是具有重要意义的。

目前许多研究都是通过场地仪器测试的方法来获得冰冻荷载的，例如，Monie等^[2]通过测量管道支撑面的反力，直接测量了一个3.66 m长、截面为150mm×12.2 mm的灰口铸铁管道的冰冻荷载；Molin^[3]测量了在淤泥质黏土中直径为300mm的混凝土和PVC管道的冰冻荷载，发现回填土的霜冻敏感性与冰冻荷载的大小密切相关，且在不同宽度和沟渠中，冰冻荷载的作用机理是不同的。现场实测试验表明冰冻荷载的大小与冰冻深度是有密切关系的。随着试验研究的的发展，一些学者逐渐提出了理论模型。1994年，Rajani^[4]提出了一种一维冰冻荷载简化计算的理论模型，并根据某地区实测的冰冻深度计算出了冰冻荷载，阐述了影响冰冻荷载的变量及其重要性。Zhan^[5]提出了确定沟槽中由于偏差冻胀造成的冰冻荷载的一种二维分析方法，并将理论预测结果和实测数据进行了对比，发现预测结果和实测数据比较相符。虽然目前给出的供水管道冰冻荷载计算理论模型与实测结果有较好的拟合度，但是学者们尚未基于理论模型对管道冰冻荷载的分布和变化情况进行详细的分析，而这正是进行供水管线冰冻防护的依据。另一方面，大多理论模型中所用到的冰冻深度多为某一地区的实测数据，尚未将冰冻深度理论模型和管道冰冻荷载计算理论模型相结合，使得管道冰冻荷载的理论计算处于半理论半实测状态。

为了解决上述两个问题，本文首先统计了冰冻深度的计算方法，并选取了一种代表性的方法，同时基于Rajani^[4]的一维供水管道冰冻荷载简化模型，以理论计算得到的冰冻深度为基础，求解出了不同时刻的管道冰冻荷载，分析了管道冰冻荷载在时间和空间上的分布规律，为计算供水管道的应力奠定了基础。

在计算冰冻荷载之前，需要先得知冰冻深度。影响土体冰冻深度的因素有很多，比如土质、土壤水分、温度、土的热物理性能等，导致土体冰冻深度的计算比较复杂。目前，主要有两种方式来进行计算。一是依据标准冻深进行换算，国内外许多行业通常直接采用气象台的实测统计资料或者经验公式来求解冰冻深度，区别仅在于不同行业所采用的修正系数有所不同，例如我国《水工建筑物抗冰冻设计规范》^[6]、《冻土地区建筑地基基础设计规范》^[7]都是采用这种方法；二是采用冰冻指数计算冰冻深度，这种方法通过建立理论模型，对热传导方程进行了求解，分析计算求解出冰冻深度，例如Stefan公式^[8]、Berggren公式等。

依据标准冰冻深度进行计算的方法多是经验公式，缺乏一定的热力学分析基础，而采用冰冻指数计算冰冻深度的方法则对冰冻过程进行了详细的热力学分析。因此，本文将以改进Berggren公式为基础分析冰冻深度的发展规律。

改进Berggren公式假设土壤是均质半无限体，初始温度是均匀的温度v₀，地表土壤温度从高于冰点的温度v₀降低到低于冰点的温度v_s，之后地表温度保持为一个定值。在地面下足够深的区域，温度都是接近于初始温度v₀的^[8]。其热力学条件如图1所示，阴影部分表示已经发生冰冻的土壤，冰冻深度为X。

根据热能扩散方程，对于冰冻土和未冰冻土，分别见式（1）和式（2):

当0<x<X时，

当x>X时，

在冰冻界面上，即图1中阴影部分的下边界，土壤的温度保持为常数———土壤的冰冻温度。冰冻界面上部冰冻土内向上的热流等于冰冻界面下部未冰冻土的热流与土壤水分在冰冻界面冻结过程中释放潜热形成的热流之和，因此有式（3):

式中v———温度；

t———时间；

a=k/c———热能扩散率；

c———土壤的体积热；

L———土壤潜热；

k———土壤的导热系数；

下标f———冰冻土；

下标u———未冰冻土。

在冰冻界面x=X处，由于土壤温度为土壤的冰冻温度（此处取0℃），所以有式（4):

根据冰冻土的热能条件以及地表的温度条件、未冰冻土的热能条件以及足够深处的温度关系，可以得到冰冻深度的一般表达式见式（5):

在式（5）中，λ是无量纲的修正系数，他的值与未冰冻土中最初储存的热量和冰冻土中热量损失之间的比值，本质上表达了体积热的影响，其值一般小于1。

供水管道往往是通过开挖并回填的方式进行安装，由于管道开挖回填时管道上部土体和周边土体的刚度产生了变化，因此在低温条件下管道受到的荷载会增大，即产生管道冰冻荷载。在本文中，将埋地管道沟渠中回填的土称为回填土，沟渠周围的原状土称为侧边土，冰冻荷载以Rajani^[4]的一维供水管道冰冻荷载简化模型为基础进行分析。如图2所示，在简单一维柱体模型中，冰冻界面上部为发生冰冻的土壤，将其当作一个刚体冻结质量块，其位移受到侧边沟渠回填界面的摩擦以及冰冻界面以下半空间的响应的约束。

