0 引言

　　渗透性是混凝土的主要性能之一，对混凝土结构的耐久性和使用寿命具有重要影响。在实际工程中，由于混凝土抗渗性不足而引起的钢筋相对腐蚀是导致钢筋混凝土基础设施恶化的主要原因，而混凝土的早期抗渗性则主要由混凝土配合比所决定，因此，对混凝土抗渗性及配合比进行研究对于提高混凝土抗渗性能和使用寿命具有重要意义。

　　目前，科研人员对混凝土抗渗性及配合比优化进行了一些研究。梁柯鑫等^[1]针对盐冻环境，基于正交试验对多因素作用下混凝土早期强度及抗渗性能进行了研究。何锐等^[2]研究了青藏高原气候环境对混凝土强度和抗渗性的影响，并对相关机理进行了分析。郭寅川等^[3]在高寒地区桥面板混凝土抗裂性能的基础上，通过模拟试验对混凝土配合比进行了优化设计。蒋正武等^[4]在正交试验基础上，对C50混凝土的配合比进行了多目标优化设计，确定了最佳配合比。马士宾等^[5]在混凝土材料组合混料效应分析的基础上，对高性能混凝土的配合比设计实现了优化。Xu等^[6]从预制混凝土的角度出发，并通过正交试验对预制混凝土的配合比进行了优化。上述研究主要是基于传统的试验方法来研究混凝土抗渗性及配合比优化，不仅费时费力，而且所获得的最优配合比也不够精确。随着机器学习算法的发展和应用，一些学者开始尝试通过机器学习算法来解决目标优化问题。其中，遗传算法由于寻优精度高、鲁棒性强、收敛速度快等优点而被广泛使用^[7,8,9]。目前遗传算法在其他领域的优化问题上已取得一定成果，但在混凝土配合比优化中的应用却很少。

　　为此，本文将最小二乘支持向量机(LSSVM)算法和遗传算法(NSGA-II)相结合，提出一种基于LSSVM-NSGA-II模型的混凝土配合比多目标优化方法。首先基于原材料及配合比建立LSSVM混凝土早期抗渗性预测模型，然后将LSSVM回归函数作为混凝土抗渗性目标函数，以保证混凝土抗渗性和实现成本最低为优化目标，引入NSGA-II算法构建混凝土配合比多目标优化模型，根据计算得到的Pareto前沿解集确定同时满足混凝土抗渗性和成本最低的最优混凝土配合比参数组合。

　　1 方法及原理

　　1.1 最小二乘支持向量机理论

　　支持向量机(SVM)是一种能很好地解决非线性问题，且适用于小样本研究的机器学习算法^[10]。最小二乘支持向量机(LSSVM)则是对SVM算法的一种改进，它采用平方和误差代替原本的损失函数，并将SVM算法中不等式约束转换为等式约束，从而降低算法的计算量^[11]。假设训练样本集为(x_i,y_i),x_i∈Rⁿ,y_i∈{-1,1}(i=1,2，…，N)，其中x_i为样本输入值，y_i为样本输出值，N为训练样本总数。针对非线性问题，LSSVM回归模型的结果可由以下优化问题得到:

　　

　　 

　　式中:(·)为非线性映射;ω为权重;ξ_i为误差变量;b为偏差量;c>0为惩罚系数。

　　将式(1)转换为Lagrange函数:

　　

　　 

　　式中:a_i>0(i=1,2，…，N)为Lagrange乘子。

　　对式(2)进行优化，令L对ω，b,a_i，ξ_i的偏导数为0，由此可得:

　　

　　 

　　

　　 

　　通过以上推导求解，可得LSSVM的非线性回归模型为:

　　

　　 

　　式中:K(x,x_i)为核函数，用来代替高维空间上的内积运算;x_i为核函数的中心;x为训练样本输入值。

　　1.2 NSGA-Ⅱ理论

　　2002年，Deb在NSGA的基础上进一步提出带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-II)^[12]。NSGA-II具有计算简单、参数少、保证多样性、精英主义和实值表示等优点，很好地克服了NSGA存在的计算复杂并需指定共享参数的缺陷。

　　NSGA-II算法的基本思想为:种群初始化、个体评价、迭代设置、个体选择、种群交叉及种群遗传，当遗传的子代种群数达到最大子代数时，便可获取Pareto最优解集^[13,14]。NSGA-II算法最核心的特点是快速非支配排序和拥挤距离。NSGA-II是NSGA的改进算法，其中就将NSGA的非支配排序由O(MN³)改进为O(MN²)(M为目标数，N为种群大小)，从而提升排序速度。拥挤距离法用于计算每个解的距离，估计其周围解的密度，以保证种群的内部多样性。第i个解的拥挤距离计算如下^[15]:

　　

　　 

　　式中:m为目标函数的个数;z_k(i)为第i个解的第k个目标函数值;z_k^max和z_k^min分别为第k个目标函数的最大值和最小值;n为属于指定前沿的解的个数。

　　2 LSSVM-NSGA-Ⅱ混凝土耐久性配合比优化模型

　　为了快速有效地对混凝土配合比进行优化，在保证混凝土性能的同时降低成本，提出一种将LSSVM算法和NSGA-Ⅱ算法相结合的多目标优化方法。如图1所示，该方法主要分为2步:(1)基于LSSVM的混凝土早期抗渗性预测;(2)基于NSGA-Ⅱ的多目标优化。基于LSSVM-NSGA-Ⅱ模型进行混凝土配合比的多目标优化，可实现更加智能和准确的混凝土配合比优化设计。

　　

　　图1 基于LSSVM-NSGA-Ⅱ算法的混凝土配合比参数多目标优化模型 

　　 

　　2.1 基于LSSVM的混凝土早期抗渗性预测

　　2.1.1 样本收集及预处理

　　本文在查阅相关文献分析及工程经验的基础上，选取与混凝土早期抗渗性紧密相关的7个配合比参数作为预测的输入指标，分别为水胶比、水泥、粉煤灰、细集料、粗集料、减水剂和引气剂用量，并将氯离子渗透系数作为输出指标，从而建立混凝土抗渗性预测指标体系。在此基础上，收集相关数据整理后形成原始数据样本集。

　　在模型建立前，为了消除不同特征指标的数据因为量纲不同所带来的影响，有必要对初始数据进行归一化预处理，以统一变量维度，降低模型的训练难度，防止模型精度下降或网络无法收敛。归一化的方式有很多，如将数据归一化到[0,1]或[-1,1]区间内，本文选择把样本输入数据归一化到区间[0,1]上。

　　2.1.2 模型参数优选

　　2.1.2. 1 核函数选择

　　核函数是将1组非线性关系的数据映射到高维特征空间中的关键，它对支持向量机的效能有着很大影响，因此有必要对核函数进行合理选择。径向基核函数(RBF)是目前支持向量机模型中最常用的核函数，具有很好的抗干扰能力及局部性，且适用于非线性问题，因此本文选择LSSVM预测模型的核函数为RBF核函数，其表达式如下:

　　

　　 

　　式中:x_i为输入变量;x为输出变量;δ为函数的宽度参数。

　　2.1.2. 2 参数优选

　　为了防止LSSVM模型出现欠学习问题，同时保证模型良好的泛化能力，本文选择网格搜索法对RBF核函数的惩罚系数c及核函数参数g进行参数全局搜索，以得到全局最优解，并在网格搜索法的基础上，结合K折交叉验证方法，对所有可能的参数进行验证，找出精度最高的模型所对应的参数，从而确定最终的优选参数。

　　2.1.3 预测结果评价

　　为了对预测模型的预测性能进行有效评价，采用常用的2个评价指标对模型预测的准确性进行描述，即均方根误差RMSE和决定系数R²。RMSE衡量了预测值与实际值之间的偏差，而R²用于评估预测值与实际值之间的拟合程度。2个评价指标的计算公式如下:

　　

　　 

　　式中:n为观测数据的个数;为实际观测值;y^obs为实际观测值的平均值;y^pred为支持向量机模型预测值。

　　RMSE值越小，说明模型性能越好;R²值越接近1，则预测精度越高。

　　2.2 基于NSGA-Ⅱ的多目标优化

　　2.2.1 建立目标函数

　　1)混凝土抗渗性目标函数

　　引入2.2节中LSSVM回归预测算法替代具体的数学函数作为多目标遗传算法中的目标函数，可很好地解决输入变量与输出之间存在高度非线性关系，无法给出具体函数表达式的问题。由式(4)可知，基于LSSVM的混凝土早期抗渗性回归函数为:

　　

　　 

　　式中:x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇为目标函数的决策变量;α_i，α_i^*为Lagrange乘子;b为偏置项;x_i为输入变量;x为输出变量。

　　2)成本目标函数

　　在实际工程中，除了保证混凝土的抗渗性能，降低成本也是一项需考虑的重要目标。混凝土配合比的成本目标函数为:

　　

　　 

　　式中:p_i为配合比参数的单价;x_i为混凝土配合比参数指标。

　　2.2.2 建立约束范围

　　为了使配合比优化结果更加合理可行，需根据工程实际情况对目标函数的各决策变量取值范围进行限制，形成变量的约束条件，其表达形式一般如下:

　　

　　 

　　式中:x_i为第i个设计参数;b_{i l},b_{i u}分别为第i个设计参数值的下限和上限。

　　2.2.3 NSGA-Ⅱ算法实现过程

　　本文应用NSGA-Ⅱ算法实现混凝土配合比参数的多目标优化，以确定同时满足混凝土抗渗性和成本最低的最优配合比参数Pareto最优解集。NSGA-II算法的具体实现步骤为^[16]:(1)随机初始化N个个体，得到规模为N的初始种群，计算初始种群中个体的适应度，并进行快速非支配排序;(2)随机选择个体作为父代种群，然后对其进行遗传算法的选择、交叉、变异操作，从而得到一个新的子代种群;(3)合并父代种群和子代种群形成一个新的种群，根据目标函数对新种群进行快速非支配排序和拥挤度计算，根据排序选取适应度高的前N个个体形成新的父代种群;(4)再次进行遗传算法的选择、交叉和变异操作，从而产生新的子代种群;(5)依次类推，当子代种群数达到最大子代数时，即满足算法结束的条件，则输出Pareto最优解集。

　　3 案例分析

　　3.1 工程背景

　　吉林省某高速公路项目位于高寒高碱环境中，对混凝土抗渗性要求较高。本文以C40混凝土为研究对象，基于该项目通过正交试验和工程材料检验，获取所需的混凝土配合比各参数及氯离子渗透系数样本数据，选择28d氯离子渗透系数。

　　3.2 基于LSSVM的混凝土早期抗渗性预测

　　3.2.1 样本收集及预处理

　　根据2.1节建立的混凝土抗渗性指标体系，可确定LSSVM抗渗性预测模型的输出指标为氯离子渗透系数，输入指标为水胶比、水泥用量、粉煤灰、细集料、粗集料、减水剂、引气剂。通过高速公路项目实际工程，收集共71组C40混凝土的样本数据，具体数据如表1所示。对全部样本进行归一化预处理，然后随机抽取其中56组样本构成训练集用来训练模型，为了检验模型的泛化性能，将剩下的15组样本作为测试集来验证模型效果。

　　3.2.2 模型参数优选

　　根据2.1节所述，采用网格搜索法和5折交叉验证法对LSSVM回归模型的惩罚系数c及核函数参数g进行参数优选，从而确定建立LSSVM混凝土抗渗性预测模型的最优参数，氯离子渗透系数预测参数优化结果3D视图如图2所示。由图2可知，参数优选结果为best c=48.502 9,best g=0.020 617，此时均方根误差CV_mse=0.002 198 9，说明惩罚系数c为48.502 9，核函数参数g为0.020 617时，在5-CV验证后的均方误差值最小。

　　

　　图2 抗渗性参数优化3D视图  

　　 

　　  

　　表1 C40混凝土抗渗样本数据 

　　 

　　 

　　

　　表1 C40混凝土抗渗样本数据

　　3.2.3 预测结果分析

　　根据参数优选结果建立LSSVM混凝土抗渗性预测模型，利用该模型分别对训练集和测试集进行回归拟合，训练集回归拟合结果如图3a所示，测试集回归预测结果如图3b所示。

　　

　　图3 氯离子渗透系数训练集与测试集预测结果  

　　 

　　由图3a可看出，混凝土抗渗性预测模型训练集的均方根误差为0.005 611 4，拟合优度为0.975 76，模型拟合结果很好，说明该模型对输入与输出之间的决策规律进行了充分学习，从而对训练样本进行预测，其预测值与实际值之间误差非常小。同时，由图3b可看出，混凝土抗渗性预测模型测试集的均方根误差为0.006 525 3，拟合优度为0.966 46，说明LSSVM预测模型测试集的预测值与实际值十分贴近。因此，所建立的混凝土抗渗性LSSVM预测模型预测效果良好且泛化能力优秀。

