目前, 在机场或体育场馆这类大型公共空间结构的设计中, 因建筑内部美观及空间效果的需要, 会采用大型锥形薄壁钢管柱作为大跨空间屋盖的主要支撑构件。对这类锥形柱考虑空间作用时的稳定承载力的验算显得尤为重要。但我国现有相关钢结构规范, 如《钢结构设计标准》 (GB 50017—2017) ^[1] (简称钢结构标准) 一方面只给出了平面框架体系柱子的计算长度取值方法, 但是未明确给出考虑整体空间作用时柱的计算长度确定方法;另一方面, 由于只有等截面柱的稳定承载力验算方法, 故无法对锥形柱稳定承载力进行验算。《钢管结构技术规程》 (CECS 280∶2010) ^[2] (简称钢管规程) 给出了圆 (方) 钢管梭形柱轴心受压时的整体稳定承载力公式, 但未给出锥形薄壁钢管轴心受压时整体稳定承载力的计算公式。

　　 在变截面受压柱临界荷载的研究方面, 洪振德^[3]基于势能驻值原理, 利用能量法推导出变截面压杆稳定临界力的计算公式。侯祥林等^[4]用差分原理, 提出了变截面压杆临界荷载求解的优化算法。高瑞杰等^[5]运用有限元软件中的特征值屈曲分析和非线性屈曲分析得到压杆屈曲荷载, 并将结果与规范计算结果进行了对比。侯祥林等^[6]针对任意约束类型的变截面杆, 提出变截面压杆临界荷载和稳定位型的优化求解算法。在考虑结构空间作用方面, 傅学怡^[7]较早提出了高层建筑的空间结构理念, 吴兵等^[8]以穿层柱为例, 从整体结构屈曲稳定分析出发, 通过柱的屈曲模态及欧拉公式反算其计算长度, 从而确定柱的承载力。陈以一等^[9]基于全柱失稳, 同时考虑柱稳定函数的不同, 提出的改进方法有别于传统方法, 总体上比传统方法更精确。耿旭阳等^[10]对单根柱在各种不同约束情况下的计算长度系数进行了推导, 并绘制成图表, 这些图表不仅涵盖了规范公式和表格能求解的规则情况, 而且还能确定非规则情况下柱的计算长度系数, 图表使用方便、快速和直观。吴兵等^[11]以某会议中心为例, 其具有平面不规则、楼板不连续、存在大量穿层柱、斜柱、斜屋盖等结构特点, 从整体结构屈曲稳定分析出发, 得到各层柱的屈曲模态, 结合欧拉公式, 反算柱的计算长度从而确定柱的承载能力。汪大海等^[12]提出了一种考虑空间作用的线性变截面柱的稳定承载力计算方法。翟福胜等^[13]采用ABAQUS软件, 通过合理选取密柱网格式钢框架稳定分析简化模型, 同时考虑材料相关因素的影响, 对密柱进行非线性屈曲分析得出临界荷载后, 反推其在平面内和平面外的计算长度系数。

　　 在上述成果的基础上, 本文遵循现有规范中关于空间作用的基本设计理念, 充分发挥有限元分析软件ANSYS在大型复杂空间结构特征值屈曲分析上的优势, 以弹性稳定性理论推导为基础, 结合现有的梭形钢管柱设计规范的稳定性承载力取值, 提出了考虑整体空间作用的锥形钢管柱的计算长度及稳定承载力的计算方法, 为锥形钢管柱的校核与设计提供了基础。

　　 某机场航站楼为大跨网架结构, 竖向与侧向承重构件为锥形变截面钢管柱, 钢管柱主要材料为Q345钢, 其分布示意及内部空间结构分别如图1 (a) 和图1 (b) 所示。由图1 (a) 可以看出, 该机场航站楼由主楼 (结构分区Ⅰ) 、指廊 (结构分区Ⅲ) 及连廊 (结构分区Ⅱ) 组成, 结构的安全等级为一级, 设计使用年限为50年, 建筑抗震设防类别为乙类, 抗震设防烈度为6度, 设计基本地震加速度为0.05g, 设计地震分组为第一组。

　　 由于大跨屋面支撑柱选用的巨型锥形钢管柱数量众多、类别不同, 现有规范没有给出该类构件稳定性验算的计算依据, 现有工程软件也不能对该类构件进行直接计算, 为了解决巨型锥形柱稳定性验算问题, 本文对其进行了专项研究。