在任意时间t，冰冻界面的深度位于X (t），该深度即为冰冻深度，可以根据改进Berggren公式进行计算。在式（5）中增加时间步的概念，用i代表时间步，则冰冻深度见式（6):

在冰冻过程中，土体会发生冻胀。根据分凝势理论，冻胀由两部分组成，一部分是由原位孔隙水的冰冻造成的，一部分是由迁移到冰冻界面的水造成的。因此，冻胀量可以表示为式（7)^[4]:

式中n———土壤孔隙率；

w_uf———非冰冻土的体积含水量；

X———冰冻深度；

SP———分凝势；

———温度梯度；

t———时间。

假设在冰冻过程发生之前，整个沟渠以及侧边土的竖向平衡都能够满足，因此，管道冰冻荷载就是在冰冻界面上部向上的位移导致的应力。另外假设沟渠回填土和侧边土界面的抗剪强度比土体的抗剪强度小。基于此分析该柱体模型的平衡条件和协调条件。

在时间增量t ⁱ-t ^i-1内发生的冻胀量为h_fⁱ。根据位移关系，冻胀土的膨胀量应该与冰冻界面以下半空间向下的位移以及冰冻面以上刚体质量的位移ωⁱ相平衡见式（8):

式中pⁱ———时间增量（t ⁱ-t ^i-1）在冰冻面上形成的冰冻荷载；

k_tip———冰冻面以下弹性半空间内的未冻结土体的刚度，可以根据k_tip=G_s/2B_d进行估算，G_s是土壤的剪切模量，B_d是沟渠的宽度，见图1;

β———衰减系数，与回填土和侧边土的冻胀敏感性有关。

如图2的阴影部分，对于冰冻界面上部，距地表深度z处宽度为dz的单元，需要满足的竖向力平衡条件见式（9):

其中，q是在时间增量t ⁱ-t ^i-1内冰冻土的正应力增量，τ是回填土和侧边土界面之间的剪力。假设导致剪力的位移是在重力和累积冰冻荷载的共同作用下产生的，简单起见，假设冰冻回填土和侧边土界面之间的剪力-位移关系是线性的，则有式（10):

其中，k_s是冰冻回填土和侧边土界面上的抗剪刚度，w是对应的位移。

将式（10）代入式（9），并假设沿着回填土-侧边土界面的位移是线性的，即w=Az，则可以得到式（11):

其中，A是由边界条件确定的常数。

在这一模型中，已假设冻胀量和应力与冰冻界面上冰冻荷载的发展有关，因此适当的边界条件见式（12):

将这一边界条件代入到式（11）中，可以得到式（13）和式（14):

可以看出在冰冻界面上部，附加应力增量沿着深度以抛物线的规律变化。将式（14）和式（8）联立，可以得到冻胀量和冰冻深度导致的附加土压力之间的关系为式（15):

式（15）说明冰冻界面上形成的应力是时间的函数，且与描述冰冻过程的变量有关。在任意时间点产生的应力会对整个沟渠半空间产生影响，可以通过布西奈斯克公式计算半空间上任意位置的累积应力。在沟渠中线的任意深度s处，应力见式（16):

其中b=B_d/2,zⁱ=s-Xⁱ,s是从地表到需要计算应力的点的距离。如果地面上已经冻结且不再解冻，则任一点的管道冰冻荷载见式（17):

在深度s处总的竖向压力见式（18):

其中γ_s为土壤的容重，C_d是土压力系数。上式的第一项代表了土壤的竖向自重应力分量，第二项代表了管道附加冰冻荷载。但是由于布西奈斯克公式只能计算半空间的应力，无法计算冰冻界面上部的应力，所以这一公式只适用于深度s大于最大冰冻深度的位置。

若深度s小于最大冰冻深度，由式（13）可知在时间增量t ⁱ-t ^i-1内增加的附加正应力增量q呈现抛物线分布的规律，根据边界条件式（12）以及式（14），可以得到在时间增量t ⁱ-t ^i-1内冰冻界面上部每一点的应力增量，进而得到所有时刻的累积应力增量。另外，由于冰冻界面是不断向下发展前进的，若冰冻界面在某一时刻达到深度s处，则在这一时刻之前，s处的累积冰冻应力仍然可以通过布西奈斯克公式计算。综合这两部分应力，即可以得到深度s大于最大冰冻深度位置处的冰冻荷载。

根据前文的冰冻荷载估算模型，可以知道冰冻荷载在时间和空间上都在不断的变化，为了分析管道冰冻荷载的发展及分布规律，有必要进行进一步的分析。假设沟渠开挖处的土壤为淤泥质粘土和砂土，则其地质特性见表1。