　　3.3 基于NSGA-Ⅱ的混凝土配合比多目标优化

　　3.3.1 建立目标函数

　　1)混凝土抗渗性目标函数

　　通过氯离子渗透系数对混凝土抗渗性能进行衡量，将LSSVM回归函数作为混凝土抗渗性目标函数，设定28d氯离子渗透系数在2.7×10^-8cm²/s以下，根据式(9)可得混凝土抗渗性目标函数为:

　　

　　 

　　式中:x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇分别为水胶比、水泥用量、粉煤灰用量、细集料用量、粗集料用量、减水剂用量和引气剂用量。

　　2)成本目标函数

　　根据工程实际情况确定混凝土各配合比参数的市场单价分别为:水泥单价为0.37元/kg，水单价为0.002元/kg，砂单价为0.126元/kg，石单价为0.102元/kg，粉煤灰单价为0.369元/kg，减水剂和引气剂单价为4.85元/kg。根据式(10)可得到混凝土配合比的经济成本目标函数为:

　　

　　 

　　3.3.2 建立约束范围

　　对高强性能混凝土进行配制时，需对原材料做出合理选择，本文选择P·O42.5水泥，选择密实的石灰岩碎石等作为混凝土的粗集料，加入适量粉煤灰、减水剂和引气剂，以增强混凝土和易性，同时在一定程度上提高混凝土的抗渗性能。根据相关规范及工程实际要求确定合理的配合比参数取值范围，其中水胶比范围为0.32～0.48，水泥用量在310～430kg/m³，粉煤灰用量在60～100kg/m³，砂用量在650～890kg/m³，石用量在1 050～1 200kg/m³，新型高效减水剂的含量设置范围在0.4～1.5kg/m³，新型高效引气剂的含量设置范围在0.5%～4.5%，同时混凝土强度也要达到一定要求。根据式(11)确定配合比参数的具体约束条件如下:

　　

　　 

　　3.3.3 NSGA-Ⅱ多目标优化

　　本文通过随机遍历抽样进行选择，使用单点交叉算子进行交叉操作，且交叉概率设置为0.7;通过设定某一概率随机选择变异的特征信息进行变异操作，设定变异概率为0.01;初始种群大小设置为40，最大遗传代数设为60。

　　根据初始种群生成遗传算子的选择，基于上述建立的目标函数和约束范围，通过NSGA-Ⅱ多目标遗传算法进行配合比全局寻优，更新迭代60次后得到最优配合比组合如图4所示，运行NSGA-Ⅱ算法得到40组最优配合比组合结果。

　　由图4可看出，随着氯离子渗透系数的降低，混凝土成本也在增加，其中氯离子渗透系数在2.65～2.8cm²/s取值，混凝土成本在365～382元取值。而优化目标要求28d氯离子渗透系数≤2.7×10^-8cm²/s，因此根据优化目标同时考虑成本因素，从图4中可看出，当氯离子渗透系数均达到目标抗渗性要求时，最低的混凝土成本为375.637元，此时单位体积混凝土水胶比为0.32，水泥用量为310kg/m³，粉煤灰用量为60kg/m³，细集料用量为650kg/m³，粗集料用量为1 060kg/m³，减水剂用量为6.964 68kg/m³，引气剂用量为3.044%。

　　

　　图4 多目标最优配合比组合  

　　 

　　4 结语

　　1)本文建立了一种基于LSSVM-NSGA-II多目标优化模型，该模型首先利用LSSVM实现基于原材料及配合比对混凝土抗渗性主要指标氯离子渗透系数的高精度预测，然后将以上混凝土抗渗性指标的LSSVM预测回归函数作为适应度函数，结合工程要求及相关规范建立配合比参数的相关约束条件，利用NSGA-II算法进行混凝土抗渗性及经济成本的多目标优化，得到最优配合比组合。

　　2)选取水胶比、水泥用量、粉煤灰用量、细集料用量等8个因素作为最优输入变量集构建基于LSSVM的混凝土抗渗性预测模型，结果表明采用LSSVM算法对混凝土抗渗性进行预测的精度很高。其中，在对混凝土抗渗性进行预测时，均方根误差RMSE为0.009 806 6，决定系数为0.950 62，说明LSSVM模型在混凝土抗渗性预测中的可行性及有效性。

　　3)根据规范和工程实际要求，针对混凝土抗渗性进行配合比优化，将混凝土抗渗性预测的LSSVM函数作为适应度函数，利用NSGA-II算法进行多目标优化后，当氯离子渗透系数和成本分别为3.698×10^-8cm²/s和375.637元时，得到混凝土抗渗性优良的配合比，结果表明，该模型目标优化结果与工程实际相符。