　　 关于轴心受压杆件临界力的确定有许多方法, 为准确地推导出锥形钢管柱的屈曲临界荷载的表达式, 本文采用标准的平衡微分方程的直接积分法, 列出杆件从直线平衡状态作微小偏移的弯曲微分方程, 再由数理方法可解出锥形钢管柱屈曲特征值。

　　 以两端铰支锥形等壁厚锥形钢管柱为例, 在柱底建立图2所示的坐标系, 其中a为锥形柱的外交延伸长度, L为柱长, d₀为锥形圆管柱顶端的外径, 建立平衡微分方程:

　　 $E{\rm I}(x)\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y=0(1)$

　　 根据截面特性可将I (x) 表示为:

　　 ${\rm I}(x)=\frac{\text{π}}{64}[8d{}^3(x)t-24d{}^2(x)t{}^2+32d(x)t{}^3-16t{}^4](2)$

　　 式中:E为弹性模量;I (x) 为截面惯性矩;P为柱失稳临界力;d (x) 为锥形圆管柱顶端的外径;t为钢管的厚度。

　　 很容易求得小截面惯性矩I₀的表达式:

　　 ${\rm I}{}_0=\frac{\text{π}}{64}(8d{}_0{}^{3}t-24d{}_0{}^{2}t{}^2+32d{}_{0}t{}^3-16t{}^4)(3)$

　　 I (x) 转换为与小截面相关的通用表达式:

　　 $\begin{array}{l}{\rm I}(x)=k{}_0{\rm I}{}_0+k{}_1{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right)+k{}_2{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right){}^2+k{}_3{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right){}^3(4)\\ k{}_0=\frac{(L+a){}^{3}d{}_0{}^{3}t-3a(L+a){}^{2}t{}^2+(L+a)a{}^{2}t{}^3-2a{}^{3}t{}^4}{a{}^3(d{}_0{}^3-3d{}_0{}^{2}t{}^2+4d{}_{0}t{}^3-2t{}^4)}(5)\\ k{}_1=\frac{6a{}^{2}d{}_0(a+L)t{}^2-3ad{}_0(a+L){}^{2}t-4d{}_0(a+L){}^{3}t{}^3}{a{}^3(d{}_0{}^3-3d{}_0{}^{2}t{}^2+4d{}_{0}t{}^3-2t{}^4)}(6)\\ k{}_2=\frac{3d{}_0{}^2[(a+L)d{}_{0}t-t{}^2]}{a(d{}_0{}^3-3d{}_0{}^{2}t{}^2+4d{}_{0}t{}^3-2t{}^4)}(7)\\ k{}_3=-\frac{d{}_0}{d{}_0{}^3-3d{}_0{}^{2}t{}^2+4d{}_{0}t{}^3-2t{}^4}(8)\end{array}$

　　 平衡微分方程写成如下形式:

　　 $\begin{array}{l}E\left[k{}_0{\rm I}{}_0+k{}_1{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right)+k{}_2{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right){}^2+k{}_3{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right){}^3\right]\times \\ \frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}y=0(9)\end{array}$

　　 其边界条件:

　　 $\begin{array}{c}y(0)=0;y(0{)}^{″}=0\hfill \\ y(L)=0;y(L{)}^{″}=0\hfill \end{array}(10)$

　　 式中k₁, k₂, k₃为与锥形柱截面形式相关的三个变量。

　　 将上述微分方程分解为关于x项次数的四个方程分别求解, 再将四个解进行叠加可得到原方程的解:

　　 $\begin{array}{l}Ek{}_0{\rm I}{}_0\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}{}_{0}y=0(11)\\ Ek{}_1{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right)\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}{}_{1}y=0(12)\\ Ek{}_2{\rm I}{}_0\left(\frac{x}{a}\right){}^2\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}{}_{2}y=0(13)\\ Ek{}_{3}x{}^3\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}x{}^2}+{\rm P}{}_{3}y=0(14)\end{array}$

　　 式中P₀, P₁, P₂, P₃为式 (1) 分解后的四个特解。

　　 式 (11) 为不含x项方程, 即著名的欧拉方程, 其解可直接写成:

　　 ${\rm P}{}_0=\frac{\text{π}{}^{2}Ek{}_0{\rm I}{}_0}{L{}^2}=\frac{{\rm K}{}_{0}E{\rm I}{}_0}{L{}^2}(15)$

　　 式 (12) 为x的一次项方程, 采用Rayleigh-Ritz能量方法, 求解得:

　　 ${\rm P}{}_1=\frac{Ek{}_1{\rm I}{}_0\text{π}{}^2}{2aL{}^2}=\frac{{\rm K}{}_{1}E{\rm I}{}_0}{L{}^2}(16)$

　　 式中:K₀为变截面柱常数阶形状参数, K₀=π²k₀;K₁为变截面柱一阶形状参数, K₁=k₁π²/2a。

　　 式 (13) 为x的二次项方程, 通过变量代换得:

　　 $\frac{x}{a}=\text{e}{}^z(17)$

　　 方程变为:

　　 $\frac{\text{d}{}^{2}y}{\text{d}z{}^2}-\frac{\text{d}y}{\text{d}z}+\frac{{\rm P}{}_{2}a{}^2}{Ek{}_2{\rm I}{}_0}w=0(18)$

　　 求得:

　　 $y=\sqrt{\text{e}{}^z}(A\text{s}\text{i}\text{n}\beta z+B\text{c}\text{o}\text{s}\beta z)(19)$

　　 即:

　　 $y=\sqrt{\frac{x}{a}}\left[A\text{s}\text{i}\text{n}\left(\beta \ln \frac{x}{a}\right)+B\text{c}\text{o}\text{s}\left(\beta \ln \frac{x}{a}\right)\right](20)$

　　 式中:z为引入的参变量;A, B为满足边界条件的实常数;β为含有未知变量的参变量, 且:

　　 $\beta =\sqrt{\frac{{\rm P}{}_{2}a{}^2}{Ek{}_2{\rm I}{}_0}-\frac{1}{4}}(21)$

　　 令k⁴=I₀/I₁, 在两端铰支座支承的情况下, 带入边界条件, 可导出β的方程如下:

　　 $1-2\beta \cot (2\beta \text{l}\text{n}k)=0(22)$

　　 通过数值方法^[14]解得β后, 可得到临界力的表达式:

　　 $\begin{array}{l}{\rm P}{}_2=\frac{(1+4\beta {}^2)(1-k{}^2){}^2}{4}\cdot \frac{E{\rm I}{}_0}{L{}^2}=\frac{{\rm K}{}_{2}E{\rm I}{}_0}{L{}^2}(23)\\ {\rm K}{}_2=\sqrt{x}\left[A{\rm I}{}_1(z)+B{\rm N}{}_1(z)\right](24)\end{array}$

　　 式 (14) 为x的三次项方程, 由贝塞尔函数积分可得:

　　 $\begin{array}{l}y=\sqrt{x}\left[A{\rm I}(z)+B{\rm N}{}_1(z)\right](25)\\ z{}^2=\frac{4{\rm P}{}_2}{Ek{}_{3}x}(26)\end{array}$

　　 式中:K₂为变截面柱二阶形状参数;I₁和N₁为一阶的第一类和第二类圆柱函数。

　　 《纵向弯曲与扭转》^[15]中给出了此类方程的三次解的详细解法, 由两端铰接边界条件导出关于辅助量η的方程:

　　 $\frac{{\rm I}{}_1\left(\frac{\eta }{k}\right){\rm N}{}_2(\eta )-{\rm N}{}_1\left(\frac{\eta }{k}\right){\rm I}(\eta )}{{\rm I}{}_1\left(\frac{\eta }{k}\right){\rm N}{}_1(\eta )-{\rm N}{}_1\left(\frac{\eta }{k}\right){\rm I}{}_1(\eta )}=0(27)$

　　 式中k⁶=I₀/I₁。

　　 从式 (27) 中可以解得η, 进而可得:

　　 $\begin{array}{l}{\rm P}{}_3=\frac{{\rm K}{}_{3}E{\rm I}{}_0}{L{}^2}(28)\\ {\rm K}{}_3=\left[\eta (1-k{}^2)\right]{}^2(29)\end{array}$

　　 式中K₃为变截面柱三阶形状参数。

　　 综合上述四个方程, 可以得到原始微分方程的解的形式:

　　 $\begin{array}{l}{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}0}={\rm K}\frac{E{\rm I}{}_0}{L{}^2}(30)\\ \begin{array}{c}{\rm K}={\rm K}{}_0+{\rm K}{}_1+{\rm K}{}_2+{\rm K}{}_3=\text{π}{}^{2}k{}_0+\frac{k{}_1\text{π}{}^2}{2a}+\hfill \\ \frac{(1+4\beta {}^2)(1-k{}^2){}^2}{4}+\left[\eta (1-k{}^2)\right]{}^2\hfill \end{array}(31)\end{array}$