在估算冰冻深度时，可将地表温度表示为时间t的函数，见式（19):

其中T_m是平均地表温度，A^T是温度变化幅值。如图3所示，v₀表示年平均地表，即v₀=T_m，阴影部分的面积代表冰冻指标F,v_s表示冰冻期的平均地表温度。

根据上表假设的地表温度典型参数，可以得知此时冰冻深度的发展情况见图4，冰冻深度从第122d开始发展，到第243d达到最大值，冰冻持续时间为122d，最大冰冻深度为1.964 8m。

管道冰冻荷载随冰冻深度的发展而发展，且在不同时刻，管道冰冻荷载沿着深度方向的分布规律是不同的。如图5为冰冻发展第30d、第61d、第91d以及第122d的冰冻荷载剖面图。从图中可以看出，随着冰冻深度的发展，冰冻荷载在不断的增大，而且最大冰冻荷载所在的深度也在不断增大。在地表处冰冻荷载始终为0，随着深度的增加，冰冻荷载先是不断的增大直至最大值，随后不断的减小，且深度越深，衰减速率越慢，在足够深处，冰冻荷载始终为0。图6和图7分别表示了最大冰冻荷载及其对应的深度随着时间的发展关系。可以发现，最大冰冻荷载及其对应的深度与时间呈现非线性的关系，在99%的保证率下，最大冰冻荷载与时间呈现二次抛物线的关系，而最大冰冻荷载对应的深度与时间则呈现三次多项式的关系。

地表温度会对管道冰冻深度产生巨大的影响，而管道冰冻荷载又与冰冻深度的发展密切相关，因此，探究地表温度变化与冰冻荷载的关系是非常有必要的。图8表示了地表年平均温度分别为15℃、10℃、5℃和0℃时的管道冰冻荷载剖面。在不同的地表年平均温度下，冰冻深度的发展起止时间是不同的，即冰冻的持续时间是不同的，当地表年平均温度为15℃时，冰冻持续时间为84d,10℃时为122d,5℃时为154d,0℃时为184d。由于在冰冻持续时间的最后一天冰冻荷载达到最大，因此图8表示的是各自条件下冰冻持续时间中最终状态的荷载剖面。可以看出地表年平均温度越低，最大冰冻荷载越大，其对应的深度也越深。图9和图10分别表示了最大冰冻荷载及其对应的深度随着地表年平均温度的变化关系，可以看出，最大冰冻荷载及其对应的深度与地表年平均温度成明显的线性负相关关系。

不同类型的土壤，其特性及土壤参数各不相同。以典型粘性土和砂土为例，图11为粘性土和砂土在冰冻持续时间中最终状态的荷载剖面图，可以看出两种土壤的管道冰冻荷载分布情况基本一致，都是沿着深度先从0开始增大，达到最大值后逐渐减小，且减小速率逐渐减慢，相对来说粘性土的冰冻荷载整体上比砂土的大。对比两种土壤的最大冰冻荷载及其对应的深度，发现砂土的最大冰冻荷载所在的深度略深于粘性土。

管道冰冻荷载影响到管道的受力，为了分析本文计算方法的有效性，采用1993年在艾伯塔省埃德蒙顿测量的冰冻深度数据以及在当地埋地供水管道支撑面测出的支撑反力数据^[4]进行验证。图12为当地1993年冰冻深度发展数据，共计出现冻深天数为156d。

根据冰冻深度的发展计算管道冰冻荷载，如图13所示。可以看出最大管道冰冻荷载为土体自重荷载的1.3倍左右，虽然计算管道冰冻荷载与实测冰冻荷载相比发展更为平缓，波动性较小，但是管道冰冻荷载的计算值与实测值的发展趋势基本一致，都是随着冰冻深度的增加而不断的增大，且两者最大管道冰冻荷载接近，实测最大管道冰冻荷载为39.7kPa，计算最大管道冰冻荷载为37.3kPa，误差为6.05%，这说明本文模型可以有效对管道冰冻荷载进行理论计算与估计，计算方法可以用于实际管道的荷载计算及结构安全评价。

(1）冰冻荷载的大小与时间和空间都有关。在空间上，冰冻荷载沿着深度方向先从0开始增大，之后再减小，且减小的速率随深度而减慢。在时间上，冰冻持续时间越长，冰冻荷载越大，且剖面上的最大冰冻荷载与时间呈现二次抛物线的关系，最大冰冻荷载对应的深度与时间则呈现三次多项式的关系。

(2）冰冻荷载的大小受地表温度的影响，最大冰冻荷载及其对应的深度与地表年平均温度成线性负相关关系。

(3）不同土壤类型的冰冻荷载发展规律相同，但粘性土的冰冻荷载整体大于砂土，不过砂土的最大冰冻荷载对应的深度略深于粘性土。