　　 式中:K为与柱子截面特征相关的常数;N_cr0为两端铰支锥形柱的轴心受压临界承载力。

　　 可见, 两端铰支锥形柱的轴心受压临界承载力N_cr0可表达为与欧拉临界荷载公式相似的简单公式。

　　 在实际工程设计中, 锥形柱两端往往不是理想的铰支约束, 当约束条件改变时, 同理想的铰支约束相比得到的计算长度系数μ不为1, 其轴心受压欧拉特征值屈曲荷载N_cr可表示为:

　　 ${\rm N}{}_{\text{c}\text{r}}={\rm K}\frac{E{\rm I}{}_0}{(\mu L){}^2}(32)$

　　 两端约束为铰支时, 式 (32) 中μ取1。实际工程设计中, 借助有限元软件, 可采用数值方法非常方便地计算出各种端部约束条件下锥形柱子的实际N_cr值, 将之与同一柱子两端铰支时的N_cr0相比, 即可得到任意约束条件下, 锥形柱的计算长度系数μ, 计算公式如下:

　　 $\mu =\sqrt{\frac{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}0}}{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}}}}(33)$

　　 结构对柱端的约束分为转动约束和侧移约束, 转动约束主要来源于与柱端相连的梁或屋面网架, 规范中通过考虑梁和柱的线刚度来确定柱失稳时的计算长度。

　　 规范中根据结构抗侧移刚度, 将柱的整体失稳分为无侧移和有侧移两种, 侧移约束主要来源于支撑、剪力墙、筒体等抗侧移体系。对于无侧移失稳, 考虑柱端受到的转动和侧移约束 (图3) , 柱的计算长度按无侧移框架取值;对于有侧移失稳, 偏于保守地按照只考虑柱端受到的转动约束。在具体计算时还偏于安全地假定该层其他所有柱子均已屈曲, 忽略整体结构体系中其他柱子对支撑柱上端的侧向约束 (图4) , 此时柱的计算长度按照有侧移框架取值。

　　 此航站楼工程中, 锥形柱顶端与屋面网架结构的上下弦相连。由于实际空间网架结构复杂, 大跨屋面网架结构对锥形柱端的约束是复杂的空间侧移和抗弯转动约束, 没有确定的正则方向, 无法简单分离出其柱端的弹性约束刚度, 也就无法用理论公式计算求得锥形柱在整体空间约束下的计算长度系数。

　　 由于结构中没有设置支撑、剪力墙、筒体等抗侧移结构, 按照钢结构标准, 可视为有侧移结构。类比标准中平面框架的有侧移失稳的基本设计理念 (条文说明) , 偏于保守地将大跨屋面网架对锥形柱的空间侧移约束释放, 将其视为有侧移失稳来分析其计算长度, 其计算简图与图4相似。由于复杂的空间约束作用, 无法直接参照钢结构标准中平面框架结构进行分析。但是借助现有的有限元分析软件对大型复杂空间结构的特征值分析的显著优势, 恰好可以弥补这一不足。通过建立整体空间精确有限元模型, 释放目标柱的顶部水平约束, 并在柱端施加轴向压力, 对其进行特征值屈曲分析得到整体空间作用下的临界力N_crs, 再将之与两端铰支同一目标柱子的屈曲临界力N_cr0相比, 采用式 (33) 计算, 即可以得到整体空间约束下的计算长度系数μ_s, 表达式为:

　　 $\mu {}_{\text{s}}=\sqrt{\frac{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}0}}{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}\text{s}}}}(34)$

　　 现有钢结构标准中虽然没有给出锥形柱的承载力, 但是钢管规程将之与小端等截面柱进行了比较, 给出了圆管梭形柱对应的等效计算长度及承载力的验算方法。事实上, 根据弹性稳定理论, 两端铰接的2L长度的梭形锥形钢管柱的欧拉临界荷载与L长度的上端自由下端固定的锥形钢管柱稳定承载力N_cr之间存在着等价性, 如图5所示, 得到上端自由下端固定的锥形钢管柱等效为小端等截面钢管柱的等效计算长度系数μ_eff1为:

　　 $\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}1}=\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}´(35)$

　　 式中μ_eff′为两倍长梭形钢管柱的等效计算长度系数。

　　 钢管规程中给出梭形柱等效为小端等截面时的等效计算长度系数:

　　 $\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}´=\frac{1}{2}\left[1+\left(1+0.853\frac{d{}_1-d{}_0}{d{}_0}\right){}^{-1}\right](36)$

　　 式中:d₀为锥形圆管柱顶端的外径;d₁锥形圆管柱底端的外径。

　　 若上端自由下端固定锥形柱的欧拉临界力为N_cr1, 那么依据式 (33) 可计算上端自由下端固定锥形柱的计算长度系数μ₁为:

　　 $\mu {}_1=\sqrt{\frac{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}0}}{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}1}}}(37)$

　　 进一步可知上端自由下端固定锥形柱等效计算长度系数μ_eff1与整体空间作用下锥形柱等效计算长度系数μ_eff的关系为:

　　 $\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\frac{\mu {}_{\text{s}}}{\mu {}_1}\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}1}(38)$

　　 再结合式 (34) , (35) , (37) 可知:

　　 $\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}´\sqrt{\frac{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}1}}{{\rm N}{}_{\text{c}\text{r}\text{s}}}}(39)$

　　 因此, 在有限元软件中, 通过特征值屈曲分析得到上端自由下端固定的单个锥形柱的屈曲临界力N_cr1, 以及考虑整体空间作用屈曲临界力N_crs, 并结合钢管规程, 即可以得到整体空间作用锥形柱的等效计算长度系数, 其结果与物理意义相符。

　　 由整体空间作用下锥形柱等效为小端等截面柱的等效计算长度系数为μ_eff, 并依据钢结构标准5.3.2条, 得到该等效等截面柱的长细比为:

　　 $\begin{array}{l}\lambda {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\frac{2\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}L}{\sqrt{{\rm I}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}/A{}_0}}(40)\\ A{}_0=\frac{\text{π}}{4}[d{}_0{}^2-(d{}_0-2t){}^2](41)\\ {\rm I}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\sqrt{{\rm I}{}_0/{\rm I}{}_1}(42)\\ {\rm I}{}_0=\frac{\text{π}}{64}[d{}_0{}^4-(d{}_0-2t){}^4](43)\\ {\rm I}{}_1=\frac{\text{π}}{64}[d{}_1{}^4-(d{}_1-2t){}^4](44)\end{array}$

　　 式中:A₀为锥形钢管柱小端截面面积;t为钢管的厚度;λ_eff为等效等截面柱的长细比;I_eff为等效截面惯性矩;I₀为锥形钢管柱小端截面惯性矩;I₁为锥形钢管柱大端截面惯性矩。

　　 将式 (40) 的结果代入钢结构标准的5.1.2条计算得到对应的考虑整体空间作用的锥形柱的等效稳定系数φ_eff, 计算公式如下:

　　 $\begin{array}{l}\begin{array}{c}\phi {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\frac{1}{2\lambda {}_{\text{n}1}{}^2}[(\alpha {}_2+\alpha {}_3\lambda {}_{\text{n}1}+\lambda {}_{\text{n}1}{}^2)-\hfill \\ \sqrt{(\alpha {}_2+\alpha {}_3\lambda {}_{\text{n}1}+\lambda {}_{\text{n}1}{}^2){}^2-4\lambda {}_{\text{n}1}{}^2}]\hfill \end{array}(45)\\ \lambda {}_{\text{n}1}=\frac{\lambda {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}}{\text{π}}\sqrt{f{}_{\text{y}}/E}(46)\end{array}$

　　 式中:λ_n1为L长线性锥形柱的正则化长细比;α₁, α₂, α₃为查钢管规程的附录C表C-5所得的系数。

　　 由此可以计算得到锥形柱在空间作用下的轴压极限承载力N_u为:

　　 ${\rm N}{}_{\text{u}}=\text{ϕ}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}A{}_{0}f{}_{\text{y}}(47)$

　　 采用整体空间作用下锥形钢管柱的轴压承载力等效稳定系数φ_eff, 并根据钢结构标准5.2.2条可得:

　　 $\frac{{\rm N}}{\phi {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}A{}_0}+\frac{\beta {}_{\text{m}\text{x}}{\rm M}}{\gamma W{}_0\left(1-0.8\frac{{\rm N}}{{\rm N}{}_{\text{E}\text{x}}´}\right)}\le f(48)$

　　 式中:N为轴心压力设计值;β_mx为等效弯矩系数, 对于无支撑框架体系, β_mx=1;M为截面弯矩设计值;γ为截面塑性发展系数, 考虑塑性屈服准则, 取1.15;W₀为截面模量;N_Ex′为对应于λ_eff的欧拉临界荷载, 其表达式:

　　 ${\rm N}{}_{\text{E}\text{x}}´=\frac{\text{π}{}^{2}EA}{1.1\lambda {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}{}^2}(49)$

　　 式中A为截面面积。

　　 对式 (48) 进行编程, 可绘出目标柱的N-M极限承载力图。并将结构整体设计计算时所考虑的各种荷载组合工况 (如恒荷载、活荷载、风荷载、地震作用、温度作用等) 下的N, M内力效应一并绘制, 即可实现对结构的稳定承载力的验算和安全校核。验算过程的主要步骤流程图如图6所示。

　　 整体空间结构模型见图7 (a) , 对整体结构中Ⅲ区的目标锥形钢管柱 (图7 (b) ) 进行稳定承载力校核, 选择一根典型柱 (柱Ⅲ-1) 进行校核, 该柱的相关参数如表1所示, 主要尺寸大小如图8所示。

　　 通过在有限元软件中建立整体空间结构模型及Ⅲ-1柱有限元模型, 如图9所示, 对该柱进行特征值屈曲分析, 如图10所示, 得到了Ⅲ-1柱两种约束条件下的特征值:整体空间作用下屈曲临界力N_crs=8.46×10⁷N, 小端自由大端固定屈曲临界力N_cr1=3.7×10⁷N。

　　 根据式 (36) 可知, 梭形柱等效为小端等截面时的等效计算长度系数μ_eff′:

　　 $\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}´=\frac{1}{2}\times \left[1+\left(1+0.853\frac{1300-906}{906}\right){}^{-1}\right]=0.862$

　　 再根据式 (39) , 得到整体空间作用下锥形柱的等效计算长度系数μ_eff:

　　 $\mu {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=0.862\times \sqrt{\frac{3.7\times 10{}^7}{8.46\times 10{}^7}}=0.57$

　　 根据式 (42) , (40) , 等效等截面柱的惯性矩I_eff及长细比λ_eff分别为:

　　 $\begin{array}{l}{\rm I}{}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=1.76\times 10{}^{10}\text{m}\text{m}{}^4\\ \lambda {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\frac{2\times 0.57\times 13632}{\sqrt{1.76\times 10{}^{10}/108070}}=38.5\end{array}$

　　 根据式 (46) , (45) 可得:

　　 $\begin{array}{l}\lambda {}_{\text{n}1}=\frac{38.5}{\text{π}}\sqrt{\frac{310}{2\times 10{}^5}}=0.48>0.215\\ \begin{array}{l}\phi {}_{\text{e}\text{f}\text{f}}=\frac{1}{2\lambda {}_{\text{n}1}{}^2}[(\alpha {}_2+\alpha {}_3\lambda {}_{\text{n}1}+\lambda {}_{\text{n}1}{}^2)-\\ \sqrt{(\alpha {}_2+\alpha {}_3\lambda {}_{\text{n}1}+\lambda {}_{\text{n}1}{}^2){}^2-4\lambda {}_{\text{n}1}{}^2}]\\ =\frac{1}{2\times 0.48{}^2}[(0.965+0.300\times 0.48+0.48{}^2)-\\ \sqrt{(0.965+0.300\times 0.48+0.48{}^2){}^2-4\times 0.48{}^2}]\\ =0.895\end{array}\end{array}$

　　 可以计算得到锥形柱在空间作用下的实际极限承载力N_u为:

　　 ${\rm N}{}_{\text{u}}=0.895\times 108070\times 310=3.0\times 10{}^7\text{Ν}$

　　 根据式 (48) , 可以绘制出该柱的N-M极限承载力归一化曲线, 并将所有荷载组合工况下的内力N和M在图中用散点示意, 图11给出了典型柱子的校核情况。从图11可以看到, 在不同荷载组合工况作用下, 目标柱承受的荷载始终在极限承载力范围之内。

　　 (1) 锥形钢管柱的计算长度系数取决于构件端部的约束形式, 屈曲临界力的表达式与欧拉临界力公式类似, 均与计算长度的平方成反比。

　　 (2) 通过锥形柱与梭形柱的相关性, 推导出锥形柱的等效等截面柱长度系数, 基于规范得到了锥形柱稳定承载力方法, 并对案例中的目标柱进行了稳定性验算。

　　 (3) 本文关于锥形钢管柱计算长度的计算方法及整体稳定的计算方法都是基于现有的规范基本理念, 并结合了真实空间结构有限元模拟, 是规范基本概念与手段的结合与创新, 为考虑空间作用的锥形柱计算长度的计算提供了有效和可靠的方法。